【市級檢測】2024年河北省保定市高考數(shù)學一模試卷(文科)

第1頁〔共26頁〕2024年河北省保定市高考數(shù)學一模試卷〔文科〕一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1．集合A={﹣2，﹣1，1，2}，集合B={k∈A|y=kx在R上為增函數(shù)}，那么A∩B的子集個數(shù)為〔〕A．1 B．2 C．3 D．42．設(shè)a為i﹣1的虛部，b為〔1+i〕2的實部，那么a+b=〔〕A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．03．具有線性相關(guān)的變量x，y，設(shè)其樣本點為Ai〔xi，yi〕〔i=1，2，……，8〕，回歸直線方程為，假設(shè)，〔O為原點〕，那么a=〔〕A． B． C． D．4．非向量，那么x＜0或x＞4是向量與夾角為銳角的〔〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．，那么?p為〔〕A．?n∈N，5n＜100 B．?n∈N，5n≥100C． D．6．2024年國際數(shù)學家大會在北京召開，會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為根底設(shè)計．弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形〔如圖〕．如果小正方形的邊長為2，大正方形的邊長為10，直角三角形中較小的銳角為θ，那么=〔〕A． B． C． D．7．如以下圖的程序框圖，輸出S的值為〔〕A． B． C． D．8．函數(shù)f〔x〕既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，函數(shù)g〔x〕是R上的奇函數(shù)，函數(shù)，那么h〔2024〕+h〔2024〕+h〔2024〕+…+h〔1〕+h〔0〕+h〔﹣1〕+…h(huán)〔﹣2024〕+h〔﹣2024〕+h〔﹣2024〕=〔〕A．0 B．2018 C．4036 D．40379．如圖是某幾何體的三視圖，那么該幾何體的外表積為〔〕A． B． C． D．10．向量，向量，函數(shù)，那么以下說法正確的選項是〔〕A．f〔x〕是奇函數(shù) B．f〔x〕的一條對稱軸為直線C．f〔x〕的最小正周期為2π D．f〔x〕在上為減函數(shù)11．雙曲線=1〔b＞0〕的左頂點為A，虛軸長為8，右焦點為F，且⊙F與雙曲線的漸近線相切，假設(shè)過點A作⊙F的兩條切線，切點分別為M，N，那么|MN|=〔〕A．8 B．4 C．2 D．412．定義在R上的偶函數(shù)f〔x〕滿足f〔x+1〕=﹣f〔x〕，當x∈[0，1]時，f〔x〕=﹣2x+1，設(shè)函數(shù)g〔x〕=〔〕|x﹣1|〔﹣1＜x＜3〕，那么函數(shù)f〔x〕與g〔x〕的圖象所有交點的橫坐標之和為〔〕A．2 B．4 C．6 D．8二、填空題：此題共4小題，每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上13．拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，拋物線上的點P〔﹣2，a〕到焦點的距離為3，那么a=．14．甲、乙、丙三個各自獨立地做同一道數(shù)學題，當他們都把自己的答案公布出來之后，甲說：我做錯了；乙說：丙做對了；丙說：我做錯了．在一旁的老師看到他們的答案并聽取了他們的意見后說：“你們?nèi)齻€人中有一個人做對了，有一個說對了．〞請問他們?nèi)齻€人中做對了的是．15．實數(shù)x，y滿足，假設(shè)z=3x﹣2y取得最小值時的最優(yōu)解〔x，y〕滿足ax+by=2〔ab＞0〕，那么的最小值為．16．a(chǎn)，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a=3，b=2，且，那么B=．三、解答題：共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.〔一〕必考題：共60分.17．〔12.00分〕數(shù)列{an}滿足：，且a1=1，a2=2．〔1〕求數(shù)列{an}的通項公式；〔2〕假設(shè)數(shù)列{bn}滿足，且b1=1．