1 認識一元二次方程 數(shù)學北師大版九年級上冊

第二章一元二次方程1認識一元二次方程初中數(shù)學北師大版九年級上冊第1課時認識一元二次方程探究新知地毯問題幼兒園活動教室矩形地面的長為8m，寬為5m，現(xiàn)準備在地面的正中間鋪設一塊面積為18m2的地毯，四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同.8m5m已知量：未知量：矩形地面的長、寬地毯的面積地毯的長、寬條形區(qū)域的寬8m5m已知量：未知量：矩形地面的長、寬地毯的面積地毯的長、寬條形區(qū)域的寬你能找出地毯問題中的相等關系嗎？地毯問題地毯的長×寬=18m2地毯的長+2倍條形區(qū)域的寬=8m地毯的寬+2倍條形區(qū)域的寬=5m幼兒園活動教室矩形地面的長為8m，寬為5m，現(xiàn)準備在地面的正中間鋪設一塊面積為18m2的地毯，四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同.8m5m你能求出這個寬度嗎？地毯問題如果設所求的寬為xm，那么地毯的長為

m，寬為

m，根據(jù)題意，可得方程：（8－2x）（5－2x）

(8－2x)(5－2x)

=18

(8－2x)(5－2x)

=18

40-16x-10x+4x2

=182x2

-13x+11=0（去括號）（移項、合并同類項）幼兒園活動教室矩形地面的長為8m，寬為5m，現(xiàn)準備在地面的正中間鋪設一塊面積為18m2的地毯，四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同.你能求出這個寬度嗎？地毯問題連續(xù)整數(shù)問題觀察下面等式：102＋112＋122＝132＋142你還能找到其他的五個連續(xù)整數(shù)，使前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和嗎？如果設五個連續(xù)整數(shù)中的第一個數(shù)為x，那么后面四個數(shù)依次可表示為：_______，_______，_______，_______。根據(jù)題意，可得方程：x2+(x＋1)2+(x＋2)2=(x＋3)2+(x＋4)2x＋1x＋2x＋3x＋4x2+(x＋1)2+(x＋2)2=(x＋3)2+(x＋4)2去括號、移項、合并同類項x2-8x-20=0梯子滑動問題如圖，一個長為10

m

的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8

m．如果梯子的頂端下滑1

m，那么梯子的底端滑動多少米？10m8m幾何畫板.GSP梯子滑動問題如圖，一個長為10

m

的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8

m．如果梯子的頂端下滑1

m，那么梯子的底端滑動多少米？7m1m10m6m解：由勾股定理可知，滑動前梯子底端距墻

m.6如果設梯子底端滑動x

m，那么滑動后梯子底端距墻_______m.（x＋6）根據(jù)題意，可得方程：72＋(x＋6)2

＝10272＋(x＋6)2

＝102去括號、移項、合并同類項x2

＋12x－15

＝0

(8－2x)(5－2x)

=182x2

-13x+11=0x2+(x＋1)2+(x＋2)2=(x＋3)2+(x＋4)2x2-8x-20=072＋(x＋6)2

＝102x2

＋12x－15

＝0由上面三個問題，我們可以得到三個方程：議一議上述三個方程有什么共同特點？上面的方程都是只含有一個未知數(shù)x

的整式方程，并且都可以化為ax2＋bx＋c＝0

(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程．一元二次方程我們把ax2＋bx＋c＝0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式.ax2bxc二次項一次項常數(shù)項ab二次項系數(shù)一次項系數(shù)達標檢測根據(jù)題意列出一元二次方程:已知直角三角形的三邊長為連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長.【選自教材P32隨堂練習】解：設較短邊長為x.x2+(x+1)2=(x+2)2.把方程(3x＋2)2=4(x-3)2

化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次頂系數(shù)和常數(shù)項.【選自教材P32隨堂練習】解:化為一般形式為5x2＋36x－32＝0．二次項系數(shù)為5，一次項系數(shù)為36，常數(shù)項為－32．根據(jù)題意，列出一元二次方程：

（1）有一面積為54m2

的長方形，將它的一邊剪短5m，

另一邊剪短2m，恰好變成一個正方形，這個正方形的

邊長是多少？（1）解:設這個正方形的邊長為x．(x＋5)(x＋2)＝54，即x2＋7x－44＝0．【選自教材P32習題2.1第1題】（2）解:設較小數(shù)為

x．x(x＋1)＋(x＋1)(x＋2)＋x(x＋2)＝242，即x2＋2x－80＝0．根據(jù)題意，列出一元二次方程：（2）三個連續(xù)整數(shù)兩兩相乘，再求和，結果為242，

