4-7-特殊域上的多項(xiàng)式

2024/9/29高等代數(shù)復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式2024/9/29高等代數(shù)一、C上多項(xiàng)式對(duì)于上的多項(xiàng)式，它在F上未必有根，那么它在C上是否有根？

每一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上至多有一個(gè)根。定理（代數(shù)基本定理）：

任何n（n>0）次多項(xiàng)式在C上有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。定理當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論顯然成立。證：2024/9/29高等代數(shù)假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1次多項(xiàng)式成立，則當(dāng)是n次多項(xiàng)式時(shí)，由于在C上至少有一個(gè)根，設(shè)為則，是C上n-1次多項(xiàng)式。由歸納假設(shè)知在C上有n-1個(gè)根，

推論1：復(fù)數(shù)域上任一個(gè)次數(shù)大于1的多項(xiàng)式都是可約的，即C上不可約多項(xiàng)式只能是一次多項(xiàng)式。推論2：任一個(gè)n（n>0）次多項(xiàng)式在在C上的根，所以n個(gè)根。它們也是在C上有2024/9/29高等代數(shù)上都能分解成一次因式的乘積，即的標(biāo)準(zhǔn)分解式是：其中是不同的復(fù)數(shù)，是自然數(shù)且韋達(dá)定理：設(shè)是的兩個(gè)根，則2024/9/29高等代數(shù)C上多項(xiàng)式的根與系數(shù)關(guān)系：設(shè)—（1）是一個(gè)n（n>0）次多項(xiàng)式，則它在C中有n個(gè)根，記—（2）比較（1）與（2）的展開式中同次項(xiàng)的系數(shù)，則為2024/9/29高等代數(shù)得根與系數(shù)的關(guān)系為：如果根與系數(shù)的關(guān)系又如何？2024/9/29高等代數(shù)2024/9/29高等代數(shù)利用根與系數(shù)的關(guān)系，可以構(gòu)造一個(gè)n次多項(xiàng)式，使其恰以為根。例：它以1和4為單根，-2為2重根。求一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的4次多項(xiàng)式，使解：設(shè)則2024/9/29高等代數(shù)二、實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式定理：如果是實(shí)數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式的與有相同的重?cái)?shù)。證：設(shè)由于是的根，故有兩邊取共軛復(fù)數(shù)，注意到和0都是實(shí)數(shù)，則有可見也是的根。非實(shí)復(fù)根，則的共軛復(fù)數(shù)也是的根，且2024/9/29高等代數(shù)因此多項(xiàng)式：能整除，即存在多項(xiàng)式，使是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，故也是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。若是的重根，由于，故必是的根，是實(shí)系數(shù)，故也是的根，故也是的重根。與重復(fù)應(yīng)用這個(gè)推理方法知的重?cái)?shù)相同。2024/9/29高等代數(shù)唯一地分解為實(shí)系數(shù)一次和二次不可約多項(xiàng)式的定理

每個(gè)次數(shù)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都可乘積。就是一次因式子，結(jié)論成立。若，證明：的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納。對(duì)假設(shè)對(duì)結(jié)論次數(shù)<n的多項(xiàng)式結(jié)論成立，現(xiàn)考慮，由代數(shù)基本定理，有一復(fù)根。若為實(shí)數(shù)則，其中不為實(shí)數(shù)，則若也是的復(fù)根，于是2024/9/29高等代數(shù)設(shè)，則是一個(gè)二次實(shí)系數(shù)不可約多項(xiàng)式，且不可約多項(xiàng)式的乘積，故結(jié)論成立。由歸納假設(shè)知可分解成一次因式與二次。即在上，推論3中不可約多項(xiàng)式除一次多項(xiàng)式外，只有含非實(shí)共軛復(fù)根的二次多項(xiàng)式。2024/9/29高等代數(shù)推論4n（n>0）次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式：不可約，即滿足在R上2024/9/29高等代數(shù)例：設(shè)是多項(xiàng)式的非零根，求以為根的四次多項(xiàng)式。解：設(shè)為多求多項(xiàng)式。2024/9/29高等代數(shù)2024/9/29高等代數(shù)所求多項(xiàng)式是：或2024/9/29高等代數(shù)有理系數(shù)多項(xiàng)式2024/9/29高等代數(shù)

