2022年江蘇省連云港市(初三學業(yè)水平考試)中考數(shù)學真題試卷含詳解

數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共有8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將

正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）

L—3的倒數(shù)是（）

3.2021年12月9日，“天宮課堂”正式開課，我國航天員在中國空間站首次進行太空授課，本次授課結束時，網(wǎng)

絡在線觀看人數(shù)累計超過14600000人次.把“14600000”用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.146xl08B.1.46xl07C.14.6xl06D.146xlO5

4.在體育測試中，7名女生仰臥起坐的成績?nèi)缦拢ù?分鐘）：38,42,42,45,43,45,45,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是

（）

A.38B.42C.43D.45

5.函數(shù)y==I中自變量x取值范圍是（）

A.%>1B.A：>0C.x<0D.%<1

6.一A5c的三邊長分別為2,3,4,另有一個與它相似的三角形。石尸，其最長邊為12,貝I。印的周長是

（）

A.54B.36C.27D.21

7.如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面

中陰影部分的面積為（）

12

111

8

、2732萬一6C.9—26D.土兀一下）

A.一萬一B.

3233

8.如圖，將矩形ABC。沿著GE、EC、GP翻折，使得點A、B、。恰好都落在點。處，且點G、0、C在同一條直

線上，同時點E、0、尸在另一條直線上.小煒同學得出以下結論：&GF//EC；②48=3^40；③GE=4^DF；

④。C=2a。尸；⑤4cOFs^CEG.其中正確的是（）

A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④

二、填空題（本大題共8小題，不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）

9.計算：2a+3a=.

10.已知/A的補角是60。，貝IJNA=°.

11.寫出一個在1到3之間的無理數(shù)：.

12.若關于X的一元二次方程儂?2+加_1=0（m。0）的一個解是1=],則加+〃的值是_.

13.如圖，A3是。。的直徑，AC是。。的切線，A為切點，連接BC,與。。交于點。，連接OD.若

ZA(9D=82°,則NC=

14.如圖，在6x6正方形網(wǎng)格中，ABC的頂點A、B、。都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點，則

sinA=.

15.如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線y=-0.2爐+》+2.25運行，然后準確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心

離地面的高度為3.05m，則他距籃筐中心的水平距離OH是m.

16.如圖，在「A3CD中，ZABC=150°.利用尺規(guī)在BC、5A上分別截取師、BF，使BE=BF；分別以

E、斤為圓心，大于LEF長為半徑作弧，兩弧在NCR4內(nèi)交于點G；作射線BG交DC于點若

2

AD=6+1，則3H的長為.

DC

G

三、解答題（本大題共11小題，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明

過程或演算步驟）

17.計算：（―10）x------A/16+2022°.

、2>

18.解不等式2x-l>-----,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

2

-...1---1---1---1---

-1n12a

1元2_3左

19.化簡：_L+￡^.

x-1x-1

20.為落實國家“雙減”政策，某校為學生開展了課后服務，其中在體育類活動中開設了四種運動項目：A乒乓

球，3排球，C籃球，。跳繩.為了解學生最喜歡哪一種運動項目，隨機抽取部分學生進行調查（每位學生僅選一

種），并將調查結果制成如下尚不完整的統(tǒng)計圖表.

問卷情況統(tǒng)計表：

運動項目人數(shù)

A乒乓球m

B排球10

C籃球80

。跳繩70

問卷情況扇形統(tǒng)計圖

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，“2排球”對應的圓心角的度數(shù)是°；

(3)若該校共有2000名學生，請你估計該校最喜歡“A乒乓球”的學生人數(shù).

21.“石頭、剪子、布”是一個廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢中

的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢相同不分輸贏.假設甲、乙兩

人每次都隨意并且同時做出3種手勢中的1種.

(1)甲每次做出“石頭”手勢概率為;

(2)用畫樹狀圖或列表的方法，求乙不輸?shù)母怕?

22.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人

數(shù)、物價各幾何？”其大意是：今有幾個人共同出錢購買一件物品.每人出8錢，剩余3錢；每人出7錢，還缺4

錢.問人數(shù)、物品價格各是多少？請你求出以上問題中的人數(shù)和物品價格.

