3.2.2 函數(shù)的奇偶性（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

3.2.2函數(shù)的奇偶性（精講）一．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱1.奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?f(x)＋f(－x)＝0，偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0.2.x具有對(duì)稱性．因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)與f(x)的關(guān)系，所以f(x)與f(－x)都有意義，即x與－x都應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)，所以定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．否則，這個(gè)函數(shù)一定不具有奇偶性，例3.若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0.4.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一類(lèi)，即f(x)＝0，x∈D，D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集.二.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性1.若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為增函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上為增函數(shù)，即在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致(相同).2.若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為增函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上為減函數(shù)，即在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反.三.奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)在公共定義域內(nèi)：1.兩個(gè)奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)；2.兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)都是偶函數(shù)；3.一個(gè)奇函數(shù)、一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù).四.函數(shù)的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心(拓展)(1)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，對(duì)?x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T為常數(shù))，則x＝T是f(x)的對(duì)稱軸.(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，對(duì)?x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b為常數(shù))，則(a，b)是f(x)的對(duì)稱中心.一．判斷函數(shù)奇偶性的方法1.定義法：一求二看三判斷2.圖象法3.性質(zhì)法設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4.分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分別從x＞0或x＜0來(lái)尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當(dāng)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上滿足相同關(guān)系時(shí)，分段函數(shù)才具有確定的奇偶性．二．利用奇偶性求解析式1.求哪個(gè)區(qū)間上的解析式，x就設(shè)在那個(gè)區(qū)間上；(2)把x對(duì)稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入到已知區(qū)間上的函數(shù)解析式中；2.利用f(x)的奇偶性將f(－x)用－f(x)或f(x)表示，從而求出f(x).三．利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式1.利用圖象解不等式．2.轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式求解．（1）利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；（2）根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，去掉不等式中的“f”轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式(組)求解．注意：列不等式(組)時(shí)不要忘掉函數(shù)定義域．四．比較大小的1.在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．2.不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大?。澹瘮?shù)的周期性、奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用函數(shù)周期性的概念：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值都滿足f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫作這個(gè)函數(shù)的周期，T的最小正數(shù)取值稱為函數(shù)f(x)的最小正周期．考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷【例1-1】（2023·山西）判斷下列函數(shù)的奇偶性：；(2)；(3).（4）；（5）【答案】(1)奇函數(shù)(2)是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)(3)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)（4）奇函數(shù)；（5）偶函數(shù)．【解析】（1）的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，則為奇函數(shù).（2）由，解得，則的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，則既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù).（3）由，可得或，的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（4）當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，.所以函數(shù)為奇函數(shù)；（5）由題意可得，所以且，所以函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)；【一隅三反】1．（2023春·上海寶山）函數(shù)的奇偶性為（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)【答案】C【解析】由函數(shù)的定義域可得，則，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù).故選：C.2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的奇偶性是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)【答案】A【解析】若，則，則；若，則，則.又，滿足.所以，又函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此，函數(shù)為奇函數(shù).故選：A.3．（2023·北京）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，不是偶函數(shù)，A不是；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，不是偶函數(shù)，B不是；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，是偶函數(shù)，C是；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，不是偶函數(shù)，D不是.故選：C4．（2023·天津?yàn)I海）下列判斷正確的是（）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】C【解析】對(duì)于中，函數(shù)的定義域?yàn)閧，且}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是非奇非偶函數(shù);對(duì)于B中，函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是非奇非偶函數(shù);對(duì)于C中，由得，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，，所以是偶函數(shù);對(duì)于D中，函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù).故選：C.5．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）對(duì)于兩個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)和在它們的公共定義域內(nèi)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若和都是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)B．若和都是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)C．若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)D．若和都是奇函數(shù)，則不一定是奇函數(shù)【答案】B【解析】對(duì)于A，因?yàn)楹投际瞧婧瘮?shù)，所以，，令，則，所以是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)楹投际桥己瘮?shù)，所以，，令，則，所以是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，，令，則，所以是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楹投际瞧婧瘮?shù)，所以，，令，則，所以是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B考點(diǎn)二奇偶函數(shù)的圖像特征【例2】（2022秋·安徽馬鞍山）已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．(1)求和的值；(2)求函數(shù)的解析式；(3)作函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間和值域．【答案】(1)；(2)(3)圖象見(jiàn)詳解；單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和，值域?yàn)椤窘馕觥浚?）當(dāng)時(shí)，，則，又因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，則；（2）因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，所以，令，得，所以，任取，則，所以，所以，綜上所述；（3）結(jié)合（2）可得圖象如下，由圖象可知的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和，值域?yàn)椋疽挥缛础?．（2023春·上海金山·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知．(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)的大致圖像．【答案】(1)偶函數(shù)；(2)單調(diào)遞增；(3)詳見(jiàn)解析.【解析】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)椋允桥己瘮?shù)；（2）任取，且，則，，因?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）由（2）同理可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，由（1）知是偶函數(shù)，則在和上單調(diào)遞減，所以其圖象如圖所示：2．（2023·河南三門(mén)峽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，．

(1)試求在上的解析式；(2)畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)作圖見(jiàn)解析，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】（1）∵的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴是奇函數(shù)，∴．又的定義域?yàn)椋?，解得．設(shè)，則，∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴，所以；（2）由（1）可得的圖象如下所示：

由圖象可知的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；3．（2022秋·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，如圖所示，現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)在y軸左側(cè)的圖象，

