第一章 特殊平行四邊形 單元檢測(cè)2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

第一章特殊平行四邊形單元檢測(cè)一、單選題1．矩形，菱形，正方形都具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分C．對(duì)角線平分組對(duì)角 D．四個(gè)角都是直角2．如圖，在矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．3．如圖所示，將一矩形紙片沿AB折疊，已知，則（）A．48° B．66° C．72° D．78°4．如圖，已知菱形的周長(zhǎng)為8，若，則對(duì)角線的長(zhǎng)為（）A． B．3 C．4 D．5．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E為BC邊的中點(diǎn)則對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)P到E，C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為（）．A． B． C． D．6．如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，將折疊后得到，點(diǎn)在矩形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則折痕的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．7．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，連接EF．若EF=，BD=4，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．4 B．4 C．4 D．288．在四邊形中，給出下列四個(gè)條件：①四邊都相等，有一個(gè)內(nèi)角是直角；②四個(gè)內(nèi)角都相等，有一組鄰邊相等；③對(duì)角線互相垂直，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④對(duì)角線互相垂直平分且相等；其中能判定這個(gè)四邊形為正方形的所有條件分別為（）A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④9．如圖，已知線段AB，按下列步驟作圖：分別以A、B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN，交AB于點(diǎn)O，分別連接MA、MB、NA、NB，如果四邊形MANB是正方形，需要添加的條件是（）A．AO＝MO B．MA∥NB C．MA＝NB D．AB平分∠MAN10．如圖1，在菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)P沿從點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)距離為x，，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)y隨x變化的函數(shù)關(guān)系圖象，則圖2中最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)a的值為（）A． B． C． D．311．如圖，矩形的長(zhǎng)為6，寬為3，O為其對(duì)稱中心，過點(diǎn)O任畫一條直線，將矩形分成兩部分，則圖中陰影部分的面積為（）

A．9 B．18 C．12 D．1512．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，連接CE，則CE的長(zhǎng)為（）A．14 B．15 C．16 D．17二、填空題13．已知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為8cm和6cm，那么這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是cm；14．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，則圖中陰影部分的面積為．15．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，BO=DO，要使四邊形ABCD為矩形，則需添加的條件為（填一個(gè)即可）．16．如圖，已知，，以，為邊作矩形，將矩形翻折，使點(diǎn)與原點(diǎn)重合，折痕為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為．17．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6，線段在邊上左右滑動(dòng)，若，則的最小值為．三、解答題18．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，請(qǐng)你判定△BEF的形狀，并說明理由．19．已知，如圖所示的矩形中，，，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)D與B重合，折痕為，求的長(zhǎng)．20．如下圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)P是BC邊上的點(diǎn)，連結(jié)AP交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，連結(jié)EC.（1）求證：.（2）若，，求的度數(shù).21．如圖，已知四邊形是正方形，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，以為斜邊作直角三角形，又以為直角邊作等腰直角三角形，且，連接．

（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求點(diǎn)到的距離．22．課本第30頁介紹：美國總統(tǒng)伽菲爾德利用圖1驗(yàn)證了勾股定理，直線過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)研究圖形，不難發(fā)現(xiàn)：．（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰，，，C0,?1,A2,0，求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸，軸交于點(diǎn)，，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，請(qǐng)任選一種情況求的函數(shù)表達(dá)式；（3）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)A，作軸于點(diǎn)C，P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Qa,a+2位于第一象限（且在上方）．問點(diǎn)A，P，Q能否構(gòu)成以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若能，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是對(duì)角線互相平分.故答案為：B.【分析】利用矩形、菱形和正方形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】C【解析】【解答】解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E1，連接CE1交BD于點(diǎn)P1．∵BD所在直線是菱形ABCD的對(duì)稱軸，∴E1是邊AB的中點(diǎn)．∵PE+PC=PE1+PC≥CE1，∴等號(hào)在點(diǎn)P與P1重合時(shí)成立又∵∠ABC=60°，∴△ABC為正三角形，∴CE1=

【分析】此題為“將軍飲馬”題型，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，故點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E1恰好落在AB的中點(diǎn)處，連接CE1與BD的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)P處，此時(shí)PE+PC=PE1+PC=CE1最?。贿B接AC，因?yàn)椤螦BC=60°，且BA=BC，可知△ABC為正三角形，由“三線合一”可知，CE1垂直平分AB，所以CE1=.6．【答案】A7．【答案】C【解析】【解答】∵E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，

∴EF=AC，

又∵EF=

∴AC=2，

又∵四邊形ABCD是菱形，BD=4，

∴AC⊥BD，BO=2，AO=，

∴AB==，

∴C菱形ABCD=4.

