第24章圓【單元提升卷】(人教版)(原卷版+解析)

第24章圓【單元提升卷】（人教版）（滿分100分，完卷時(shí)間90分鐘）考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共25題．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無(wú)效．2．除第一、二大題外，其余各題如無(wú)特別說(shuō)明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出解題的主要步驟．一、單選題1．已知⊙O中最長(zhǎng)的弦為8cm，則⊙O的半徑為()cm．A．2 B．4 C．8 D．162．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．50°3．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，則⊙O的半徑為（）A．4 B．8 C．2 D．44．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交直徑AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D；若∠A＝23°，則∠D的度數(shù)是()A．23° B．44° C．46° D．57°5．如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4cm，D，E，F(xiàn)分別為BC，AC，AB的中點(diǎn)，以A，B，C三點(diǎn)為圓心，2cm為半徑作圓．則圖中陰影部分面積為（）A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm26．如圖，將直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在圓心O上，斜邊和一直角邊分別與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，P是優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)（與A、B不重合），則∠APB的度數(shù)為（）A．60° B．45° C．30° D．25°7．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑作圓，若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，4），則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O外 B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)C．點(diǎn)P在⊙O上 D．點(diǎn)P在⊙O上或在⊙O外8．已知⊙O的半徑為4，直線l上有一點(diǎn)與⊙O的圓心的距離為4，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相切 C．相交 D．相切、相交均有可能9．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AD＝2，BC＝5，則△ABC的周長(zhǎng)為()A．16 B．14 C．12 D．1010．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，經(jīng)過(guò)A，D兩點(diǎn)的⊙O與邊BC相切于點(diǎn)E，則⊙O的半徑為（）A．4 B． C．5 D．二、填空題11．一條弦把圓弧分成1：3兩個(gè)部分，已知圓的半徑為10cm，則弦心距為_(kāi)____．12．如圖，直線l與⊙O相切于點(diǎn)A，作半徑OB并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使得BC=OB，作CD⊥直線l于點(diǎn)D，連接BD得∠CBD=75°，則∠OCD=_____度．13．用一根鐵絲做成一個(gè)正方形，使它恰好能嵌入一個(gè)直徑為20cm的圓中，如圖所示，則這根鐵絲的長(zhǎng)度是_____cm．14．如圖，已知在△ABC中，AB=AC=12．以AB為直徑作半圓O，交BC于點(diǎn)D．若∠BAC=30°，則的長(zhǎng)_____．15．如圖，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB,垂足為C，OC=3cm，則⊙O的半徑為_(kāi)_____cm.16．在⊙O中，直徑AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，則弦CD的長(zhǎng)為_(kāi)____．17．一個(gè)扇形的圓心角是120°．它的半徑是3cm．則扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)_________cm．18．如圖，⊙C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣，0），M是圓上一點(diǎn)，∠BMO=120°．⊙C圓心C的坐標(biāo)是_____．三、解答題19．如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，．請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．20．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直徑．21．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上的一點(diǎn)，CF切半圓O于點(diǎn)C，BD⊥CF于為點(diǎn)D，BD與半圓O交于點(diǎn)E，（1）求證：BC平分∠ABD（2）若DC=8，BE=4，求圓的直徑．22．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E在邊AD上(不與A，D重合)，點(diǎn)F在邊CD上，且∠EBF=45°，若△ABE的外接圓⊙O與CD邊相切．(1)求⊙O的半徑長(zhǎng)；(2)求△BEF的面積．23．某小區(qū)一塊長(zhǎng)方形的綠地的造型如圖所示(單位：m)，其中兩個(gè)扇形表示綠地，兩塊綠地用五彩石隔開(kāi)，那么需鋪多大面積的五彩石？(保留π)24．如圖，BD為△ABC外接圓⊙O的直徑，且∠BAE=∠C（1）求證：AE與⊙O相切于點(diǎn)A；（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的長(zhǎng)．25．如圖，⊙O的直徑AB的長(zhǎng)為2，點(diǎn)C在圓周上，∠CAB=30°．點(diǎn)D是圓上一動(dòng)點(diǎn)，DE∥AB交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CD，交AB于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)DE與⊙O相切時(shí)，求∠CFB的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，求△CDE的面積．第24章圓【單元提升卷】（人教版）（滿分100分，完卷時(shí)間90分鐘）考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共25題．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無(wú)效．2．除第一、二大題外，其余各題如無(wú)特別說(shuō)明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出解題的主要步驟．