北師大版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)強(qiáng)化提分系列專題2.3實(shí)數(shù)【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專題2.3實(shí)數(shù)【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1實(shí)數(shù)的概念理解】 1【題型2實(shí)數(shù)的運(yùn)算】 2【題型3估算無(wú)理數(shù)的大小】 2【題型4估算無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分或小數(shù)部分】 3【題型5實(shí)數(shù)與數(shù)軸】 4【題型6實(shí)數(shù)的大小比較】 5【題型7程序設(shè)計(jì)中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 5【題型8新定義中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 6【題型9實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】 7【題型10實(shí)數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探究】 8知識(shí)點(diǎn)1：實(shí)數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).常見(jiàn)類型：①特定結(jié)構(gòu)的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）．②含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．【題型1實(shí)數(shù)的概念理解】【例1】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期中）下列各數(shù)是無(wú)理數(shù)的是（

）A．0.101001 B．?2 C．π2 D．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·河南安陽(yáng)·期中）把下列各數(shù)的序號(hào)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：①?1112，②32，③1?4，④0，⑤?0.4，⑥3?125，⑦?π(1)整數(shù)集合：（

）(2)分?jǐn)?shù)集合：（

）(3)無(wú)理數(shù)集合：（

）【變式1-2】（23-24八年級(jí)·湖南衡陽(yáng)·期中）?13的絕對(duì)值是，5?26的相反數(shù)是【變式1-3】（23-24八年級(jí)·山東日照·期中）已知a，b都是有理數(shù)，且3?1a+2b=3+3，求A．1 B．2 C．3 D．4【題型2實(shí)數(shù)的運(yùn)算】【例2】（23-24八年級(jí)·四川瀘州·期中）計(jì)算：?1【變式2-1】（23-24八年級(jí)·新疆烏魯木齊·期中）計(jì)算：(1)9+(2)1?2【變式2-2】（23-24八年級(jí)·云南昭通·期中）計(jì)算：?1【變式2-3】（23-24八年級(jí)·甘肅平?jīng)觥て谥校┯?jì)算：(1)364(2)3?知識(shí)點(diǎn)2：估算法（1）若，則；（2）若，則；根據(jù)這兩個(gè)重要的關(guān)系，我們通?？梢哉揖嚯xa最近的兩個(gè)平方數(shù)和立方數(shù)，來(lái)估算和的大?。纾海瑒t；，則．常見(jiàn)實(shí)數(shù)的估算值：，，．【題型3估算無(wú)理數(shù)的大小】【例3】（23-24八年級(jí)·北京·期中）如圖，用邊長(zhǎng)為4的兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，則與大正方形的邊長(zhǎng)最接近的整數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3-1】（23-24八年級(jí)·四川成都·期中）估算9+11的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在哪兩個(gè)整數(shù)之間(A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7【變式3-2】（23-24八年級(jí)·四川成都·期末）在學(xué)習(xí)《估算》一課時(shí)，李老師設(shè)計(jì)了一個(gè)抽卡比大小的游戲，數(shù)值大的為贏家．小麗抽到的卡上寫(xiě)的是6?1，小穎抽到的卡上寫(xiě)的是2，那么贏家是【變式3-3】（23-24八年級(jí)·江蘇鹽城·期中）下面是小明探索2的近似值的過(guò)程：我們知道面積是2的正方形的邊長(zhǎng)是2，易知2>1．因此可設(shè)2由圖中面積計(jì)算，S另一方面由題意知S所以x略去x2，得方程2x+1=2解得x=0.5．即2≈1.5(1)仿照上述方法，探究5的近似值．（畫(huà)出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫(xiě)出求解過(guò)程）(2)結(jié)合上述具體實(shí)例，已知非負(fù)整數(shù)a、b、m，若a<m<a+1，且m=a2+b，請(qǐng)估算m【題型4估算無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分或小數(shù)部分】【例4】（23-24八年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí)）若a是90的整數(shù)部分，b是3的小數(shù)部分．則a+b?3+1的平方根是【變式4-1】（23-24八年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期中）已知m是6的整數(shù)部分，n是6的小數(shù)部分，則m?n的值為（

