上海市延安中學2024-2025學年高三上學期9月質量調研數(shù)學試卷

2024—2025學年上海市延安中學高三年級上學期9月質量調研數(shù)學試卷2024.9一?填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，1—6題每個空格填對得4分，7—12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.1.已知集合，則__________.2.已知為虛數(shù)單位，，則__________.3.已知，且為第二象限角，則__________.4.已知向量，則在上的投影向量為__________.5.已知某學校參加學科節(jié)數(shù)學競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：，則這組數(shù)據的第75百分位數(shù)是__________.6.函數(shù)的圖像在點處的切線方程為__________.7.中國古代數(shù)學著作主要有《周髀算經》《九章算術》《海島算經》《四元玉鑒》《張邱建算經》，若從上述5部書籍中任意抽取2部，則抽到《九章算術》的概率為__________.8.已知，若，則__________.9.黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學中有著廣泛的應用.黎曼函數(shù)定義在上，其解析式為，若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意的，都有，當時，，則__________.10.在某次數(shù)學測驗中，學號為的四位同學的考試成績?yōu)?，且滿足，則這四位同學的考試成績的所有可能情況的種數(shù)為__________.11.地震定位對地震救援具有重要意義，根據雙臺子臺陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過兩個地震臺站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個地震臺站的位置就是該雙曲線的兩個焦點.已知地震臺站在公路上（為直線），且，相距28，地震局以的中點為原點，直線為軸，1為單位長度建立如圖所示的平面直角坐標系.在一次地震發(fā)生后，根據兩站收到的信息，并通過計算發(fā)現(xiàn)震中在雙曲線的右支上，且，則到公路的距離為__________.12.已知圓上任意一點的取值與無關，則實數(shù)的取值范圍是__________.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.已知，則“”是“”的（）條件.A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要14.已知是空間兩個不同的平面，是空間兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則15.已知，存在常數(shù)，使為偶函數(shù)，則的值可能為（）A.B.C.D.16.在數(shù)列中，滿足（為正整數(shù)），則①一定存在常數(shù)，使得都成立；②一定存在常數(shù)，使得（為正整數(shù)）都成立上面判斷正確的是（）A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立三?解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）如圖，在三棱錐中，，.（1）證明：平面；（2）若是棱上一點且，求二面角的大小.18.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前2024項和.19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）2024年4月25日，第18屆北京國際汽車展覽會在中國國際展覽中心開幕，本屆展會以“新時代新汽車”為主題，在展覽會上國內新能源車引得了國內外車友的關注.為了解人們的買車意向，在車展現(xiàn)場隨機調查了50名男觀眾和50名女觀眾，已知男觀眾中有40人偏向燃油車，女觀眾中有20人偏向燃油車，剩余被調查的觀眾則偏向新能源車.（1）根據已知條件，填寫下列列聯(lián)表，并根據小概率值的獨立性檢驗，判斷男觀眾和女觀眾買車意向的偏向情況是否有差異；偏向燃油車偏向新能源車男觀眾女觀眾（2）現(xiàn)按比例用分層隨機抽樣的方法從被調查的偏向燃油車的觀眾中抽取9人，再從這9人中隨機抽取4人，記表示這4人中女觀眾的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.附：.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82820.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知橢圓的一個焦點是.直線與直線關于直線對稱，且相交于橢圓的上頂點.（1）求橢圓的標準方程；（2）求的值；（3）設直線分別與橢圓另交于兩點，證明：直線過定點.21.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）若函數(shù)在處有極值，且關于的方程有3個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍；（3）記.若對任意且時，均有成立，求實數(shù)的取值范圍.2024—2025學年上海市延安中學高三年級上學期9月質量調研數(shù)學試卷2024.9一?填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，1—6題每個空格填對得4分，7—12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.1.【答案】【解析】.2.【答案】2【解析】.3.【答案】【解析】.4.【答案】【解析】在上的投影向量為.5.【答案】87.5【解析】將數(shù)據從小到大排序得，因為，所以第75百分位數(shù)是.6.【答案】【解析】，則函數(shù)的圖像在點處的切線方程為，即.7.【答案】【解析】將這5部書籍依次記為，則從這5部書籍中任意抽取2部的樣本空間，共有10個樣本點，其中抽到《周髀算經》的樣本點為，共有4個樣本點，所以所求概率.8.【答案】38【解析】令，則，則9.【答案】【解析】因為，所以，因為是奇函數(shù)，所以，所以，所以的周期為4，因為，所以令，可得，所以因為，所以.10.【答案】15【解析】從所給的5個成績中，任意選出4個的一個組合，即可得到四位同學的考試成績按排列的一個可能情況，故方法有種.從所給的5個成績中，任意選出3個的一個組合，即可得到四位同學的考試成績按排列的一個可能，故方法有種.綜上可得，滿足的這四位同學的考試成績的所有可能情況共有種.11.【答案】【解析】設雙曲線的焦距為，由題意得，，則，解得，由雙曲線的定義得，又，即，三角形的面積，設到公路的距離為，則，得，即到公路的距離為.12.【答案】【解析】設，故可以看作點到直線與直線距離之和的5倍，的取值與無關，這個距離之和與點在圓上的位置無關，如圖所示：可知直線平移時，點與直線的距離之和均為的距離，即此時圓在兩直線內部，當直線與圓相切時化簡得，解得或（舍去），.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.【答案】B【解析】，則“”是“”的必要非充分條件，故選B.14.【答案】C【解析】對于A，可相交，故錯誤；對于B，兩直線可異面，也可以相交，故錯誤；對于C，正確；對于D，兩平面可相交，故錯誤；故選C.15.【答案】B【解析】由于函數(shù)，存在常數(shù)，為偶函數(shù)，則：，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故：，所以：，當時.故選：B.16.【答案】B【解析】數(shù)列滿足：，①不妨設，則，若存在常數(shù)，使得，應有，顯然成立，故①正確②取，顯然滿足，但對，②為假命題；故選B.三?解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.17.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）證明：連接，因為，所以，因為，所以，因為，所以，則，所以，因為平面，所以平面.（2）易知為的中點，所以，由（1）可知，兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，因為，所以為正三角形，所以，因為，所以，所以，設平面的法向量為，則，即，令，則，又平面的一個法向量為，所以，即二面角的大小為.18.【答案】（1）；（2）1012【解析】（1）數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，可得，即，即有，解得，則.（2），可得，數(shù)列的前2024項和為.19.【答案】（1）有差異；（2）見解析【解析】（1）由題意可得列聯(lián)表：偏向燃油車偏向新能源車總計男觀眾401050女觀眾203050總計6040100零假設：男觀眾和女觀眾買車意向的偏向情況沒有差異，則根據小概率值的獨立性檢驗可知，零假設不成立，所以可以認為男觀眾和女觀眾買車意向的偏向情況有差異.（2）因為抽取的9人中有名男觀眾，名女觀眾，所以的可能取值為，則，，所以的分布列為：0123則.20.【答案】（1）（2）；（3）直線過定點【解析】（1）不妨設橢圓的標準方程為，因為直線與軸相交于點，所以橢圓的上頂點為，即，因為橢圓的一個焦點是，所以，則故橢圓的標準方程為.（2）不妨設點是直線上任意異于的一點，點是點關于直線的對稱點，此時，解得，因為，所以，解得，代入直線中，解得，因為點在直線上，所以，即所以，因為，所以.（3）證明：不妨設，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理得，所以，同理得，由（2）知，所以，此時直線的方程為，整理得，則對任意的，總經過點.故直線過定點.21.【答案】（1）見解析；（2）；