一、單選題1．已知⊙O中最長(zhǎng)的弦為8cm，則⊙O的半徑為()cm．A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】⊙O最長(zhǎng)的弦就是直徑從而不難求得半徑的長(zhǎng)．【詳解】解：∵⊙O中最長(zhǎng)的弦為8cm，即直徑為8cm，∴⊙O的半徑為4cm．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查弦，直徑等知識(shí)，記住圓中的最長(zhǎng)的弦就是直徑是解題的關(guān)鍵．2．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理進(jìn)行求解即可得.【詳解】∵，∴∠ABC=∠AOC=×80°=40°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)圓心角的一半”是解題的關(guān)鍵.3．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，則⊙O的半徑為（）A．4 B．8 C．2 D．4【答案】A【分析】由已知可得三角形ABC是直角三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得AB的長(zhǎng)即可求得答案.【詳解】∵AB是直徑，∴∠C=90°，∵∠ABC=30°，∴AB=2AC=8，∴OA=OB=4，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.4．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交直徑AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D；若∠A＝23°，則∠D的度數(shù)是()A．23° B．44° C．46° D．57°【答案】B【分析】連接OC，由切線的性質(zhì)可得∠OCD=90°，由圓周角定理可求得∠COD的度數(shù)，再由直角三角形兩銳角互余即可求得答案.【詳解】連接OC，如圖，∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠COD=2∠A=46°，∴∠D=90°﹣46°=44°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理等，正確添加輔助線，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.5．如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4cm，D，E，F(xiàn)分別為BC，AC，AB的中點(diǎn)，以A，B，C三點(diǎn)為圓心，2cm為半徑作圓．則圖中陰影部分面積為（）A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm2【答案】C【分析】連接AD，由等邊三角形的性質(zhì)可知AD⊥BC，∠A=∠B=∠C=60°，根據(jù)S陰影=S△ABC-3S扇形AEF即可得出結(jié)論．【詳解】連接AD，∵△ABC是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD==，∴S陰影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2π)cm2，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了有關(guān)扇形面積的計(jì)算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．6．如圖，將直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在圓心O上，斜邊和一直角邊分別與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，P是優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)（與A、B不重合），則∠APB的度數(shù)為（）A．60° B．45° C．30° D．25°【答案】C【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，即可得出答案．【詳解】解：由題意得，∠AOB=60°，則∠APB=∠AOB=30°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理的內(nèi)容．7．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑作圓，若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，4），則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O外 B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)C．點(diǎn)P在⊙O上 D．點(diǎn)P在⊙O上或在⊙O外【答案】C【分析】先求出點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離，然后再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3，4)，∴OP==5，而⊙O的半徑為5，∴OP等于圓的半徑，∴點(diǎn)P在⊙O上，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．8．已知⊙O的半徑為4，直線l上有一點(diǎn)與⊙O的圓心的距離為4，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相切 C．相交 D．相切、相交均有可能【答案】D【分析】分別直線與⊙O只有一個(gè)交點(diǎn)、有兩個(gè)交點(diǎn)兩種情況分別討論進(jìn)行求解即可.【詳解】∵若直線l與⊙O只有一個(gè)交點(diǎn)，即為點(diǎn)P，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為：相切；若直線l與⊙O有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)為點(diǎn)P，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為：相交；∴直線l與⊙O的位置關(guān)系為：相交或相切，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系．注意掌握設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交d＜r；②直線l和⊙O相切d=r；③直線l和⊙O相離d＞r．9．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AD＝2，BC＝5，則△ABC的周長(zhǎng)為()A．16 B．14 C．12 D．10【答案】B【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理進(jìn)行求解即可.