第八章立體幾何初步檢測(cè)卷高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第八章立體幾何初步檢測(cè)20232024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期人教A版2019一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列說法正確的是（

）A．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，該圓錐―定被分為一個(gè)小圓錐和一個(gè)圓臺(tái)B．有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱C．圓臺(tái)的所有母線延長(zhǎng)不一定交于一點(diǎn)D．一個(gè)多面體至少有3個(gè)面2．設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列說法中正確的序號(hào)為（

）①若，則為異面直線

②若，則③若，則

④若，則A．①② B．②③ C．③④ D．②④3．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的直徑（D）的立方成正比”，即，但歐幾里得未給出常數(shù)k的值.現(xiàn)算出k的值，進(jìn)而可得（

）A．0 B． C． D．4．已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．35．用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來實(shí)際圖形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C．6 D．86．坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面ABCD的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（

）A．117m B．120m C．127m D．135m7．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且截面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是（

）A．B．C．D．8．如圖，為圓錐的底面圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐的體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列基本事實(shí)敘述正確的是（

）A．經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面B．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面C．經(jīng)過三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面D．經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面10．已知正三棱柱的棱長(zhǎng)均為為棱上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面B．直線與所成角的正切值為3C．點(diǎn)到平面的距離為D．以為球心，2為半徑的球面與該棱柱的棱公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為611．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，則有（

）A．直線平面B．異面直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．平面截正方體所得的截面面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．對(duì)于棱長(zhǎng)為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)），以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為.13．設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下命題:①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中正確的命題序號(hào)是.14．如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，.一平面截該長(zhǎng)方體，所得截面為OPQRST，其中O，P分別為AD，CD的中點(diǎn)，，則，.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，直四棱柱中，底面ABCD為菱形，，，P，M，N分別為CD，，的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求與平面所成角的正弦值.16．如圖，四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn).(1)求證：平面平面ABCD；(2)求三棱錐的體積.17．如圖，已知平面ABC，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大??；(3)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．18．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，截去三棱錐，求

(1)截去的三棱錐的表面積；(2)剩余的幾何體的體積；(3)在剩余的幾何體中連接，求四棱錐的體積.19．如下左圖，矩形中，，，.過頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，交對(duì)角線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折，形成四面體，如下右圖.

