第01講一元二次方程(3大考點7種解題方法)(原卷版+解析)_第1頁
第01講一元二次方程(3大考點7種解題方法)(原卷版+解析)_第2頁
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文檔簡介

第01講一元二次方程(3大考點7種解題方法)考點考向考點考向一.一元二次方程的定義(1)一元二次方程的定義:只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.(2)概念解析:一元二次方程必須同時滿足三個條件:①整式方程,即等號兩邊都是整式;方程中如果有分母,那么分母中無未知數(shù);②只含有一個未知數(shù);③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.(3)判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面:“化簡后”;“一個未知數(shù)”;“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”;“二次項的系數(shù)不等于0”;“整式方程”.二.一元二次方程的一般形式(1)一般地,任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).這種形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax2叫做二次項,a叫做二次項系數(shù);bx叫做一次項;c叫做常數(shù)項.一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù),二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù),這是因為當(dāng)a=0時,方程中就沒有二次項了,所以,此方程就不是一元二次方程了.(2)要確定二次項系數(shù),一次項系數(shù)和常數(shù)項,必須先把一元二次方程化成一般形式.三.一元二次方程的解(1)一元二次方程的解(根)的意義:能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根,所以,一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.(2)一元二次方程一定有兩個解,但不一定有兩個實數(shù)解.這x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩實數(shù)根,則下列兩等式成立,并可利用這兩個等式求解未知量.a(chǎn)x12+bx1+c=0(a≠0),ax22+bx2+c=0(a≠0).四.解一元二次方程-直接開平方法形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程.如果方程化成x2=p的形式,那么可得x=±p;如果方程能化成(nx+m)2=p(p≥0)的形式,那么nx+m=±p.注意:①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù).②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.③方法是根據(jù)平方根的意義開平方.五.解一元二次方程-配方法(1)將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫配方法.(2)用配方法解一元二次方程的步驟:①把原方程化為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程兩邊同除以二次項系數(shù),使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊;③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方;④把左邊配成一個完全平方式,右邊化為一個常數(shù);⑤如果右邊是非負數(shù),就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解,如果右邊是一個負數(shù),則判定此方程無實數(shù)解.六.解一元二次方程-公式法(1)把x=?b±b2?4ac2a(b2﹣4ac≥0)叫做一元二次方程ax2+bx(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.(3)用公式法解一元二次方程的一般步驟為:①把方程化成一般形式,進而確定a,b,c的值(注意符號);②求出b2﹣4ac的值(若b2﹣4ac<0,方程無實數(shù)根);③在b2﹣4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根.注意:用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個:①a≠0;②b2﹣4ac≥0.七.解一元二次方程-因式分解法(1)因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,這種方法簡便易用,是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式,那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解,這樣也就把原方程進行了降次,把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟:①移項,使方程的右邊化為零;②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積;③令每個因式分別為零,得到兩個一元一次方程;④解這兩個一元一次方程,它們的解就都是原方程的解.八.換元法解一元二次方程1、解數(shù)學(xué)題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法.換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標(biāo)準型問題標(biāo)準化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理.2、我們常用的是整體換元法,是在已知或者未知中,某個代數(shù)式幾次出現(xiàn),而用一個字母來代替它從而簡化問題,當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程,從而達到降次的目的.九.根與系數(shù)的關(guān)系(1)若二次項系數(shù)為1,常用以下關(guān)系:x1,x2是方程x2+px+q=0的兩根時,x1+x2=﹣p,x1x2=q,反過來可得p=﹣(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題,后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù).(2)若二次項系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系:x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2=,x1x2=,反過來也成立,即=﹣(x1+x2),=x1x2.(3)常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題:①不解方程,判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.②已知方程及方程的一個根,求另一個根及未知數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式子的值,如求,x12+x22等等.④判斷兩根的符號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件,確定字母的取值.這類問題比較綜合,解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系,同時還要考慮a≠0,△≥0這兩個前提條件.十.由實際問題抽象出一元二次方程在解決實際問題時,要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知,以及它們之間的數(shù)量關(guān)系,找出并全面表示問題的相等關(guān)系,設(shè)出未知數(shù),用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系,即列出一元二次方程.十一.一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實際問題的一般步驟是:審清題意設(shè)未知數(shù),列出方程,解所列方程求所列方程的解,檢驗和作答.2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題:(1)數(shù)字問題:個位數(shù)為a,十位數(shù)是b,則這個兩位數(shù)表示為10b+a.(2)增長率問題:增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量×100%.