第八章立體幾何初步檢測卷高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第八章立體幾何初步檢測20232024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期人教A版2019一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．下列說法正確的是（

）A．用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，該圓錐―定被分為一個小圓錐和一個圓臺B．有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱C．圓臺的所有母線延長不一定交于一點D．一個多面體至少有3個面2．設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列說法中正確的序號為（

）①若，則為異面直線

②若，則③若，則

④若，則A．①② B．②③ C．③④ D．②④3．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的直徑（D）的立方成正比”，即，但歐幾里得未給出常數(shù)k的值.現(xiàn)算出k的值，進而可得（

）A．0 B． C． D．4．已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．35．用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來實際圖形的周長是（

）A． B． C．6 D．86．坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面ABCD的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（

）A．117m B．120m C．127m D．135m7．如圖，在棱長為的正方體中，是的中點，點是側(cè)面上的動點，且截面，則線段長度的取值范圍是（

）A．B．C．D．8．如圖，為圓錐的底面圓的直徑，點是圓上異于，的動點，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐的體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，為線段上的動點，則的最小值為二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列基本事實敘述正確的是（

）A．經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面B．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面C．經(jīng)過三點，有且只有一個平面D．經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面10．已知正三棱柱的棱長均為為棱上靠近點的四等分點，為棱的中點，則（

）A．平面平面B．直線與所成角的正切值為3C．點到平面的距離為D．以為球心，2為半徑的球面與該棱柱的棱公共點的個數(shù)為611．如圖所示，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點，則有（

）A．直線平面B．異面直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．平面截正方體所得的截面面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．對于棱長為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計），以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為.13．設(shè)，是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題:①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中正確的命題序號是.14．如圖所示，在長方體中，，.一平面截該長方體，所得截面為OPQRST，其中O，P分別為AD，CD的中點，，則，.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，直四棱柱中，底面ABCD為菱形，，，P，M，N分別為CD，，的中點.(1)證明：平面平面；(2)求與平面所成角的正弦值.16．如圖，四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，，點M是棱PC的中點.(1)求證：平面平面ABCD；(2)求三棱錐的體積.17．如圖，已知平面ABC，，，，，，點為的中點(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大??；(3)若點為的中點，求點到平面的距離．18．如圖，在棱長為2的正方體中，截去三棱錐，求

(1)截去的三棱錐的表面積；(2)剩余的幾何體的體積；(3)在剩余的幾何體中連接，求四棱錐的體積.19．如下左圖，矩形中，，，.過頂點作對角線的垂線，交對角線于點，交邊于點，現(xiàn)將沿翻折，形成四面體，如下右圖.

