2024-2025學(xué)年湖南省長沙一中芙蓉中學(xué)九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長沙一中芙蓉中學(xué)九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列函數(shù)中，y是x的正比例函數(shù)的是(

)A.y=2x+1 B.y=3x2 C.y=x 2.如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是(

)

A.AB//DC，AD//BC B.AB//DC，AD=BC

C.AO=CO，BO=DO D.AB=DC，AD=BC3.在“我的閱讀生活”校園演講比賽中，有11名學(xué)生參加比賽，他們決賽的最終成績各不相同，其中一名學(xué)生想知道自己能否進入前6名，除了要了解自己的成績外，還要了解這11名學(xué)生成績的(

)A.眾數(shù) B.方差 C.平均數(shù) D.中位數(shù)4.對于二次函數(shù)y=?(x?1)2+2的圖象與性質(zhì)，下列說法正確的是A.對稱軸是直線x=1，最大值是2 B.對稱軸是直線x=1，最小值是2

C.對稱軸是直線x=?1，最大值是2 D.對稱軸是直線x=?1，最小值是25.已知直線y=(m?3)x?3m+1不經(jīng)過第一象限，則m的取值范圍是(

)A.m≥13 B.m≤13 C.6.如圖，在菱形ABCD中，P、Q分別是AD、AC的中點，如果PQ=2，那么菱形ABCD的周長是(

)A.16 B.8 C.4 D.27.將拋物線y=?3x2+1向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得到的拋物線為A.y=?3(x?2)2+4 B.y=?3(x?2)2?28.設(shè)方程x2+x?2=0的兩個根為α，β，那么(α?2)(β?2)的值等于(

)A.?4 B.0 C.4 D.29.已知二次函數(shù)y=x2?3x+m(m為常數(shù))的圖象與x軸的一個交點為(1,0)，則關(guān)于x的一元二次方程x2A.x1=1，x2=?1 B.x1=1，x2=3

C.10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=1，下列結(jié)論：

①ab<0；②b2>4ac；③a+b+c<0；A.①④

B.②④

C.①②③

D.①②③④二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.已知關(guān)于x的方程x2+3x+k2=0的一個根是?112.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)在二次函數(shù)y=x2?6x+4的圖象上，若x13.經(jīng)過兩次連續(xù)降價，某藥品銷售單價由原來的50元降到32元，設(shè)該藥品平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意可列方程是______．14.若函數(shù)y=x2+1(x≤2)2x(x>2)，則當函數(shù)值y=8時，自變量15.如圖，直線l的解析式為y=x，點A的坐標為(?2,0)，AB⊥l于點B，則△ABO的面積為______．16.如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，且PA=3，PB=4，PC=5，若將△APB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△CQB，則∠APB的度數(shù)______．

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題6分)

計算：(?1)202418.(本小題8分)

求解下列一元二次方程：

(1)x2?3x+1=0；

(2)19.(本小題6分)

學(xué)校為了讓同學(xué)們走向操場、積極參加體育鍛煉，啟動了“學(xué)生陽光體育運動”，張明和李亮在體育運動中報名參加了百米訓(xùn)練小組．在近幾次百米訓(xùn)練中，教練對他們兩人的測試成績進行了統(tǒng)計和分析，請根據(jù)圖表中的信息解答以下問題：平均數(shù)中位數(shù)方差張明13.30.004李亮13.30.02(1)張明第2次的成績?yōu)開_____秒；

(2)張明成績的平均數(shù)為______；李亮成績的中位數(shù)為______；

(3)現(xiàn)在從張明和李亮中選擇一名成績優(yōu)秀的去參加比賽，若你是他們的教練，應(yīng)該選擇誰？請說明理由．20.(本小題7分)

如圖，直線l1：y1=?34x+m與y軸交于點A(0,6)，直線l2：y2=kx+1分別與x軸交于點B(?2,0)，與y軸交于點C.兩條直線相交于點D，連接AB．

(1)求兩直線交點D的坐標；

(2)求△ABD的面積；

21.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2?4mx+3m2=0.(m為實數(shù))

(1)求證：無論m取何值，該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)該方程的兩個實數(shù)根為x1、x222.(本小題8分)

如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點D，E分別為AB，AC邊上的中點，連接DE并延長至點F，使EF=DE，連接AF，CF，CD．

(1)求證：四邊形ADCF是菱形；

(2)若BC=4，AC=2，求四邊形ADCF的周長．23.(本小題9分)

某商店經(jīng)銷一種雙肩包，已知這種雙肩包的成本價為每個30元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種雙肩包每天的銷售量y(單位：個)與銷售單價x(單位：元)有如下關(guān)系：y=?x+60(30≤x≤60).設(shè)這種雙肩包每天的銷售利潤為w元．

(1)求w與x之間的函數(shù)解析式；

(2)這種雙肩包銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

(3)如果物價部門規(guī)定這種雙肩包的銷售單價不高于48元，該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元？24.(本小題10分)