如:若原數(shù)是a,每次增長的百分率為x,則第一次增長后為a(1+x);第二次增長后為a(1+x)2,即原數(shù)×(1+增長百分率)2=后來數(shù).(3)形積問題:①利用勾股定理列一元二次方程,求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積,以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系,列比例式,通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積,得到一元二次方程.(4)運動點問題:物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡,運行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形,可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1.審:理解題意,明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.2.設(shè):根據(jù)題意,可以直接設(shè)未知數(shù),也可以間接設(shè)未知數(shù).3.列:根據(jù)題中的等量關(guān)系,用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量,從而列出方程.4.解:準確求出方程的解.5.驗:檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.6.答:寫出答案.考點精講考點精講一元二次方程的定義1.(2020秋?奈曼旗月考)關(guān)于的方程,當(dāng)時,是一元一次方程;當(dāng)時,是一元二次方程.一元二次方程的一般形式2.(2020秋?環(huán)江縣期中)已知一元二次方程,則它的二次項系數(shù)為4,一次項為,常數(shù)項為.3.(2020秋?揭西縣月考)若關(guān)于的一元二次方程沒有一次項,則.一元二次方程的解4.(2021春?余姚市校級期中)若是關(guān)于的方程的解,則代數(shù)式的值是.5.(2021?汝陽縣一模)已知實數(shù)是一元二次方程的根,求代數(shù)式的值為.解一元二次方程-直接開平方、配方法6.(2021?南充一模)方程的解是A. B. C., D.,7.(2020秋?環(huán)江縣期末)若關(guān)于的方程有實數(shù)根,則的取值范圍是A. B. C. D.8.(2021?岳陽二模)方程的根是.9.(2021?麗水)用配方法解方程時,配方結(jié)果正確的是A. B. C. D.10.(2020秋?耒陽市期末)一元二次方程經(jīng)過配方后可變形為A. B. C. D.解一元二次方程-公式法11.(2020秋?鹽城期末)用公式法解一元二次方程時,化方程為一般式,當(dāng)中的,,依次為A.3,,8 B.3,, C.3,4, D.3,4,812.(2020秋?溆浦縣期末)是下列哪個一元二次方程的根A. B. C. D.13.(2021春?招遠市期中)按要求解下列方程:(1)(配方法);(2)(公式法).解一元二次方程-因式分解法14.(2021?新疆)一元二次方程的解為A., B., C., D.,15.(2021?天津模擬)一元二次方程的解是A. B., C., D.,由實際問題抽象出一元二次方程和一元二次方程的應(yīng)用16.(2021?河西區(qū)二模)要組織一次籃球聯(lián)賽,賽制為單循環(huán)形式,每兩隊之間都賽一場,計劃安排15場比賽.設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請個隊參賽,則滿足的關(guān)系式為A. B. C. D.17.(2021?香坊區(qū)二模)某中學(xué)初四學(xué)生畢業(yè)時,每個同學(xué)都給其他同學(xué)寫了一份畢業(yè)留言,全班共寫了紀念留言1640份,則全班共有學(xué)生名.A.39 B.40 C.41 D.4218.(2021?越秀區(qū)校級模擬)目前以等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展.某市2019年底有用戶2萬戶,計劃到2021年底全市用戶數(shù)累計達到8.72萬戶,設(shè)全市用戶數(shù)年平均增長率為,根據(jù)題意可列方程是A. B. C. D.19.(2021?安徽三模)根據(jù)安徽省統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù),某市2020年一季度規(guī)上工業(yè)增加值與2019年一季度同期相比下降了,2021年一季度規(guī)上工業(yè)增加值與2020年一季度同期相比增長了,則這兩年平均增長率是A. B. C. D.20.(2021?萊蕪區(qū)二模)如圖,某小區(qū)規(guī)劃在一個長為、寬為的矩形場地上修建三條同樣寬的小路,使其中兩條與平行,另一條與平行,其余部分種草.若草坪部分的總面積為,則小路的寬度為.21.(2021?歷下區(qū)二模)如圖是一塊矩形鐵皮,將四個角各剪去一個邊長為2米的正方形后剩下的部分做成一個容積為96立方米的無蓋長方體箱子,已知長方體箱子底面的長比寬多2米,則矩形鐵皮的面積為平方米.鞏固提升鞏固提升一、單選題1.(2021·云南)2021年5月11日我國第七次人口普查數(shù)據(jù)出爐,與第五次、第六次人口普查數(shù)據(jù)相比較,我國人口總量持續(xù)增長.第五次人口普查全國總?cè)丝诩s12.95億,第七次人口普查全國總?cè)丝诩s14.11億,設(shè)從第五次到第七次人口普查總?cè)丝谄骄鲩L率為,則可列方程為()A. B.C. D.2.(2021·貴州中考真題)在解一元二次方程x2+px+q=0時,小紅看錯了常數(shù)項q,得到方程的兩個根是﹣3,1.小明看錯了一次項系數(shù)P,得到方程的兩個根是5,﹣4,則原來的方程是()A.x2+2x﹣3=0 B.x2+2x﹣20=0 C.x2﹣2x﹣20=0 D.x2﹣2x﹣3=03.(2021·江蘇)對于方程,下列敘述正確的是()A.不論c為何值,方程均有實數(shù)根B.方程的根是C.當(dāng)時,方程可化為或D.當(dāng)時,4.(2020·珠海市九洲中學(xué)九年級月考)已知:畢業(yè)典禮后,小芳學(xué)習(xí)小組內(nèi)部的名同學(xué),每兩個同學(xué)都互相交換了禮物,她們一共買了份禮物.根據(jù)以上條件可以列出以下哪個方程()A. B.C. D.5.(2021·河北九年級期中)下列結(jié)論中,正確的是().①,∴,∴,;②,∴兩邊同除以,得;③關(guān)于的一元二次方程一定存在兩個不相等的實數(shù)根;④元旦期間有名學(xué)生互贈賀卡,共贈賀卡30張,可列方程:A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.③④二、填空題6.(2021·全國九年級課前預(yù)習(xí))下面三個方程:x2+2x-4=0,x2-75x+350=0,x2-x=56,它們有什么共同點?特點:(1)都是_________方程;(2)只含有______個未知數(shù);(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是______.7.(2021·全國九年級課前預(yù)習(xí))使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的_____,一元二次方程的解叫做一元二次方程的_______.8.(2021·江蘇九年級一模)據(jù)美國約翰斯?霍普金斯大學(xué)發(fā)布的全球新冠肺炎數(shù)據(jù)統(tǒng)計系統(tǒng),截至美國東部時間3月28日晚6時,全美共報告新冠肺炎確診人數(shù)超過3025萬,死亡超過54.9萬,已知有一人患了新冠肺炎,經(jīng)過兩輪傳染后,共有144人患了新冠肺炎,每輪傳染中平均每人傳染了_____人.9.(2021·山東)由于手機市場的迅速成長,某品牌的手機為了贏得消費者,在一年之內(nèi)連續(xù)兩次降價,從5980元降到4698元,如果每次降低的百分率相同,求每次降低的百分率是多少?設(shè)這個降低百分率為,則根據(jù)題意,可列方程:____________.10.(2021·全國九年級課前預(yù)習(xí))觀察下面兩個方程,說出這兩個方程的相同與不同之處:(1)3x=4;(2)6700(1+x)2=9200相同之處:兩邊都是整式,都只含有____個未知數(shù).不同之處:方程(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是_____次,方程(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是____次.11.(2021·浙江中考真題)數(shù)學(xué)活動課上,小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問題:已知實數(shù)同時滿足,求代數(shù)式的值.