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第1頁(yè)〔共26頁(yè)〕2024年河北省保定市高考數(shù)學(xué)一模試卷〔文科〕一、選擇題:本大題共12個(gè)小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1.集合A={﹣2,﹣1,1,2},集合B={k∈A|y=kx在R上為增函數(shù)},那么A∩B的子集個(gè)數(shù)為〔〕A.1 B.2 C.3 D.42.設(shè)a為i﹣1的虛部,b為〔1+i〕2的實(shí)部,那么a+b=〔〕A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.03.具有線性相關(guān)的變量x,y,設(shè)其樣本點(diǎn)為Ai〔xi,yi〕〔i=1,2,……,8〕,回歸直線方程為,假設(shè),〔O為原點(diǎn)〕,那么a=〔〕A. B. C. D.4.非向量,那么x<0或x>4是向量與夾角為銳角的〔〕A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.,那么?p為〔〕A.?n∈N,5n<100 B.?n∈N,5n≥100C. D.6.2024年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi),會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為根底設(shè)計(jì).弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形〔如圖〕.如果小正方形的邊長(zhǎng)為2,大正方形的邊長(zhǎng)為10,直角三角形中較小的銳角為θ,那么=〔〕A. B. C. D.7.如以下圖的程序框圖,輸出S的值為〔〕A. B. C. D.8.函數(shù)f〔x〕既是二次函數(shù)又是冪函數(shù),函數(shù)g〔x〕是R上的奇函數(shù),函數(shù),那么h〔2024〕+h〔2024〕+h〔2024〕+…+h〔1〕+h〔0〕+h〔﹣1〕+…h(huán)〔﹣2024〕+h〔﹣2024〕+h〔﹣2024〕=〔〕A.0 B.2018 C.4036 D.40379.如圖是某幾何體的三視圖,那么該幾何體的外表積為〔〕A. B. C. D.10.向量,向量,函數(shù),那么以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A.f〔x〕是奇函數(shù) B.f〔x〕的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線C.f〔x〕的最小正周期為2π D.f〔x〕在上為減函數(shù)11.雙曲線=1〔b>0〕的左頂點(diǎn)為A,虛軸長(zhǎng)為8,右焦點(diǎn)為F,且⊙F與雙曲線的漸近線相切,假設(shè)過(guò)點(diǎn)A作⊙F的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,那么|MN|=〔〕A.8 B.4 C.2 D.412.定義在R上的偶函數(shù)f〔x〕滿足f〔x+1〕=﹣f〔x〕,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f〔x〕=﹣2x+1,設(shè)函數(shù)g〔x〕=〔〕|x﹣1|〔﹣1<x<3〕,那么函數(shù)f〔x〕與g〔x〕的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為〔〕A.2 B.4 C.6 D.8二、填空題:此題共4小題,每題5分,總分值20分,將答案填在答題紙上13.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,拋物線上的點(diǎn)P〔﹣2,a〕到焦點(diǎn)的距離為3,那么a=.14.甲、乙、丙三個(gè)各自獨(dú)立地做同一道數(shù)學(xué)題,當(dāng)他們都把自己的答案公布出來(lái)之后,甲說(shuō):我做錯(cuò)了;乙說(shuō):丙做對(duì)了;丙說(shuō):我做錯(cuò)了.在一旁的老師看到他們的答案并聽(tīng)取了他們的意見(jiàn)后說(shuō):“你們?nèi)齻€(gè)人中有一個(gè)人做對(duì)了,有一個(gè)說(shuō)對(duì)了.〞請(qǐng)問(wèn)他們?nèi)齻€(gè)人中做對(duì)了的是.15.實(shí)數(shù)x,y滿足,假設(shè)z=3x﹣2y取得最小值時(shí)的最優(yōu)解〔x,y〕滿足ax+by=2〔ab>0〕,那么的最小值為.16.a(chǎn),b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=3,b=2,且,那么B=.