23.如圖，在平面直角坐標系xQy中，一次函數(shù)丁=依+〃(awO)的圖像與反比例函數(shù)y=K(左wO)的圖像交于

X

P、。兩點.點P(Y,3),點。的縱坐標為一2.

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式；

(2)求△POQ的面積.

24.我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔.小明與小亮

要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點A處測得阿育王塔最高點C的仰角NC4E=45。，再沿正對阿育王

塔方向前進至B處測得最高點。的仰角NCBE=53°,A5=10m；小亮在點G處豎立標桿FG,小亮的所在位

置點。、標桿頂P、最高點C在一條直線上，F(xiàn)G=L5m,GO=2m.(注：結果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù)：

sin53°?0.799,cos53°?0.602,tan53°?1.327)

r

ABEGD

(1)求阿育王塔的高度CE；

(2)求小亮與阿育王塔之間的距離ED.

25.如圖，四邊形A3CD為平行四邊形，延長A。到點E,使。石=AD，且BE，。。.

(1)求證：四邊形為菱形；

(2)若△O3C是邊長為2的等邊三角形，點P、M、N分別在線段5E、BC、CE上運動，求PM+PN的

最小值.

26.已知二次函數(shù)y=%2+(加一2)%+加一4,其中爪＞2.

(1)當該函數(shù)圖像經(jīng)過原點0(0,0),求此時函數(shù)圖像的頂點A的坐標；

(2)求證：二次函數(shù)y=f+(加—2)%+加—4的頂點在第三象限；

(3)如圖，在(1)的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點在直線y=-x-2上運動，平移后所得函

數(shù)的圖像與丁軸的負半軸的交點為3,求，AOB面積的最大值.

27.【問題情境】在一次數(shù)學興趣小組活動中，小昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖

1所示的方式擺放.其中NACB=NDEB=90°,ZB=30%BE=AC=3.

【問題探究】小昕同學將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉.

(1)如圖2,當點E落在邊AB上時，延長OE交于點尸，求正的長.

(2)若點C、E、。在同一條直線上，求點。到直線5C的距離.

(3)連接。C,取。。的中點G,三角板DEB由初始位置(圖1),旋轉到點C、B、。首次在同一條直線上

(如圖3),求點G所經(jīng)過的路徑長.

(4)如圖4,G為。C的中點，則在旋轉過程中，點G到直線A3的距離的最大值是

數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共有8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將

正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）

L—3的倒數(shù)是（）

11

A.3B.-3C.-D.一一

33

【答案】D

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義，即可計算出結果.

【詳解】解：一3的倒數(shù)是—1；

3

故選：D

【點睛】本題考查了倒數(shù)的定義：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).

2.下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念逐項分析判斷即可，軸對稱圖形的概念：平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直

線兩旁的部分能夠完全重合的圖形.

【詳解】A.是軸對稱圖形，故該選項正確，符合題意；

B.不是軸對稱圖形，故該選項不正確，不符合題意；

C.不是軸對稱圖形，故該選項不正確，不符合題意；

D.不是軸對稱圖形，故該選項不正確，不符合題意；

故選A

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

3.2021年12月9日，“天宮課堂”正式開課，我國航天員在中國空間站首次進行太空授課，本次授課結束時，網(wǎng)

絡在線觀看人數(shù)累計超過14600000人次.把“14600000

”用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.146xl08B.1.46xl07C.14.6xl06D.146xlO5

【答案】B

【分析】科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為axlO"的形式，其中〃為整數(shù)，確定”的值時，要看把原數(shù)變成。

時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，〃是正數(shù)，當原

數(shù)絕對值小于1時n是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案.

【詳解】解：14600000=1.46x107.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了科學記數(shù)法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數(shù)法的具體要求.

4.在體育測試中，7名女生仰臥起坐的成績?nèi)缦拢ù?分鐘）：38,42,42,45,43,45,45,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是

（）

A.38B.42C.43D.45

【答案】D

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義即可求解.

【詳解】解：：45出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，

二眾數(shù)為45.

故選D.

【點睛】本題考查了求眾數(shù)，掌握眾數(shù)的定義是解題的關鍵.眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

5.函數(shù)y=中自變量x的取值范圍是（）

A.x>lB.x>QC.x<QD.x<l

【答案】A

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，即可求解.