求數(shù)列{bn}的通項公式，并求其前n項和Tn．18．〔12.00分〕某大學導師方案從自己所培養(yǎng)的研究生甲、乙兩人中選一人，參加雄安新區(qū)某部門組織的計算機技能大賽，兩人以往5次的比賽成績統(tǒng)計如下：〔總分值100分，單位：分〕．第一次第二次第三次第四次第五次甲的成績87878410092乙的成績10080859590〔1〕試比擬甲、乙二人誰的成績更穩(wěn)定；〔2〕在一次考試中假設(shè)兩人成績之差的絕對值不大于2，那么稱兩人“實力相當〞．假設(shè)從上述5次成績中任意抽取2次，求恰有一次兩人“實力相當〞的概率．19．〔12.00分〕如圖，四棱臺A1B1C1D1﹣ABCD中，A1A⊥底面ABCD，A1B1=A1A=，AC=2，平面A1ACC1⊥平面C1CDD1，M為C〔1〕證明：AM⊥D1D；〔2〕假設(shè)∠ABC=30°，且AC≠BC，求點A到平面B1BCC1的距離．20．〔12.00分〕橢圓的離心率為，且過點．〔1〕求橢圓C的方程；〔2〕設(shè)P〔x，y〕為橢圓C上任一點，F(xiàn)為其右焦點，點P'滿足．①證明：為定值；②設(shè)直線與橢圓C有兩個不同的交點A、B，與y軸交于點M．假設(shè)|AF|，|MF|，|BF|成等差數(shù)列，求m的值．21．〔12.00分〕函數(shù)．〔1〕判斷函數(shù)f〔x〕的單調(diào)性；〔2〕設(shè)函數(shù)g〔x〕=lnx+1，證明：當x∈〔0，+∞〕且a＞0時，f〔x〕＞g〔x〕．〔二〕選考題：共10分．請考生在22、23兩題中任選一題作答，多答，按所首題進行評分；22．〔10.00分〕在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為〔t為參數(shù)，a＞0〕，在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l：ρcosθ﹣ρsinθ+b=0與⊙C2：ρ=﹣4cosθ相交于A、B兩點，且∠AOB=90°．〔1〕求b的值；〔2〕直線l與曲線C1相交于M、N，證明：|C2M|?|C2N|〔C223．函數(shù)f〔x〕=|x+1|．〔1〕解關(guān)于x的不等式f〔x〕﹣x2+1＞0；〔2〕假設(shè)函數(shù)g〔x〕=f〔x﹣1〕+f〔x+m〕，當且僅當0≤x≤1時，g〔x〕取得最小值，求x∈〔﹣1，2〕時，函數(shù)g〔x〕的值域．

2024年河北省保定市高考數(shù)學一模試卷〔文科〕參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1．集合A={﹣2，﹣1，1，2}，集合B={k∈A|y=kx在R上為增函數(shù)}，那么A∩B的子集個數(shù)為〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【分析】求出集合B的元素，利用集合交集的定義進行求解即可．【解答】解：集合B={k∈A|y=kx在R上為增函數(shù)}={k∈A|k＞0}={1，2}，那么A∩B={1，2}，故A∩B的子集個數(shù)為4個，應選：D．【點評】此題主要考查集合的根本運算，求出集合B的等價條件是解決此題的關(guān)鍵．2．設(shè)a為i﹣1的虛部，b為〔1+i〕2的實部，那么a+b=〔〕A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0【分析】利用復數(shù)的運算法那么、有關(guān)概念即可得出．【解答】解：i﹣1==﹣i，那么a=﹣1．〔1+i〕2=1﹣1+2i=2i．∴b=0，那么a+b=﹣1+0=﹣1．應選：A．【點評】此題考查了復數(shù)的運算法那么、有關(guān)概念，考查了推理能力與計算能力，屬于根底題．3．具有線性相關(guān)的變量x，y，設(shè)其樣本點為Ai〔xi，yi〕〔i=1，2，……，8〕，回歸直線方程為，假設(shè)，〔O為原點〕，那么a=〔〕A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意計算平均數(shù)、，代入回歸直線方程求出a的值．【解答】解：計算=×〔x1+x2+…+x8〕==，=×〔y1+y2+…+y8〕==；回歸直線方程為，∴=×+a，解得a=﹣．應選：B．