三、解答題:共70分.解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.〔一〕必考題:共60分.17.〔12.00分〕數(shù)列{an}滿足:,且a1=1,a2=2.〔1〕求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;〔2〕假設(shè)數(shù)列{bn}滿足,且b1=1.求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,并求其前n項(xiàng)和Tn.18.〔12.00分〕某大學(xué)導(dǎo)師方案從自己所培養(yǎng)的研究生甲、乙兩人中選一人,參加雄安新區(qū)某部門(mén)組織的計(jì)算機(jī)技能大賽,兩人以往5次的比賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下:〔總分值100分,單位:分〕.第一次第二次第三次第四次第五次甲的成績(jī)87878410092乙的成績(jī)10080859590〔1〕試比擬甲、乙二人誰(shuí)的成績(jī)更穩(wěn)定;〔2〕在一次考試中假設(shè)兩人成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于2,那么稱(chēng)兩人“實(shí)力相當(dāng)〞.假設(shè)從上述5次成績(jī)中任意抽取2次,求恰有一次兩人“實(shí)力相當(dāng)〞的概率.19.〔12.00分〕如圖,四棱臺(tái)A1B1C1D1﹣ABCD中,A1A⊥底面ABCD,A1B1=A1A=,AC=2,平面A1ACC1⊥平面C1CDD1,M為C〔1〕證明:AM⊥D1D;〔2〕假設(shè)∠ABC=30°,且AC≠BC,求點(diǎn)A到平面B1BCC1的距離.20.〔12.00分〕橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).〔1〕求橢圓C的方程;〔2〕設(shè)P〔x,y〕為橢圓C上任一點(diǎn),F(xiàn)為其右焦點(diǎn),點(diǎn)P'滿足.①證明:為定值;②設(shè)直線與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)M.假設(shè)|AF|,|MF|,|BF|成等差數(shù)列,求m的值.21.〔12.00分〕函數(shù).〔1〕判斷函數(shù)f〔x〕的單調(diào)性;〔2〕設(shè)函數(shù)g〔x〕=lnx+1,證明:當(dāng)x∈〔0,+∞〕且a>0時(shí),f〔x〕>g〔x〕.〔二〕選考題:共10分.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答,多答,按所首題進(jìn)行評(píng)分;22.〔10.00分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為〔t為參數(shù),a>0〕,在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線l:ρcosθ﹣ρsinθ+b=0與⊙C2:ρ=﹣4cosθ相交于A、B兩點(diǎn),且∠AOB=90°.〔1〕求b的值;〔2〕直線l與曲線C1相交于M、N,證明:|C2M|?|C2N|〔C223.函數(shù)f〔x〕=|x+1|.〔1〕解關(guān)于x的不等式f〔x〕﹣x2+1>0;〔2〕假設(shè)函數(shù)g〔x〕=f〔x﹣1〕+f〔x+m〕,當(dāng)且僅當(dāng)0≤x≤1時(shí),g〔x〕取得最小值,求x∈〔﹣1,2〕時(shí),函數(shù)g〔x〕的值域.
2024年河北省保定市高考數(shù)學(xué)一模試卷〔文科〕參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共12個(gè)小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1.集合A={﹣2,﹣1,1,2},集合B={k∈A|y=kx在R上為增函數(shù)},那么A∩B的子集個(gè)數(shù)為〔〕A.1 B.2 C.3 D.4【分析】求出集合B的元素,利用集合交集的定義進(jìn)行求解即可.【解答】解:集合B={k∈A|y=kx在R上為增函數(shù)}={k∈A|k>0}={1,2},那么A∩B={1,2},故A∩B的子集個(gè)數(shù)為4個(gè),應(yīng)選:D.