【詳解】解：Vx-l>0,

故選A.

【點睛】

本題考查了求函數(shù)自變量取值范圍，二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵.

6.ABC的三邊長分別為2,3,4,另有一個與它相似的三角形。跖，其最長邊為12,則。斯的周長是

A.54B.36C.27D.21

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的性質求解即可.

【詳解】解：：△ABC與△OEF相似，△ABC的最長邊為4,△￡)跖的最長邊為12,

...兩個相似三角形的相似比為1:3,

，△。所的周長與△ABC的周長比為3:1,

，△。所的周長為3義(2+3+4)=27,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，熟知相似三角形的周長之比等于相似之比是解題的關鍵.

7.如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面

C.*2?D.-71-43

3

【答案】B

【分析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可.

【詳解】解：如圖，過點OC作。OLA8于點。，

—12

是等邊三角形，

1

AZAOD=ZBOD=30°,OA=OB=AB=2fAD=BD=-AB=1,

2

°D=y/AO2—AD1=^3，

，陰影部分的面積為'"4*2一-j，x2xg=24—百,

36023

故選：B.

【點睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計算方法是正

確解答的關鍵.

8.如圖，將矩形A8CD沿著GE、EC、GP翻折，使得點A、B、D恰好都落在點。處，且點G、。、C在同一條直

線上，同時點E、0、廠在另一條直線上.小煒同學得出以下結論：①GF〃EC；?AB=^-AD；③GE=^DF；

@OC=2y/2OF；⑤ACOFSACEG.其中正確的是()

DFC

AEB

A.①②③B.①③④3.①④⑤D.②③④

【答案】B

【分析】由折疊的性質知NEGE=90。，/GEC=90。，點G為的中點，點E為AB

的中點，設AD=BC=2a,AB=CD=2b,在RMCDG中,由勾股定理求得6=應心然后利用勾股定理再求得

a

DF=FO=~j^,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：根據(jù)折疊的性質知NOGF=/OGFZAGE=ZOGE,

1

/.ZFGE=ZOGF+ZOGE=-(ZDGO+AAGO)=90°,

同理/GEC=90。，

:.GF〃EC；故①正確；

根據(jù)折疊的性質知。G=GO,GA=GO,

：.DG=GO=GA,即點G為A。的中點，

同理可得點E為A2的中點，

i5：AD=BC=2a,AB=CD=2b,貝!J￡>G=GO=GA=a,OC=BC=1a,AE=BE=OE=b,

GC=3a,

在放△CDG中，CG^DG+CD?,

即(3a)2=cf+(2b)2,

***b=y/2ci，

:.AB=26Q=叵AD,故②不正確；

DF=FO=x,則/C=2Z?-x,

在CO尸中，。尸=。尸+OC2,

即(2b-x)2=N+(2〃)2,

h2-a2cia

..x=-——=~r，BPDF=FO=~^,

bJ272

GE=+62=6。,

GEyj?)a

??DFa，

&

:.GE=RDF；故③正確;

生=二=20

OF_a_,

&

：.OC=2垃OF；故④正確；

尸CO與NGCE不一定相等，

：.KOFsKEG不成立,故⑤不正確;

綜上，正確的有①③④，

故選：B.

【點睛】本題主要考查了折疊問題，解題時，我們常常設要求的線段長為x,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質用含尤

的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案.

二、填空題（本大題共8小題，不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）

9.計算：2a+3。=.

【答案】5a

【分析】直接運用合并同類項法則進行計算即可得到答案.

【詳解】解：2a+3a

=（2+3）a

—5a?

故答案為：5a.

【點睛】本題主要考查了合并同類項，熟練掌握合并同類項法則是解答本題的關鍵.

10.已知/A的補角是60。，則NA=°.

【答案】120

【分析】如果兩個角的和等于180。，就說這兩個角互為補角.由此定義即可求解.

【詳解】解：的補角是60。，

ZA=180°-60°=120°,

故答案為：120.

【點睛】本題考查補角的定義，熟練掌握兩個角互為補角的定義是解題的關鍵.

11.寫出一個在1到3之間的無理數(shù)：.

【答案】&（答案不唯一）

【分析】由于12=1,32=9,所以只需寫出被開方數(shù)在1和9之間的，且不是完全平方數(shù)的數(shù)即可求解.

