二元一次方程組全章復(fù)習(xí)與鞏固基礎(chǔ)知識講解

《二元一次方程組》全章復(fù)習(xí)與穩(wěn)固（根底）學(xué)問講解撰稿：吳婷婷責(zé)編：常春芳【學(xué)習(xí)目的】1.理解二元一次方程（組）的有關(guān)概念，會解簡潔的（數(shù)字系數(shù)）；能依據(jù)詳細(xì)問題中的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組解決簡潔的實際問題，并能檢驗解的合理性.2.二元一次方程組的圖像解法，初步體會方程與函數(shù)的關(guān)系.3.理解解二元一次方程組的“消元”思想，從而初步理解化“未知”為“已知”和化困難問題為簡潔問題的劃歸思想.【學(xué)問網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、二元一次方程組的相關(guān)概念1.二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數(shù)（和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.要點詮釋：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”（3）二元一次方程的左邊和右邊都必需是整式.2.二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.要點詮釋：二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式.3.二元一次方程組的定義定義：把具有一樣未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如，二元一次方程組.要點詮釋：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時為零）．（2）更一般地，假設(shè)兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，則它們組成一個二元一次方程組．（3）符號“”表示同時滿意，相當(dāng)于“且”的意思．4.二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點詮釋：（1）方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿意兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不愿定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特別狀況，如方程組無解，而方程組的解有多數(shù)個.要點二、二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元一次方程組的根本方法：代入消元法、加減消元法和圖像法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數(shù)比擬簡潔的方程進(jìn)展變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解.要點詮釋：(1)用代入法解二元一次方程組時，應(yīng)先視察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比擬簡潔或代入后化簡比擬簡潔的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；(3)要擅長分析方程的特點，找尋簡便的解法.如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或干脆將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，進(jìn)步運算速度及精確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①依據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式照舊成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)確定值相等的形式；②依據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比擬簡潔的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；⑤將兩個未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.要點詮釋：當(dāng)方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)確實定值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，用加減消元法較簡潔.（3）圖像法解二元一次方程組的一般過程：①把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式．②在直角坐標(biāo)系中畫出兩個一次函數(shù)的圖像，并標(biāo)出交點．③交點坐標(biāo)就是方程組的解．要點詮釋：二元一次方程組無解<=>一次函數(shù)的圖像平行（無交點）二元一次方程組有一解<=>一次函數(shù)的圖像相交（有一個交點）二元一次方程組有多數(shù)個解<=>一次函數(shù)的圖像重合（有多數(shù)個交點）利用圖像法求二元一次方程組的解是近似解，要得到精確解，一般還是用代入消元法和加減消元法解方程組.相反，求兩條直線的交點坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為求這兩條直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立的二元一次方程組的解.要點三、實際問題與二元一次方程組要點詮釋：（1）解實際應(yīng)用問題必需寫“答”，而且在寫答案前要依據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)當(dāng)舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)當(dāng)列出幾個方程并組成方程組.要點四、二元一次方程（組）與一次函數(shù)1.二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系（1）任何一個二元一次方程都可以變形為即為一個一次函數(shù)，所以每個二元一次方程都對應(yīng)一個一次函數(shù).（2）我們知道每個二元一次方程都有多數(shù)組解，例如：方程我們列舉出它的幾組整數(shù)解有，我們覺察以這些整數(shù)解為坐標(biāo)的點（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函數(shù)y＝的圖像上，反過來，在一次函數(shù)的圖像上任取一點，它的坐標(biāo)也相宜方程.要點詮釋：1.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點都在相應(yīng)的函數(shù)圖像上；2.一次函數(shù)圖像上的點的坐標(biāo)都相宜相應(yīng)的二元一次方程；3.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的全部點組成的圖像與相應(yīng)一次函數(shù)的圖像一樣.2.二元一次方程組與一次函數(shù)每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點的坐標(biāo).3.用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，再依據(jù)所給的條件確定表達(dá)式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得到函數(shù)表達(dá)式的方法，叫做待定系數(shù)法.利用待定系數(shù)法解決問題的步驟：1.確定所求問題含有待定系數(shù)解析式.

2.依據(jù)所給條件,列出一組含有待定系數(shù)的方程.