討論有理數(shù)域上多項(xiàng)式的可約性，以及如何求Q上多項(xiàng)式的有理根，由于與在上的可約性相同。因此討論在Q上的可約性可轉(zhuǎn)化為求整系數(shù)多項(xiàng)式在Q上的可約性。一、整系數(shù)多項(xiàng)式的可約性定義1（本原多項(xiàng)式）：若整系數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)互素，則稱是一個(gè)本原多項(xiàng)式。例如：

本原多項(xiàng)式的加、減運(yùn)算所得的未必是本原多項(xiàng)式，但相乘之后必是本原多項(xiàng)式。是本原多項(xiàng)式。2024/9/29高等代數(shù)引理（高斯定理）：兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積仍是本原多項(xiàng)式。證：設(shè)都是本原多項(xiàng)式若不是本原多項(xiàng)式，則存在素?cái)?shù)p，使由于都是本原多項(xiàng)式，故的系數(shù)不能都被p整除，的系數(shù)也不能被p整除，2024/9/29高等代數(shù)可設(shè)但但現(xiàn)考慮除了這一項(xiàng)外，p能整除其余各項(xiàng)，因此這是一個(gè)矛盾，故是本原多項(xiàng)式。定理：一個(gè)整系數(shù)n（n>0）次多項(xiàng)式在有理數(shù)域上可約的充要條件是它在整數(shù)環(huán)上可約。2024/9/29高等代數(shù)證：充分性顯然。下證必要性。設(shè)可分解成中兩個(gè)次數(shù)都小于n的多項(xiàng)式與的乘積，即有設(shè)的系數(shù)的公分母為m，則一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，把是系數(shù)的公因式n提出來，是本原多項(xiàng)式，即同理，存在有理數(shù)S，使也是本原多項(xiàng)式，2024/9/29高等代數(shù)于是下證是一個(gè)整數(shù)，設(shè)（p,q互素且p>0），由于是整系數(shù)多項(xiàng)式，故p能整除q與的每一系數(shù)的乘積，而p,q互素，故p能整除的每一系數(shù)，但由引理1知，是本原多項(xiàng)式，故p=1，從而rs是一個(gè)整數(shù)。2024/9/29高等代數(shù)C上不可約多項(xiàng)式只能是一次，R上不可約多項(xiàng)式只能是一次和含非實(shí)共軛復(fù)根的二次多項(xiàng)式，Q上不可約多項(xiàng)式的特征是什么？下面的Eisenstein的判別法回答了這個(gè)問題。問題：定理（Eisenstein判別法）：設(shè)是整系數(shù)多項(xiàng)式，若存在素?cái)?shù)p，使②①③則在Q上不可約。2024/9/29高等代數(shù)證（反證法）：若在Q上可約在Z上可約，即存在：使其中故或但兩者不能同時(shí)成立。2024/9/29高等代數(shù)不妨設(shè)但。由于，由知的系數(shù)不能都被p即但現(xiàn)考慮但p能整除其它項(xiàng)，故與已知矛盾。假設(shè)是第一個(gè)不能被p整除的系數(shù)，整除，在中不可約在中不可約。2024/9/29高等代數(shù)

由Eisenstein判別法知，Q上存在任意次不可約多項(xiàng)式。例：是Q上不可約多項(xiàng)式，p是素?cái)?shù)。例1.9.2：判斷在Q上是否可約？解：分別取p=2,p=3即知。解：取素?cái)?shù)p即知。2024/9/29高等代數(shù)Eisenstein是判別多項(xiàng)式在Q上不可約的充分條件，但不是必要條件。注意：例：不可約，但找不到素?cái)?shù)p。系數(shù)多項(xiàng)式。特別地，若是本原的，則也是本原的。推論：設(shè)若都是整系數(shù)多項(xiàng)式，且是本原的，則必是整的所有系數(shù)。）（若不是2024/9/29高等代數(shù)二、整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根定理：設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若有理數(shù)是整系數(shù)多項(xiàng)式的一個(gè)根，這里u，v是互素的整數(shù)，則①②證：（1）是的根，有一次因式2024/9/29高等代數(shù)即因?yàn)槭潜驹囗?xiàng)式是整系數(shù)多項(xiàng)式，故是整系數(shù)多項(xiàng)式。（2）設(shè)是整數(shù)。比較兩邊n次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)得：2024/9/29高等代數(shù)由定理，要求整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根，只要求出最高次項(xiàng)系數(shù)的因數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)。然后對(duì)形如有理