必修二課件第一章立體幾何初步1.2.2-1

空間兩條直線的位置關系第1章

1.2

點、線、面之間的位置關系學習目標1.了解兩條直線的三種位置關系.2.理解異面直線的定義及判定，能判斷兩條直線是不是異面直線.3.理解公理4和等角定理，并會用公理4證明線線平行.4.理解異面直線所成的角的概念.題型探究問題導學內(nèi)容索引當堂訓練問題導學思考

知識點一空間兩條直線的位置關系在同一平面內(nèi)，兩條直線有幾種位置關系？觀察下面兩個圖形，你能找出既不平行又不相交的兩條直線嗎？答案答案平行與相交.教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側所在的直線；六角螺母中直線AB與CD.梳理位置關系共面情況公共點個數(shù)相交直線在

平面內(nèi)有且只有

個平行直線在

平面內(nèi)沒有異面直線不同在

平面內(nèi)沒有同一一同一任何一個思考

知識點二異面直線的判斷分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎？答案答案不一定，可能平行、相交或異面.梳理判斷異面直線的方法方法內(nèi)容定義法不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線定理法

過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)

過該點的直線是異面直線反證法

判定兩條直線既不平行也不相交，那么這兩條直線就是

異面直線思考

知識點三平行公理(公理4)在平面內(nèi)有直線a，b，c，若a∥b，b∥c，則a∥c，該結論在空間中是否成立？答案答案成立.梳理平行公理(1)文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.思考1

知識點四等角定理及異面直線所成的角觀察圖象，在長方體ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC與∠A′D′C′，∠ADC與∠D′A′B′的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關系如何？答案從圖中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.答案思考2

在長方體A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，則“直線BC1與直線BC所成的角”與“直線AD1與直線BC所成的角”是否相等？答案相等.答案梳理(1)等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別

并且方向

，那么這兩個角

.(2)異面直線所成的角定義前提兩條異面直線a，b作法經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b結論

我們把a′和b′所成的

叫做異面

直線a，b所成的角范圍記異面直線a與b所成的角為θ，則______________特殊情況當θ＝

時，異面直線a，b互相垂直，記作____平行相同相等銳角(或直角)90°0°<θ≤90°a⊥b題型探究例1

如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點.求證：類型一公理4與等角定理的應用證明(1)四邊形MNA1C1是梯形；證明如圖

，連結AC，在△ACD中，∵M，N分別是CD，AD的中點，∴MN是△ACD的中位線，由正方體的性質(zhì)，得AC∥A1C1，AC＝A1C1.即MN≠A1C1，∴四邊形MNA1C1是梯形.(2)∠DNM＝∠D1A1C1.證明證明由(1)可知，MN∥A1C1.又ND∥A1D1，且∠DNM與∠D1A1C1的兩邊的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.(1)空間兩條直線平行的證明①定義法：即證明兩條直線在同一平面內(nèi)且兩直線沒有公共點.②利用公理4找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.(2)等角定理的結論是相等，在實際應用時，一般是借助于圖形判斷兩角的兩邊方向是否相同.反思與感悟跟蹤訓練1

如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點.求證：證明(1)四邊形BB1M1M為平行四邊形；證明在正方形ADD1A1中，M，M1分別為AD，A1D1的中點，∴A1M1綊AM，∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形.(2)∠BMC＝∠B1M1C1.證明證明由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1∥CM.由平面幾何知識可知，∠BMC和∠B1M1C1都是銳角.∴∠BMC＝∠B1M1C1.例2

(1)在四棱錐P—ABCD中，各棱所在的直線互為異面的有______對.類型二異面直線的判斷8解析與AB異面的有側棱PD和PC，同理，與底面的各條邊異面的都有兩條側棱，故共有異面直線4×2＝8(對).答案解析(2)如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？分別是哪幾對？解答解三對，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.還原的正方體如圖所示.判定異面直線的方法(1)定義法：利用異面直線的定義，說明兩條直線不平行，也不相交，即不可能同在同一個平面內(nèi).(2)利用異面直線的判定定理.(3)反證法：假設兩條直線不是異面直線，根據(jù)空間兩條直線的位置關系，這兩條直線一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.反思與感悟跟蹤訓練2

如圖所示，在三棱錐A—BCD中，E，F(xiàn)是棱AD上異于A，D的不同兩點，G，H是棱BC上異于B，C的不同兩點，給出下列說法：①AB與CD互為異面直線；②FH分別與DC，DB互為異面直線；③EG與FH互為異面直線；④EG與AB互為異面直線.其中說法正確的是________.(填序號)答案解析①②③④解析因為直線DC?平面BCD，直線AB?平面BCD，點B?直線DC，所以由異面直線的判定定理可知，①正確；同理，②③④正確.當堂訓練1.若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是____________________.答案2341相交、解析解析異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明，異面直線a、b，直線c的位置可如圖所示.平行或異面52.下列四個結論中錯誤命題的個數(shù)是_____.(填序號)答案23412解析①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；②平行于同一直線的兩直線平行；③若直線a，b，c滿足a∥b，b⊥c，則a⊥c；④若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線.5解析①④均為錯誤命題.①可舉反例，如a、b、c三線兩兩垂直.2341④如圖甲，c、d與異面直線l1、l2交于四個點，此時c、d異面；當點A在直線l1上運動(其余三點不動)時，會出現(xiàn)點A與B重合的情形，如圖乙所示，此時c、d共面相交.53.在三棱錐的所有棱中，互為異面直線的有____對.答案23413解析如圖，在三棱錐A—BCD中，AB與CD異面，BC與AD異面，AC與BD異面，所以有3對異面直線.解析54.如圖所示，在三棱錐A—BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則當AC，BD滿足________時，四邊形EFGH為菱形；當AC，BD滿足___________________時，四邊形EFGH是正方形.答案2341解析AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD52341∴四邊形EFGH為平行四邊形，故當EF＝FG，即AC＝BD時，四邊形EFGH為菱形；當EF⊥FG且EF＝FG，即AC⊥BD且AC＝BD時，四邊形EFGH為正方形.5234155.如圖所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；證明23415證明如圖所示，連結EF，F(xiàn)G，GH，HE，在△ABD中，∵E，H分別是AB，AD的中點，∴EH綊FG，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面.23415(2)若AC⊥BD，求證：四邊形EFGH是矩形.證明由(1)知EH綊FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形.∵HG是△ADC的中位線，∴HG∥AC.又EH∥BD，AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四邊形EFGH為矩形.證明規(guī)律與方法1.判定兩直線的位置關系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義.很多情況下，定義就是一種常用的判定方法.對于異面直線的判斷，常用判定定理和反證法.2.在研究異面直