【點評】此題考查了平均數(shù)與線性回歸方程的應用問題，是根底題．4．非向量，那么x＜0或x＞4是向量與夾角為銳角的〔〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】cos＜，＞=，由向量與夾角為銳角，可得＞0，解得x．反之由x＜0或x＞4，向量與夾角不一定為銳角．【解答】解：非向量，∴cos＜，＞===，由向量與夾角為銳角，那么＞0，解得x＜0或x＞4．反之由x＜0或x＞4，向量與夾角不一定為銳角．例如x=﹣1時，向量與夾角為0．因此x＜0或x＞4是向量與夾角不一定為銳角的必要不充分條件．應選：B．【點評】此題考查了向量夾角公式、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5．，那么?p為〔〕A．?n∈N，5n＜100 B．?n∈N，5n≥100C． D．【分析】利用特稱命題的否認是全稱命題，寫出結(jié)果即可．【解答】解：因為特稱命題的否認是全稱命題，所以，，那么?p為：?n∈N，5n≥100．應選：B．【點評】此題考查命題的否認，特稱命題與全稱命題的否認關(guān)系，是根本知識的考查．6．2024年國際數(shù)學家大會在北京召開，會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為根底設(shè)計．弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形〔如圖〕．如果小正方形的邊長為2，大正方形的邊長為10，直角三角形中較小的銳角為θ，那么=〔〕A． B． C． D．【分析】根據(jù)大正方形的面積求得直角三角形的斜邊，根據(jù)大正方形減去小正方形的面積即四個直角三角形的面積和，求得兩條直角邊的乘積．再根據(jù)勾股定理知直角三角形的兩條直角邊的平方和等于100，聯(lián)立解方程組可得兩條直角邊，那么可求cosθ，sinθ的值，進而即可化簡求值得解．【解答】解：根據(jù)題意，大正方形邊長=10，小正方形的邊長=2．可得三角形的面積=〔100﹣4〕÷4=24．設(shè)三角形兩直角邊為a、b，那么ab=24．又a2+b2=102，聯(lián)立解得：，或，所以cosθ=，sinθ=．可得：=cosθ+sinθ=．應選：A．【點評】此題中根據(jù)正方形以及直角三角形的面積公式求得直角三角形的三邊，進一步運用銳角三角函數(shù)的定義求解，屬于中檔題．7．如以下圖的程序框圖，輸出S的值為〔〕A． B． C． D．【分析】題目給出了當型循環(huán)結(jié)構(gòu)框圖，首先引入累加變量s和循環(huán)變量n，由判斷框得知，算法執(zhí)行的是求2ncosnπ的和，n從1取到100，利用等比數(shù)列求和公式即可計算得解．【解答】解：通過分析知該算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π，由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣…+2100==．應選：C．【點評】此題考查了程序框圖中的當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，當型循環(huán)結(jié)構(gòu)是先判斷再執(zhí)行，假設(shè)滿足條件進入循環(huán)，否那么結(jié)束循環(huán)，循環(huán)結(jié)構(gòu)主要用在一些規(guī)律的重復計算，如累加、累積等，在循環(huán)結(jié)構(gòu)中框圖中，特別要注意條件應用，如計數(shù)變量和累加變量等．8．函數(shù)f〔x〕既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，函數(shù)g〔x〕是R上的奇函數(shù)，函數(shù)，那么h〔2024〕+h〔2024〕+h〔2024〕+…+h〔1〕+h〔0〕+h〔﹣1〕+…h(huán)〔﹣2024〕+h〔﹣2024〕+h〔﹣2024〕=〔〕A．0 B．2018 C．4036 D．