故答案為：C.【分析】由三角形中位線定理得EF=AC，根據(jù)EF的值得AC=2，再由菱形性質(zhì)得AC⊥BD，根據(jù)勾股定理得AB=，再由菱形性質(zhì)得出其周長(zhǎng).8．【答案】C【解析】【解答】①四邊相等的四邊形是菱形，有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形，故符合題意；②四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故符合題意；③可得到該四邊形是菱形；④對(duì)角線互相垂直平分的是菱形，對(duì)角線相等的菱形是正方形，故符合題意；所以正確的有①②④，故答案為：C．【分析】根據(jù)正方形的判定定理逐一判斷條件是否成立.9．【答案】A【解析】【解答】解：由作圖方法得AM=BM=AN=BN，

∴四邊形AMBN為菱形，

∴OM=ON，OA=OB，

∴當(dāng)OA=OM時(shí)，可得AB=MN，

∴四邊形AMNB為正方形.故答案為：A.【分析】利用作圖方法得到AM=BM=AN=BN，從而可判斷四邊形AMBN為菱形，得到OM=ON，OA=OB，然后當(dāng)OA=OM時(shí)可得對(duì)角線相等，根據(jù)正方形的判定方法即可求解.10．【答案】C11．【答案】A【解析】【分析】矩形是中心對(duì)稱圖形．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)易知陰影面積是矩形面積的一半．【解答】因?yàn)镺為矩形的對(duì)稱中心，則陰影部分的面積等于矩形面積的一半．

因?yàn)榫匦蔚拿娣e為18，所以其面積為9．

故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)矩形的性質(zhì)的運(yùn)用．12．【答案】D【解析】【解答】解：過E作EF⊥AC，交CA的延長(zhǎng)線于F，∵四邊形ABDE為正方形，∴∠BAE=90°，AE=AB，∵∠EAF+∠AEF=90°，∠EAF+∠BAC=90°，∴∠AEF=∠BAC，在△AEF和△BAC中，，∴△AEF≌△BAC（AAS），∴EF=AC=8，AF=BC=7，在Rt△ECF中，EF=8，F(xiàn)C=FA+AC=8+7=15，根據(jù)勾股定理得：．故答案為：D．

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及同角的余角相等，即可得到△AEF≌△BAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理計(jì)算得到EC的長(zhǎng)度即可。13．【答案】20【解析】【解答】由題意畫出圖形可知：，∵四邊形是菱形∴，，∴在中，∴菱形的周長(zhǎng)為：故答案為20

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)求出菱形的邊長(zhǎng)，再利用菱形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可。14．【答案】815．【答案】∠DAB=90°【解析】【解答】解：可以添加條件∠DAB=90°，∵AO=CO，BO=DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠DAB=90°，∴四邊形ABCD是矩形，故答案為：∠DAB=90°．

【分析】根據(jù)AO=CO，BO=DO可知四邊形ABCD是平行四邊形，故只需該平行四邊形中有一個(gè)直角或角平分線相等即AC=BD.16．【答案】；17．【答案】13【解析】【解答】解：在AD上截取DH=EF=1，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'H交BC于點(diǎn)E，在EC上截取EF=1，則AE+DF的值最小，

∵DH=EF=1，DH∥EF，

∴四邊形EFDH是平行四邊形，

∴DF=EH，

由對(duì)稱性知：AE=A'E，

∴AE+DF=A'E+EH=A'H，即AE+DF的最小值為A'H的長(zhǎng)，

∵正方形的邊長(zhǎng)為6，DH=1，

∴A'A=2AB=12，AH=5，

∴A'H==13，

即得AE+DF的最小值為13，

故答案為：13.【分析】在AD上截取DH=EF=1，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'H交BC于點(diǎn)E，在EC上截取EF=1，則AE+DF的值最小，其最小值為A'H的長(zhǎng)，利用勾股定理求解即可.18．【答案】解：∵△BEF是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝DC＝BC＝4，DE＝4﹣2＝2，CF＝4﹣1＝3，∵由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2＝42+22＝20，EF2＝DE2+DF2＝22+12＝5，BF2＝BC2+CF2＝42+32＝25，∴BE2+EF2＝BF2，∴∠BEF＝90°，即△BEF是直角三角形．【解析】【分析】利用正方形的性質(zhì)和勾股定理先分別求出BE2、EF2、BF2的值，然后利用勾股定理得逆定理判定△BEF的形狀即可.19．【答案】長(zhǎng)20．【答案】（1）證明：（2）解：設(shè)，則

由得，解得

即21．【答案】（1）解：四邊形是正方形，

，，

，

，

，

在和中，

，

≌，

；（2）解：由知≌，

，

又都是的余角，

，

；（3