）A．?6 B．4?6 C．4+【變式4-2】（23-24八年級(jí)·江蘇·期中）若【x】表示實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分，<x>表示實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分，如【1】=1，【2】=1，<2>=2?1，則A．4?3 B．1?13 C．6?3【變式4-3】（23-24八年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期中）下面是小明在學(xué)習(xí)“無(wú)理數(shù)的估算”時(shí)做的學(xué)習(xí)筆記．無(wú)理數(shù)的估算大家知道3是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此3的小數(shù)部分我們不可能全部寫(xiě)出來(lái)，于是我用3?1來(lái)表示3事實(shí)上，我的表示方法是有道理的，因?yàn)?的整數(shù)部分是1，所以將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．例如：∵4<7∴7的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為7根據(jù)以上筆記內(nèi)容，請(qǐng)完成如下任務(wù)．(1)任務(wù)一：19的小數(shù)部分為_(kāi)_____．(2)任務(wù)二：a為5的小數(shù)部分，b為15的整數(shù)部分，請(qǐng)計(jì)算a+b?5(3)任務(wù)三：x+y=10+3，其中x是整數(shù)，且0<y<1，求2x?y【題型5實(shí)數(shù)與數(shù)軸】【例5】（23-24八年級(jí)·山東臨沂·期中）如圖，面積為7的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且點(diǎn)A表示的數(shù)為1，若點(diǎn)E在數(shù)軸上，（點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)）且AB=AE，則點(diǎn)E所表示的數(shù)為（

）

A．7 B．1+7 C．2+7 【變式5-1】（23-24八年級(jí)·北京·期中）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且滿足a+b<0,ab<0，則原點(diǎn)所在的位置有可能是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【變式5-2】（23-24八年級(jí)·遼寧大連·期中）如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為?1和3，AB=AC，則點(diǎn)C所表示的數(shù)為（

）A．?2?3 B．?1?3 C．?2+3【變式5-3】（23-24八年級(jí)·湖北恩施·期中）已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示：

(1)化簡(jiǎn)：a+b?b(2)若1+2a的平方根是±7，2a+b?4的立方根是?2，求【題型6實(shí)數(shù)的大小比較】【例6】（23-24八年級(jí)·河南鄭州·階段練習(xí)）實(shí)數(shù)?π3，?3和?A．?π3<?C．?3<?3【變式6-1】（23-24八年級(jí)·安徽·專題練習(xí)）1，?2，0，5這四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最大的數(shù)是（

）A．1 B．?2 C．0 D．5【變式6-2】（23-24八年級(jí)·河南平頂山·期中）通過(guò)估算3，11，326，的大小為：【變式6-3】（23-24八年級(jí)·貴州黔南·期中）數(shù)學(xué)課上，老師提出一個(gè)問(wèn)題，比較無(wú)理數(shù)的時(shí)，由于老師無(wú)法解決，你能幫老師解決這個(gè)問(wèn)題21?34與小明的方法：因?yàn)?1>4，所以21?33，所以21?3434小英的方法：21?34?34=21?64，因?yàn)?1<62=36(1)將上述材料補(bǔ)充完成；(2)請(qǐng)從小明和小英的方法中選擇一種比較17?12與【題型7程序設(shè)計(jì)中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】【例7】（23-24八年級(jí)·廣東陽(yáng)江·期中）如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，請(qǐng)根據(jù)其原理解決問(wèn)題：當(dāng)x為12時(shí)，求現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是．【變式8-1】（23-24八年級(jí)·四川達(dá)州·階段練習(xí)）用“@”表示一種新運(yùn)算；對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，b，都有a@b=b+1，如8@9=9+1，則【變式8-2】（23-24八年級(jí)·福建福州·期中）若實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=6，我們就說(shuō)a與b是關(guān)于6的“如意數(shù)”，則與3?2是關(guān)于6的“如意數(shù)”是（