【詳解】解：1和3之間的無理數(shù)如、歷.

故答案為：J5（答案不唯一）.

【點睛】本題主要考查常見無理數(shù)的定義和性質，解題關鍵是估算無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分.

12.若關于X的一元二次方程“2+加一1=0（根。0）的一個解是x=i,則加+〃

的值是—.

【答案】1

【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義把X=1代入到m2+m—1=0(m。0)進行求解即可.

【詳解】解：：關于X的一元二次方程儂2+利_1=0(0)的一個解是％=1,

m+n—1=0,

m+n=1,

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，熟知一元二次方程解的定義是解題的關鍵.

13.如圖，A3是。。的直徑，AC是。。的切線，A為切點，連接BC,與。。交于點￡),連接若

ZA(?D=82°,則NC=°.

【答案】49

【分析】利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求得/8=3/4。。=41。，根據(jù)4(7是。。的切線得到

NA4c=90。，即可求出答案.

【詳解】解：：/4?。=82。，

：.ZB=^ZAOD=41°,

為圓的切線，A為切點，

ZBAC=90°,

.?.ZC=90°-41°=49°

故答案為49.

【點睛】此題考查圓周角定理，圓的切線的性質定理，直角三角形兩銳角互余，正確理解圓周角定理及切線的性

質定理是解題的關鍵.

14.如圖，在6x6正方形網(wǎng)格中，ABC的頂點A、B、C

都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點，貝UsinA=—

【分析】如圖所示，過點C作CELA8于E,先求出CE,AE的長，從而利用勾股定理求出AC的長，由此求解即

可.

【詳解】解：如圖所示，過點C作于E,

由題意得CE=4,AE=3,

AC=y/AE2+CE2=5'

【點睛】本題主要考查了求正弦值，勾股定理與網(wǎng)格問題正確作出輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵.

15.如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線y=-0.2f+%+2.25運行，然后準確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心

離地面的高度為3.05m,則他距籃筐中心的水平距離O"是m.

y

【答案】4

【分析】將y=3.05代入y=—0.2/+%+2.25中可求出X,結合圖形可知x=4,即可求出OH.

【詳解】解：當y=3.05時，-0.2Y+X+2.25=3.05，解得：x=l或x=4,

結合圖形可知：OH=4機，

故答案為：4

【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用：投球問題，解題的關鍵是結合函數(shù)圖形確定x的值.

16.如圖，在A3CD中，ZABC=150°.利用尺規(guī)在BC、8A上分別截取班、BF，使BE=BF；分別以

E、斤為圓心，大于LEE的長為半徑作弧，兩弧在NC6A內(nèi)交于點G；作射線BG交。C于點若

2

4。=省+1，則的長為.

【答案】V2

【分析】如圖所示，過點》作于由作圖方法可知，BH平分NABC,即可證明得到

CH=BC=6+1，從而求出HM,CM的長，進而求出的長，即可利用勾股定理求出的長.

【詳解】解：如圖所示，過點》作于M,

由作圖方法可知，BH平分NABC,

：.ZABH=ZCBH,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

:.BC=AD=6+1,AB//CD，

：.ZCHB=ZABH,ZC=180°-ZABC=30°,

ZCBH=ZCHB,

:.CH=BC=6+1，

：.HM=-CH

22

：.CM=yjCH2-CM-=北走，

2

J3-1

???BM=BC-CM=——，

2

BH=yjHM2+BM2=后，

故答案為：、叵.

【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，

等腰三角形的性質與判定等等，正確求出”的長是解題的關鍵.

三、解答題(本大題共11小題，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明

過程或演算步驟)

17.計算：(—10)x——y/16+2022°.

【答案】2

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法，二次根式的性質，零指數(shù)的計算法則求解即可.

詳解】解：原式=5-4+1

=2.

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，二次根式的性質，零指數(shù)，熟知相關計算法則是解題的關鍵.

3x—1

18.解不等式2x-1>-------,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

2

n1?

【答案】不等式的解集為X>1,在數(shù)軸上表示見解析.

