浙江省溫州市蒼南縣樹人中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE17-浙江省溫州市蒼南縣樹人中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）選擇題部分一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由誘導(dǎo)公式可得，故選B.2.已知，，則向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得向量的坐標(biāo).【詳解】由題意可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.數(shù)列0，0，0，…下列說法正確的是（）A.為等差數(shù)列 B.為等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列【答案】A【解析】【分析】題目給出的是無窮常數(shù)列，干脆運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義即可得到正確答案.【詳解】數(shù)列0，0，0，…是無窮數(shù)列，

從其次項(xiàng)起先起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于常數(shù)0，符合等差數(shù)列的定義，所以，數(shù)列0，0，0，…是等差數(shù)列，

依據(jù)等比數(shù)列的定義可知，等比數(shù)列中不含有為0的項(xiàng)，所以，數(shù)列0，0，0，…不是等比數(shù)列.

故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，理解和精確地運(yùn)用是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，則的值為（）A.-1 B.0 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】把已知條件兩邊平方得到，再利用公式和即可得到答案.【詳解】解：，兩邊平方得：，，又，，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，考查學(xué)生對(duì)公式的駕馭程度，屬于基礎(chǔ)題.5.在中，，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，則的值為（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】干脆利用正弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】依據(jù)正弦定理：得到，，故或.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.6.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（）A.時(shí)，肯定存在最小值 B.存在最小值，C.時(shí)，肯定存在最大值 D.存在最大值時(shí)，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為二次函數(shù)模型，即可選出答案.【詳解】由題意知,.A選項(xiàng):當(dāng)時(shí)，,若,單增，有最小值.若,單減，有最大值.錯(cuò)誤.B選項(xiàng):存在最小值,則,單調(diào)遞增,當(dāng)，時(shí)，滿意題意.錯(cuò)誤.C選項(xiàng):當(dāng)時(shí),為開口向下的二次函數(shù)模型,即肯定存在最大值.正確D選項(xiàng):當(dāng)時(shí),存在最大值.錯(cuò)誤故選:C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.7.在中，，，所對(duì)的邊分別為，，，過作直線與邊相交于點(diǎn)，，.當(dāng)直線時(shí)，值為；當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，值為.當(dāng)，改變時(shí)，記（即、中較大的數(shù)），則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】當(dāng)直線時(shí)，由直角三角形的勾股定理和等面積法，可得出，，再由基本不等式可得出，從而得出M的范圍.當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，由直角三角形的斜邊上的中線為斜邊的一半和勾股定理可得，，由基本不等式可得出，從而得出的范圍，可得選項(xiàng).【詳解】當(dāng)直線時(shí)，因?yàn)?，，所以，由等面積法得，因?yàn)橛校ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），即，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)橛校ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），即，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），當(dāng)，改變時(shí)，記（即、中較大的數(shù)），則的最小值為（此時(shí)，）；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形中的邊的關(guān)系和基本不等式的應(yīng)用，以及考查對(duì)新定義的理解，屬于中檔題.8.已知函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)，恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)是偶函數(shù),即可解出,即可解出的解集,再依據(jù)為解集的子集,列出等式,即可找到的最大值.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù),即,對(duì)恒成立.即對(duì)恒成立即.又,即..又對(duì)于恒成立.所以當(dāng)即當(dāng),當(dāng),所以當(dāng)時(shí),的最大值為.故選:B【點(diǎn)睛】本題結(jié)合恒成立綜合考查了三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.嫻熟駕馭三角函數(shù)的基礎(chǔ)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.9.已知平面對(duì)量，，滿意：，，，則最大值為（）A.42 B.40 C.38 D.35【答案】D【解析】【分析】設(shè)，且在軸上，畫出圖形進(jìn)行分析，由向量的數(shù)量積的定義和點(diǎn)到圓距離的最值，即可求出所求的最值.【詳解】解：在直角坐標(biāo)系中，不妨設(shè)，且在軸上，如圖所示，則點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓上，則，結(jié)合圖形分析可知，的最大值為，的最大值為，所以的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的幾何運(yùn)算，考查了平面對(duì)量的數(shù)量積公式，考查了數(shù)形結(jié)合.10.已知數(shù)列中，，，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)最小時(shí)，有 D.當(dāng)最大時(shí)，有【答案】A【解析】【分析】將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)圖象，分析當(dāng)?shù)娜≈导纯赏茢噙x項(xiàng)A,B；對(duì)時(shí)，求的值，結(jié)合二次函數(shù)圖象，分析當(dāng)?shù)娜≈导纯赏茢噙x項(xiàng)C；對(duì)時(shí)，求的值，舉出反例即可推斷選項(xiàng)D.【詳解】令，由二次函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，故，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)槎夹∮?，所以，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，所以，由二次函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，，故，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，所以，但當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，屬于實(shí)力提升題.