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查集合的根本運(yùn)算,求出集合B的等價(jià)條件是解決此題的關(guān)鍵.2.設(shè)a為i﹣1的虛部,b為〔1+i〕2的實(shí)部,那么a+b=〔〕A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.0【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么、有關(guān)概念即可得出.【解答】解:i﹣1==﹣i,那么a=﹣1.〔1+i〕2=1﹣1+2i=2i.∴b=0,那么a+b=﹣1+0=﹣1.應(yīng)選:A.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么、有關(guān)概念,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于根底題.3.具有線性相關(guān)的變量x,y,設(shè)其樣本點(diǎn)為Ai〔xi,yi〕〔i=1,2,……,8〕,回歸直線方程為,假設(shè),〔O為原點(diǎn)〕,那么a=〔〕A. B. C. D.【分析】根據(jù)題意計(jì)算平均數(shù)、,代入回歸直線方程求出a的值.【解答】解:計(jì)算=×〔x1+x2+…+x8〕==,=×〔y1+y2+…+y8〕==;回歸直線方程為,∴=×+a,解得a=﹣.應(yīng)選:B.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平均數(shù)與線性回歸方程的應(yīng)用問(wèn)題,是根底題.4.非向量,那么x<0或x>4是向量與夾角為銳角的〔〕A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【分析】cos<,>=,由向量與夾角為銳角,可得>0,解得x.反之由x<0或x>4,向量與夾角不一定為銳角.【解答】解:非向量,∴cos<,>===,由向量與夾角為銳角,那么>0,解得x<0或x>4.反之由x<0或x>4,向量與夾角不一定為銳角.例如x=﹣1時(shí),向量與夾角為0.因此x<0或x>4是向量與夾角不一定為銳角的必要不充分條件.應(yīng)選:B.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了向量夾角公式、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.5.,那么?p為〔〕A.?n∈N,5n<100 B.?n∈N,5n≥100C. D.【分析】利用特稱(chēng)命題的否認(rèn)是全稱(chēng)命題,寫(xiě)出結(jié)果即可.【解答】解:因?yàn)樘胤Q(chēng)命題的否認(rèn)是全稱(chēng)命題,所以,,那么?p為:?n∈N,5n≥100.應(yīng)選:B.【點(diǎn)評(píng)】此題考查命題的否認(rèn),特稱(chēng)命題與全稱(chēng)命題的否認(rèn)關(guān)系,是根本知識(shí)的考查.6.2024年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi),會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為根底設(shè)計(jì).弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形〔如圖〕.如果小正方形的邊長(zhǎng)為2,大正方形的邊長(zhǎng)為10,直角三角形中較小的銳角為θ,那么=〔〕A. B. C. D.【分析】根據(jù)大正方形的面積求得直角三角形的斜邊,根據(jù)大正方形減去小正方形的面積即四個(gè)直角三角形的面積和,求得兩條直角邊的乘積.再根據(jù)勾股定理知直角三角形的兩條直角邊的平方和等于100,聯(lián)立解方程組可得兩條直角邊,那么可求cosθ,sinθ的值,進(jìn)而即可化簡(jiǎn)求值得解.【解答】解:根據(jù)題意,大正方形邊長(zhǎng)=10,小正方形的邊長(zhǎng)=2.可得三角形的面積=〔100﹣4〕÷4=24.設(shè)三角形兩直角邊為a、b,那么ab=24.又a2+b2=102,聯(lián)立解得:,或,所以cosθ=,sinθ=.可得:=cosθ+sinθ=.應(yīng)選:A.【點(diǎn)評(píng)】此題中根據(jù)正方形以及直角三角形的面積公式求得直角三角形的三邊,進(jìn)一步運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義求解,屬于中檔題.7.如以下圖的程序框圖,輸出S的值為〔〕A. B. C. D.