3.解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決.要點五、三元一次方程組1．定義：含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個一樣的未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.等都是三元一次方程組.要點詮釋：理解三元一次方程組的定義時，要留意以下幾點：（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；（2）假設(shè)三個一元一次方程合起來共有三個未知數(shù)，它們就能組成一個三元一次方程組.2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的根本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)，最終再求出另一個未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；（2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；（3）將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比擬簡潔的方程，得到一個一元一次方程；（4）解這個一元一次方程，求出最終一個未知數(shù)的值；（5）將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．要點詮釋：（1）有些特別的方程組可用特別的消元法，解題時要依據(jù)各方程特點尋求比擬簡潔的解法．（2）要檢驗求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個方程中，看每個方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．3.三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(或三個)未知數(shù)；（2）找出可以表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；（3）依據(jù)這些相等關(guān)系列出須要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個方程組，求出未知數(shù)的值；（5）寫出答案(包括單位名稱)．要點詮釋：(1)解實際應(yīng)用題必需寫“答”，而且在寫答案前要依據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)當(dāng)舍去．(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)留意單位是否統(tǒng)一．(3)一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個方程并組成方程組．【典型例題】類型一、二元一次方程組的相關(guān)概念1.下列方程組中，不是二元一次方程組的是（）.A.B.C.D.【思路點撥】利用二元一次方程組的定義一一進(jìn)展推斷.【答案】B.【解析】二元一次方程組中只含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的次數(shù)都是1，方程組中，可以整理為.【總結(jié)升華】精確理解二元一次方程組和二元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵.舉一反三：【高清課堂：二元一次方程組章節(jié)復(fù)習(xí)409413例1（2）】【變式】若是二元一次方程，則a=，b=．【答案】1,0．2.以為解的二元一次方程組是（）.A.B.C.D.【答案】C.【解析】通過視察四個選項可知，每個選項的第一個二元一次方程都是，第二個方程的左邊都是，而右邊不同，依據(jù)二元一次方程的解的意義可知，當(dāng)時，.【總結(jié)升華】不滿意或不全部滿意方程組中的各方程的選項都不是方程組的解.舉一反三：【變式】若是關(guān)于的方程的解，則.【答案】－1.類型二、二元一次方程組的解法3.解方程組【思路點撥】由于本題構(gòu)造比擬困難，不能干脆消元，應(yīng)先將方程組化為一般形式，再看如何消元，即用加減或代入消元法．【答案與解析】解：將原方程組化簡得①－②得：-3y＝3，得y＝-1，將y＝-1代入①中，x＝9-5＝4．故原方程組的解為．【總結(jié)升華】消元法是解方程組的根本方法，消元的目的是把多元一次方程組逐步轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而使問題獲解．舉一反三：【高清課堂：二元一次方程組章節(jié)復(fù)習(xí)409413例2（2）】【變式】已知方程組的解是二元一次方程m(x+1)=3(x-y)的一個解，則m=．【答案】3．類型三、實際問題與二元一次方程組4.2019以來，我國曾五次施行藥品降價，累計降價的總金額為269億元，五次藥品降價的份與相應(yīng)降價金額如下表所示，表中缺失了2019、2019相關(guān)數(shù)據(jù).已知2019藥品降價金額是2019藥品降價金額的6倍，結(jié)合表中的信息，求2019和2019的藥品降價金額.份220192019降價金額（億元）543540【思路點撥】本題的兩個相等關(guān)系為：（1）五的降價金額一共是269億元；（2）2019藥品降價金額＝6×2019的藥品降價金額.【答案與解析】解：設(shè)2019和2019藥品降價金額分別為億元、億元.依據(jù)題意，得，解方程組得.答：2019和2019的藥品降價金額分別為20億元和120億元.【總結(jié)升華】列方程(組)解實際問題的關(guān)鍵就是精確地找出等量關(guān)系，列方程(組)求解.舉一反三：【變式】(山東濟(jì)南)如圖所示，老師節(jié)駕臨 之際，群群所在的班級打算向每位辛勤工作的老師獻(xiàn)一束鮮花，每束由4支鮮花包裝而成，其中有象征母愛的康乃馨和象征敬重的水仙花兩種鮮花，同一種鮮花每支的價格一樣，請你依據(jù)第一、二束鮮花供應(yīng)的信息，求出第三束鮮花的價格．【答案】解：設(shè)康乃馨每支x元，水仙花每支y元．依據(jù)題意，可列方程組，解得．所以第三束鮮花的價格是x+3y＝5+3×4＝17(元)．答：第三束鮮花的價格是17元．類型四、二元一次方程（組）與一次函數(shù)5.已知如圖所示，直線L1，L2相交于A點，請依據(jù)圖象寫出以交點坐標(biāo)為解的二元一次方程組，并求出它的解．【思路點撥】由圖知：直線l1、l2相交于A點，則以兩個函數(shù)的解析式為方程組的二元一次方程組的解即為兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．【答案與解析】解：設(shè)直線l1的解析式是y=kx+b，已知直線l1經(jīng)過（1，3）和（0，4），依據(jù)題意，得：解得：則直線l1的函數(shù)解析式是y=-x+4；同理得直線l2的函數(shù)解析式是y=2x+1．

則所求的方程組是兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為（1，3），所以方程組的解為：【總結(jié)升華】一般地，每個二元一次方程組都對應(yīng)著兩個一次函數(shù)，也就是兩條直線．從“數(shù)”的角度看，解方程組就是求使兩個函數(shù)值相等的自變量的值以及此時的函數(shù)值．從“形”的角度看，解方程組就是相當(dāng)于確定兩條直線的交點坐標(biāo)．6.甲、乙兩列火車分別從A、B兩城同時勻速駛出，甲車開往B城，乙車開往A城．由于墨跡遮蓋，圖中供應(yīng)的只是兩車距B城的路程s甲（千米）、s乙（千米）與行駛時間t（時）的函數(shù)圖象的一局部．（1）乙車的速度為120千米/時；（2）分別求出s甲、s乙與t的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出t的取值范圍）；（3）求出兩城之間的路程，及t為何值時兩車相遇；（4）當(dāng)兩車相距300千米時，求t的值．【答案與解析】解：（1）120÷1=120千米/時，故答案為120；（2）設(shè)s甲與t的函數(shù)關(guān)系為s甲=k1t+b，∵圖象過點（3，60）與（1，420），∴，解得∴s甲與t的函數(shù)關(guān)系式為s甲=﹣180t+600．設(shè)s乙與t的函數(shù)關(guān)系式為s乙=k2t，∵圖象過點（1，120），∴k2=120．∴s乙與t的函數(shù)關(guān)系式為s乙=120t．（3）當(dāng)t=0，s甲=600，∴兩城之間的路程為600千米．∵s甲=s乙，即﹣180t+600=120t，解得t=2．∴當(dāng)t=2時，兩車相遇．（4）當(dāng)相遇前兩車相距3