A．3+2 B．3?2 C．9?2【變式8-3】（23-24八年級(jí)·山西呂梁·期中）用“?”表示一種新運(yùn)算：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a?b=a2+b，例如10?21=102+A．13 B．7 C．4 D．5【題型9實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（23-24八年級(jí)·福建莆田·期中）虹勝?gòu)V場(chǎng)要建一個(gè)占地面積4000平方米的花園，現(xiàn)有兩種方案：一種是建正方形花園，一種是建圓形花園，如果你是設(shè)計(jì)者，你能估算出兩種花園的圍墻有多長(zhǎng)嗎（誤差小于1米）？如果你是投資者，你會(huì)選擇哪種方案，為什么？【變式9-1】（23-24八年級(jí)·廣西玉林·期中）某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過(guò)100千米/時(shí)，當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過(guò)的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16df，其中v表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過(guò)的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測(cè)量d＝32米，f＝2，請(qǐng)你判斷一下，肇事汽車當(dāng)時(shí)是否超速了．【變式9-2】（23-24·湖南長(zhǎng)沙·一模）五一返校上課后，為了表?yè)P(yáng)在假期依舊認(rèn)真完成數(shù)學(xué)作業(yè)的小函和小韜同學(xué)，數(shù)學(xué)老師決定在某外賣(mài)平臺(tái)上點(diǎn)2杯單價(jià)都是16元的奶茶獎(jiǎng)勵(lì)他們．從奶茶店到學(xué)校的每份訂單配送費(fèi)都為1.6元，由于數(shù)學(xué)老師是該平臺(tái)的會(huì)員，因此每單都可以使用一個(gè)平臺(tái)贈(zèng)送的5元平臺(tái)紅包對(duì)每份訂單的總價(jià)減免5元（訂單總價(jià)不含配送費(fèi)，同一訂單只允許使用一個(gè)紅包）．但根據(jù)該奶茶店的優(yōu)惠活動(dòng)，當(dāng)訂單總價(jià)（不含配送費(fèi)）滿30元時(shí)，5元的平臺(tái)紅包可兌換為一個(gè)7元的店家紅包，即可以給訂單總價(jià)（不含配送費(fèi)）減免7元當(dāng)數(shù)學(xué)老師同時(shí)點(diǎn)了2杯奶茶準(zhǔn)備下單付款時(shí)，小函同學(xué)說(shuō)：“老師，我們可以換一種下單方式，優(yōu)惠更多！”請(qǐng)同學(xué)們分析小函同學(xué)的下單方式，并計(jì)算出本次外賣(mài)總費(fèi)用（包含配送費(fèi)）最低可為元．【變式9-3】（23-24八年級(jí)·安徽蚌埠·期中）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為2cm，寬為1（1）將長(zhǎng)方形ABCD進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指睿ó?huà)出分割線），使分割后的圖形能拼成一個(gè)正方形，并畫(huà)出所拼的正方形；（標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)和數(shù)據(jù)）（2）求所拼正方形的邊長(zhǎng)．【題型10實(shí)數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探究】【例10】（23-24·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于正整數(shù)a，我們規(guī)定：若a為奇數(shù)，則f(a)=3a+1：若a為偶數(shù)，則f(a)=a2，例如f(15)=3×15+1=46，f(10)=102=5，若a1=8，a2=f(a1)，a3=f(a2)，a4=f(a3)【變式10-1】（23-24八年級(jí)·廣東韶關(guān)·期中）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)3，72，113，154A．338 B．298 C．31【變式10-2】（23-24八年級(jí)·福建龍巖·期末）已知整數(shù)a1，a2，a3，a4，……滿足下列條件：a1=0，a2=?aA．?1013 B．?2023 C．?2024 D．?1012【變式10-3】（23-24八年級(jí)·河北承德·開(kāi)學(xué)考試）將1、2、3、6按如圖所示方式排列，若規(guī)定m,n（1）當(dāng)m=4，n=3時(shí)，m,n為；（2）則7,6表示的數(shù)是．專題2.3實(shí)數(shù)【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1實(shí)數(shù)的概念理解】 2【題型2實(shí)數(shù)的運(yùn)算】 4【題型3估算無(wú)理數(shù)的大小】 6【題型4估算無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分或小數(shù)部分】 9【題型5實(shí)數(shù)與數(shù)軸】 11【題型6實(shí)數(shù)的大小比較】 14【題型7程序設(shè)計(jì)中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 16【題型8新定義中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 19【題型9實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】 21【題型10實(shí)數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探究】 24知識(shí)點(diǎn)1：實(shí)數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).常見(jiàn)類型：①特定結(jié)構(gòu)的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）．②含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．【題型1實(shí)數(shù)的概念理解】【例1】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期中）下列各數(shù)是無(wú)理數(shù)的是（

）A．0.101001 B．?2 C．π2 D．【答案】C【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：A、0.101001是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；B、?2是整數(shù)，屬于有理數(shù)；C、π2D、9=3故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：π，2π等；開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·河南安陽(yáng)·期中）把下列各數(shù)的序號(hào)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：①?1112，②32，③1?4，④0，⑤?0.4，⑥3?125，⑦?π(1)整數(shù)集合：（

）(2)分?jǐn)?shù)集合：（

）(3)無(wú)理數(shù)集合：（

）【答案】(1)③④⑥(2)①⑨⑩(3)②⑤⑦⑧【分析】本題考查了有理數(shù)、實(shí)數(shù)和無(wú)理數(shù)的分類，熟練掌握無(wú)理數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)整數(shù)的定義作答即可；（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義作答即可；（3）根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義作答即可．【詳解】（1）解：③1?4=1?2=?1是整數(shù)，④0是整數(shù)，⑥整數(shù)集合：③④⑥故答案為：