4037【分析】根據(jù)函數(shù)f〔x〕既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)知f〔x〕=x2為R上的偶函數(shù)，又函數(shù)g〔x〕是R上的奇函數(shù)知m〔x〕=為R上的奇函數(shù)；得出h〔x〕+h〔﹣x〕=2，且h〔0〕=1，由此求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)f〔x〕既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，∴f〔x〕=x2，∴f〔x〕+1為偶函數(shù)；函數(shù)g〔x〕是R上的奇函數(shù)，m〔x〕=為定義域R上的奇函數(shù)；函數(shù)，∴h〔x〕+h〔﹣x〕=[+1]+[+1]=[+]+2=2，∴h〔2024〕+h〔2024〕+h〔2024〕+…+h〔1〕+h〔0〕+h〔﹣1〕+…+h〔﹣2024〕+h〔﹣2024〕+h〔﹣2024〕=[h〔2024〕+h〔﹣2024〕]+[h〔2024〕+h〔﹣2024〕]+…+[h〔1〕+h〔﹣1〕]+h〔0〕=2+2+…+2+1=2×2024+1=4037．應選：D．【點評】此題考查了函數(shù)的奇偶性與應用問題，是中檔題．9．如圖是某幾何體的三視圖，那么該幾何體的外表積為〔〕A． B． C． D．【分析】由題意，幾何體為三棱錐，外表積由4個側(cè)面加一個底面，從而可得幾何體的外表積．【解答】解：由題意，幾何體為三棱錐，外表積由4個側(cè)面加一個底面，一條側(cè)棱與底面等腰三角形的頂點垂直，如圖：PA=2，BC=2，三角形ABC是等腰三角形，高為1，所以AB=AC=2，∴幾何體的外表積為：+=6．應選：C．【點評】此題考查由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對三視圖的理解與應用，此題解題的關(guān)鍵是用三視圖中的數(shù)據(jù)復原出實物圖的數(shù)據(jù)，再根據(jù)相關(guān)的公式求外表積與體積，三視圖的投影規(guī)那么是：“主視、俯視長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視寬相等〞．10．向量，向量，函數(shù)，那么以下說法正確的選項是〔〕A．f〔x〕是奇函數(shù) B．f〔x〕的一條對稱軸為直線C．f〔x〕的最小正周期為2π D．f〔x〕在上為減函數(shù)【分析】運用向量數(shù)量積的坐標表示，以及二倍角的正弦公式、余弦公式，化簡函數(shù)f〔x〕，再由奇偶性和對稱軸、周期性和單調(diào)性，計算可得所求結(jié)論．【解答】解：向量，向量，函數(shù)=sin4+cos4=〔sin2+cos2〕2﹣2sin2cos2=1﹣〔2sincos〕2=1﹣sin2x=1﹣?〔1﹣cos2x〕=〔3+cos2x〕，由f〔﹣x〕=〔3+cos〔﹣2x〕〕=〔3+cos2x〕=f〔x〕，可得f〔x〕為偶函數(shù)，那么A錯；由2x=kπ，可得x=kπ〔k∈Z〕，那么B錯；f〔x〕的最小正周期為T==π，那么C錯；由x∈〔，〕可得2x∈〔，π〕，那么f〔x〕在上為減函數(shù)，D正確．應選：D．【點評】此題考查向量數(shù)量積的坐標表示和二倍角的正弦公式、余弦公式的運用，考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．11．雙曲線=1〔b＞0〕的左頂點為A，虛軸長為8，右焦點為F，且⊙F與雙曲線的漸近線相切，假設(shè)過點A作⊙F的兩條切線，切點分別為M，N，那么|MN|=〔〕A．8 B．4 C．2 D．4【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)可得⊙F的半徑，再利用面積法即可求出．【解答】解：雙曲線﹣=1〔b＞0〕的左頂點為A，虛軸長為8，∴2b=8，解得b=4，∵a=3，∴c2=a2+b2=25，即c=5，∴F〔5，0〕，A〔﹣3，0〕，∴雙曲線的漸近線方程為y=±x，∵⊙F與雙曲線的漸近線相切，∴⊙F的半徑r==4，∴|MF|=4，∵|AF|=a+c=5+3=8，∴|AM|==4，∵S四邊形AMFN=2×|AM|?|MF|=|AF|?|MN|，∴2×4×4=8?|MN|，解得|MN|=4，應選：D．【點評】此題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．12．