全概率公式高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

7.1.2

全概率公式第七章隨機變量及其分布7.1.條件概率與全概率公式情景引入情景引入三門問題是一個著名的概率問題，出自美國的電視游戲節(jié)目“Let'sMakeaDeal”.問題的情景是：參賽者面前有三扇關(guān)閉的門，其中一扇后面有汽車，另外兩扇后面都是山羊.參賽者選擇了一扇門后，節(jié)目主持人會在剩下的兩扇門中打開一扇后面是山羊的門，然后問參賽者是否要換另一扇門？換門是否能增加贏得汽車的概率?問題1

從有a個紅球和b個藍球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為

，那么第2次摸到紅球的概率是多大?如何計算這個概率呢?因為抽簽具有公平性，所以第2次摸到紅球的概率也應(yīng)該是.

新知探究追問1

你能直觀感知第2次摸到紅球的概率是多大嗎？下面我們給出嚴(yán)格的推導(dǎo).追問2

既然摸出的球不再放回，那么第2次摸球的結(jié)果受第1次摸球結(jié)果的影響，為什么第1、2次摸到紅球的概率還會是相同的呢？第2次拿到紅球，事件R2可按第1次可能的摸球結(jié)果（紅球或藍球）表示為兩個互斥事件的并，即證：用

Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到藍球”，i=1,2.那么我們可以用圖形來表示事件之間的關(guān)系R2=R1R2UB1R2.探究新知P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)問題1

從有a個紅球和b個藍球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為

，那么第2次摸到紅球的概率是多大?如何計算這個概率呢?事件R2可按第1次可能的摸球結(jié)果（紅球或藍球）表示為兩個互斥事件的并，即利用概率的加法公式和乘法公式，得證：用

Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到藍球”，i=1,2.R2=R1R2UB1R2.探究新知P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)第2次拿到紅球，事件R2可按第1次可能的摸球結(jié)果（紅球或藍球）表示為兩個互斥事件的并，即證：用Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到藍球”，i=1,2.那么我們可以用圖形來表示事件之間的關(guān)系R2=R1R2UB1R2.探究新知問題1

從有a個紅球和b個藍球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為

，那么第2次摸到紅球的概率是多大?如何計算這個概率呢?探究新知追問3

把問題1變?yōu)椤皬挠衋個紅球、b個藍球和c個黃球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為

，那么第2次摸到紅球的概率是多大?”你能類比上述過程進行計算嗎?問題1

從有a個紅球和b個藍球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為

，那么第2次摸到紅球的概率是多大?如何計算這個概率呢?探究新知追問3

把問題1變?yōu)椤皬挠衋個紅球、b個藍球和c個黃球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為

，那么第2次摸到紅球的概率是多大?”你能類比上述過程進行計算嗎?探究新知追問3

把問題1變?yōu)椤皬挠衋個紅球、b個藍球和c個黃球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為

，那么第2次摸到紅球的概率是多大?”你能類比上述過程進行計算嗎?

按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個復(fù)雜事件表示為兩個互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式，求得這個復(fù)雜事件的概率.探究新知問題2

上述解決問題的過程采用了怎樣的方法？

我們稱上面的公式為全概率公式．全概率公式是概率論中最基本的公式之一.

全概率公式(1)全概率公式本質(zhì)上是綜合運用加法公式和乘法公式解決“多因一果”的概率問題.(2)全概率公式告訴我們，事件B發(fā)生的概率恰好是事件B在各種可能“原因”下發(fā)生的條件概率的加權(quán)平均.說一說知識應(yīng)用例1

三門問題是一個著名的概率問題，出自美國的電視游戲節(jié)目“Let'sMakeaDeal”.問題的情景是：參賽者面前有三扇關(guān)閉的門，其中一扇后面有汽車，另外兩扇后面都是山羊.參賽者選擇了一扇門后，節(jié)目主持人會在剩下的兩扇門中打開一扇后面是山羊的門，然后問參賽者是否要換另一扇門？知識應(yīng)用知識應(yīng)用思考

能提煉出解題步驟嗎？3.代公式：用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率(即P(B)

).1.設(shè)事件：把事件B(結(jié)果事件)看作某一過程的結(jié)果,把A1,A2,…,An

看作導(dǎo)致結(jié)果的若干個原因；2.寫概率：由已知，寫出每一原因發(fā)生的概率(即P(Ai

)),且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度(即P(B|Ai))；課堂小結(jié)步驟：設(shè)事件；找劃分；搜數(shù)據(jù)；求概率.方法：樹狀圖；韋恩圖.思想：由因?qū)Ч蝗婵紤]；化繁為簡；化難為易.素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算；數(shù)學(xué)建模.全概率公式：布置作業(yè)2.能力：教材53頁8，103.探究：人工智能問題chatGPT是由OpenAI開發(fā)的一款人工智能機器人程序，一經(jīng)推出就火遍全球.chatGPT的開發(fā)主要采用RLHF(人類反饋強化學(xué)習(xí))技術(shù)。在對chatGPT進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤chatGPT的回答被采納的概率為90%，當(dāng)出現(xiàn)語法錯誤時，chatGPT的回答被采納的概率為50%.現(xiàn)已知輸入的問愿中出現(xiàn)語法錯誤的概率為5%。(1)求chatGPT的回答被采納的概率，(2)現(xiàn)已知chatGPT的回答被采納，求該問題的輸入語法沒有錯誤的概率.1.基礎(chǔ)：教材52頁，練習(xí)1，2全概率公式教學(xué)闡釋教材解析01.學(xué)情分析02.教學(xué)目標(biāo)03.教學(xué)策略04.教學(xué)過程05.教學(xué)反思06.目錄01教材分析——教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三》第七章《隨機變量及其分布列》第一節(jié)第2課時.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)全概率公式.01教材分析——教材的地位和作用實際問題條件概率加法公式乘法公式貝葉斯公式全概率公式02學(xué)情分析