【詳解】試卷分析：根據(jù)不等式的基本性質去分母、去括號、移項可得不等式的解集，再根據(jù)“大于向右，小于向

左，包括端點用實心，不包括端點用空心”的原則在數(shù)軸上將解集表示出來.

試卷解析：

去分母,得：4x-2>3x-1,

移項，得：4x-3x>2-1,

合并同類項，得：x>l,

將不等式解集表示在數(shù)軸上如圖：

1尤2_3X

19.化簡：_L+￡^.

尤一1x2-l

x+1

【分析】根據(jù)異分母分式的加法計算法則求解即可.

【詳解】解：原式=與史+三年

x2-lx2-l

X+1+X2-3x

-x2-l

—2x+1

x2-l

(I):

—x2-l

(x-1)2

-(x+l)(x-l)

_x-1

x+1

【點睛】本題主要考查了異分母分式的加法，熟知相關計算法則是解題的關鍵.

20.為落實國家“雙減”政策，某校為學生開展了課后服務，其中在體育類活動中開設了四種運動項目：A乒乓

球，8排球，C籃球，。跳繩.為了解學生最喜歡哪一種運動項目，隨機抽取部分學生進行調查(每位學生僅選一

種)，并將調查結果制成如下尚不完整的統(tǒng)計圖表.

問卷情況統(tǒng)計表:

運動項目人數(shù)

A乒乓球m

B排球10

C籃球80

。跳繩70

問卷情況扇形統(tǒng)計圖

(1)本次調查的樣本容量是,統(tǒng)計表中機=;

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，“8排球”對應的圓心角的度數(shù)是。；

(3)若該校共有2000名學生，請你估計該校最喜歡“A乒乓球”的學生人數(shù).

【答案】⑴200,40

(2)18(3)約為400人

【分析】(1)從兩個統(tǒng)計圖中可知，“C籃球”的人數(shù)80人，占調查人數(shù)的40%,可求出本次調查的樣本容量,

進而求出機的值；

(2)“8排球”的人數(shù)10人，據(jù)此可求得相應的圓心角；

(3)用總人數(shù)乘以“A乒乓球”的學生所占的百分比即可.

【小問1詳解】

解：本次調查的樣本容量是：80-40%=200(人)，

"7=200-10-80-70=40；

故答案為：200,40；

【小問2詳解】

解：扇形統(tǒng)計圖中8部分扇形所對應的圓心角是360萬t=18。,

200

故答案為：18；

【小問3詳解】

解：2000x——=400（人）,

估計該校最喜歡“A乒乓球”的學生人數(shù)約為400人.

【點睛】此題考查統(tǒng)計表、扇形統(tǒng)計圖的結合，從兩個統(tǒng)計圖中獲取數(shù)量和數(shù)量之間的關系是解決問題的前提.

21.“石頭、剪子、布”是一個廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢中

的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢相同不分輸贏.假設甲、乙兩

人每次都隨意并且同時做出3種手勢中的1種.

（1）甲每次做出“石頭”手勢的概率為;

（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求乙不輸?shù)母怕?

【答案】（1）-

3

2

（2）見解析，-

【分析】（1）根據(jù)概率計算公式求解即可；

（2）先畫樹狀圖得出所有等可能性的結果數(shù)，然后找到乙不輸?shù)慕Y果數(shù)，最后利用概率計算公式求解即可.

【小問1詳解】

解：???甲每次做出的手勢只有“石頭”、“剪子”、“布”其中的一種，

甲每次做出“石頭”手勢的概率為工；

3

【小問2詳解】

解：樹狀圖如圖所示：

甲、乙兩人同時做出手勢共有9種等可能結果，其中乙不輸?shù)墓灿?種,

62

**?P（乙不輸）=—=—.

93

2

答：乙不輸?shù)母怕适?/p>

【點睛】本題主要考查了簡單的概率計算，利用列表法或樹狀圖法求解概率，熟知概率計算公式是解題的關鍵.

22.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人

數(shù)、物價各幾何？”其大意是：今有幾個人共同出錢購買一件物品.每人出8錢，剩余3錢；每人出7錢，還缺4

錢.問人數(shù)、物品價格各是多少？請你求出以上問題中的人數(shù)和物品價格.