【詳解】解：∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BC＝5，∴△ABC的周長(zhǎng)＝2+2+5+5＝14，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓以及切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵.10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，經(jīng)過(guò)A，D兩點(diǎn)的⊙O與邊BC相切于點(diǎn)E，則⊙O的半徑為（）A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】連結(jié)EO并延長(zhǎng)交AD于F，連接AO，由切線的性質(zhì)得OE⊥BC，再利用平行線的性質(zhì)得到OF⊥AD，則根據(jù)垂徑定理得到AF=DF=AD=6，由題意可證四邊形ABEF為矩形，則EF=AB=8，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=r，OF=8-r，然后在Rt△AOF中利用勾股定理得到（8-r）2+62=r2，再解方程求出r即可．【詳解】如圖，連結(jié)EO并延長(zhǎng)交AD于F，連接AO，∵⊙O與BC邊相切于點(diǎn)E，∴OE⊥BC，∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD，∴OF⊥AD，∴AF=DF=AD=6，∵∠B=∠DAB=90°，OE⊥BC，∴四邊形ABEF為矩形，∴EF=AB=8，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=r，OF=8-r，在Rt△AOF中，∵OF2+AF2=OA2，∴（8-r）2+62=r2，解得r=，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了垂徑定理和矩形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理建立關(guān)于半徑的方程．二、填空題11．一條弦把圓弧分成1：3兩個(gè)部分，已知圓的半徑為10cm，則弦心距為_(kāi)____．【答案】5cm【分析】由題可知可畫出下圖，再根據(jù)垂徑定理和三角函數(shù)即可求出弦心距的長(zhǎng)度.【詳解】如圖，∠AOC＋∠BOC＝，∠AOC＝∠BOC＝45°(垂徑定理)，在RT△ACO中，，（cm）.OC即弦心距.故答案為cm【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和三角函數(shù)，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵.12．如圖，直線l與⊙O相切于點(diǎn)A，作半徑OB并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使得BC=OB，作CD⊥直線l于點(diǎn)D，連接BD得∠CBD=75°，則∠OCD=_____度．【答案】70．【分析】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)D，連接AB，利用BC=OB、CD⊥AD及AD為⊙O切線可證得△BAD為等腰三角形，此時(shí)可利用∠BAD=∠BDA找到∠C與∠O的關(guān)系，從而可以求出∠C的度數(shù)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)D，連接AB，∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥AD，∵CD⊥AD，∴OA∥BE∥CD，∴∠O+∠C=180°，∵OB=BC，∴AE=ED，∴BA=BD，∴∠BAE=∠BDE，∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠O=2∠BAE，∴∠O=2∠BDE，∵∠CBD=75°，CD⊥AD，∴∠BDC=105°﹣∠C，∠BDE=90°﹣（105°﹣∠C）=∠C﹣15°，∴∠O=2（∠C﹣15°）=2∠C﹣30°，∴2∠C﹣30°+∠C=180°，解得∠C=70°．故答案為70．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、中位線性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)輔助線構(gòu)造等腰三角形，將所求角之間的關(guān)系建立起來(lái)．13．用一根鐵絲做成一個(gè)正方形，使它恰好能嵌入一個(gè)直徑為20cm的圓中，如圖所示，則這根鐵絲的長(zhǎng)度是_____cm．【答案】【分析】由題意可得正方形的對(duì)角線為圓的直徑，可求正方形的邊長(zhǎng)，則可求正方形的周長(zhǎng)，即這根鐵絲的長(zhǎng)度．【詳解】如圖∵四邊形ABCD是正方形∴∠D=90°，AD=AB=CD=BC∴AC是直徑∴AC=20cm∵AD2+CD2=AC2=400∴AD=CD=10∴這根鐵絲的長(zhǎng)度為4×10=40故答案為40【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，熟練掌握正多邊形和圓的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．14．如圖，已知在△ABC中，AB=AC=12．以AB為直徑作半圓O，交BC于點(diǎn)D．若∠BAC=30°，則的長(zhǎng)_____．【答案】5π【分析】連接AD，由等腰△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的半圓交BC于點(diǎn)D，可得∠BAD=∠CAD=15°，即可得∠ABD=75°，繼而求得∠AOD的度數(shù)，則可求得弧AD的度數(shù)，進(jìn)而利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接AD、OD，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°，BD=DC，∴∠ABD=75°，∴∠AOD=150°,∴弧AD的度數(shù)為150°，∴弧AD的長(zhǎng)==5π.故答案為5π.【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)公式l=、圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB,垂足為C，OC=3cm，則⊙O的半徑為_(kāi)_____cm.【答案】5【分析】先根據(jù)垂徑定理得出AC的長(zhǎng)，再由勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】連接OA，∵OC⊥AB，AB=8，∴AC=4，∵OC=3，∴OA=故答案為5.【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理、垂徑定理及其推論，解題關(guān)鍵在于連接OA作為輔助線.16．在⊙O中，直徑AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，則弦CD的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】【分析】連接OD，根據(jù)垂徑定理可求出PD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)即可.【詳解】連接OD，∵直徑AB＝4，OD為半徑，∴OD=2，∵弦CD⊥AB于P，OP＝，∴PD==，CD=2PD，∴CD=2，故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，垂直于弦的直徑，平分弦并平分這條弦所對(duì)的兩條弧，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵.17．一個(gè)扇形的圓心角是120°．它的半徑是3cm．則扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)_________cm．【答案】2π【詳解】分析：根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得結(jié)論．