非選擇題部分二、填空題：單空題每題4分，多空題每題6分.11.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則______，通項(xiàng)公式______.【答案】(1).10(2).【解析】【分析】（1）令中即可；（2）用公式即可得到答案.【詳解】解：（1），當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不滿意上式；所以.故答案為：10；.【點(diǎn)睛】本題主要考查公式，屬于基礎(chǔ)題.12.函數(shù)最小正周期______，函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位（）得到函數(shù)圖像，則實(shí)數(shù)______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】第一空干脆用求得，其次空則由變換得，故向左平移個(gè)單位.【詳解】由，又，，由變換到，則，故向左平移個(gè)單位，即.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)最小正周期的求法，三角函數(shù)圖象的相位變換，屬于簡單題.13.數(shù)列滿意：，，則通項(xiàng)公式______；數(shù)列的前項(xiàng)和______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）采納“累加法”求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）采納“裂項(xiàng)相消法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，又適合上式，所以；（2）.故答案為：（1）；（2）【點(diǎn)睛】本題主要考查了“累加法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式，“裂項(xiàng)相消法”求和，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知向量，，則與向量方向相同的單位向量為______，向量在向量方向上的投影為______.【答案】(1).(2).3【解析】【分析】由向量坐標(biāo)可求出，從而可求出方向相同的單位向量；求出兩向量的數(shù)量積，以及，即可求出投影.【詳解】解：，所以，即與向量方向相同的單位向量為，，，所以，故答案為:;3.【點(diǎn)睛】本題考查了向量模的求解，考查了單位向量的求解，考查了向量投影的求解，屬于基礎(chǔ)題.15.已知，則______.【答案】【解析】【分析】將分子分母中三角函數(shù)利用二倍角公式化簡即可【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)恒等變換的二倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.16.已知平面四邊形中，四邊分別為：，，，，則______.【答案】-7【解析】【分析】依據(jù)邊長可轉(zhuǎn)化為橢圓的問題，設(shè)出的坐標(biāo)，表示出,依據(jù)數(shù)據(jù)即可發(fā)覺規(guī)律，結(jié)合平面對(duì)量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意知，,所以可建立以B,D為焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示，設(shè)左右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則橢圓方程為，設(shè)，則由得由得所以，所以故答案為：-7【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義、兩點(diǎn)間的距離公式及平面對(duì)量的數(shù)量積，屬于實(shí)力提升題.17.等差數(shù)列滿意：，則其公差的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由題意知，等差數(shù)列中的項(xiàng)肯定有正有負(fù)，分成首項(xiàng)大于零和小于零兩種狀況進(jìn)行探討，結(jié)合已知條件，可知或，從而可求出公差的取值范圍.【詳解】解：由題意知，等差數(shù)列中的項(xiàng)肯定有正有負(fù)，當(dāng)時(shí)，由，則，由，則，所以，所以，即；當(dāng)時(shí)，同理可求出，綜上所述，公差的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的單調(diào)性.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是未探討首項(xiàng)的正負(fù)問題.三、解答題（本大題共5小題，共74分）18.已知.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）先利用三角函數(shù)公式化簡為，再將值代入求解；（2）由≤≤解出的范圍就是所求的增區(qū)間.【詳解】解：（1），∴.（2）由（1）知：，令≤≤，，∴≤≤∴的單調(diào)增區(qū)間為：，.【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)恒等變形公式，協(xié)助角公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.19.在中，，，所對(duì)的邊分別為，，，，，且滿意：.（1）求角的大?。唬?）求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用角化邊將化為，繼而再由余弦定理計(jì)算出的值，從而得出角的大??；（2）依據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由正弦定理有：，整理得：，由余弦定理有：，∴，又∵，∴；（2）由（1）及面積公式：.【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦解三角形，考查三角形面積公式的應(yīng)用，考查邏輯思維實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于?？碱}.20.已知數(shù)列，滿意：，，且.，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和的前項(xiàng)和；（2）已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，試比較與2的大小.【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】(1)對(duì)已知式子取倒數(shù)整理變形可知，從而可證明是等比數(shù)列即，利用錯(cuò)位相減法可求出.(2)結(jié)合(1)以及已知可知恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消的思想，從而可證明.【詳解】解：（1）易知，兩邊取倒數(shù)得：，整理得：，∴是以首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴.又∵①∴②①-②得：.（2），理由如下：由（1）知：，又∵當(dāng)時(shí)，，∴.i.當(dāng)時(shí)，成立；ii.當(dāng)時(shí)，.綜上：.【點(diǎn)睛】本題考查了錯(cuò)位相減法，考查了構(gòu)造新數(shù)列法求通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的定義，考查了裂項(xiàng)相消的思想.21.如圖，在矩形中，，，為對(duì)角線上一點(diǎn)，且滿意：，.（1）求，并干脆寫出的最小值（不須要證明）；（2）求的值.【答案】（1）；.（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)平面對(duì)量三點(diǎn)共線的結(jié)論可得的值，將用和表示，將平方后再開方，利用可求得最小值；（2）將化為和表示后可求得結(jié)果.【詳解】（1）∵、、三點(diǎn)共線，由平面對(duì)量三點(diǎn)共線的結(jié)論得：，∴因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值..（2）.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量三點(diǎn)共線的結(jié)論，考查了平面對(duì)量的線性運(yùn)算，考查了求平面對(duì)量的模，屬于基礎(chǔ)題.22.數(shù)列滿意：，.（1）求，；（2）求證：；（3）記，前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1