(1)求四面體外接球的體積；(2)求證：平面平面；(3)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷在將沿翻折過程中，直線能否平行于面.若能請(qǐng)求出此時(shí)的二面角的大?。蝗舨荒?，請(qǐng)說明理由.參考答案：1．A【分析】根據(jù)圓錐、棱柱以及圓臺(tái)和多面體的定義，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，原圓錐一定被分為一個(gè)小圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，滿足條件的幾何體可能是組合體，如圖，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，圓臺(tái)的所有母線延長(zhǎng)一定交于一點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，多面體至少有4個(gè)面，所以D錯(cuò)誤.故選：A.2．B【分析】根據(jù)空間線面的位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)①：因?yàn)槠矫娴钠叫芯€和平面內(nèi)的直線可以平行，也可以異面，故①錯(cuò)誤；對(duì)②：平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，故②正確；對(duì)③：先根據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行得，再根據(jù)，可得，故③正確；對(duì)④：兩直線平行，和這兩條直線分別垂直的平面也平行，故④錯(cuò)誤.故選：B3．B【分析】根據(jù)球的體積公式求，再求正弦值.【詳解】因?yàn)?，整理得，所?.故選：B4．B【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺(tái)的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)?，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.5．D【分析】還原圖形，用勾股定理計(jì)算線段長(zhǎng)度，再求出周長(zhǎng).【詳解】如圖所示：根據(jù)斜二測(cè)畫法，可知原圖形為平行四邊形，其中，，所以，故周長(zhǎng)為.故選：D.6．A【分析】分別取的中點(diǎn)，連接過點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接,證明平面，推得題中兩個(gè)二面角的平面角，依次求出，即得該五面體的所有棱長(zhǎng)之和.【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接過點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接.因該五面體的兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形，則易得，即四點(diǎn)共面，因，，故，依題意，是平面內(nèi)兩條相交直線，故平面，因平面，則因，且,平面，則平面.因平面，平面，則，即即平面與平面ABCD的夾角，同理即平面與平面ABCD的夾角.依題意，，易證由平面，平面EFMN，則，故則,，，由等腰梯形的性質(zhì)，.于是，該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為.故選：A.7．B【分析】構(gòu)造中位線，利用線線平行、線面平行的性質(zhì)判定面面平行，結(jié)合勾股定理計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，利用中位線性質(zhì)及正方體特征可知，，又平面，平面，所以平面，同理平面，平面，所以平面，而，平面，顯然平面，故平面平面，又平面，線段掃過的圖形是，由，則，，，，是直角，線段長(zhǎng)度的取值范圍是：，即：故選：B．8．D【分析】先求出圓錐的母線長(zhǎng)，利用圓錐的側(cè)面積公式判斷A；當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)三棱錐體積也最大，利用圓錐體積公式求解即可判斷B；先用取極限的思想求出的范圍，再利用，求的范圍，即可判斷C；利用圖形展開及兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】在中，，則圓錐的母線長(zhǎng)，半徑，對(duì)于A，圓錐的側(cè)面積為：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)，則三棱錐體積的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)闉榈妊切?，，又，所以，?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，達(dá)到最大值，又因?yàn)榕c不重合，則，又，可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，又，則為等邊三角形，則，將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，則為等邊三角形，，如圖可知，因?yàn)?，，則，故D正確；故選：D.9．AB【分析】根據(jù)基本事實(shí)以及推論即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】根據(jù)基本事實(shí)以及推論，易知A，B正確；對(duì)于C項(xiàng)，若三點(diǎn)共線，經(jīng)過三點(diǎn)的平面有無數(shù)多個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若這個(gè)點(diǎn)在直線外，則確定一個(gè)平面，若這個(gè)點(diǎn)在直線上，可有無數(shù)平面，故D不正確；故選：AB10．AC【分析】運(yùn)用立體幾何的幾何法證明線面垂直可判斷A、B，利用三棱錐的等體積法判斷，根據(jù)圓心到直線的距離與半徑相比，可判斷D.【詳解】由題意得，，則，所以，則；因?yàn)檎庵校瑸槔獾闹悬c(diǎn)，所以，平面平面，又平面平面平面，所以平面，又平面，所以；又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；如圖①，連接，交于點(diǎn)，連接，則是的中位線，所以，由平面及平面，得，所以，故B錯(cuò)誤；，，由余弦定理，，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為，故正確；如圖②，，到棱的距離等于，，故球的球面與側(cè)面的棱各有一個(gè)交點(diǎn)，分別為，同理可得與側(cè)面的棱各有一個(gè)交點(diǎn)，分別為，如圖③，，，到棱的距離等于，故球的一個(gè)截面圓與有兩個(gè)交點(diǎn)分別為.如圖④，，，到棱的距離等于，故球的一個(gè)截面圓與沒有交點(diǎn).綜上，以為球心，2為半徑的球面與該棱柱的棱公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)到平面的距離常用幾何的等體積法和向量的投影方法來解決；要判斷球與棱的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，先判斷棱所在直線與球的位置關(guān)系，再結(jié)合球心到棱端點(diǎn)的距離與球半徑的大小關(guān)系來判斷.11．ABD【分析】根據(jù)三角形中位線定理、異面直線所成角定義，結(jié)合線面角的定義、線面平行的判定定理、正方體的截面性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于B，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)，分別為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槭抢忾L(zhǎng)為2的正方體，所以，因此是等邊三角形，因此，因此直線與所成的角為，故B正確；對(duì)于C，延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于，因?yàn)镚為的中點(diǎn)，所以B為的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)可知：平面，因此是直線與平面所成角的平面角，因?yàn)?，所以直線與平面所成的角不是，故C不正確；對(duì)于A，取中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，而平面，所以直線平面，故A正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，因此四點(diǎn)共面，因此截面為等腰梯形，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，所以，，因此該等腰梯形的高為：，所以該等腰梯形面積為：，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線與平面所成角的方法：（1）定義法，①作，在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線，確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知識(shí)求角；（2）向量法，（其中為平面的斜線，為平面的法向量，為斜線與平面所成的角）.12．【分析】以三條棱作為圓錐母線，底面所在平面為，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值等價(jià)于與平面所成角的正切值，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用求出可得答案.【詳解】如圖，以三條棱作為圓錐母線，底面所在平面為，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值等價(jià)于與平面所成角的正切值，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為.故答案為：.13．②③【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷①；根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷②，根據(jù)線面垂直的判定以及性質(zhì)判斷③；根據(jù)線面平行以及面面垂直判斷④.【詳解】對(duì)于①，若，，則或，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若，，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知，②正確；對(duì)于③，若，，則分別作兩相交平面γ，δ與平面相交，設(shè)交線分別為，且相交，相交，如圖：由于，故可得，又，，故，則，而，相交，故，③正確；對(duì)于④，若，，則或或與相交不垂直或，④錯(cuò)誤；故答案為：②③14．/0.5/0.4【分析】設(shè),,則,利用截面六邊形的對(duì)邊分別平行，然后利用,求出,由，,分別求出和,得到和的關(guān)系，求出的值，即可得到【詳解】設(shè),,則,由題意可知，由面面平行的性質(zhì)定理可得該截面六邊形的對(duì)邊分別平行，即,,則,又因?yàn)?,所以,則,由,可得,所以,由~,可得,所以,則,解得,所以故答案為15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面平行的定理，轉(zhuǎn)化為證明兩組線面平行，即證明兩組線線平行；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)公式，求線面角的正弦值.【詳解】（1）因?yàn)?，分別為線段，的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?

因?yàn)?，分別為線段，的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)?，平面，平面，所以平面平?（2）由題知平面，平面，故，故，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且，則，所以.而，故.

設(shè)為點(diǎn)到平面的距離，與平面所成的角為，故.又，而，故，故.

故，即與平面所成角的正弦值為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，交于，連接，則為中點(diǎn).可得，結(jié)合已知可得平面，可證結(jié)論.（2）根據(jù)，可求體積.【詳解】（1）連接，交于，連接，則為中點(diǎn).因?yàn)樵谥?，，分別為，中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，所以平?又平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，且，所以.17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由條件可知，平面平面，再利用面面垂直的性質(zhì)定理，即可證明線面垂直；（2）首先取中點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)（1）的結(jié)果，利用線面角的定義，即可求解線面角；（3）利用等體積轉(zhuǎn)化，，求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）∵平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，∵，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∵平面平面，平面，∴平面.（2）取中點(diǎn)，連接，，∵，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴四邊為平行四邊形，∴，∴直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，∵平面，∴為直線與平面所成角，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，，∴，，，∴，又，所以，所以直線與平面所成角為.（3）如圖，連結(jié)和，由，，，且平面，所以,，，，,所以是等邊三角形，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，得所以點(diǎn)到平面的距離