知識

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了概率的基礎(chǔ)知識，對一些簡單的概率模型(如古典概型)已經(jīng)有所了解，在本節(jié)課之前，學(xué)生學(xué)習(xí)了條件概率，概率的乘法、加法公式，為全概率公式的學(xué)習(xí)做好了鋪墊.技能

本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的分析問題、解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，能夠用數(shù)學(xué)的眼光看待隨機事件的概率，初步具備解決較復(fù)雜概率問題的能力.素養(yǎng)

通過之前排列組合、二項式定理、條件概率的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)可以從具體情境中建立簡單的數(shù)學(xué)模型，抽象出基本的數(shù)學(xué)概念，可以推理出相應(yīng)的公式并完成后續(xù)問題的運算.02學(xué)情分析——重點、難點

教學(xué)重點

全概率公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.教學(xué)難點

將相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)概率模型，

運用全概率公式求概率.難點突破方法

問題驅(qū)動

媒體輔助

自主探究

合作交流.03教學(xué)目標(biāo)

(1)結(jié)合實例以及古典概型公式，通過利用概率的加法公式和乘法公式推導(dǎo)全概率公式的過程，在推導(dǎo)、運用公式的過程中體會化繁為簡、化難為易的轉(zhuǎn)化思想.(2)通過運用全概率公式解決實際問題，進一步理解全概率公式的結(jié)構(gòu)和含義，提升數(shù)學(xué)運算能力.04教學(xué)策略——教法

啟發(fā)式教學(xué)

問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心臟，因此以問題串的方式引導(dǎo)學(xué)生思考，由學(xué)生對全概率公式加以概括和抽象，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)，突出本節(jié)課重點.探究式教學(xué)

教學(xué)借鑒條件概率公式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生借助樹狀圖和韋恩圈理解全概率公式的直觀意義，并探究應(yīng)用全概率公式解決實際問題的步驟，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，并突破教學(xué)難點.情景式教學(xué)

通過“三門問題”的游戲，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).04教學(xué)策略——學(xué)法

獨立思考

在探究問題、例題及練習(xí)的解決過程中，學(xué)生對教師提出的問題進行獨立深入的思考，讓學(xué)生的思維得到真正的鍛煉，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).自主探究

學(xué)生在推導(dǎo)全概率公式的的過程中，在獨立思考的基礎(chǔ)上進行自主探究，提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).合作交流

在推導(dǎo)全概率公式以及解決情景問題的過程中，學(xué)生在自主探究遇到問題時進行分小組討論，合作交流，增強學(xué)生的合作意識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，突破難點.05教學(xué)過程

情景引入激發(fā)興趣04巧設(shè)問題探究方法抽象概括生成概念應(yīng)用概念解決問題總結(jié)提升鞏固理解布置作業(yè)提升素養(yǎng)05教學(xué)過程——情景引入

激發(fā)興趣

設(shè)計意圖

通過經(jīng)典的“三門問題”亦稱為蒙提霍爾問題(MontyHallproblem)，引入新課，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.05教學(xué)過程——巧設(shè)問題

探究方法

設(shè)計意圖

先由學(xué)生獨立思考從2個顏色中隨機不放回摸1球，求第2次摸到紅球的概率，之后將條件變成從3個顏色中隨機不放回摸1球，通過增加變式對教材內(nèi)容適度改編，引入樹狀圖以及韋恩圖讓學(xué)生更直觀地理解全概率問題的解題思路，體現(xiàn)化難為易的轉(zhuǎn)化思想，為全概率公式的引入做鋪墊，突破難點.05教學(xué)過程——抽象概括

生成概念

設(shè)計意圖

由以上兩個具體實例，通過數(shù)學(xué)抽象得出一般性的數(shù)學(xué)結(jié)論，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要途徑，結(jié)合韋思圖通過層層設(shè)問，深化學(xué)生對全概率公式的理解，讓學(xué)生能夠體會全概率公式的本質(zhì)是“多因?qū)Ч?05教學(xué)過程——應(yīng)用概念

解決問題

設(shè)計意圖

回扣課前引例，由學(xué)生獨立完成本道例題，并進行展示，深化學(xué)生對全概率公式的理解，讓學(xué)生感受到全概率公式在解決實際問題中的廣泛應(yīng)用，同時，進一步強化應(yīng)用全概率公式計算概率的方法與步驟.05教學(xué)過程——總結(jié)提升

鞏固理解

設(shè)計意圖

由學(xué)生梳理總結(jié)全概率公式的基本思想和解題步驟，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)思想方法，提升他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).05教學(xué)過程——布置作業(yè)

提升素養(yǎng)

設(shè)計意圖

考慮到學(xué)生的差異，三個課后作業(yè)形成一定的梯度和難度，讓每一位學(xué)生都能在自己的最近發(fā)展區(qū)得到提升，實現(xiàn)培優(yōu)減負(fù)，雙管齊下，同時，設(shè)置當(dāng)下熱點的人工智能探究作業(yè)，為貝葉斯公式的引出做了鋪墊，發(fā)展學(xué)生的四基，以及發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的能力.06教學(xué)反思

收獲

1、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是學(xué)思維.因此，在教學(xué)中我合理設(shè)計教學(xué)活動讓學(xué)生真正的成