【分析】題目給出了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)框圖,首先引入累加變量s和循環(huán)變量n,由判斷框得知,算法執(zhí)行的是求2ncosnπ的和,n從1取到100,利用等比數(shù)列求和公式即可計(jì)算得解.【解答】解:通過(guò)分析知該算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π,由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣…+2100==.應(yīng)選:C.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了程序框圖中的當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu),當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)是先判斷再執(zhí)行,假設(shè)滿足條件進(jìn)入循環(huán),否那么結(jié)束循環(huán),循環(huán)結(jié)構(gòu)主要用在一些規(guī)律的重復(fù)計(jì)算,如累加、累積等,在循環(huán)結(jié)構(gòu)中框圖中,特別要注意條件應(yīng)用,如計(jì)數(shù)變量和累加變量等.8.函數(shù)f〔x〕既是二次函數(shù)又是冪函數(shù),函數(shù)g〔x〕是R上的奇函數(shù),函數(shù),那么h〔2024〕+h〔2024〕+h〔2024〕+…+h〔1〕+h〔0〕+h〔﹣1〕+…h(huán)〔﹣2024〕+h〔﹣2024〕+h〔﹣2024〕=〔〕A.0 B.2018 C.4036 D.4037【分析】根據(jù)函數(shù)f〔x〕既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)知f〔x〕=x2為R上的偶函數(shù),又函數(shù)g〔x〕是R上的奇函數(shù)知m〔x〕=為R上的奇函數(shù);得出h〔x〕+h〔﹣x〕=2,且h〔0〕=1,由此求出結(jié)果.【解答】解:函數(shù)f〔x〕既是二次函數(shù)又是冪函數(shù),∴f〔x〕=x2,∴f〔x〕+1為偶函數(shù);函數(shù)g〔x〕是R上的奇函數(shù),m〔x〕=為定義域R上的奇函數(shù);函數(shù),∴h〔x〕+h〔﹣x〕=[+1]+[+1]=[+]+2=2,∴h〔2024〕+h〔2024〕+h〔2024〕+…+h〔1〕+h〔0〕+h〔﹣1〕+…+h〔﹣2024〕+h〔﹣2024〕+h〔﹣2024〕=[h〔2024〕+h〔﹣2024〕]+[h〔2024〕+h〔﹣2024〕]+…+[h〔1〕+h〔﹣1〕]+h〔0〕=2+2+…+2+1=2×2024+1=4037.應(yīng)選:D.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了函數(shù)的奇偶性與應(yīng)用問(wèn)題,是中檔題.9.如圖是某幾何體的三視圖,那么該幾何體的外表積為〔〕A. B. C. D.【分析】由題意,幾何體為三棱錐,外表積由4個(gè)側(cè)面加一個(gè)底面,從而可得幾何體的外表積.【解答】解:由題意,幾何體為三棱錐,外表積由4個(gè)側(cè)面加一個(gè)底面,一條側(cè)棱與底面等腰三角形的頂點(diǎn)垂直,如圖:PA=2,BC=2,三角形ABC是等腰三角形,高為1,所以AB=AC=2,∴幾何體的外表積為:+=6.應(yīng)選:C.【點(diǎn)評(píng)】此題考查由三視圖求幾何體的面積、體積,考查對(duì)三視圖的理解與應(yīng)用,此題解題的關(guān)鍵是用三視圖中的數(shù)據(jù)復(fù)原出實(shí)物圖的數(shù)據(jù),再根據(jù)相關(guān)的公式求外表積與體積,三視圖的投影規(guī)那么是:“主視、俯視長(zhǎng)對(duì)正;主視、左視高平齊,左視、俯視寬相等〞.10.向量,向量,函數(shù),那么以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A.f〔x〕是奇函數(shù) B.f〔x〕的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線C.f〔x〕的最小正周期為2π D.f〔x〕在上為減函數(shù)【分析】運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,以及二倍角的正弦公式、余弦公式,化簡(jiǎn)函數(shù)f〔x〕,再由奇偶性和對(duì)稱(chēng)軸、周期性和單調(diào)性,計(jì)算可得所求結(jié)論.