結(jié)合他們的對話,請解答下列問題:(1)當(dāng)時,a的值是__________.(2)當(dāng)時,代數(shù)式的值是__________.12.(2020·山東九年級期末)在一條直線上,按如圖所示的規(guī)律放置若干●與〇,組成圖案:●〇●●〇●●●〇●●●●〇…,當(dāng)圖案恰好以〇收尾,且圖案中●的個數(shù)是2278時,則該圖案中●與〇的個數(shù)之和是_______.13.(2021·浙江)商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準則”確定商品銷售價格,即根據(jù)商品的最低銷售限價a,最高銷售限價以及常數(shù)確定實際銷售價格為,這里的k被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗表明,最佳樂觀系數(shù)k恰好使得,據(jù)此可得,最佳樂觀系數(shù)k的值等于____.三、解答題14.(2021·福建莆田二中九年級期末)為抗擊新型肺炎疫情,某服裝廠及時引進了一條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩,開工第一天生產(chǎn)10萬件,第三天生產(chǎn)14.4萬件,若每天增長的百分率相同.求每天增長的百分率.15.(2021·遼寧鞍山市·九年級期中)在疫情影響下,口罩的需求量猛增,某口罩廠從2020年1月口罩生產(chǎn)數(shù)量2萬個增長到2020年3月口罩生產(chǎn)數(shù)量2.88萬個.(1)求該口罩廠這兩個月生產(chǎn)數(shù)量的月平均增長率?(2)按照這樣的月平均增長速度,4月份的口罩生產(chǎn)數(shù)量能達到多少萬個?16.(2021·江蘇)如果下列圖形由相同的小正方形組成,觀察圖形的變化,回答下列問題:(1)第6個圖形有________個小正方形;第個圖形有________個小正方形;(2)若第個圖形有576個小正方形,求的值.17.(2021·湖北九年級期末)黨的十九大報告提出綠水青山就是金山銀山,建設(shè)生態(tài)文明是中華民族永續(xù)發(fā)展的千年大計,植樹造林是實現(xiàn)天藍、地綠、水凈的重要途徑.為了保護生態(tài)環(huán)境,某集團每年都購進大量的樹苗進行種植.(1)若該集團宜昌分公司今年種植黃桷樹和香樟樹共500棵,其中黃桷樹的數(shù)量比香樟樹的數(shù)量的6倍少25棵,求該集團宜昌分公司今年種植香樟樹多少棵?(2)每年3月份,該集團都會進行植樹活動,后勤部都會購進大量的樹苗,去年后勤部購進黃桷樹苗1000棵,單價為3元棵;購進香樟樹苗2000棵,單價為2元棵.今年黃桷樹苗的購進量比去年減少了,單價不變,香樟樹苗的購進量比去年增加了,單價減少了.若后勤部去年和今年購進樹苗的總費用相同,求的值.18.(2021·湖北九年級一模)背景知識城鎮(zhèn)化是指農(nóng)村人口轉(zhuǎn)化為城鎮(zhèn)人口的過程,城鎮(zhèn)化率是指一個地區(qū)城鎮(zhèn)人口數(shù)占該地區(qū)人口總數(shù)的比例.問題解決:截止2016年底,某市人口總數(shù)約為400萬人,城鎮(zhèn)化率為;到2020年底,該市總?cè)丝谠黾恿?0萬人,城鎮(zhèn)人口增加了28萬人,城鎮(zhèn)化率達到.(1)求2016年該市的城鎮(zhèn)化率;(2)2016年,該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入為萬元,農(nóng)村居民人均可支配收入比城鎮(zhèn)居民人均可支配收入少萬元;2020年,該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入是2016年的1.5倍,農(nóng)村居民人均可支配收入比2016年增長的百分率為n.這樣,2020年全市居民人均可支配收入達到2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍.①用含,的式子表示2016年全市居民的人均可支配收入;②求的值.19.(2021·重慶九年級期中)跳繩一直是盛堡初中的特色項目,為保障同學(xué)們訓(xùn)練需求,學(xué)校后勤部門每年都要采購一定數(shù)量的長繩和彩繩.已知2020年采購的長繩價格為120元/根,彩繩價格為40元/根,所采購的彩繩數(shù)量比長繩多5根,共用資金3400元.(1)求2020年采購的長繩和彩繩分別是多少根?(2)與2020年相比,2021年長繩的價格上漲了a%,彩繩的價格下降了5%,但采購的長繩的數(shù)量減少了,彩繩的數(shù)量增加了10根,且2021年學(xué)校采購長繩和彩繩的總支出費用為3310元,求a的值.20.(2021·四川)商場以每件200元的價格購進一批商品,以單價300元銷售.預(yù)計每月可售出250件,該商場為盡可能減少庫存,決定降價銷售,根據(jù)市場調(diào)查,該商品單價每降低5元,可多售出25件,但最低售價應(yīng)高于購進的價格;若該商場希望該商品每月獲利28000元,則銷售單價應(yīng)定為多少元?每月可銷售多少件?21.(2021·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校九年級月考)為促銷新疆棉花,人們眾志成城,響應(yīng)號召,棉花是生活生產(chǎn)必需品.現(xiàn)有某生產(chǎn)商銷售珍珠棉和長絨棉.(1)計劃珍珠棉每斤售價比長絨棉貴16元,14斤長絨棉和6斤珍珠棉的總售價相同,求長絨棉和珍珠棉的每斤售價;(2)已知長絨棉每斤進價8元,按(1)中售價銷售一段時間后,發(fā)現(xiàn)長絨棉的日均銷售量為120斤,當(dāng)每斤售價降價1元時,日均銷售量增加20斤.該生產(chǎn)商秉承讓利于民的原則,對長絨棉進行降價銷售,但要保證當(dāng)天長絨棉的利潤為320元,求此時長絨棉每斤售價.22.(2021·蘇州市立達中學(xué)校九年級二模)上午8點,某臺風(fēng)中心在A島正南方向處由南向北勻速移動,同時在A島正西方向處有一艘補給船向A島勻速駛來,補給完后改變速度立即向A島正北方向的C港勻速駛?cè)?,如圖所示是臺風(fēng)中心、補給船與A島的距離S和時間t的圖象.已知臺風(fēng)影響的半徑是(包含邊界),請結(jié)合圖象解答下列問題:(1)臺風(fēng)的速度是_________,補給船在到達A島前的速度是_________,圖中點P的實際意義是_______________;(2)從幾點開始,補給船將受到臺風(fēng)的影響?(3)設(shè)補給船駛出A島到駛到C港之前受到臺風(fēng)影響的時間為a小時,出于安全考慮,補給船速度不超過、.求出圖中補給船航行時間m的正整數(shù)值及此時補給船在駛?cè)隒港之前受臺風(fēng)影響的總時間.23.(2021·重慶北碚區(qū)·西南大學(xué)附中九年級開學(xué)考試)葡萄不僅味美可口,營養(yǎng)價值很高,而且用途廣泛,堪稱“果中珍品”,它既可鮮食又可加工成各種產(chǎn)品,如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等.當(dāng)下正值食用葡萄的好時節(jié),經(jīng)過市場調(diào)研顧客最喜歡“黑珍珠”、“仙粉黛”兩個品種,某商店老板看準商機,決定購進這兩種葡萄銷售,商店原計劃在6月購進“黑珍珠”、“仙粉黛”兩種葡萄共200千克,其中“仙粉黛”的質(zhì)量至少是“黑珍珠”質(zhì)量的3倍.(1)那么原計劃今年6月至少購進“仙粉黛”多少千克?(2)今年6月商店按照原計劃購進并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”兩種葡萄,且“仙粉黛”的質(zhì)量恰好是原計劃的最小值.今年7月商店按照“黑珍珠”與“仙粉黛”的質(zhì)量比為1∶3購進兩種葡萄一共160千克,按照單價4∶3售出,共得銷售額1040元.通過7月對市場的觀察,商店老板決定增加兩種葡萄的進貨量,同時降價促銷;8月商店購進“黑珍珠”、“仙粉黛”的質(zhì)量在6月的基礎(chǔ)上分別增加了,同時為了盡快全部售出,每千克售價在今年7月份的基礎(chǔ)上分別降價(降價幅度不超過50%),最終8月的銷售額比7月的銷售額增加了535元.求的值.第01講一元二次方程(3大考點7種解題方法)考點考向考點考向一.一元二次方程的定義(1)一元二次方程的定義:只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.(2)概念解析:一元二次方程必須同時滿足三個條件:①整式方程,即等號兩邊都是整式;方程中如果有分母,那么分母中無未知數(shù);②只含有一個未知數(shù);③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.(3)判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面:“化簡后”;“一個未知數(shù)”;“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”;“二次項的系數(shù)不等于0”;“整式方程”.二.一元二次方程的一般形式(1)一般地,任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).