③④⑥（2）①?1112是分?jǐn)?shù)，⑨0.23是分?jǐn)?shù)，⑩分?jǐn)?shù)集合：①⑨⑩故答案為：①⑨⑩（3）②32是無(wú)理數(shù)，⑤?0.4是無(wú)理數(shù)，⑦?π故答案為：②⑤⑦⑧【變式1-2】（23-24八年級(jí)·湖南衡陽(yáng)·期中）?13的絕對(duì)值是，5?26的相反數(shù)是【答案】13?5+【分析】本題是對(duì)絕對(duì)值和相反數(shù)知識(shí)的考查，熟練掌握實(shí)數(shù)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對(duì)值和相反數(shù)知識(shí)求解即可．【詳解】解：?13絕對(duì)值是135?26的相反數(shù)是：?故答案為：13；?5+【變式1-3】（23-24八年級(jí)·山東日照·期中）已知a，b都是有理數(shù)，且3?1a+2b=3+3，求A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查的是無(wú)理數(shù)的含義，二元一次方程組的解法，理解題意建立方程組解題是關(guān)鍵．由a，b都是有理數(shù)，且3?1【詳解】解：∵3?1∴3a+∵a，b都是有理數(shù)，∴a=1?a+2b=3解得a=1b=2則a+b=1+2=3．故選：D．【題型2實(shí)數(shù)的運(yùn)算】【例2】（23-24八年級(jí)·四川瀘州·期中）計(jì)算：?1【答案】0【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，原式第一項(xiàng)利用乘方的意義計(jì)算，第二項(xiàng)利用乘方的意義及乘法法則計(jì)算，第三項(xiàng)利用立方根定義及絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，最后一項(xiàng)利用除法法則變形計(jì)算即可得到結(jié)果，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【詳解】?=?1?=?1+1?1+1=0．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·新疆烏魯木齊·期中）計(jì)算：(1)9+(2)1?2【答案】(1)7(2)?1【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，主要涉及算術(shù)平方根、立方根、絕對(duì)值等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)是關(guān)鍵；（1）分別計(jì)算算術(shù)平方根、立方根及乘方，再相加減即可；（2）計(jì)算絕對(duì)值后，再化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）解：9=3+1?3+6=7；（2）解：1?==?1．【變式2-2】（23-24八年級(jí)·云南昭通·期中）計(jì)算：?1【答案】3【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．利用實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：?=?1+5?4×=?1+5?2?1+=3【變式2-3】（23-24八年級(jí)·甘肅平?jīng)觥て谥校┯?jì)算：(1)364(2)3?【答案】(1)0(2)1【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，結(jié)合算術(shù)平方根、立方根、乘方的知識(shí)，熟練掌握知識(shí)、正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算算術(shù)平方根，立方根，再加減計(jì)算即可；（2）先計(jì)算算術(shù)平方根，立方根，乘方，再加減計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式=4?6+2=0；（2）解：原式=?=?=1．知識(shí)點(diǎn)2：估算法（1）若，則；（2）若，則；根據(jù)這兩個(gè)重要的關(guān)系，我們通?？梢哉揖嚯xa最近的兩個(gè)平方數(shù)和立方數(shù)，來(lái)估算和的大小．例如：，則；，則．常見(jiàn)實(shí)數(shù)的估算值：，，．【題型3估算無(wú)理數(shù)的大小】【例3】（23-24八年級(jí)·北京·期中）如圖，用邊長(zhǎng)為4的兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，則與大正方形的邊長(zhǎng)最接近的整數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算、實(shí)數(shù)的大小比較法則，熟練掌握實(shí)數(shù)的大小比較法則是解題關(guān)鍵．先利用正方形的面積公式求出大正方形的邊長(zhǎng)，再利用無(wú)理數(shù)的估算、實(shí)數(shù)的大小比較法則即可得．【詳解】解：大正方形的邊長(zhǎng)為2×4×4=∵25<32<36，∴25<32又∵6?32=11?232=2×5.5?=2×30.25∴6?32∴與32最接近的整數(shù)是6，即大正方形的邊長(zhǎng)最接近的整數(shù)是6，故選：D．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·四川成都·期中）估算9+11的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在哪兩個(gè)整數(shù)之間(A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7【答案】D【分析】本題主要考查的是估算無(wú)理數(shù)的大小先利用夾逼法求得11的范圍，然后可求得9+【詳解】解：∵9<11<16，∴3<11<4，∵9=3∴6<9+11故選：D．【變式3-2】（23-24八年級(jí)·四川成都·期末）在學(xué)習(xí)《估算》一課時(shí)，李老師設(shè)計(jì)了一個(gè)抽卡比大小的游戲，數(shù)值大的為贏家．小麗抽到的卡上寫(xiě)的是6?1，小穎抽到的卡上寫(xiě)的是2，那么贏家是【答案】小穎【分析】估算出6的大小，繼而比較即可求解．【詳解】解：∵4<6<9，∴4∴2<6∴1<6∴贏家是小穎，故答案為：小穎．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，無(wú)理數(shù)的估算，估算出6的大小是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24八年級(jí)·江蘇鹽城·期中）下面是小明探索2的近似值的過(guò)程：我們知道面積是2的正方形的邊長(zhǎng)是2，易知2>1．因此可設(shè)2由圖中面積計(jì)算，S另一方面由題意知S所以x略去x2，得方程2x+1=2解得x=0.5．即2≈1.5(1)仿照上述方法，探究5的近似值．（畫(huà)出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫(xiě)出求解過(guò)程）(2)結(jié)合上述具體實(shí)例，已知非負(fù)整數(shù)a、b、m，若a<m<a+1，且m=a2+b，請(qǐng)估算m【答案】(1)2.25，見(jiàn)解析(2)a+【分析】（1）參照題目的過(guò)程解題即可．（2）把條件的過(guò)程中的數(shù)字換成對(duì)應(yīng)的字母解題即可．【詳解】（1）解：面積是5的正方形的邊長(zhǎng)是5，設(shè)5=2+x∵S正方形而S正方形∴x2略去x2，得方程4x+4=5，解得x=0.25即5≈2.25（2）解：設(shè)m=a+x∴m=a∵m=a∴a2解得x=b∴m=a+故答案為：a+b【點(diǎn)睛】本題主要考查用幾何方法求無(wú)理數(shù)的近似值，能夠讀懂題意是解題關(guān)鍵．【題型4估算無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分或小數(shù)部分】【例4】（23-24八年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí)）若a是90的整數(shù)部分，b是3的小數(shù)部分．則a+b?3+1的平方根是【答案】±3/3和?3/?3和3【分析】根據(jù)92<90<102可得9<90【詳解】解：∵92<90<∴9<90<10，∴90的整數(shù)部分是9，則a=9，3的小數(shù)部分是3?1，則b=∴a+b?3∴9的平方根為±3．故答案為：±3．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的估算、實(shí)數(shù)的運(yùn)算、平方根的定義，掌握實(shí)數(shù)估算的方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（23-24八年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期中）已知m是6的整數(shù)部分，n是6的小數(shù)部分，則m?n的值為（