(1)請(qǐng)畫(huà)出y軸右側(cè)的圖像，并寫(xiě)出函數(shù)的解析式和單調(diào)減區(qū)間；(2)若函數(shù)，求函數(shù)的最大值．【答案】(1)圖見(jiàn)解析，，單調(diào)遞減區(qū)間為和(2)【解析】（1）解：如圖所示，根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可作出的圖象，當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，由圖象可得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的解析式為，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為和，

（2）解：當(dāng)時(shí)，，可得其對(duì)稱軸的方程為且開(kāi)口向上，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，綜上可得，考點(diǎn)三利用奇偶性求函數(shù)值【例3-1】（2023春·云南紅河）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則___.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：．【例3-2】（2023·廣東）已知函數(shù)，且，則______．【答案】【解析】由，得，構(gòu)建函數(shù)，定義域?yàn)椋瑒t，即是奇函數(shù)，于是，所以，可得，又，因此．故答案為：【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．4 B． C．7 D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，所以.故選：A.2．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因?yàn)?，所以令，則，因?yàn)?，，所以，令，則.故選：D.3．（2023·湖南）已知函數(shù)，且，則______．【答案】2024【解析】構(gòu)造具有奇偶性的函數(shù)，由，得，構(gòu)建函數(shù)，定義域?yàn)?，因?yàn)樗院瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，所以，從而，又，因此.故答案為：2024考點(diǎn)四利用奇偶性求函數(shù)解析式【例4-1】（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）若是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，______．【答案】【解析】設(shè)，則，所以，因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，所以，所以，故答案為：【例4-2】（2023·廣西）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在R上的表達(dá)式為_(kāi)_____．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，故，所以，所以故答案為：【一隅三反】1．（2023·重慶璧山）已知函數(shù)在上為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，由于是偶函數(shù)，所以.故選：C2．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為_(kāi)________．【答案】/【解析】是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為.故答案為：3．（2023·山東）已知奇函數(shù)則__________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，，則．故答案為：.考點(diǎn)五函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【例5-1】（2022秋·江西宜春·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)是定義在上偶函數(shù)，則在區(qū)間上是（

）A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．先增后減函數(shù) D．與，有關(guān)，不能確定【答案】B【解析】是定義在上偶函數(shù)，∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，∴，則，由，即，解得，∴，函數(shù)圖像拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．故選：B．【例5-2】（2023安徽）定義在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有，則、、的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)閷?duì)任意的，有，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，又是偶函數(shù)，所以，，因?yàn)椋?，即．故選：D．【例5-3】（2023春·河南）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí),，由得，即，解得，當(dāng)時(shí)，，則，則，由得，即，解得，又，所以的解集為.故選：D.【例5-4】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)于任意的，（），都有成立．若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【解析】由任意的，（），都有可知在單調(diào)遞減，由于是定義在上的偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，由得，平方可得，解得或，故選：A【一隅三反】1．（2023·江蘇鹽城）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，且，故，所以，所以，則.故選：B.2．（2023福建）已知是奇函數(shù)且對(duì)任意正實(shí)數(shù)，恒有，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由知，在上單調(diào)遞增，∵是奇函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，由，可得，B錯(cuò)誤，D正確；雖然由題意可得在，上單調(diào)遞增，但是由已知條件無(wú)法判斷是否在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則A、C無(wú)法判斷正誤，即A、C不一定成立；故選：D.3．（2023秋·高一單元測(cè)試）設(shè)偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即.故選：B4．（2023·廣東深圳）定義在上的偶函數(shù)在單調(diào)遞減，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)在單調(diào)遞減，不等式等價(jià)于，等價(jià)于，即，解得，即不等式的解集是.故選：D5．（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在上是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則，，的大小關(guān)系是___________.【答案】【解析】由于在上是偶函數(shù)，所以，因?yàn)?，函?shù)在上時(shí)增函數(shù)，所以，所以.故答案為：6．（2023·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)且.若對(duì)于任意，不等式恒成立，則的取值范圍為_(kāi)______.【答案】【解析】因?yàn)槭嵌x域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，且對(duì)于任意，不等式恒成立，所以，即，又因?yàn)?，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則有恒成立，即恒成立，令，，則，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.考點(diǎn)六函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用【例6-1】（2023·北京）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)確定的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)解關(guān)于的不等式．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(3)【解析】（1）為定義在上的奇函數(shù)，，解得：，，解得：；當(dāng)，時(shí)，，，滿足為奇函數(shù)；綜上所述：.（2）在上單調(diào)遞增；證明如下：任取，；，，，，，在上單調(diào)遞增.（3）為定義在上的奇函數(shù)，由得：，又在上單調(diào)遞增，，解得：，不等式的解集為.【例6-2】（2023春·廣西南寧·高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，對(duì)于任意都有．(1)證明是奇函數(shù)；(2)解不等式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：令，則由，得，即；令，則由，得，即得，故是奇函數(shù)．（2），所以，則，即，

因?yàn)?，所以，所以?/p>

又因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，所以或．所以x的解集為．【一隅三反】1．（2023·江蘇蘇州）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；(3)解不等式.【答案】(1)(2)增函數(shù)；證明見(jiàn)解析(3)【解析】（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，解得：，，而，解得，.（2）函數(shù)在上為增函數(shù)；證明如下：任意且，則因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以函?shù)在上為增函數(shù).（3）由題意，不等式可化為，即解不等式，所以，所以，解得所以該不等式的解集為2．（2023·陜西渭南）已知二次函數(shù).(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上的值域也是?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)1(2)不存在，理由見(jiàn)解析【解析】（1）函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)任意的恒成立.，即對(duì)任意的恒成立..（2）二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，無(wú)解；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即（舍）；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上