【解答】解:向量,向量,函數(shù)=sin4+cos4=〔sin2+cos2〕2﹣2sin2cos2=1﹣〔2sincos〕2=1﹣sin2x=1﹣?〔1﹣cos2x〕=〔3+cos2x〕,由f〔﹣x〕=〔3+cos〔﹣2x〕〕=〔3+cos2x〕=f〔x〕,可得f〔x〕為偶函數(shù),那么A錯(cuò);由2x=kπ,可得x=kπ〔k∈Z〕,那么B錯(cuò);f〔x〕的最小正周期為T(mén)==π,那么C錯(cuò);由x∈〔,〕可得2x∈〔,π〕,那么f〔x〕在上為減函數(shù),D正確.應(yīng)選:D.【點(diǎn)評(píng)】此題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角的正弦公式、余弦公式的運(yùn)用,考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.11.雙曲線=1〔b>0〕的左頂點(diǎn)為A,虛軸長(zhǎng)為8,右焦點(diǎn)為F,且⊙F與雙曲線的漸近線相切,假設(shè)過(guò)點(diǎn)A作⊙F的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,那么|MN|=〔〕A.8 B.4 C.2 D.4【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形,結(jié)合雙曲線的性質(zhì)可得⊙F的半徑,再利用面積法即可求出.【解答】解:雙曲線﹣=1〔b>0〕的左頂點(diǎn)為A,虛軸長(zhǎng)為8,∴2b=8,解得b=4,∵a=3,∴c2=a2+b2=25,即c=5,∴F〔5,0〕,A〔﹣3,0〕,∴雙曲線的漸近線方程為y=±x,∵⊙F與雙曲線的漸近線相切,∴⊙F的半徑r==4,∴|MF|=4,∵|AF|=a+c=5+3=8,∴|AM|==4,∵S四邊形AMFN=2×|AM|?|MF|=|AF|?|MN|,∴2×4×4=8?|MN|,解得|MN|=4,應(yīng)選:D.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),以及直線和圓的位置關(guān)系,考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.12.定義在R上的偶函數(shù)f〔x〕滿足f〔x+1〕=﹣f〔x〕,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f〔x〕=﹣2x+1,設(shè)函數(shù)g〔x〕=〔〕|x﹣1|〔﹣1<x<3〕,那么函數(shù)f〔x〕與g〔x〕的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為〔〕A.2 B.4 C.6 D.8【分析】根據(jù)f〔x〕的周期和對(duì)稱(chēng)性得出函數(shù)圖象,根據(jù)圖象和對(duì)稱(chēng)軸得出交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和.【解答】解:∵f〔x+1〕=﹣f〔x〕,∴f〔x+2〕=﹣f〔x+1〕=f〔x〕,∴f〔x〕的周期為2.∴f〔1﹣x〕=f〔x﹣1〕=f〔x+1〕,故f〔x〕的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng).又g〔x〕=〔〕|x﹣1|〔﹣1<x<3〕的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),作出f〔x〕的函數(shù)圖象如以下圖:由圖象可知兩函數(shù)圖象在〔﹣1,3〕上共有4個(gè)交點(diǎn),∴所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為1×2×2=4.應(yīng)選:B.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了函數(shù)圖象變換,屬于中檔題.二、填空題:此題共4小題,每題5分,總分值20分,將答案填在答題紙上13.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,拋物線上的點(diǎn)P〔﹣2,a〕到焦點(diǎn)的距離為3,那么a=.【分析】由題意設(shè)拋物線方程為y2=﹣2px,〔p>0〕,由條件得2+=3,由此能求出拋物線的方程.【解答】解:由題意設(shè)拋物線方程為y2=﹣2px,〔p>0〕,其準(zhǔn)線方程為x=,∵拋物線上一點(diǎn)P〔﹣2,a〕到焦點(diǎn)的距離為3,∴2+=3,解得p=2,∴此拋物線的方程為y2=﹣4x.可得:a2=8,解得a=.