）A．?6 B．4?6 C．4+【答案】B【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，先估算出2<6<3，進(jìn)而得到【詳解】解：∵4<6<9，∴2<6∵m是6的整數(shù)部分，n是6的小數(shù)部分，∴m=2，∴m?n=2?6故選：A．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·江蘇·期中）若【x】表示實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分，<x>表示實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分，如【1】=1，【2】=1，<2>=2?1，則A．4?3 B．1?13 C．6?3【答案】A【分析】估算出3?3的小數(shù)部分和7【詳解】解：∵1<3∴?2<?3∴3?2<3?3<3?1，即∴<3?3∵4<7<9，∴2<7∴【7】=2，∴<3?3>+【7】故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握無(wú)理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期中）下面是小明在學(xué)習(xí)“無(wú)理數(shù)的估算”時(shí)做的學(xué)習(xí)筆記．無(wú)理數(shù)的估算大家知道3是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此3的小數(shù)部分我們不可能全部寫(xiě)出來(lái)，于是我用3?1來(lái)表示3事實(shí)上，我的表示方法是有道理的，因?yàn)?的整數(shù)部分是1，所以將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．例如：∵4<7∴7的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為7根據(jù)以上筆記內(nèi)容，請(qǐng)完成如下任務(wù)．(1)任務(wù)一：19的小數(shù)部分為_(kāi)_____．(2)任務(wù)二：a為5的小數(shù)部分，b為15的整數(shù)部分，請(qǐng)計(jì)算a+b?5(3)任務(wù)三：x+y=10+3，其中x是整數(shù)，且0<y<1，求2x?y【答案】(1)19(2)a+b?(3)2x?y的相反數(shù)是?23+【分析】本題考查估算無(wú)理數(shù)的大小，相反數(shù)的定義，代數(shù)式求值，熟練掌握無(wú)理數(shù)的估算方法是解題關(guān)鍵．（1）估算無(wú)理數(shù)19的大小即可確定整數(shù)部分和小數(shù)部分；（2）估算無(wú)理數(shù)5，13的大小，確定a、b的值，再代入計(jì)算即可；（3）估算無(wú)理數(shù)3的大小，求出x、y的值，再代入計(jì)算，求出相反數(shù)即可．【詳解】（1）解：∵16<即4<19∴19的整數(shù)部分為4，小數(shù)部分為19故答案為：19?4（2）∵4<5<∴5的小數(shù)部分a=∵9<即3<1313的整數(shù)部分b=3，∴a+b?5（3）∵1即1<3∴3的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為3∴10+3又∵x+y=10+3∴11+3∵x是整數(shù)，且0<y<1，∴x=11，∴2x?y=11×2?3∴2x?y的相反數(shù)?23+3【題型5實(shí)數(shù)與數(shù)軸】【例5】（23-24八年級(jí)·山東臨沂·期中）如圖，面積為7的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且點(diǎn)A表示的數(shù)為1，若點(diǎn)E在數(shù)軸上，（點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)）且AB=AE，則點(diǎn)E所表示的數(shù)為（

