線性代數(shù)-課件5

主編管典安倪臣敏主審謝志春線性代數(shù)大連理工大學(xué)出版社普通高校應(yīng)用型人才培養(yǎng)試用教材由前面章節(jié),我們發(fā)現(xiàn)線性方程組的解的情況與系數(shù)矩陣的行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)有關(guān),因此我們引入矩陣秩的概念,來描述方程組解的情況.

定義1

設(shè)A

是m×n

矩陣,經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣,則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是矩陣A

的秩,記作R(A).并規(guī)定零矩陣的秩等于0.設(shè)例1求矩陣A

及矩陣B=(A,b)的秩.

解對B

作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣,設(shè)B

的行階梯形矩陣為B1=(A1,b1),則A1

就是A

的行階梯形矩陣,故從B1=(A1,b1)中可同時看出R(A)及R(B).

因此,R(A)=2,R(B)=3.

定理1設(shè)A

是m×n

矩陣,增廣矩陣B=(A,b)則

(1)齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是R(A)<n,只有零解的充要條件是R(A)=n.

(2)非齊次線性方程組Ax=b有解的充要條件是R(A)=R(B),且當R(A)=R(B)=n

時方程組有唯一解,當R(A)=R(B)=r<n

時方程組有無窮個解.

注意:由第4章可知,向量組a1,a2…an

的線性相關(guān)性決定于齊次線性方程組(a1,a2,…,an)x=0是否有非零解,由定理1可得,當R(a1,a2,…,an)=n

時,a1,a2,…,an

線性無關(guān);當R(a1,a2,…,an)<n

時,a1,a2,…,an

線性相關(guān).在這里,介紹矩陣秩的一些常用性質(zhì):注意:若n

階方陣A滿足R(A)=n,則A≠0,此時也稱A

為滿秩方陣;另外,若矩陣A

的秩等于它的行數(shù),則稱矩陣A

為行滿秩矩陣;若矩陣A

的秩等于它的列數(shù),則稱矩陣A

為列滿秩矩陣.A組

答案1.求下列矩陣的秩.(1)3;(2)3;(3)3A組2.求矩陣A

和B

的秩,其中

答案R(A)=2,R(B)=3A組3.設(shè)

答案a=5,b=1已知R(A)=2,求a

與b

的值.B組

答案(1)k=1,R(A)=1;(2)k=-2,R(A)=2;(3)k≠1,k≠-2,R(A)=3B組

答案a=-3B組

答案提示:利用A(B-C)=O及秩的性質(zhì)設(shè)有齊次線性方程組記則齊次線性方程組(1)可寫成向量方程稱為齊次線性方程組(1)的解向量,它也就是向量方程(2)的解.例１求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解對系數(shù)矩陣A作初等行變換,變?yōu)樾凶詈喰尉仃?有得由上述例子,我們不加證明地給出下面的定理:定理1

設(shè)A

是m×n

矩陣,且R(A)=r,則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S

的秩R(S)=n-r.通解為A組1.求齊次線性方程組答案的基礎(chǔ)解系與通解.A組2.求齊次線性方程組

答案的基礎(chǔ)解系與通解.B組

答案1.設(shè)A

為四階矩陣,R(A)=3,且A

的每行元素之和為0,求方程組Ax=0的通解.B組

答案2.設(shè)A=

,且Ax=0的基礎(chǔ)解系含有兩個線性無關(guān)的解向量,求Ax=0的通解.B組3.已知方程組有非零解,求常數(shù)a,并求該方程組的通解.

答案B組4.證明:設(shè)A、B

均為n

階非零矩陣,若B

的每一列是齊次線性方程組Ax=0的解,則|A|=0,|B|=0.

答案提示:利用矩陣秩的性質(zhì):若Am×nBn×l=O,則R(A)+R(B)≤n設(shè)有非齊次線性方程組記則非齊次線性方程組(1)可寫成向量方程

性質(zhì)1若x=η1,x=η2

為非齊次線性方程組(1)的解,則x=η1-η2

為對應(yīng)的齊次線性方程組的解.

證明A(η1-η2)=Aη1-Aη2=b-b=0,即x=η1-η2

滿足齊次線性方程組(3).

證明A(ξ+η)=Aξ+Aη=0+b=b,即x=ξ+η

滿足非齊次線性方程組(1).由性質(zhì)2,我們推出如下定理:性質(zhì)2

若x=ξ

為非齊次線性方程組(1)的解,x=η

為對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的解,則x=ξ+η仍是非齊次線性方程組(1)的解.定理1

非齊次線性方程組Ax=b

的通解等于其對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的通解加上它本身的一個特解.求解方程組例１

解對增廣矩陣B作初等行變換,變?yōu)樾凶詈喰尉仃?有得取x3=0,則x1=0,x2=4,即得方程組的一個解在對應(yīng)的齊次線性方程組中,取x3=1,則x1=-3,x2=-1,即得對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系于是所求通解為A組1.求解方程組答案A組2.求解方程組答案B組

1.討論k

取何值時,下列方程組無解、有解?有解時求出方程組的通解

答案B組

2.討論a

取何值時,下列方程組有無數(shù)個解,并求出方程組的通解

答案

答案a,b,c至少有兩個相等.有非零解,求a,b,c滿足的條件.

1.設(shè)齊次線性方