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】此題考查拋物線方程的求法,解題時(shí)要注意拋物線的定義的合理運(yùn)用.14.甲、乙、丙三個(gè)各自獨(dú)立地做同一道數(shù)學(xué)題,當(dāng)他們都把自己的答案公布出來(lái)之后,甲說(shuō):我做錯(cuò)了;乙說(shuō):丙做對(duì)了;丙說(shuō):我做錯(cuò)了.在一旁的老師看到他們的答案并聽(tīng)取了他們的意見(jiàn)后說(shuō):“你們?nèi)齻€(gè)人中有一個(gè)人做對(duì)了,有一個(gè)說(shuō)對(duì)了.〞請(qǐng)問(wèn)他們?nèi)齻€(gè)人中做對(duì)了的是甲.【分析】分別假設(shè)三人中做對(duì)的是甲、乙、丙,利用三個(gè)人中有一個(gè)人做對(duì)了,有一個(gè)說(shuō)對(duì)了,能判斷出結(jié)果.【解答】解:假設(shè)三人中做對(duì)的是甲,那么甲、乙說(shuō)錯(cuò)了,丙說(shuō)對(duì)了,符合題意;假設(shè)三人中做對(duì)的是乙,那么乙說(shuō)錯(cuò)了,皿和丙說(shuō)對(duì)了,不符合題意;假設(shè)三人中做對(duì)的是丙,那么甲、乙、丙都說(shuō)對(duì)了,不符合題意.綜上,他們?nèi)齻€(gè)人中做對(duì)的是甲.故答案為:甲.【點(diǎn)評(píng)】此題考查推理的應(yīng)用,考查簡(jiǎn)單的合情推等根底知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是根底題.15.實(shí)數(shù)x,y滿足,假設(shè)z=3x﹣2y取得最小值時(shí)的最優(yōu)解〔x,y〕滿足ax+by=2〔ab>0〕,那么的最小值為9.【分析】由題意作出可行域,變形目標(biāo)函數(shù),平移目標(biāo)函數(shù),求出a+b=1,再構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值.【解答】解:實(shí)數(shù)x,y滿足,作出不等式組所對(duì)應(yīng)的可行域,變形目標(biāo)函數(shù)可得y=x﹣,a>0,平移目標(biāo)函數(shù),當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),z取得最小值,由,解得x=y=2∴a+b=2,∴a+b=1,∵ab>0,∴a>0,b>0,∴=+=+,設(shè)f〔a〕=+,∴f′〔a〕=﹣+=﹣令f′〔a〕=0,解得a=2〔舍去〕,或a=,當(dāng)0<a<時(shí),f′〔a〕<0,函數(shù)f〔a〕單調(diào)遞減,當(dāng)<a<1時(shí),f′〔a〕>0,函數(shù)f〔a〕單調(diào)遞增,∴f〔a〕min=f〔〕=+=9,故的最小值為9,故答案為:9.【點(diǎn)評(píng)】此題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃,導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系,考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬中檔題16.a(chǎn),b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=3,b=2,且,那么B=.【分析】根據(jù)題意,由,結(jié)合余弦定理分析可得ac×=a2﹣b2+bc,變形可得=,即cosA=,由同角三角函數(shù)根本關(guān)系式分析可得sinA的值,又由正弦定理分析可得sinB,有a、b的大小關(guān)系分析可得B為銳角,即可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,△ABC中,那么有ac×=a2﹣b2+bc,變形可得:a2+c2﹣b2=2a2﹣2b2+bc,那么有=,即cosA=,那么sinA==,又由=,那么sinB=,又由a=3,b=2,那么sinB==,又由a>b,那么B<,那么B=;故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的幾何計(jì)算,涉及余弦定理、正弦定理的應(yīng)用,注意余弦定理的形式.三、解答題:共70分.解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.〔一〕必考題:共60分.17.〔12.00分〕數(shù)列{an}滿足:,且a1=1,a2=2.