這三個數(shù)分別是多少？【選自教材P32習題2.1第1題】把下列方程化為一元二次方程的形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03x2－5x＋1＝03－51x2＋x－8＝011－8－7x2＋4＝0－704【選自教材P32習題2.1第2題】從前有一天，一個笨漢拿著竹竿進屋，橫拿豎拿都進不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺，他的鄰居教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個笨漢一試，不多不少剛好進去了．你知道竹竿有多長嗎？請根據(jù)這一問題列出方程．【選自教材P33習題2.1第3題】解：

設竹竿的長為x

尺，則門的寬度為(x－4)尺，長為(x－2)尺，依題意得方程：(x－4)2＋(x－2)2＝x2即：x2－12x

＋20＝0通過這節(jié)課的學習活動，你有什么收獲？課堂小結只含有一個未知數(shù)x

的整式方程，并且都可以化為ax2＋bx＋c＝0

(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程．我們把ax2＋bx＋c＝0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式.課堂小結ax2bxc二次項一次項常數(shù)項ab二次項系數(shù)一次項系數(shù)第二章一元二次方程1認識一元二次方程初中數(shù)學北師大版九年級上冊第2課時一元二次方程根的估算復習導入1.使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的______.一元二次方程(x+1)2-x=3(x2-2)化成一般形式是__________________.3.近似數(shù)2.36≈_______（精確到十分位）.解2x2–x-7=02.44.一元二次方程有哪些特點？（1）只含有一個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次項系數(shù)是2；（3）整式方程.5.一元二次方程的一般形式是什么？

ax2＋bx＋c＝0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）復習導入探究新知幼兒園活動教室矩形地面的長為8m，寬為5m，現(xiàn)準備在地面的正中間鋪設一塊面積為18m2的地毯，四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同.8m5m

(8－2x)(5－2x)

=18你能設法估計四周未鋪地毯部分的寬度x(m)嗎？8m5m

(8－2x)(5－2x)

=18（1）x

有可能小于0嗎？說說你的理由x不可能小于0，因為寬度不能為負.x

可能大于4嗎？x不可能大于4，(8-2x)表示地毯的長，所以有8-2x>0.8m5m

(8－2x)(5－2x)

=18x

可能大于2.5嗎？x不可能大于2.5，(5-2x)表示地毯的寬，所以有5-2x>0.（2）你能確定x的大致范圍嗎？0<x<2.5

(8－2x)(5－2x)

=18（3）填寫下表：x0.511.52(8-2x)(5-2x)2818104（4）你知道地毯花邊的寬x(m)是多少嗎？還有其他求解方法嗎？與同伴進行交流.所求寬度為x=1m.如圖，一個長為10

m

的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8

m．如果梯子的頂端下滑1

m，那么梯子的底端滑動多少米？72＋(x＋6)2

＝102化為一般形式x2

＋12x－15

＝0（1）小明認為底端也滑動了1m，他的說法正確嗎？為什么？10m8m不正確，因為x=1時，方程左邊不等于0x2

＋12x－15

＝0（2）底端滑動的距離可能是2m嗎？可能是3m嗎？為什么？不可能是2，因為x=2時，方程左邊不等于0.不可能是3，因為x=3時，方程左邊不等于0.（3）你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎？（4）x

的整數(shù)部分是幾？十分位是幾？x2

＋12x－15

＝0填寫下表你能發(fā)現(xiàn)x

的大致范圍嗎？x00.511.52x2+12x-15-15-8.75-25.2513通過觀察發(fā)現(xiàn)，若想使代數(shù)式的值為

0，那么

x

的取值應在

1

和1.5之間。所以1<x<1.5x2

＋12x－15

＝0進一步計算：x1.11.21.31.4x2+12x-15-0.590.842.293.76所以1.1＜x＜1.2因此x的整數(shù)部分是1，十分位是1。達標檢測五個連續(xù)整數(shù)，前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方.您能求出這五個整數(shù)分別是多少嗎？【選自教材P34隨堂練習】解:設第一個整數(shù)為x．x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2．3x2＋6x＋5＝2x2＋14x＋25．x2－8x－20＝0．根據(jù)列表求值估算，解得x1＝10，x2＝－2．所以，這五個整數(shù)分別是10,11,12,13,14或－2,－1,0,1,2.一個面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m.苗固的長和寬各是多少？解:設苗圃寬為xm．x(x＋2)＝120．