【答案】有7人，物品價格是53錢

【分析】設人數(shù)為x人，根據(jù)“物品價格=8X人數(shù)-多余錢數(shù)=7X人數(shù)+缺少的錢數(shù)”可得方程，求解方程即可.

【詳解】解：設人數(shù)為無人，由題意得

8%-3=7%+4,

解得x=7.

所以物品價格是8x7—3=53.

答：有7人，物品價格是53錢.

【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次方程，由實際問題列方程組是把“未知”轉化為“已知”的重

要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關系.

23.如圖，在平面直角坐標系xQy中，一次函數(shù)y=ta+Z?(awO)的圖像與反比例函數(shù)丁=幺(左wO)的圖像交于

P、。兩點.點P(-4,3),點Q的縱坐標為一2.

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式;

(2)求△POQ面積.

121

【答案】(1)y=------,y=—x+1

x2

(2)5

【分析】(1)通過點尸坐標求出反比例函數(shù)解析式，再通過解析式求出點Q

坐標，從而解出PQ一次函數(shù)解析式；

（2）令尸。與y軸的交點為則三角形尸。。的面積為0M乘以點尸橫坐標除以2加上乘以點。橫坐標除

以2即可.

【小問1詳解】

將？（一4,3）代入y=￡解得左=—12,

X

???反比例函數(shù)表達式為y=—-.

x

[2

當y=-2時，代入y=-一，解得x=6,即。（6,—2）.

X

將P（-4,3）、Q（6,-2）代入y=ov+Z?（awO）,

1

-4a+b=3

解得《2.

6a+b=-2

b—\

一次函數(shù)表達式為y=—gx+1.

【小問2詳解】

設一次函數(shù)的圖像與V軸交點為

將x=0代入y=—gx+1,得y=l,即以（0,1）.

???P（Y,3）,2（6,-2）,M（0,l）,

S△尸02=SAPOM+S^QOM=—xlx4+—xlx6=5.

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)和反比例函數(shù)圍成的三角形面

積，掌握拆分法是解本題關鍵.

24.我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔.小明與小亮

要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點A

處測得阿育王塔最高點C的仰角ZCAE=45°,再沿正對阿育王塔方向前進至8處測得最高點C的仰角

NCBE=53。,AB=10m；小亮在點G處豎立標桿FG,小亮的所在位置點。、標桿頂尸、最高點。在一條直

線上，EG=L5m,GD=2m.（注：結果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.799,cos53°?0,602,

tan530土1.327）

（2）求小亮與阿育王塔之間的距離

【答案】⑴40.58m

（2）54.11m

CFCF

【分析】（1）在R。C￡5中，由tan53°=±—='一，解方程即可求解.

BECE-10

（2）證明根據(jù)相似三角形的性質即可求解.

【小問1詳解】

在吊C4E中，???NC4E=45°,

CE=AE.

'：AB=10,

：.BE=AE-10=CE-10.

CECF

在RtCEB中,由tan530=—=---------,

BECE-10

得tan530(CE—10)=CE,

解得CEa40.58.

經(jīng)檢驗CE。40.58是方程的解

答：阿育王塔的高度約為40.58m.

【小問2詳解】

由題意知RtAFGD^Rt^CED,

.FGGD

'~CE~~ED

即

40.58ED

￡D?54.11.

經(jīng)檢驗￡D々54.H是方程的解

答：小亮與阿育王塔之間的距離約為54.Um.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，相似三角形的應用，掌握以上知識是解題的關鍵.

25.如圖，四邊形A3CD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE=AD，且BE，。。.

(1)求證：四邊形DBCE菱形；

(2)若△05C是邊長為2的等邊三角形，點P、M、N分別在線段班、BC、CE上運動，求PM+PN的

最小值.

【答案】(1)證明見解析

(2)G

【分析】(1)先根據(jù)四邊形A3CD為平行四邊形的性質和小=AD證明四邊形D8CE為平行四邊形，再根據(jù)

BE1DC,即可得證；

(2)先根據(jù)菱形對稱性得，得到QM+PNuPM+TW',進一步說明PM+PN的最小值即為菱形的高，再利

用三角函數(shù)即可求解.

【小問1詳解】

證明：?..四邊形A3CD是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

,：DE=AD，

DE=BC,

又：點E在A。的延長線上，

DE//BC,

...四邊形。BCE為平行四邊形，

又,：BELDC,

四邊形DBCE為菱形.