定義在R上的偶函數(shù)f〔x〕滿足f〔x+1〕=﹣f〔x〕，當x∈[0，1]時，f〔x〕=﹣2x+1，設(shè)函數(shù)g〔x〕=〔〕|x﹣1|〔﹣1＜x＜3〕，那么函數(shù)f〔x〕與g〔x〕的圖象所有交點的橫坐標之和為〔〕A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根據(jù)f〔x〕的周期和對稱性得出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象和對稱軸得出交點橫坐標之和．【解答】解：∵f〔x+1〕=﹣f〔x〕，∴f〔x+2〕=﹣f〔x+1〕=f〔x〕，∴f〔x〕的周期為2．∴f〔1﹣x〕=f〔x﹣1〕=f〔x+1〕，故f〔x〕的圖象關(guān)于直線x=1對稱．又g〔x〕=〔〕|x﹣1|〔﹣1＜x＜3〕的圖象關(guān)于直線x=1對稱，作出f〔x〕的函數(shù)圖象如以下圖：由圖象可知兩函數(shù)圖象在〔﹣1，3〕上共有4個交點，∴所有交點的橫坐標之和為1×2×2=4．應選：B．【點評】此題考查了函數(shù)圖象變換，屬于中檔題．二、填空題：此題共4小題，每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上13．拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，拋物線上的點P〔﹣2，a〕到焦點的距離為3，那么a=．【分析】由題意設(shè)拋物線方程為y2=﹣2px，〔p＞0〕，由條件得2+=3，由此能求出拋物線的方程．【解答】解：由題意設(shè)拋物線方程為y2=﹣2px，〔p＞0〕，其準線方程為x=，∵拋物線上一點P〔﹣2，a〕到焦點的距離為3，∴2+=3，解得p=2，∴此拋物線的方程為y2=﹣4x．可得：a2=8，解得a=．故答案為：．【點評】此題考查拋物線方程的求法，解題時要注意拋物線的定義的合理運用．14．甲、乙、丙三個各自獨立地做同一道數(shù)學題，當他們都把自己的答案公布出來之后，甲說：我做錯了；乙說：丙做對了；丙說：我做錯了．在一旁的老師看到他們的答案并聽取了他們的意見后說：“你們?nèi)齻€人中有一個人做對了，有一個說對了．〞請問他們?nèi)齻€人中做對了的是甲．【分析】分別假設(shè)三人中做對的是甲、乙、丙，利用三個人中有一個人做對了，有一個說對了，能判斷出結(jié)果．【解答】解：假設(shè)三人中做對的是甲，那么甲、乙說錯了，丙說對了，符合題意；假設(shè)三人中做對的是乙，那么乙說錯了，皿和丙說對了，不符合題意；假設(shè)三人中做對的是丙，那么甲、乙、丙都說對了，不符合題意．綜上，他們?nèi)齻€人中做對的是甲．故答案為：甲．【點評】此題考查推理的應用，考查簡單的合情推等根底知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是根底題．15．實數(shù)x，y滿足，假設(shè)z=3x﹣2y取得最小值時的最優(yōu)解〔x，y〕滿足ax+by=2〔ab＞0〕，那么的最小值為9．【分析】由題意作出可行域，變形目標函數(shù)，平移目標函數(shù)，求出a+b=1，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值．【解答】解：實數(shù)x，y滿足，作出不等式組所對應的可行域，變形目標函數(shù)可得y=x﹣，a＞0，平移目標函數(shù)，當經(jīng)過點A時，z取得最小值，由，解得x=y=2∴a+b=2，∴a+b=1，∵ab＞0，∴a＞0，b＞0，∴=+=+，設(shè)f〔a〕=+，∴f′〔a〕=﹣+=﹣令f′〔a〕=0，解得a=2〔舍去〕，或a=，當0＜a＜時，f′〔a〕＜0，函數(shù)f〔a〕單調(diào)遞減，當＜a＜1時，f′〔a〕＞0，函數(shù)f〔a〕單調(diào)遞增，∴f〔a〕min=f〔〕=+=9，故的最小值為9，故答案為：9．【點評】此題考查簡單線性規(guī)劃，導數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題16．a(chǎn)，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a=3，b=2，且，那么B=．