這種形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax2叫做二次項,a叫做二次項系數(shù);bx叫做一次項;c叫做常數(shù)項.一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù),二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù),這是因為當(dāng)a=0時,方程中就沒有二次項了,所以,此方程就不是一元二次方程了.(2)要確定二次項系數(shù),一次項系數(shù)和常數(shù)項,必須先把一元二次方程化成一般形式.三.一元二次方程的解(1)一元二次方程的解(根)的意義:能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根,所以,一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.(2)一元二次方程一定有兩個解,但不一定有兩個實數(shù)解.這x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩實數(shù)根,則下列兩等式成立,并可利用這兩個等式求解未知量.a(chǎn)x12+bx1+c=0(a≠0),ax22+bx2+c=0(a≠0).四.解一元二次方程-直接開平方法形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程.如果方程化成x2=p的形式,那么可得x=±p;如果方程能化成(nx+m)2=p(p≥0)的形式,那么nx+m=±p.注意:①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù).②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.③方法是根據(jù)平方根的意義開平方.五.解一元二次方程-配方法(1)將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫配方法.(2)用配方法解一元二次方程的步驟:①把原方程化為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程兩邊同除以二次項系數(shù),使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊;③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方;④把左邊配成一個完全平方式,右邊化為一個常數(shù);⑤如果右邊是非負數(shù),就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解,如果右邊是一個負數(shù),則判定此方程無實數(shù)解.六.解一元二次方程-公式法(1)把x=?b±b2?4ac2a(b2﹣4ac≥0)叫做一元二次方程ax2+bx(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.(3)用公式法解一元二次方程的一般步驟為:①把方程化成一般形式,進而確定a,b,c的值(注意符號);②求出b2﹣4ac的值(若b2﹣4ac<0,方程無實數(shù)根);③在b2﹣4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根.注意:用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個:①a≠0;②b2﹣4ac≥0.七.解一元二次方程-因式分解法(1)因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,這種方法簡便易用,是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式,那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解,這樣也就把原方程進行了降次,把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟:①移項,使方程的右邊化為零;②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積;③令每個因式分別為零,得到兩個一元一次方程;④解這兩個一元一次方程,它們的解就都是原方程的解.八.換元法解一元二次方程1、解數(shù)學(xué)題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法.換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標(biāo)準型問題標(biāo)準化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理.2、我們常用的是整體換元法,是在已知或者未知中,某個代數(shù)式幾次出現(xiàn),而用一個字母來代替它從而簡化問題,當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程,從而達到降次的目的.九.根與系數(shù)的關(guān)系(1)若二次項系數(shù)為1,常用以下關(guān)系:x1,x2是方程x2+px+q=0的兩根時,x1+x2=﹣p,x1x2=q,反過來可得p=﹣(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題,后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù).(2)若二次項系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系:x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2=,x1x2=,反過來也成立,即=﹣(x1+x2),=x1x2.(3)常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題:①不解方程,判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.②已知方程及方程的一個根,求另一個根及未知數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式子的值,如求,x12+x22等等.④判斷兩根的符號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件,確定字母的取值.這類問題比較綜合,解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系,同時還要考慮a≠0,△≥0這兩個前提條件.十.由實際問題抽象出一元二次方程在解決實際問題時,要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知,以及它們之間的數(shù)量關(guān)系,找出并全面表示問題的相等關(guān)系,設(shè)出未知數(shù),用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系,即列出一元二次方程.十一.一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實際問題的一般步驟是:審清題意設(shè)未知數(shù),列出方程,解所列方程求所列方程的解,檢驗和作答.2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題:(1)數(shù)字問題:個位數(shù)為a,十位數(shù)是b,則這個兩位數(shù)表示為10b+a.(2)增長率問題:增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量×100%.如:若原數(shù)是a,每次增長的百分率為x,則第一次增長后為a(1+x);第二次增長后為a(1+x)2,即原數(shù)×(1+增長百分率)2=后來數(shù).(3)形積問題:①利用勾股定理列一元二次方程,求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積,以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系,列比例式,通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積,得到一元二次方程.(4)運動點問題:物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡,運行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形,可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1.審:理解題意,明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.2.