在平面直角坐標系xOy中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為完美點.已知二次函數(shù)y=ax2+4x+c(a≠0)．

(1)當a=1，c=2時，請求出該函數(shù)的完美點；

(2)已知二次函數(shù)y=ax2+4x+c(a≠0)的圖象上有且只有一個完美點(32,32)，請求出該函數(shù)；

(3)在(2)25.(本小題10分)

如圖，拋物線y=ax2+2x+c(a<0)與x軸交于點A和點B(點A在原點的左側(cè)，點B在原點的右側(cè))，與y軸交于點C，OB=OC=3．

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．

(2)如圖1，連接BC，點D是直線BC上方拋物線上的點，連接OD，CD.OD交BC于點F，當S△COF：S△CDF=3：2時，求點D的坐標．

(3)如圖2，點E的坐標為(0,?32)，點P是拋物線上的點，連接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在點P，使∠PBE或∠PEB等于參考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.D

6.A

7.D

8.C

9.C

10.C

11.±12.>

13.50(1?x)14.4或?15.1

16.150°

17.解：原式=1+2?2+1?2

18.解：(1)x2?3x+1=0，

∵Δ=(?3)2?4×1×1=9?4=5>0，

∴x=3±52，

∴x1=3+52，x219.解：(1)張明第2次的成績?yōu)?3.4秒；

(2)13.4；13.3秒，13.3秒；

(3)選擇張明，平均數(shù)和中位數(shù)相同，但張明成績的方差小于李亮成績的方差，所以張明成績比李亮成績穩(wěn)定，因此選擇張明．

20.解：(1)將A(0,6)代入y1=?34x+m得，m=6；將B(?2,0)代入y2=kx+1得，k=12

組成方程組得y=?34x+6y=12x+1，解得x=4y=3，

故D點坐標為(4,3)21.(1)證明：∵Δ=(?4m)2?4×1×3m2=4m2≥0，

∴無論m取何值，該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)解：∵x2?4mx+3m2=0，即(x?m)(x?3m)=0，

解得：x=m或x=3m，

∵m>0，x122.(1)證明：∵點E是邊AC的中點，

∴AE=EC．

又∵EF=DE，

∴四邊形ADCF是平行四邊形．

又∵點D、E分別是邊AB、AC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE//BC．

又∵∠ACB=90°，

∴∠AED=90°．

∴AC⊥DF．

∴四邊形ADCF是菱形．

(2)解：∵四邊形ADCF是菱形，

∴CD=CF=AF=AD，

在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=22+42=2523.解：(1)w=(x?30)?y=(?x+60)(x?30)=?x2+30x+60x?1800=?x2+90x?1800，

w與x之間的函數(shù)解析式w=?x2+90x?1800；

(2)根據(jù)題意得：w=?x2+90x?1800=?(x?45)2+225，

∵?1<0，

當x=45時，w有最大值，最大值是225．

∴當銷售單價定為45元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是225元．

(3)當w=200時，?x224.解：(1)當a=1，c=2時，y=x2+4x+2，

令y=x，則x2+3x+2=0，

解得：x1=?1，x2=?2，

∴該函數(shù)的完美點為P1(?1,?1)，P2(?2,?2)；

(2)令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由題意可得，圖象上有且只有一個完美點，∴Δ=9?4ac=0，則4ac=9．

又方程根為x=?b2a=?32a=32，

∴a=?1，c=?94，

該二次函數(shù)的解析式為y=?x2+4x?94；

(3)∵y=?x2+4x?94?34=?x25.解：(1)OB=OC=3，則：B(3,0)，C(0,3)，

把B、C坐標代入拋物線方程，

解得拋物線方程為：y=?x2+2x+3…①；

(2)∵S△COF：S△CDF=3：2，

∴S△COF=35S△COD，即：xD=53xF，

設(shè)：F點橫坐標為3t，則D點橫坐標為5t，

點F在直線BC上，

而BC所在的直線表達式為：y=?x+3，則F(3t,3?3t)，

則：直線OF所在的直線表達式為：y=3?3t3tx=1?ttx，

則點D(5t,5?5t)，

把D點坐標代入①，解得：t=15或25，

則點D的坐標為(1,4)或(2,3)；

(3)①當∠PEB=2∠OBE時，

當BP在x軸上方時，

如圖2，設(shè)BP1交y軸于點E′，

∴∠P1BE=2∠OBE，∴∠E′BO=∠EBO，又∠E′OB=∠EBO=60°，BO=BO，

∴E′BO△≌△EBO(AAS)，

∴EO=EO=32，∴點E′(0,32)，

直線BP1過點B、E′，則其直線方程為：y=?12x+32…②，

聯(lián)立①②并解得：x=?12，

故點P1的坐標為(?12,74)；

當BP在x軸下方時，

如圖2，過點E作EF/?/BE′交BP2于點F，則∠FEB=∠EBE′，

∴∠E′BE=2∠OBE，∠EBP2=2∠OBE，∴∠FEB