人教A版必修一課件第一章集合與函數(shù)概念1.3.2第1課時

第1課時奇偶性的概念第一章

奇偶性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)奇偶性的定義.2.掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法.3.會應(yīng)用奇、偶函數(shù)圖象的對稱性解決簡單問題.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考

知識點一函數(shù)奇偶性的幾何特征下列函數(shù)圖象中，關(guān)于y軸對稱的有哪些？關(guān)于原點對稱的呢？答案答案①②關(guān)于y軸對稱，③④關(guān)于原點對稱.一般地，圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)稱為

函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)稱為

函數(shù).梳理奇偶思考1

知識點二函數(shù)奇偶性的定義為什么不直接用圖象關(guān)于y軸(原點)對稱來定義函數(shù)的奇偶性？答案答案因為很多函數(shù)圖象我們不知道，即使畫出來，細微之處是否對稱也難以精確判斷.思考2

利用點對稱來刻畫圖象對稱有什么好處？答案答案好處有兩點：(1)等價：只要所有點均關(guān)于y軸(原點)對稱，則圖象關(guān)于y軸(原點)對稱，反之亦然.(2)可操作：要判斷點是否關(guān)于y軸(原點)對稱，只要代入解析式驗證即可，不知道函數(shù)圖象也能操作.梳理函數(shù)奇偶性的概念：(1)偶函數(shù)：如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)

一個x，都有

，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).其實質(zhì)是函數(shù)f(x)上任一點(x，f(x))關(guān)于y軸的對稱點(－x，f(x))也在f(x)圖象上.(2)奇函數(shù)：如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)

一個x，都有

，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).其實質(zhì)是函數(shù)f(x)上任一點(x，f(x))關(guān)于原點的對稱點(－x，－f(x))也在f(x)圖象上.f(－x)＝f(x)任意f(－x)＝－f(x)任意思考

知識點三奇(偶)函數(shù)的定義域特征如果一個函數(shù)f(x)的定義域是(－1,1]，那么這個函數(shù)f(x)還具有奇偶性嗎？答案答案由函數(shù)奇偶性定義，對于定義域內(nèi)任一元素x，其相反數(shù)－x必須也在定義域內(nèi)，才能進一步判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系.而本問題中，1∈(－1,1]，－1?(－1,1]，f(－1)無定義，自然也談不上是否與f(1)相等了.所以該函數(shù)既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù).一般地，判斷函數(shù)奇偶性要注意定義域優(yōu)先原則，即首先要看定義域是否關(guān)于

對稱.原點梳理題型探究命題角度1已知函數(shù)解析式，證明奇偶性證明類型一證明函數(shù)的奇偶性證明因為它的定義域為{x|x∈R且x≠1}，所以對于定義域內(nèi)的－1，其相反數(shù)1不在定義域內(nèi)，(2)證明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函數(shù)；證明證明函數(shù)的定義域為R，因函數(shù)f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函數(shù)為偶函數(shù).(3)證明f(x)＝

既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).證明證明定義域為{－1,1}，因為對定義域內(nèi)的每一個x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，即該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).利用定義法判斷函數(shù)是否具有奇偶性時，首先應(yīng)看函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱，即對于定義域內(nèi)的任意一個x，則－x也一定屬于定義域.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

(1)證明f(x)＝(x－2)

既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)；證明證明由

≥0，得定義域為[－2,2)，關(guān)于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).(2)證明f(x)＝x|x|是奇函數(shù).證明證明函數(shù)的定義域為R，因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù).命題角度2證明分段函數(shù)的奇偶性例2

判斷函數(shù)f(x)＝

的奇偶性.解答解由題意可知f(x)的定義域為(－6，－1]∪[1,6)，關(guān)于原點對稱，當(dāng)x∈(－6，－1]時，－x∈[1,6)，所以f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)；當(dāng)x∈[1,6)時，－x∈(－6，－1]，所以f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x).綜上可知對于任意的x∈(－6，－1]∪[1,6)，都有f(－x)＝f(x)，分段函數(shù)也是函數(shù)，證明奇偶性也是抓住兩點：(1)定義域是否關(guān)于原點對稱；(2)對于定義域內(nèi)的任意x，是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))，只不過對于不同的x，f(x)有不同的表達式，要逐段驗證是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x)).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

證明f(x)＝

是奇函數(shù).證明證明定義域為{x|x≠0}.若x<0，則－x>0，∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，∴f(－x)＝－f(x)；若x>0，則－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，∴f(－x)＝－f(x)；即對任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x).∴f(x)為奇函數(shù).命題角度3證明抽象函數(shù)的奇偶性例3

f(x)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，試判斷y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性.解答解∵f(x)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函數(shù).f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函數(shù).f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函數(shù).利用基本的奇(偶)函數(shù)，通過加減乘除、復(fù)合，可以得到新的函數(shù)，判斷這些新函數(shù)的奇偶性，主要是代入－x，看總的結(jié)果.反思與感悟

跟蹤訓(xùn)練3

設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)答案解析解析A：令h(x)＝f(x)·g(x)，則h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，A錯.B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，則h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函數(shù)，B錯.C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，則h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，C正確.D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，則h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函數(shù)，D錯.命題角度1奇(偶)函數(shù)圖象的對稱性的應(yīng)用例4

定義在R上的奇函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的圖象如圖所示.類型二奇偶性的應(yīng)用解答(1)畫出f(x)的圖象；解先描出(1,1)，(2,0)關(guān)于原點的對稱點(－1，－1)，(－2,0)，連線可得f(x)的圖象如圖.(2)解不等式xf(x)>0.解答解xf(x)>0即圖象上橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)同號.結(jié)合圖象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).引申探究把例4中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，重做該題.解答解(1)f(x)的圖象如圖所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2).鑒于奇(偶)函數(shù)圖象關(guān)于原點(y軸)對稱，可以用這一特性去畫圖，求值，求解析式，研究單調(diào)性.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練4

已知奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示.解答(1)畫出在區(qū)間[－5,0]上的圖象；解如圖，在[0,5]上的圖象上選取5個關(guān)鍵點O，A，B，C，D.分別描出它們關(guān)于原點的對稱點O′，A′，B′，C′，D′，再用光滑曲線連接即得.(2)寫出使f(x)<0的x的取值集合.解答解由(1)圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)x∈(－2,0)∪(2,5)時，f(x)<0.∴使f(x)<0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,5).命題角度2利用函數(shù)奇偶性的定義求值例5

若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域為[a－1,2a]，則a＝____，b＝____.答案解析解析因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以a－1＝－2a，0又f(x)為偶函數(shù)，函數(shù)奇偶性的定義有兩處常用：①定義域關(guān)于原點對稱；②對定義域內(nèi)任意x，恒有f(－x)＝f(x)(或－f(x))成立，常用這一特點得一個恒成立的等式，或?qū)ζ渲械膞進行賦值.反思與感悟答案解析0當(dāng)a＝－1，b＝1時，經(jīng)檢驗知f(x)為奇函數(shù)，故a＋b＝0.當(dāng)堂訓(xùn)練1.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是A.f(x)＝x－1B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝2x－2－xD.f(x)＝2x＋2－x√答案23451解析解析D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù).2.函數(shù)f(x)＝x(－1<x≤1)的奇偶性是A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)

D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案√234513.已知函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，且f(2)＝1，則f(－2)等于A.－1 B.1C.－5 D.5答案√23451解析解析函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，∴x＝±2時函數(shù)值相等.∴f(－2)－2＝f(2)＋