設(shè):根據(jù)題意,可以直接設(shè)未知數(shù),也可以間接設(shè)未知數(shù).3.列:根據(jù)題中的等量關(guān)系,用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量,從而列出方程.4.解:準確求出方程的解.5.驗:檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.6.答:寫出答案.考點精講考點精講一元二次方程的定義1.(2020秋?奈曼旗月考)關(guān)于的方程,當(dāng)時,是一元一次方程;當(dāng)時,是一元二次方程.【分析】利用一元二次方程和一元一次方程定義進行解答.【解答】解:由題意得:,且,解得:,由題意得:,解得:,故答案為:;.【點評】此題主要考查了一元二次方程定義和一元一次方程定義,關(guān)鍵是掌握一元二次方程和一元一次方程定義.一元二次方程的一般形式2.(2020秋?環(huán)江縣期中)已知一元二次方程,則它的二次項系數(shù)為4,一次項為,常數(shù)項為.【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式是:,,是常數(shù)且特別要注意的條件,其中,,分別叫二次項系數(shù),一次項系數(shù),常數(shù)項,可得答案.【解答】解:一元二次方程化成一般式為,二次項系數(shù),一次項,常數(shù)項分別為4,,,故答案是:4,,.【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:,,是常數(shù)且.在一般形式中叫二次項,叫一次項,是常數(shù)項.其中,,分別叫二次項系數(shù),一次項系數(shù),常數(shù)項.3.(2020秋?揭西縣月考)若關(guān)于的一元二次方程沒有一次項,則.【分析】根據(jù)沒有一次項可得,且再解即可.【解答】解:由題意得:,且,解得:,故答案為:.【點評】此題主要考查了一元二次方程的定義,關(guān)鍵是掌握一元二次方程的一般形式為一元二次方程的解4.(2021春?余姚市校級期中)若是關(guān)于的方程的解,則代數(shù)式的值是.【分析】先由方程的解的含義,得出,變形得,再將要求的代數(shù)式變形,然后將代入,計算即可.【解答】解:是關(guān)于的方程的解,,,.故答案為:.【點評】本題考查了利用一元二次方程的解的含義在代數(shù)式求值中的應(yīng)用,明確一元二次方程的解的含義并將要求的代數(shù)式正確變形是解題的關(guān)鍵.5.(2021?汝陽縣一模)已知實數(shù)是一元二次方程的根,求代數(shù)式的值為.【分析】利用方程解的定義得到,然后利用整體代入的方法計算代數(shù)式的值.【解答】解:是方程根,,,原式.故答案是:.【點評】本題主要考查了一元二次方程的解的定義,能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根,所以,一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.解一元二次方程-直接開平方、配方法6.(2021?南充一模)方程的解是A. B. C., D.,【分析】利用直接開平方法求解即可.【解答】解:,或,解得,,故選:.【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法,結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.7.(2020秋?環(huán)江縣期末)若關(guān)于的方程有實數(shù)根,則的取值范圍是A. B. C. D.【分析】根據(jù)直接開平方法求解可得.【解答】解:,,由知,故選:.【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法,結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.8.(2021?岳陽二模)方程的根是.【分析】先求4的平方根,然后解關(guān)于的一元一次方程.【解答】解:由原方程,得.解得.故答案是:.【點評】本題考查了解一元二次方程直接開平方法.用直接開方法求一元二次方程的解的類型有:;,同號且;;,同號且.法則:要把方程化為“左平方,右常數(shù),先把系數(shù)化為1,再開平方取正負,分開求得方程解”.9.(2021?麗水)用配方法解方程時,配方結(jié)果正確的是A. B. C. D.【分析】方程整理后,利用完全平方公式配方得到結(jié)果,即可作出判斷.【解答】解:方程,整理得:,配方得:.故選:.【點評】此題考查了解一元二次方程配方法,熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.10.(2020秋?耒陽市期末)一元二次方程經(jīng)過配方后可變形為A. B. C. D.【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊,兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得.【解答】解:,,則,即,故選:.【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法,結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.解一元二次方程-公式法11.(2020秋?鹽城期末)用公式法解一元二次方程時,化方程為一般式,當(dāng)中的,,依次為A.3,,8 B.3,, C.3,4, D.3,4,8【分析】整理為一般式即可得出答案.【解答】解:,,則,,,故選:.【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法,結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.12.(2020秋?溆浦縣期末)是下列哪個一元二次方程的根A. B. C. D.【分析】根據(jù)求根公式逐一列出每個方程根的算式即可得出答案.【解答】解:.此方程的解為,不符合題意;.此方程的解為,不符合題意;.此方程的解為,符合題意;.此方程的解為,不符合題意;故選:.【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法,結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.13.(2021春?招遠市期中)按要求解下列方程:(1)(配方法);(2)(公式法).【分析】(1)方程配方后,開方即可求出解;(2)找出,,的值,代入求根公式即可求出解.【解答】解:(1),,即,則,,;(2),,,△,則,即,.【點評】此題考查了解一元二次方程配方法與公式法,熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵.解一元二次方程-因式分解法14.(2021?新疆)一元二次方程的解為A., B., C., D.,【分析】利用因式分解法求解即可.【解答】解:,,則或,解得,,故選:.【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法,結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.15.(2021?天津模擬)一元二次方程的解是A. B., C., D.,【分析】利用因式分解法求解即可.【解答】解:,,則,或,解得,,故選:.【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法,結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.由實際問題抽象出一元二次方程和一元二次方程的應(yīng)用16.(2021?河西區(qū)二模)要組織一次籃球聯(lián)賽,賽制為單循環(huán)形式,每兩隊之間都賽一場,計劃安排15場比賽.設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請個隊參賽,則滿足的關(guān)系式為A. B. C. D.【分析】設(shè)邀請個球隊參加比賽,那么第一個球隊和其他球隊打場球,第二個球隊和其他球隊打場,以此類推可以知道共打場球,然后根據(jù)計劃安排15場比賽即可列出方程求解.【解答】解:設(shè)應(yīng)邀請個球隊參加比賽,根據(jù)題意得:.故選:.【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程,此題和實際生活結(jié)合比較緊密,準確找到關(guān)鍵描述語,從而根據(jù)等量關(guān)系準確的列出方程是解決問題的關(guān)鍵.17.(2021?香坊區(qū)二模)某中學(xué)初四學(xué)生畢業(yè)時,每個同學(xué)都給其他同學(xué)寫了一份畢業(yè)留言,全班共寫了紀念留言1640份,則全班共有學(xué)生名.A.39 B.40 C.41 D.42【分析】設(shè)全班共有學(xué)生名,則每名學(xué)生需寫份畢業(yè)留言,根據(jù)全班共寫了紀念留言1640份,即可得出關(guān)于的一元二次方程,解之取其正值即可得出結(jié)論.