）

A．7 B．1+7 C．2+7 【答案】B【分析】本題考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)、算術(shù)平方根的應(yīng)用，關(guān)鍵是結(jié)合題意求出AB=AE=7由題意可知，面積為7的正方形ABCD邊長(zhǎng)為7，所以AB=7，而AB=AE，得AE=7，A點(diǎn)的坐標(biāo)為1，故E點(diǎn)的坐標(biāo)為【詳解】∵面積為7的正方形ABCD為7，∴AB=7∵AB=AE，∴AE=7∵A點(diǎn)表示的數(shù)為1，∴E點(diǎn)表示的數(shù)為1+7故選：A．【變式5-1】（23-24八年級(jí)·北京·期中）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且滿足a+b<0,ab<0，則原點(diǎn)所在的位置有可能是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】C【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，能夠根據(jù)題意分析出a與b的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)ab<0可以得出a與b異號(hào)，再根據(jù)a+b<0可以得出負(fù)數(shù)的絕對(duì)值大于正數(shù)的絕對(duì)值，然后根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)進(jìn)行解題即可．【詳解】解：∵ab<0，∴a與b異號(hào)，由數(shù)軸上觀察可知：a<b,∴a<0，又∵a+b<0，∴負(fù)數(shù)的絕對(duì)值大于正數(shù)的絕對(duì)值，∴C點(diǎn)由可能是原點(diǎn)．故選：D．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·遼寧大連·期中）如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為?1和3，AB=AC，則點(diǎn)C所表示的數(shù)為（

）A．?2?3 B．?1?3 C．?2+3【答案】A【分析】本題主要考查了求數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離．由于A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為?1和3，先根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)可以求出OC的長(zhǎng)度，根據(jù)C在原點(diǎn)的左側(cè)，進(jìn)而可求出C的坐標(biāo)．【詳解】解：∵對(duì)稱的兩點(diǎn)到對(duì)稱中心的距離相等，∴CA=AB，?1+∴OC=2+3，而C∴C表示的數(shù)為：?2?3故選：A．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·湖北恩施·期中）已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示：

(1)化簡(jiǎn)：a+b?b(2)若1+2a的平方根是±7，2a+b?4的立方根是?2，求【答案】(1)3a(2)a+2b算術(shù)平方根為1【分析】本題考查了通過(guò)數(shù)軸判斷實(shí)數(shù)的大小，平方根，立方根，算術(shù)平方根的定義，熟練掌握平方根，立方根，算術(shù)平方根的定義是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸判斷出a<0<b，再根據(jù)算術(shù)平方根，立方根的定義進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)題意可以求出a，b的值，再代入求出最后結(jié)果．【詳解】（1）解：由數(shù)軸可知：a<0<b，∴a+b?b=a+b?b+2a，=3a；（2）∵若1+2a的平方根是±∴1+2a解得：a=±3．因?yàn)?，a<0，所以，a=?3，又∵2a+b?4的立方根是?2，∴2a+b?4=?8，即?6+b?4=?8，解得：b=2，∴a+2b=即，a+2b算術(shù)平方根為1．【題型6實(shí)數(shù)的大小比較】【例6】（23-24八年級(jí)·河南鄭州·階段練習(xí)）實(shí)數(shù)?π3，?3和?A．?π3<?C．?3<?3【答案】C【分析】本題考查了比較實(shí)數(shù)的大小，無(wú)理數(shù)的估算等知識(shí)．先估算出π3≈1.05，3≈1.732，即可得到3【詳解】解：∵π≈3.14，∴π3∵3≈1.732∴3>∴?3故選：D【變式6-1】（23-24八年級(jí)·安徽·專題練習(xí)）1，?2，0，5這四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最大的數(shù)是（