〔1〕求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;〔2〕假設(shè)數(shù)列{bn}滿足,且b1=1.求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,并求其前n項(xiàng)和Tn.【分析】〔1〕判斷數(shù)列是等差數(shù)列,然后求解數(shù)列的通項(xiàng)公式.〔2〕利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可.【解答】解:〔1〕由知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且首項(xiàng)為1,公差為a2﹣a1=1,所以an=n;〔2〕∵2nbn+1=〔n+1〕bn,∴,∴數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,,從而,,,∴,所以.【點(diǎn)評(píng)】此題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及是;求和,錯(cuò)位相減法的應(yīng)用.考查計(jì)算能力.18.〔12.00分〕某大學(xué)導(dǎo)師方案從自己所培養(yǎng)的研究生甲、乙兩人中選一人,參加雄安新區(qū)某部門(mén)組織的計(jì)算機(jī)技能大賽,兩人以往5次的比賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下:〔總分值100分,單位:分〕.第一次第二次第三次第四次第五次甲的成績(jī)87878410092乙的成績(jī)10080859590〔1〕試比擬甲、乙二人誰(shuí)的成績(jī)更穩(wěn)定;〔2〕在一次考試中假設(shè)兩人成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于2,那么稱(chēng)兩人“實(shí)力相當(dāng)〞.假設(shè)從上述5次成績(jī)中任意抽取2次,求恰有一次兩人“實(shí)力相當(dāng)〞的概率.【分析】〔1〕先分別求出兩組數(shù)據(jù)的均值,再求出兩組數(shù)據(jù)的方差,從而得到甲的成績(jī)更穩(wěn)定.〔2〕法一:考試有5次,任選2次,利用列舉法求出根本領(lǐng)件有10個(gè),符合條件的事件有6個(gè),由此能求出5次考試,任取2次,恰有一次兩人“實(shí)力相當(dāng)〞的概率.法二:這5次考試中,分?jǐn)?shù)差的絕對(duì)值分別為13,7,1,5,2,從中任取兩次,利用列舉法求出分差絕對(duì)值的情況有10種,其中符合條件的情況有6種,由此能求出5次考試,任取2次,恰有一次兩人“實(shí)力相當(dāng)〞的概率.【解答】解:〔1〕∵,,,∴甲的成績(jī)更穩(wěn)定.〔2〕解法一:考試有5次,任選2次,根本領(lǐng)件有10個(gè),分別為:〔87,100〕和〔87,80〕,〔87,100〕和〔84,85〕,〔87,100〕和〔100,95〕,〔87,100〕和〔92,90〕,〔87,80〕和〔84,85〕,〔87,80〕和〔100,95〕,〔87,80〕和〔92,90〕,〔84,85〕和〔100,95〕,〔84,85〕和〔92,90〕,〔100,95〕和〔92,90〕,其中符合條件的事件有6個(gè),分別為:〔87,100〕和〔84,85〕,〔87,100〕和〔92,90〕,〔87,80〕和〔84,85〕,〔87,80〕和〔92,90〕,〔84,85〕和〔100,95〕,〔100,95〕和〔92,90〕,那么5次考試,任取2次,恰有一次兩人“實(shí)力相當(dāng)〞的概率為p=.解法二:這5次考試中,分?jǐn)?shù)差的絕對(duì)值分別為13,7,1,5,2,那么從中任取兩次,分差絕對(duì)值的情況為:〔13,7〕,〔13,1〕,〔13,5〕,〔13,2〕,〔7,1〕,〔7,5〕,〔7,2〕,〔1,5〕,〔1,2〕,〔5,2〕共10種,其中符合條件的情況有〔13,1〕,〔13,2〕,〔7,1〕,〔7,2〕,〔1,5〕,〔5,2〕共6種情況,那么5次考試,任取2次,恰有一次兩人“實(shí)力相當(dāng)〞的概率為p=.【點(diǎn)評(píng)】此題考查平均數(shù)、方差、概率的求法,考查列舉法、古典概型、統(tǒng)計(jì)表等根底知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是根底題.19.〔12.00分〕如圖,四棱臺(tái)A1B1C1D1﹣ABCD中,A1A⊥底面ABCD,A1B1=A1A=,AC=2,平面A1ACC1⊥平面C1CDD1,M為C〔1〕證明:AM⊥D1D;〔2〕假設(shè)∠ABC=30°,且AC≠BC,求點(diǎn)A到平面B1BCC1的距離.