【小問2詳解】

解：如圖，由菱形對稱性得，點N關于班的對稱點N'在DE上,

PM+PN=PM+PN',

當「、M、N'共線時，

PM+PN=PM+PN'=MN',

過點。作垂足為H,

DE//BC,

MN'的最小值即為平行線間的距離DH的長，

V是邊長為2的等邊三角形，

DH

???在及一中，ZDBC=60。，DB=2,sinZDBC=——,

DB

/.DH=DB.sinNDBC=2x是=5

2

PM+PN的最小值為班.

【點睛】本題考查了最值問題，考查了菱形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，三角函數(shù)等知識，運用了

轉化的思想方法.將最值問題轉化為求菱形的高是解答本題的關鍵.

26.已知二次函數(shù)y=%2+(加一2)%+加一4,其中m>2.

(1)當該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點0(0,0),求此時函數(shù)圖像的頂點A的坐標;

(2)求證：二次函數(shù)y=*+(加一2)%+加一4的頂點在第三象限；

(3)如圖，在(1)的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點在直線y=-x-2上運動，平移后所得函

數(shù)的圖像與丁軸的負半軸的交點為B,求，AOB面積的最大值.

【答案】⑴

9

(2)見解析(3)最大值為一

8

【分析】(1)先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)解析式化為頂點式即可得到答案；

(2—m—力2I+8力z—20'

(2)先根據(jù)頂點坐標公式求出頂點坐標為一^,-------------,然后分別證明頂點坐標的橫縱坐標都小于0

I24)

即可；

(3)設平移后圖像對應的二次函數(shù)表達式為y=x2+6x+c,則其頂點坐標為卜了1―,然后求出點B的坐

標，根據(jù)平移后的二次函數(shù)頂點在直線P=-X-2上推出c="十°,過點A作垂足為

4

1,9

可以推出5OB=-6(0+1)+弓，由此即可求解?

AA88

【小問1詳解】

解:將0(0,0)代入y='+(加一2)工+加一4,

解得切=4.

由加＞2,則加=4符合題意，

,y=犬？+2%—(x+1)2—1,

A（-1,-1）.

【小問2詳解】

2—m—m2+8m—20^

解：由拋物線頂點坐標公式得頂點坐標為

247

,:m>2,

/.m—2>0,

/.2-m<0,

2—m八

-----<0.

2

..-m2+8m-201,

=--(m-4)2-l<-l<0,

4

.,.二次函數(shù)y=x2+(m-2)x+m-4的頂點在第三象限.

【小問3詳解】

fb4c—

解：設平移后圖像對應的二次函數(shù)表達式為丁=/+/^+。，則其頂點坐標為卜1―

當％=0時，y=c,

將1_q，4c；bJ代入y=—X—2,

到乍b-+2b-8

解得c=------------

4

在y軸的負半軸上,

c<0.

鏟+2U8

OB=-c=-

4

過點A作03,垂足為",

A(—1,—1),

***AH=1.

ZQ、

在，AOB中,SAAOB=^OBAH=^-x*xi

=——b2---b+1

84

=--(Z>+l)2+-,

88

9

.?.當b=—1時，此時c<0,面積有最大值，最大值為一.

8

【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的最值問

題，正確理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵.

27.【問題情境】在一次數(shù)學興趣小組活動中，小昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放.其中

ZACB=ZDEB=9。。,4=30。，BE=AC=3.

【問題探究】小昕同學將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉.

(1)如圖2,當點E落在邊AB上時，延長OE交于點口，求B尸的長.

(2)若點C、E、。在同一條直線上，求點。到直線的距離.

(3)連接。C,取DC的中點G,三角板由初始位置(圖1),旋轉到點C、B、。首次在同一條直線上

(如圖3),求點G所經(jīng)過的路徑長.

(4)如圖4,G為。。的中點，則在旋轉過程中，點G到直線A3的距離的最大值是.

【答案】(1)2百

⑵V6±l

/ox5G

⑶----TC

6

⑷述

4

【分析】(1)在放△出而中，根據(jù)余弦的定義求解即可；

(2)分點E在上方和下方兩種情況討論求解即可；

(3)取的