詳解：根據(jù)題意，扇形的弧長(zhǎng)為=2π，故答案為2π點(diǎn)睛：本題主要考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．18．如圖，⊙C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣，0），M是圓上一點(diǎn)，∠BMO=120°．⊙C圓心C的坐標(biāo)是_____．【答案】（，）【分析】連接AB，OC，由圓周角定理可知AB為⊙C的直徑，再根據(jù)∠BMO=120°可求出∠BAO以及∠BCO的度數(shù)，在Rt△COD中，解直角三角形即可解決問(wèn)題；【詳解】連接AB，OC，∵∠AOB=90°，∴AB為⊙C的直徑，∵∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∴∠BCO=2∠BAO=120°，過(guò)C作CD⊥OB于D，則OD=OB，∠DCB=∠DCO=60°，∵B（-，0），∴BD=OD=在Rt△COD中．CD=OD?tan30°=，∴C（-，），故答案為C（-，）．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系及圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題19．如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，．請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】△ABC是等邊三角形，理由見(jiàn)解析.【分析】由圓周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形內(nèi)角和定理可知∠ACB=60°，故可得出結(jié)論【詳解】△ABC是等邊三角形，理由：∵∴AC=BC，∵∠ADC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°，∴△ABC是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，等邊三角形的判定，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解答此題的關(guān)鍵．20．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直徑．【答案】8【分析】連接OB，OC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OB，OC，∵∠A=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OC=BC=4，∴⊙O的直徑=8．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確的作出輔助線．21．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上的一點(diǎn)，CF切半圓O于點(diǎn)C，BD⊥CF于為點(diǎn)D，BD與半圓O交于點(diǎn)E，（1）求證：BC平分∠ABD（2）若DC=8，BE=4，求圓的直徑．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；【分析】（1）連接OC，根據(jù)CD為切線可得OC⊥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）連接AE交OC于G，根據(jù)圓與平行線的性質(zhì)易得四邊形CDEG為矩形，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，∵CD為切線，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：連接AE交OC于G，如圖，∵AB為直徑，∴∠AEB=90°，∵OC⊥CD，ED⊥CD，∴四邊形CDEG為矩形，∴GE=CD=8，∵OC∥BD，∴，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圓的直徑為4．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、切線與平行線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握勾股定理、切線與平行線的性質(zhì)．22．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E在邊AD上(不與A，D重合)，點(diǎn)F在邊CD上，且∠EBF=45°，若△ABE的外接圓⊙O與CD邊相切．(1)求⊙O的半徑長(zhǎng)；(2)求△BEF的面積．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將△BCF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△BAP，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥EF，設(shè)⊙O與CD相切于點(diǎn)M，連接OM，延長(zhǎng)MO交AB于點(diǎn)N，由已知得出△BPE≌△BFE，進(jìn)而得出△AEB≌△QEB，利用中位線出AE的長(zhǎng)，由勾股定理求出BE，即可得出半徑；（2）由C△EFD=4，利用勾股定理得出DF的長(zhǎng)，即可求出△BEF的面積．【詳解】解：（1）將△BCF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△BAP，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥EF，設(shè)⊙O與CD相切于點(diǎn)M，連接OM，延長(zhǎng)MO交AB于點(diǎn)N，如圖所示：在△BPE與△BFE中，，∴△BPE≌△BFE（SAS），∴∠AEB=∠BEQ，PE=EF，在△AEB和△QEB中，，∴△AEB≌△QEB（AAS），∴BQ=AB=2，由PE=EF可知，C△EFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4，設(shè)AE=a，則DE=2﹣a，BE=，∵O為BE中點(diǎn)，且MN∥AD，∴ON=AE=，∴OM=2﹣，又BE=2OM，∴=4﹣a，解得a=，∴ED=，BE==，∴⊙O的半徑長(zhǎng)=BE=；（2）∵C△EFD=4，設(shè)DF=b，∴EF=4﹣b﹣=﹣b，在Rt△EDF中，（）2+b2=（﹣b）2，解得b=，∴EF=﹣=，∴S△BEF=××2=．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用三解形全等及方程靈活的求解．23．某小區(qū)一塊長(zhǎng)方形的綠地的造型如圖所示(單位：m)，其中兩個(gè)扇形表示綠地，兩塊綠地用五彩石隔開(kāi)，那么需鋪多大面積的五彩石？(保留π)【答案】【分析】圖中五彩石的面積=矩形的面積-2個(gè)扇形的面積．【詳解】解：圖中矩形的面積=a（a+b）m2．大扇形的面積==（m2）．小扇形的面積==（m2）．則圖中五彩石部分的面積為：a（a+b）﹣﹣=a2+ab﹣b2．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算．此題利用了“分割法”來(lái)求圖中不規(guī)則圖形的面積．24．如圖，BD為△ABC外接圓⊙O的直徑，且∠BAE=∠C（1）求證：AE與⊙O相切于點(diǎn)A；（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）AD=2．【分析】（1）如圖，連接OA，根據(jù)同圓的半徑相等可得：