【分析】根據(jù)題意，由，結(jié)合余弦定理分析可得ac×=a2﹣b2+bc，變形可得=，即cosA=，由同角三角函數(shù)根本關(guān)系式分析可得sinA的值，又由正弦定理分析可得sinB，有a、b的大小關(guān)系分析可得B為銳角，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，△ABC中，那么有ac×=a2﹣b2+bc，變形可得：a2+c2﹣b2=2a2﹣2b2+bc，那么有=，即cosA=，那么sinA==，又由=，那么sinB=，又由a=3，b=2，那么sinB==，又由a＞b，那么B＜，那么B=；故答案為：．【點評】此題考查三角形的幾何計算，涉及余弦定理、正弦定理的應用，注意余弦定理的形式．三、解答題：共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.〔一〕必考題：共60分.17．〔12.00分〕數(shù)列{an}滿足：，且a1=1，a2=2．〔1〕求數(shù)列{an}的通項公式；〔2〕假設(shè)數(shù)列{bn}滿足，且b1=1．求數(shù)列{bn}的通項公式，并求其前n項和Tn．【分析】〔1〕判斷數(shù)列是等差數(shù)列，然后求解數(shù)列的通項公式．〔2〕利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式，然后利用錯位相減法求解數(shù)列的和即可．【解答】解：〔1〕由知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且首項為1，公差為a2﹣a1=1，所以an=n；〔2〕∵2nbn+1=〔n+1〕bn，∴，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，從而，，，∴，所以．【點評】此題考查數(shù)列的通項公式以及是；求和，錯位相減法的應用．考查計算能力．18．〔12.00分〕某大學導師方案從自己所培養(yǎng)的研究生甲、乙兩人中選一人，參加雄安新區(qū)某部門組織的計算機技能大賽，兩人以往5次的比賽成績統(tǒng)計如下：〔總分值100分，單位：分〕．第一次第二次第三次第四次第五次甲的成績87878410092乙的成績10080859590〔1〕試比擬甲、乙二人誰的成績更穩(wěn)定；〔2〕在一次考試中假設(shè)兩人成績之差的絕對值不大于2，那么稱兩人“實力相當〞．假設(shè)從上述5次成績中任意抽取2次，求恰有一次兩人“實力相當〞的概率．【分析】〔1〕先分別求出兩組數(shù)據(jù)的均值，再求出兩組數(shù)據(jù)的方差，從而得到甲的成績更穩(wěn)定．〔2〕法一：考試有5次，任選2次，利用列舉法求出根本領(lǐng)件有10個，符合條件的事件有6個，由此能求出5次考試，任取2次，恰有一次兩人“實力相當〞的概率．法二：這5次考試中，分數(shù)差的絕對值分別為13，7，1，5，2，從中任取兩次，利用列舉法求出分差絕對值的情況有10種，其中符合條件的情況有6種，由此能求出5次考試，任取2次，恰有一次兩人“實力相當〞的概率．【解答】解：〔1〕∵，，，∴甲的成績更穩(wěn)定．〔2〕解法一：考試有5次，任選2次，根本領(lǐng)件有10個，分別為：〔87，100〕和〔87，80〕，〔87，100〕和〔84，85〕，〔87，100〕和〔100，95〕，〔87，100〕和〔92，90〕，〔87，80〕和〔84，85〕，〔87，80〕和〔100，95〕，〔87，80〕和〔92，90〕，〔84，85〕和〔100，95〕，〔84，85〕和〔92，90〕，〔100，95〕和〔92，90〕，其中符合條件的事件有6個，分別為：〔87，100〕和〔84，85〕，〔87，100〕和〔92，90〕，〔87，80〕和〔84，85〕，〔87，80〕和〔92，90〕，〔84，85〕和〔100，95〕，〔100，95〕和〔92，90〕，那么5次考試，任取2次，恰有一次兩人“實力相當〞的概率為p=．解法二：這5次考試中，分數(shù)差的絕對值分別為13，7，1，5，2，那么從中任取兩次，分差絕對值的情況為：〔13，7〕，〔13，1〕，〔13，5〕，〔13，2〕，〔7，1〕，〔7，5〕，〔7，2〕，〔1，5〕，〔1，2〕，〔5，2〕共10種，其中符合條件的情況有〔13，1〕，〔13，2〕，〔7，1〕，〔7，2〕，〔1，5〕，〔5，2〕共6種情況，那么5次考試，任取2次，恰有一次兩人“實力相當〞的概率為p=．