【解答】解:設(shè)全班共有學(xué)生名,則每名學(xué)生需寫份畢業(yè)留言,依題意得:,解得:,(不合題意,舍去).故選:.【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,找準等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.18.(2021?越秀區(qū)校級模擬)目前以等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展.某市2019年底有用戶2萬戶,計劃到2021年底全市用戶數(shù)累計達到8.72萬戶,設(shè)全市用戶數(shù)年平均增長率為,根據(jù)題意可列方程是A. B. C. D.【分析】設(shè)全市用戶數(shù)年平均增長率為,則2020年底有用戶萬戶,2021年底有用戶萬戶,根據(jù)到2021年底全市用戶數(shù)累計達到8.72萬戶,即可得出關(guān)于的一元二次方程,此題得解.【解答】解:設(shè)全市用戶數(shù)年平均增長率為,則2020年底有用戶萬戶,2021年底有用戶萬戶,依題意得:.故選:.【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程,找準等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.19.(2021?安徽三模)根據(jù)安徽省統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù),某市2020年一季度規(guī)上工業(yè)增加值與2019年一季度同期相比下降了,2021年一季度規(guī)上工業(yè)增加值與2020年一季度同期相比增長了,則這兩年平均增長率是A. B. C. D.【分析】設(shè)這兩年的平均增長率是,由題意可列出一元二次方程,解方程可得出答案.【解答】解:設(shè)這兩年的平均增長率是,由題意可得,,解得:或(舍去).故選:.【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,若設(shè)變化前的量為,變化后的量為,平均變化率為,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為.20.(2021?萊蕪區(qū)二模)如圖,某小區(qū)規(guī)劃在一個長為、寬為的矩形場地上修建三條同樣寬的小路,使其中兩條與平行,另一條與平行,其余部分種草.若草坪部分的總面積為,則小路的寬度為2.【分析】此題是典型的“平移”方法,將三條道路平移到場地的邊上,形成整體的草坪.再設(shè)修建的路寬應(yīng)為米,根據(jù)題意可知:新草坪的仍然是矩形,這樣草坪面積可以建立,解方程即可.【解答】解:如圖,設(shè)修建的小路寬應(yīng)為米,則新的草坪面積等于矩形的面積,即得到方程:,整理得:,解得或.但不合題意,舍去,所以修建的小路寬應(yīng)為2米.故答案為:2.【點評】此題考查了幾何圖形的平移,用“平移”的方法,將分散的圖形拼成一個“整體”,再建立幾何圖形面積,得到方程,方程的解注意需要檢驗.21.(2021?歷下區(qū)二模)如圖是一塊矩形鐵皮,將四個角各剪去一個邊長為2米的正方形后剩下的部分做成一個容積為96立方米的無蓋長方體箱子,已知長方體箱子底面的長比寬多2米,則矩形鐵皮的面積為120平方米.【分析】設(shè)矩形鐵皮的寬為米,則長為米,根據(jù)做成無蓋長方體箱子的容積為96立方米,即可得出關(guān)于的一元二次方程,解之取其正值,再利用矩形的面積計算公式,即可求出結(jié)論.【解答】解:設(shè)矩形鐵皮的寬為米,則長為米,依題意得:,整理得:,解得:(不合題意,舍去),,(平方米).故答案為:120.【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,找準等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.鞏固提升鞏固提升一、單選題1.(2021·云南)2021年5月11日我國第七次人口普查數(shù)據(jù)出爐,與第五次、第六次人口普查數(shù)據(jù)相比較,我國人口總量持續(xù)增長.第五次人口普查全國總?cè)丝诩s12.95億,第七次人口普查全國總?cè)丝诩s14.11億,設(shè)從第五次到第七次人口普查總?cè)丝谄骄鲩L率為,則可列方程為()A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)題意,第五次人口總數(shù)約是12.95億,由于兩次的增長率為,可列出一元二次方程.【詳解】解:設(shè)從第五次到第七次人口普查總?cè)丝谄骄鲩L率為,根據(jù)題意得:,故選:A.【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用—增長率問題,關(guān)鍵在于弄清題意,列出方程.2.(2021·貴州中考真題)在解一元二次方程x2+px+q=0時,小紅看錯了常數(shù)項q,得到方程的兩個根是﹣3,1.小明看錯了一次項系數(shù)P,得到方程的兩個根是5,﹣4,則原來的方程是()A.x2+2x﹣3=0 B.x2+2x﹣20=0 C.x2﹣2x﹣20=0 D.x2﹣2x﹣3=0【答案】B【分析】分別按照看錯的情況構(gòu)建出一元二次方程,再舍去錯誤信息,從而可得正確答案.【詳解】解:小紅看錯了常數(shù)項q,得到方程的兩個根是﹣3,1,所以此時方程為:即:小明看錯了一次項系數(shù)P,得到方程的兩個根是5,﹣4,所以此時方程為:即:從而正確的方程是:故選:【點睛】本題考查的是根據(jù)一元二次方程的根構(gòu)建一元二次方程,掌握利用一元二次方程的根構(gòu)建方程的方法是解題的關(guān)鍵.3.(2021·江蘇)對于方程,下列敘述正確的是()A.不論c為何值,方程均有實數(shù)根B.方程的根是C.當(dāng)時,方程可化為或D.當(dāng)時,【答案】C【分析】根據(jù)題意,需要對進行分類討論,分別求出每一種情況的答案,即可進行判斷.【詳解】解:當(dāng)時,方程沒有實數(shù)根;當(dāng)時,方程有實數(shù)根,則,解得,;當(dāng)時,解得.故選:C.【點睛】本題考查了直接開平方法解一元二次方程.熟練掌握解一元二次方程的方法是解答此題的關(guān)鍵.4.(2020·珠海市九洲中學(xué)九年級月考)已知:畢業(yè)典禮后,小芳學(xué)習(xí)小組內(nèi)部的名同學(xué),每兩個同學(xué)都互相交換了禮物,她們一共買了份禮物.根據(jù)以上條件可以列出以下哪個方程()A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)每兩名同學(xué)之間交換禮物一個,則m人共贈賀卡m(m-1)張,列方程即可.【詳解】解:根據(jù)題意,得m(m-1)=20,故選C.【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思,根據(jù)題目給出的條件,找出合適的等量關(guān)系,列出方程,再求解.5.(2021·河北九年級期中)下列結(jié)論中,正確的是().①,∴,∴,;②,∴兩邊同除以,得;③關(guān)于的一元二次方程一定存在兩個不相等的實數(shù)根;④元旦期間有名學(xué)生互贈賀卡,共贈賀卡30張,可列方程:A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.③④【答案】B【分析】①②方程求出解,即可判斷;③利用根的判別式進行判斷;④根據(jù)每人要贈送(x-1)張賀卡,有x個人,可得方程.【詳解】解:①,提取公因式得:,∴,,故正確;②方程整理得:x2-x=0,即x(x-1)=0,解得:x1=0,x2=1,故錯誤;③在中,,∴一定存在兩個不相等的實數(shù)根,故正確;④元旦期間有名學(xué)生互贈賀卡,共贈賀卡30張,可列方程:,故正確;故選B.【點睛】此題考查了解一元二次方程-因式分解法,由實際問題抽象出一元二次方程,根的判別式等知識,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題6.(2021·全國九年級課前預(yù)習(xí))下面三個方程:x2+2x-4=0,x2-75x+350=0,x2-x=56,它們有什么共同點?特點:(1)都是_________方程;(2)只含有______個未知數(shù);(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是______.【答案】整式一27.(2021·全國九年級課前預(yù)習(xí))使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的_____,一元二次方程的解叫做一元二次方程的_______.【答案】解根8.(2021·江蘇九年級一模)據(jù)美國約翰斯?霍普金斯大學(xué)發(fā)布的全球新冠肺炎數(shù)據(jù)統(tǒng)計系統(tǒng),截至美國東部時間3月28日晚6時,全美共報告新冠肺炎確診人數(shù)超過3025萬,死亡超過54.9萬,已知有一人患了新冠肺炎,經(jīng)過兩輪傳染后,共有144人患了新冠肺炎,每輪傳染中平均每人傳染了_____人.