【分析】〔1〕連接AC1,證明AM⊥C1C,推出AM⊥平面C1CDD1,然后證明AM⊥D1〔2〕在△ABC中,利用余弦定理可求得,BC=4,推出AB⊥AC,證明AB⊥CC1,推出CC1⊥平面ABM〔連接BM〕,過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BM,交BM于點(diǎn)N,AN⊥平面B1BCC1,在Rt△ABM中可求得點(diǎn)A到平面B1BCC1的距離.【解答】〔1〕證明:連接AC1,∵A1B1C1D1﹣ABCD為四棱臺(tái),四邊形A1B1C1D1∴,由AC=2得,A1C1=1,又∵A1A⊥底面ABCD,∴四邊形A1ACC1為直角梯形,可求得C1又AC=2,M為CC1的中點(diǎn),所以AM⊥C1C又∵平面A1ACC1⊥平面C1CDD1,平面A1ACC1∩平面C1CDD1=C1C∴AM⊥平面C1CDD1,D1D?平面C1CDD1,∴AM⊥D1D;〔2〕解:在△ABC中,,利用余弦定理可求得,BC=4或BC=2,由于AC≠BC,所以BC=4,從而AB2+AC2=BC2,知AB⊥AC,又∵A1A⊥底面ABCD,那么平面A1ACC1⊥∴AB⊥平面A1ACC1,所以AB⊥CC1,由〔1〕知AM⊥CC1,AB∩AM=A,∴CC1⊥平面ABM〔連接BM〕,∴平面ABM⊥平面B1BCC1,過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BM,交BM于點(diǎn)N,那么AN⊥平面B1BCC1,在Rt△ABM中可求得,所以,所以,點(diǎn)A到平面B1BCC1的距離為.【點(diǎn)評(píng)】此題考查直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)定理的應(yīng)用,空間點(diǎn)線面距離的求法,考查空間想象能力以及計(jì)算能力.20.〔12.00分〕橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).〔1〕求橢圓C的方程;〔2〕設(shè)P〔x,y〕為橢圓C上任一點(diǎn),F(xiàn)為其右焦點(diǎn),點(diǎn)P'滿足.①證明:為定值;②設(shè)直線與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)M.假設(shè)|AF|,|MF|,|BF|成等差數(shù)列,求m的值.【分析】〔1〕利用橢圓的離心率以及點(diǎn)的坐標(biāo),列出方程求解a,b,然后推出橢圓方程.〔2〕由〔1〕推出,求出,然后求出為定值;②直線與橢圓C聯(lián)立,得x2+mx+m2﹣3=0,利用判別式推出﹣2<m<2,設(shè),那么,利用拋物線的性質(zhì)以及條件,求解m的值即可.【解答】解:〔1〕由得3a2=4b2,把點(diǎn)代入橢圓方程為,∴得a2=4,∴b2=3,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;〔2〕由〔1〕知,,而,∴為定值;②直線與橢圓C聯(lián)立,得x2+mx+m2﹣3=0,△=m2﹣4〔m2﹣3〕>0?﹣2<m<2,設(shè),那么,由①知,∴,∵|AF|,|MF|,|BF|成等差數(shù)列,∴|AF|+|BF|=2|MF|,即解得或,又因?yàn)椹?<m<2,所以.【點(diǎn)評(píng)】此題考查橢圓的求法,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.21.〔12.00分〕函數(shù).〔1〕判斷函數(shù)f〔x〕的單調(diào)性;〔2〕設(shè)函數(shù)g〔x〕=lnx+1,證明:當(dāng)x∈〔0,+∞〕且a>0時(shí),f〔x〕>g〔x〕.【分析】〔1〕求出導(dǎo)函數(shù),通過(guò)①假設(shè)a≤0,②假設(shè)a>0,判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),判斷函數(shù)的單調(diào)性即可;〔2〕令,,設(shè)p〔x〕=x2﹣x﹣a=0的正根為x0,所以,求出函數(shù)h〔x〕的最小值,推出h〔x〕min>0,推出結(jié)果f〔x〕>g〔x〕.【解答】解:〔1〕因?yàn)?,①假設(shè)a≤0,f'〔x〕>0,∴f〔x〕在〔﹣∞,0〕,〔0,+∞〕為增函數(shù);②假設(shè)a>0,那么或,,∴函數(shù)f〔x〕的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;〔2〕證明:令,
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