(1)求四面體外接球的體積；(2)求證：平面平面；(3)若點為棱的中點，請判斷在將沿翻折過程中，直線能否平行于面.若能請求出此時的二面角的大?。蝗舨荒?，請說明理由.參考答案：1．A【分析】根據(jù)圓錐、棱柱以及圓臺和多面體的定義，一一判斷各選項，即得答案.【詳解】對于A項，用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，原圓錐一定被分為一個小圓錐和一個圓臺，故A正確；對于B項，滿足條件的幾何體可能是組合體，如圖，故B錯誤；對于C項，圓臺的所有母線延長一定交于一點，故C錯誤；對于D項，多面體至少有4個面，所以D錯誤.故選：A.2．B【分析】根據(jù)空間線面的位置關(guān)系，逐項判斷即可.【詳解】對①：因為平面的平行線和平面內(nèi)的直線可以平行，也可以異面，故①錯誤；對②：平行于同一個平面的兩個平面平行，故②正確；對③：先根據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面平行得，再根據(jù)，可得，故③正確；對④：兩直線平行，和這兩條直線分別垂直的平面也平行，故④錯誤.故選：B3．B【分析】根據(jù)球的體積公式求，再求正弦值.【詳解】因為，整理得，所以..故選：B4．B【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征求得，進而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取的中點，則，可知，設(shè)正三棱臺的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因為，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.5．D【分析】還原圖形，用勾股定理計算線段長度，再求出周長.【詳解】如圖所示：根據(jù)斜二測畫法，可知原圖形為平行四邊形，其中，，所以，故周長為.故選：D.6．A【分析】分別取的中點，連接過點作交于點，作交于點，連接,證明平面，推得題中兩個二面角的平面角，依次求出，即得該五面體的所有棱長之和.【詳解】如圖，分別取的中點，連接過點作交于點，作交于點，連接.因該五面體的兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形，則易得，即四點共面，因，，故，依題意，是平面內(nèi)兩條相交直線，故平面，因平面，則因，且,平面，則平面.因平面，平面，則，即即平面與平面ABCD的夾角，同理即平面與平面ABCD的夾角.依題意，，易證由平面，平面EFMN，則，故則,，，由等腰梯形的性質(zhì)，.于是，該五面體的所有棱長之和為.故選：A.7．B【分析】構(gòu)造中位線，利用線線平行、線面平行的性質(zhì)判定面面平行，結(jié)合勾股定理計算即可.【詳解】如圖所示，取的中點，的中點，的中點，利用中位線性質(zhì)及正方體特征可知，，又平面，平面，所以平面，同理平面，平面，所以平面，而，平面，顯然平面，故平面平面，又平面，線段掃過的圖形是，由，則，，，，是直角，線段長度的取值范圍是：，即：故選：B．8．D【分析】先求出圓錐的母線長，利用圓錐的側(cè)面積公式判斷A；當(dāng)時，的面積最大，此時三棱錐體積也最大，利用圓錐體積公式求解即可判斷B；先用取極限的思想求出的范圍，再利用，求的范圍，即可判斷C；利用圖形展開及兩點之間線段最短即可判斷選項D.【詳解】在中，，則圓錐的母線長，半徑，對于A，圓錐的側(cè)面積為：，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，的面積最大，此時，則三棱錐體積的最大值為，故B錯誤；對于C，因為為等腰三角形，，又，所以，當(dāng)點與點重合時，為最小角，當(dāng)點與點重合時，達到最大值，又因為與不重合，則，又，可得，故C錯誤；對于D，由，得，又，則為等邊三角形，則，將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，則為等邊三角形，，如圖可知，因為，，則，故D正確；故選：D.9．AB【分析】根據(jù)基本事實以及推論即可逐項判斷.【詳解】根據(jù)基本事實以及推論，易知A，B正確；對于C項，若三點共線，經(jīng)過三點的平面有無數(shù)多個，故C錯誤；對于D，若這個點在直線外，則確定一個平面，若這個點在直線上，可有無數(shù)平面，故D不正確；故選：AB10．AC【分析】運用立體幾何的幾何法證明線面垂直可判斷A、B，利用三棱錐的等體積法判斷，根據(jù)圓心到直線的距離與半徑相比，可判斷D.【詳解】由題意得，，則，所以，則；因為正三棱柱中，為棱的中點，所以，平面平面，又平面平面平面，所以平面，又平面，所以；又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；如圖①，連接，交于點，連接，則是的中位線，所以，由平面及平面，得，所以，故B錯誤；，，由余弦定理，，則，設(shè)點到平面的距離為，由，得，解得，所以點到平面的距離為，故正確；如圖②，，到棱的距離等于，，故球的球面與側(cè)面的棱各有一個交點，分別為，同理可得與側(cè)面的棱各有一個交點，分別為，如圖③，，，到棱的距離等于，故球的一個截面圓與有兩個交點分別為.如圖④，，，到棱的距離等于，故球的一個截面圓與沒有交點.綜上，以為球心，2為半徑的球面與該棱柱的棱公共點的個數(shù)為8，故D錯誤.故選：AC.【點睛】方法點睛：點到平面的距離常用幾何的等體積法和向量的投影方法來解決；要判斷球與棱的公共點個數(shù)，先判斷棱所在直線與球的位置關(guān)系，再結(jié)合球心到棱端點的距離與球半徑的大小關(guān)系來判斷.11．ABD【分析】根據(jù)三角形中位線定理、異面直線所成角定義，結(jié)合線面角的定義、線面平行的判定定理、正方體的截面性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于B，連接，因為E，F(xiàn)，分別為，的中點，所以，因為是棱長為2的正方體，所以，因此是等邊三角形，因此，因此直線與所成的角為，故B正確；對于C，延長，交的延長線于，因為G為的中點，所以B為的中點，由正方體的性質(zhì)可知：平面，因此是直線與平面所成角的平面角，因為，所以直線與平面所成的角不是，故C不正確；對于A，取中點，連接，則，因為平面，平面，所以平面，因為分別為的中點，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，而平面，所以直線平面，故A正確；對于D，因為，，所以，因此四點共面，因此截面為等腰梯形，因為正方體棱長為2，所以，，因此該等腰梯形的高為：，所以該等腰梯形面積為：，故D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：求直線與平面所成角的方法：（1）定義法，①作，在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c向平面引垂線，確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知識求角；（2）向量法，（其中為平面的斜線，為平面的法向量，為斜線與平面所成的角）.12．【分析】以三條棱作為圓錐母線，底面所在平面為，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值等價于與平面所成角的正切值，設(shè)點到平面的距離為，利用求出可得答案.【詳解】如圖，以三條棱作為圓錐母線，底面所在平面為，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值等價于與平面所成角的正切值，設(shè)點到平面的距離為，因為，，所以，所以點到平面的距離為，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為.故答案為：.13．②③【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷①；根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷②，根據(jù)線面垂直的判定以及性質(zhì)判斷③；根據(jù)線面平行以及面面垂直判斷④.【詳解】對于①，若，，則或，故①錯誤；對于②，若，，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知，②正確；對于③，若，，則分別作兩相交平面γ，δ與平面相交，設(shè)交線分別為，且相交，相交，如圖：由于，故可得，又，，故，則，而，相交，故，③正確；對于④，若，，則或或與相交不垂直或，④錯誤；故答案為：②③14．/0.5/0.4【分析】設(shè),,則,利用截面六邊形的對邊分別平行，然后利用,求出,由，,分別求出和,得到和的關(guān)系，求出的值，即可得到【詳解】設(shè),,則,由題意可知，由面面平行的性質(zhì)定理可得該截面六邊形的對邊分別平行，即,,則,又因為,,所以,則,由,可得,所以,由~,可得,所以,則,解得,所以故答案為15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面平行的定理，轉(zhuǎn)化為證明兩組線面平行，即證明兩組線線平行；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化求點到平面的距離，再根據(jù)公式，求線面角的正弦值.【詳解】（1）因為，分別為線段，的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.