【答案】11【分析】設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人,然后由題意可得,進而求解即可.【詳解】解:設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人,由題意得:,解得:(不符合題意,舍去),∴每輪傳染中平均每人傳染了11人;故答案為11.【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用,熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.9.(2021·山東)由于手機市場的迅速成長,某品牌的手機為了贏得消費者,在一年之內(nèi)連續(xù)兩次降價,從5980元降到4698元,如果每次降低的百分率相同,求每次降低的百分率是多少?設(shè)這個降低百分率為,則根據(jù)題意,可列方程:____________.【答案】5980(1-)2=4698【分析】根據(jù)原售價×(1-降低率)2=降低后的售價,然后列出方程求解即可.【詳解】解:由題意可得:5980(1-x)2=4698,故答案為:5980(1-x)2=4698.【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是根據(jù)原售價×(1-降低率)2=降低后的售價列出方程.10.(2021·全國九年級課前預(yù)習(xí))觀察下面兩個方程,說出這兩個方程的相同與不同之處:(1)3x=4;(2)6700(1+x)2=9200相同之處:兩邊都是整式,都只含有____個未知數(shù).不同之處:方程(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是_____次,方程(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是____次.【答案】11211.(2021·浙江中考真題)數(shù)學(xué)活動課上,小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問題:已知實數(shù)同時滿足,求代數(shù)式的值.結(jié)合他們的對話,請解答下列問題:(1)當(dāng)時,a的值是__________.(2)當(dāng)時,代數(shù)式的值是__________.【答案】或17【分析】(1)將代入解方程求出,的值,再代入進行驗證即可;(2)當(dāng)時,求出,再把通分變形,最后進行整體代入求值即可.【詳解】解:已知,實數(shù),同時滿足①,②,①-②得,∴∴或①+②得,(1)當(dāng)時,將代入得,解得,,∴,把代入得,3=3,成立;把代入得,0=0,成立;∴當(dāng)時,a的值是1或-2故答案為:1或-2;(2)當(dāng)時,則,即∵∴∴∴∴故答案為:7.【點睛】此題主要考查了用因式分解法解一元二次方程,完全平方公式以及求代數(shù)式的值和分式的運算等知識,熟練掌握運算法則和乘法公式是解答此題的關(guān)鍵.12.(2020·山東九年級期末)在一條直線上,按如圖所示的規(guī)律放置若干●與〇,組成圖案:●〇●●〇●●●〇●●●●〇…,當(dāng)圖案恰好以〇收尾,且圖案中●的個數(shù)是2278時,則該圖案中●與〇的個數(shù)之和是_______.【答案】2345【分析】該圖案中有x個〇,則有個●,根據(jù)題意列出方程即可求出x,即可得出答案.【詳解】解:設(shè)該圖案中有x個〇,則有1+2+3+?+x=個●,依題意得,=2278,整理得,x2+x-4556=0,解得,x1=-68(舍去),x2=67,∴該圖案中●與〇的個數(shù)之和是:67+2278=2345,故答案為:2345.【點睛】此題考查了圖形變化的規(guī)律,根據(jù)題意列出關(guān)于圖案中●的個數(shù)的方程式解題的關(guān)鍵.13.(2021·浙江)商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準則”確定商品銷售價格,即根據(jù)商品的最低銷售限價a,最高銷售限價以及常數(shù)確定實際銷售價格為,這里的k被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗表明,最佳樂觀系數(shù)k恰好使得,據(jù)此可得,最佳樂觀系數(shù)k的值等于____.【答案】【分析】由,得:,再根據(jù),可得,在列方程,解方程可得答案.【詳解】解:由,得:即:∴∵∴∴解得:,∵∴不合題意∴故答案為:【點睛】本題考查了等式的變形,一元二次方程的解法等知識,關(guān)鍵是根據(jù)已知條件,變形為,從而可轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元二次方程.三、解答題14.(2021·福建莆田二中九年級期末)為抗擊新型肺炎疫情,某服裝廠及時引進了一條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩,開工第一天生產(chǎn)10萬件,第三天生產(chǎn)14.4萬件,若每天增長的百分率相同.求每天增長的百分率.【答案】20%.【分析】設(shè)每天增長的百分率x,根據(jù)第一天和第三天的生產(chǎn)數(shù)量,結(jié)合每天的增長率相同列出方程求解即可得到答案.【詳解】解:設(shè)每天增長的百分率x,由題意可得:10(1+x)2=14.4,(1+x)2=1.441+x=±1.2解得:x=0.2或x=-2.2(舍去)∴每天增長的百分率為20%答:每天增長的百分率為20%.【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用,解題的關(guān)鍵在于能夠準確找到等量關(guān)系列出方程求解.15.(2021·遼寧鞍山市·九年級期中)在疫情影響下,口罩的需求量猛增,某口罩廠從2020年1月口罩生產(chǎn)數(shù)量2萬個增長到2020年3月口罩生產(chǎn)數(shù)量2.88萬個.(1)求該口罩廠這兩個月生產(chǎn)數(shù)量的月平均增長率?(2)按照這樣的月平均增長速度,4月份的口罩生產(chǎn)數(shù)量能達到多少萬個?【答案】(1)這兩個月生產(chǎn)數(shù)量的月平均增長率為20%;(2)3.456萬個.【分析】(1)設(shè)該口罩廠這兩個月生產(chǎn)數(shù)量的月平均增長率為x,然后根據(jù)題意列出方程求解即可;(2)根據(jù)(1)中計算的結(jié)果求解即可.【詳解】解:(1)設(shè)該口罩廠這兩個月生產(chǎn)數(shù)量的月平均增長率為x,由題意得,2(1+x)2=2.88.解方程,得x1=0.2,x2=﹣2.2(不合題意,舍去).答:該口罩廠這兩個月生產(chǎn)數(shù)量的月平均增長率為20%.(2)按照(1)中的月平均增長速度,4月份的口罩生產(chǎn)數(shù)量能達到2.88(1+20%)=3.456(萬個).答:4月份的口罩生產(chǎn)數(shù)量能達到3.456萬個.【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用,解題的關(guān)鍵在于能夠準確找到等量關(guān)系列出方程求解.16.(2021·江蘇)如果下列圖形由相同的小正方形組成,觀察圖形的變化,回答下列問題:(1)第6個圖形有________個小正方形;第個圖形有________個小正方形;(2)若第個圖形有576個小正方形,求的值.【答案】(1)49;(或);(2)第23個圖形有576個小正方形.【分析】根據(jù)已知的四個圖找出規(guī)律即可推導(dǎo)出第n個.【詳解】(1)根據(jù)前四個圖知:第一個圖有4個,第二個圖有9個,第三個圖有16個,第四個圖有25個,則依次類推每個圖都有個,則第六個圖有49個,

故答案為:49;(或);(2)根據(jù)題意,得,解得(舍去),;故第23個圖形有576個小正方形.【點睛】此題屬于探索規(guī)律題,根據(jù)已知圖總結(jié)出規(guī)律找出對應(yīng)的規(guī)律公式代入計算即可,涉及到解一元二次方程.17.(2021·湖北九年級期末)黨的十九大報告提出綠水青山就是金山銀山,建設(shè)生態(tài)文明是中華民族永續(xù)發(fā)展的千年大計,植樹造林是實現(xiàn)天藍、地綠、水凈的重要途徑.為了保護生態(tài)環(huán)境,某集團每年都購進大量的樹苗進行種植.(1)若該集團宜昌分公司今年種植黃桷樹和香樟樹共500棵,其中黃桷樹的數(shù)量比香樟樹的數(shù)量的6倍少25棵,求該集團宜昌分公司今年種植香樟樹多少棵?(2)每年3月份,該集團都會進行植樹活動,后勤部都會購進大量的樹苗,去年后勤部購進黃桷樹苗1000棵,單價為3元棵;購進香樟樹苗2000棵,單價為2元棵.今年黃桷樹苗的購進量比去年減少了,單價不變,香樟樹苗的購進量比去年增加了,單價減少了.若后勤部去年和今年購進樹苗的總費用相同,求的值.【答案】(1)集團宜昌分公司今年種植香樟樹75棵;(2)的值為12.5【分析】(1)設(shè)該集團宜昌分公司今年種植香樟樹x棵,種植黃桷樹y棵,根據(jù)“該集團宜昌分公司今年種植黃桷樹和香樟樹共500棵,其中黃桷樹的數(shù)量比香樟樹的數(shù)量的6倍少25棵”,即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論;