）A．1 B．?2 C．0 D．5【答案】D【分析】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較、絕對(duì)值、算術(shù)平方根等知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．先求出各數(shù)的絕對(duì)值，然后再進(jìn)行比較即可解答．【詳解】解：|1|=1，|?2|=2，|0|=0，|5∵2.236>2>1>0，∴1，?2，0，5這四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最大的數(shù)是5，故選：D．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·河南平頂山·期中）通過(guò)估算3，11，326，的大小為：【答案】326＜3＜11【分析】先估算出11和326【詳解】∵32∴3＜11＜4，2＜326∴326＜3＜11故答案為：326＜3＜11【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的大小比較，估算一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根和立方根，是解題的關(guān)鍵.【變式6-3】（23-24八年級(jí)·貴州黔南·期中）數(shù)學(xué)課上，老師提出一個(gè)問(wèn)題，比較無(wú)理數(shù)的時(shí)，由于老師無(wú)法解決，你能幫老師解決這個(gè)問(wèn)題21?34與小明的方法：因?yàn)?1>4，所以21?33，所以21?3434小英的方法：21?34?34=21?64，因?yàn)?1<62=36(1)將上述材料補(bǔ)充完成；(2)請(qǐng)從小明和小英的方法中選擇一種比較17?12與【答案】(1)<,<,<,<(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查實(shí)數(shù)比大小，熟練掌握無(wú)理數(shù)之間比大小是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意把無(wú)理數(shù)變成有理數(shù)再比大小，即可得到答案．【詳解】（1）解：小明的方法：∵21>4∴21?3<3∴21?3小英的方法：21?3∵21<6∴21?6<0∴21?3故答案為：<,<,<,<．（2）解：選小明的方法：∵17>4∴17?1>1∴17?1選小英的方法：17?1∵17>4，∴17>2∴17?2>0∴17?2∴17?1【題型7程序設(shè)計(jì)中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】【例7】（23-24八年級(jí)·廣東陽(yáng)江·期中）如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，請(qǐng)根據(jù)其原理解決問(wèn)題：當(dāng)x為12時(shí)，求y的值，并寫(xiě)出詳細(xì)過(guò)程．【答案】y=11【分析】本題主要考查了有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的分類、實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及流程圖，掌握有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的分類以及讀懂流程圖是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：把x=12代入數(shù)值轉(zhuǎn)換器，第一次計(jì)算可得12×2+1=把x=5代入數(shù)值轉(zhuǎn)換器，第二次計(jì)算可得5×2+1=則輸出y=11【變式7-1】（23-24八年級(jí)·山西太原·階段練習(xí)）根據(jù)如圖所示的計(jì)算程序，若開(kāi)始輸入x的值為?2，則輸出yA．?2?5 B．1 C．?1【答案】D【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，先求出?2【詳解】解：∵1<2<4，∴1<2∴?2∴y=?故選：D．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·上海黃浦·期中）根據(jù)下圖中的程序，當(dāng)輸入x為36時(shí)，輸出的值是．【答案】3【分析】此題主要考查了立方根、算術(shù)平方根的性質(zhì)和應(yīng)用．根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的含義和求法，以及有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的含義和求法，求出當(dāng)輸入的x為36時(shí)，輸出的值是多少即可．【詳解】解：當(dāng)輸入x為36時(shí)，y=?36?6是有理數(shù)，y=?3∴當(dāng)輸入的x為36時(shí)，輸出的值是36故答案為：36【變式7-3】（23-24八年級(jí)·河北張家口·期末）如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器x<10