因為，分別為線段，的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.因為，平面，平面，所以平面平面.（2）由題知平面，平面，故，故，因為四邊形是菱形，且，則，所以.而，故.

設(shè)為點到平面的距離，與平面所成的角為，故.又，而，故，故.

故，即與平面所成角的正弦值為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，交于，連接，則為中點.可得，結(jié)合已知可得平面，可證結(jié)論.（2）根據(jù)，可求體積.【詳解】（1）連接，交于，連接，則為中點.因為在中，，分別為，中點，所以.因為平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，且，所以.17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由條件可知，平面平面，再利用面面垂直的性質(zhì)定理，即可證明線面垂直；（2）首先取中點，將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)（1）的結(jié)果，利用線面角的定義，即可求解線面角；（3）利用等體積轉(zhuǎn)化，，求點到平面的距離.【詳解】（1）∵平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，∵，點為中點，∴，∵平面平面，平面，∴平面.（2）取中點，連接，，∵，，，點為中點，∴四邊為平行四邊形，∴，∴直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，∵平面，∴為直線與平面所成角，∵點為中點，，∴，，，∴，又，所以，所以直線與平面所成角為.（3）如圖，連結(jié)和，由，，，且平面，所以,，，，,所以是等邊三角形，，設(shè)點到平面的距離為，則，即，得所以點到平面的距離