(2)根據(jù)總價=單價×數(shù)量,結(jié)合去年和今年購進樹苗的總費用相同,即可得出關(guān)于a的一元二次方程,解之取其正值即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)設(shè)該集團宜昌分公司今年種植香樟樹棵,種植黃桷樹棵,依題意得:,解得:.答:該集團宜昌分公司今年種植香樟樹75棵.(2)依題意得:,整理得:,解得:,(不合題意,舍去).答:的值為12.5.【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)找準等量關(guān)系,正確列出二元一次方程組;(2)找準等量關(guān)系,正確列出一元二次方程.18.(2021·湖北九年級一模)背景知識城鎮(zhèn)化是指農(nóng)村人口轉(zhuǎn)化為城鎮(zhèn)人口的過程,城鎮(zhèn)化率是指一個地區(qū)城鎮(zhèn)人口數(shù)占該地區(qū)人口總數(shù)的比例.問題解決:截止2016年底,某市人口總數(shù)約為400萬人,城鎮(zhèn)化率為;到2020年底,該市總?cè)丝谠黾恿?0萬人,城鎮(zhèn)人口增加了28萬人,城鎮(zhèn)化率達到.(1)求2016年該市的城鎮(zhèn)化率;(2)2016年,該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入為萬元,農(nóng)村居民人均可支配收入比城鎮(zhèn)居民人均可支配收入少萬元;2020年,該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入是2016年的1.5倍,農(nóng)村居民人均可支配收入比2016年增長的百分率為n.這樣,2020年全市居民人均可支配收入達到2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍.①用含,的式子表示2016年全市居民的人均可支配收入;②求的值.【答案】(1);(2)①;②【分析】(1)由城鎮(zhèn)化率得出城鎮(zhèn)人口的等量關(guān)系式,從而列出一元一次方程,解決問題;(2)①分別求出2016年農(nóng)村居民和城鎮(zhèn)居民人均可支配收入相加即為所求;②列出2020年全市居民人均可支配收入的等量關(guān)系,并列出方程即可解決.【詳解】解:(1)由2016年總?cè)藬?shù)400萬,到2020年底,該市總?cè)丝谠黾恿?0萬人,以及2016年城鎮(zhèn)化率為,可得城鎮(zhèn)人口為:;由題意知2016年城鎮(zhèn)人口為,加上2020年底增加的28萬人,可得城鎮(zhèn)人口為:;從而列出方程:;解之得:;(2)①2016年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入為萬元,農(nóng)村居民人均可支配收入比城鎮(zhèn)居民人均可支配收入少萬元,則農(nóng)村居民人均可支配收入為故2016年全市居民的人均可支配收入為:,即;②∵2020年全市居民人均可支配收入為2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍,∴2020年全市居民人均可支配收入為:,又∵2020年,該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入是2016年的1.5倍∴2020年,該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入為:,∵2020年,農(nóng)村居民人均可支配收入比2016年增長的百分率為,∴2020年,農(nóng)村居民人均可支配收入為:,故2020年全市居民人均可支配收入還可以為:,從而列出方程:,解之得:,或(舍).故答案為:①;②.【點睛】本題主要考查了一元一次方程與一元二次方程的實際問題,解決本題的關(guān)鍵需要找出等量關(guān)系式,從而列出方程解決問題.19.(2021·重慶九年級期中)跳繩一直是盛堡初中的特色項目,為保障同學(xué)們訓(xùn)練需求,學(xué)校后勤部門每年都要采購一定數(shù)量的長繩和彩繩.已知2020年采購的長繩價格為120元/根,彩繩價格為40元/根,所采購的彩繩數(shù)量比長繩多5根,共用資金3400元.(1)求2020年采購的長繩和彩繩分別是多少根?(2)與2020年相比,2021年長繩的價格上漲了a%,彩繩的價格下降了5%,但采購的長繩的數(shù)量減少了,彩繩的數(shù)量增加了10根,且2021年學(xué)校采購長繩和彩繩的總支出費用為3310元,求a的值.【答案】(1)2020年采購長繩20根,彩繩25根;(2)a的值為10.【分析】(1)設(shè)2020年采購長繩x根,彩繩y根,根據(jù)“采購的彩繩數(shù)量比長繩多5根,共用資金3400元”,即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)總價=單價×數(shù)量,結(jié)合2021年學(xué)校采購長繩和彩繩的總支出費用為3310元,即可得出關(guān)于a的一元二次方程,解之取其正值即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)設(shè)2020年采購長繩x根,彩繩y根,依題意得:,解得:,答:2020年采購長繩20根,彩繩25根;(2)依題意得:120(1+a%)×20(1-a%)+40×(1-5%)×(25+10)=3310,整理得:a2+60a-700=0,解得:a1=10,a2=-70(不合題意,舍去).答:a的值為10.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)找準等量關(guān)系,正確列出二元一次方程組;(2)找準等量關(guān)系,正確列出一元二次方程.20.(2021·四川)商場以每件200元的價格購進一批商品,以單價300元銷售.預(yù)計每月可售出250件,該商場為盡可能減少庫存,決定降價銷售,根據(jù)市場調(diào)查,該商品單價每降低5元,可多售出25件,但最低售價應(yīng)高于購進的價格;若該商場希望該商品每月獲利28000元,則銷售單價應(yīng)定為多少元?每月可銷售多少件?【答案】售價應(yīng)定為270元,每月銷售400件【分析】設(shè)售價降低x個5元,由銷售額﹣進價=利潤,作為相等關(guān)系列方程,解方程求解后要代入實際問題中檢驗是否符合題意,進行值的取舍.【詳解】解:設(shè)售價降低x個5元,得(300﹣200﹣5x)(250+25x)=28000.解得:x1=4,x2=6.當(dāng)x=4時,300﹣5×4=280(元)>200元;當(dāng)x=6時,300﹣5×6=270(元)>200元;因為要減少庫存,所以,售價為:300﹣5×6=270(元).銷售件數(shù)為:250+6×25=400(件).答:售價應(yīng)定為270元,每月銷售400件.【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思,根據(jù)題目給出的條件,找出合適的等量關(guān)系,列出方程,再求解.有關(guān)銷售問題中的等量關(guān)系一般為:利潤=售價-進價.21.(2021·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校九年級月考)為促銷新疆棉花,人們眾志成城,響應(yīng)號召,棉花是生活生產(chǎn)必需品.現(xiàn)有某生產(chǎn)商銷售珍珠棉和長絨棉.(1)計劃珍珠棉每斤售價比長絨棉貴16元,14斤長絨棉和6斤珍珠棉的總售價相同,求長絨棉和珍珠棉的每斤售價;(2)已知長絨棉每斤進價8元,按(1)中售價銷售一段時間后,發(fā)現(xiàn)長絨棉的日均銷售量為120斤,當(dāng)每斤售價降價1元時,日均銷售量增加20斤.該生產(chǎn)商秉承讓利于民的原則,對長絨棉進行降價銷售,但要保證當(dāng)天長絨棉的利潤為320元,求此時長絨棉每斤售價.【答案】(1)長絨棉的每斤售價為12元,珍珠棉的每斤售價為28元;(2)此時長絨棉每斤售價為10元.【分析】(1)設(shè)長絨棉的每斤售價為元,則珍珠棉的每斤售價為元,根據(jù)14斤長絨棉和6斤珍珠棉的總售價相同,即可得出關(guān)于的一元一次方程,解之即可得出結(jié)論;(2)設(shè)長絨棉每斤售價為元,則每斤的利潤為元,日均銷售量為斤,根據(jù)總利潤每斤的利潤日均銷售量,即可得出關(guān)于的一元二次方程,解之即可得出的值,再結(jié)合即可確定的值.【詳解】解:(1)設(shè)長絨棉的每斤售價為x元,則珍珠棉的每斤售價為(x+16)元,依題意得:14x=6(x+16),解得:x=12,∴x+16=28(元).答:長絨棉的每斤售價為12元,珍珠棉的每斤售價為28元.(2)設(shè)長絨棉每斤售價為m元,則每斤的利潤為(m﹣8)元,日均

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