【點評】此題考查平均數(shù)、方差、概率的求法，考查列舉法、古典概型、統(tǒng)計表等根底知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是根底題．19．〔12.00分〕如圖，四棱臺A1B1C1D1﹣ABCD中，A1A⊥底面ABCD，A1B1=A1A=，AC=2，平面A1ACC1⊥平面C1CDD1，M為C〔1〕證明：AM⊥D1D；〔2〕假設(shè)∠ABC=30°，且AC≠BC，求點A到平面B1BCC1的距離．【分析】〔1〕連接AC1，證明AM⊥C1C，推出AM⊥平面C1CDD1，然后證明AM⊥D1〔2〕在△ABC中，利用余弦定理可求得，BC=4，推出AB⊥AC，證明AB⊥CC1，推出CC1⊥平面ABM〔連接BM〕，過點A作AN⊥BM，交BM于點N，AN⊥平面B1BCC1，在Rt△ABM中可求得點A到平面B1BCC1的距離．【解答】〔1〕證明：連接AC1，∵A1B1C1D1﹣ABCD為四棱臺，四邊形A1B1C1D1∴，由AC=2得，A1C1=1，又∵A1A⊥底面ABCD，∴四邊形A1ACC1為直角梯形，可求得C1又AC=2，M為CC1的中點，所以AM⊥C1C又∵平面A1ACC1⊥平面C1CDD1，平面A1ACC1∩平面C1CDD1=C1C∴AM⊥平面C1CDD1，D1D?平面C1CDD1，∴AM⊥D1D；〔2〕解：在△ABC中，，利用余弦定理可求得，BC=4或BC=2，由于AC≠BC，所以BC=4，從而AB2+AC2=BC2，知AB⊥AC，又∵A1A⊥底面ABCD，那么平面A1ACC1⊥∴AB⊥平面A1ACC1，所以AB⊥CC1，由〔1〕知AM⊥CC1，AB∩AM=A，∴CC1⊥平面ABM〔連接BM〕，∴平面ABM⊥平面B1BCC1，過點A作AN⊥BM，交BM于點N，那么AN⊥平面B1BCC1，在Rt△ABM中可求得，所以，所以，點A到平面B1BCC1的距離為．【點評】此題考查直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)定理的應用，空間點線面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．20．〔12.00分〕橢圓的離心率為，且過點．〔1〕求橢圓C的方程；〔2〕設(shè)P〔x，y〕為橢圓C上任一點，F(xiàn)為其右焦點，點P'滿足．①證明：為定值；②設(shè)直線與橢圓C有兩個不同的交點A、B，與y軸交于點M．假設(shè)|AF|，|MF|，|BF|成等差數(shù)列，求m的值．【分析】〔1〕利用橢圓的離心率以及點的坐標，列出方程求解a，b，然后推出橢圓方程．〔2〕由〔1〕推出，求出，然后求出為定值；②直線與橢圓C聯(lián)立，得x2+mx+m2﹣3=0，利用判別式推出﹣2＜m＜2，設(shè)，那么，利用拋物線的性質(zhì)以及條件，求解m的值即可．【解答】解：〔1〕由得3a2=4b2，把點代入橢圓方程為，∴得a2=4，∴b2=3，橢圓的標準方程為；〔2〕由〔1〕知，，而，∴為定值；②直線與橢圓C聯(lián)立，得x2+mx+m2﹣3=0，△=m2﹣4〔m2﹣3〕＞0?﹣2＜m＜2，設(shè)，那么，由①知，∴，∵|AF|，|MF|，|BF|成等差數(shù)列，∴|AF|+|BF|=2|MF|，即解得或，又因為﹣2＜m＜2，所以．【點評】此題考查橢圓的求法，橢圓的簡單性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力．21．〔12.00分〕函數(shù)．〔1〕判斷函數(shù)f〔x〕的單調(diào)性；〔2〕設(shè)函數(shù)g〔x〕=lnx+1，證明：當x∈〔0，+∞〕且a＞0時，f〔x〕＞g〔x〕．【分析】〔1〕求出導函數(shù)，通過①假設(shè)a≤0，②假設(shè)a＞0，判斷導函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；〔2〕令，，設(shè)p〔x〕=x2﹣x﹣a=0的正根為x0，所以，求出函數(shù)h〔x〕的最小值，推出h〔x〕min＞0，推出結(jié)果f〔x〕＞g〔x〕．【解答】解：〔1〕因為，①假設(shè)a≤0，f'〔x〕＞0，∴f〔x〕在〔﹣∞，0〕，〔0，+∞〕為增函數(shù)；②假設(shè)a＞0，那么或，，∴函數(shù)f〔x〕的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；〔2〕證明：令，