(1)當(dāng)輸入的x值為?2時(shí)，求輸出的y值；(2)若輸入有意義的x值后，始終輸不出y值，請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足要求的x的值，并說(shuō)明你的理由；(3)若輸出的y值是3，直接寫(xiě)出x的負(fù)整數(shù)值．【答案】(1)2(2)1或2或3，理由見(jiàn)解析(3)x=?1【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)0或1的算術(shù)平方根的特殊性得出答案；（3）可以考慮1次運(yùn)算輸出結(jié)果，2次運(yùn)算輸出結(jié)果，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：當(dāng)x=?2時(shí)，?2?2=44的算術(shù)平方根為4=2而2是有理數(shù)，2的算術(shù)平方根為2，故答案為：2；（2）解：1或2或3，理由如下：∵0的算術(shù)平方根是0，1的算術(shù)平方根是1，∴當(dāng)x?2=1解得x=1或2或3，∴當(dāng)x=1或2或3時(shí)，無(wú)論進(jìn)行多少次運(yùn)算都不可能是無(wú)理數(shù)；（3）解：若1次運(yùn)算就是3，∴x?2∴x?2∴解得x=5或?1，∴x為負(fù)整數(shù)，則輸入的數(shù)為?1；若2次運(yùn)算輸出的數(shù)是3，∴x?2∴x?2∴解得x=27或?23∵x∴不符合題意，綜上所述，x=?1．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根、有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，理解算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．【題型8新定義中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】【例8】（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)寧·期中）任何實(shí)數(shù)a，可用a表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，如4=4，3=1，現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是【答案】255【分析】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，根據(jù)算術(shù)平方根的意義得到255=15，256=16，進(jìn)而得到對(duì)255只需進(jìn)行3次操作后變成1，對(duì)【詳解】解：∵22=4，4∴256=16，16=4，4∵255=15，15=3∴對(duì)255只需進(jìn)行3次操作后變成1．∵256=16，16=4，4∴對(duì)256只需進(jìn)行4次操作后變成1．∴只需進(jìn)行3次操作后變成1的所有正整數(shù)中，最大的正整數(shù)是255．故答案為：255．【變式8-1】（23-24八年級(jí)·四川達(dá)州·階段練習(xí)）用“@”表示一種新運(yùn)算；對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，b，都有a@b=b+1，如8@9=9+1，則【答案】3【分析】原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：m@m@9故答案為：3．【變式8-2】（23-24八年級(jí)·福建福州·期中）若實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=6，我們就說(shuō)a與b是關(guān)于6的“如意數(shù)”，則與3?2是關(guān)于6的“如意數(shù)”是（

A．3+2 B．3?2 C．9?2【答案】A【分析】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，準(zhǔn)確理解新定義是解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)“如意數(shù)”的概念進(jìn)行求解即可．【詳解】∵3?∴3?2與3+故選：A．【變式8-3】（23-24八年級(jí)·山西呂梁·期中）用“?”表示一種新運(yùn)算：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a?b=a2+b，例如10?21=102+A．13 B．7 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)新運(yùn)算的定義計(jì)算即可．【詳解】解：∵a?b=a∴13=13=13=13=13=16=4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，算術(shù)平方根，理解運(yùn)用新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【題型9實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（23-24八年級(jí)·福建莆田·期中）虹勝?gòu)V場(chǎng)要建一個(gè)占地面積4000平方米的花園，現(xiàn)有兩種方案：一種是建正方形花園，一種是建圓形花園，如果你是設(shè)計(jì)者，你能估算出兩種花園的圍墻有多長(zhǎng)嗎（誤差小于1米）？如果你是投資者，你會(huì)選擇哪種方案，為什么？【答案】圓形廣場(chǎng)圍墻224.2米，正方形廣場(chǎng)圍墻253.0米，選擇圓形廣場(chǎng)的建設(shè)方案，理由見(jiàn)詳解【分析】分別計(jì)算出圓形花園和正方形花園所需圍墻的長(zhǎng)度，比較即可作答．【詳解】當(dāng)為圓形時(shí)，設(shè)圓的半徑為r，則有：πr即：r=4000則此時(shí)花園的圍墻為：2π當(dāng)廣場(chǎng)為正方形時(shí)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則有：a2即：a=4000則此時(shí)花園的圍墻為：4a=4×4000∵253.0＞∴建造成圓形時(shí)，廣場(chǎng)的圍墻會(huì)更短，則建造成本更低，∴作為投資商，會(huì)選擇建圓形花園．【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)的大小的比較在實(shí)際生活中的應(yīng)用，所以學(xué)生在學(xué)這一部分時(shí)一定要聯(lián)系實(shí)際，不能死學(xué)．【變式9-1】（23-24八年級(jí)·廣西玉林·期中）某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過(guò)100千米/時(shí)，當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過(guò)的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16df，其中v表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過(guò)的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測(cè)量d＝32米，f＝2，請(qǐng)你判斷一下，肇事汽車當(dāng)時(shí)是否超速了．【答案】肇事汽車當(dāng)時(shí)的速度超出了規(guī)定的速度．【分析】先把d=32米，f=2分別代入v=16df，求出當(dāng)時(shí)汽車的速度再和1