浙江省浙南名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

絕密★考試結(jié)束前2024學(xué)年第一學(xué)期浙南名校聯(lián)盟返校聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共5頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由并集的概念即可直接得答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，分別證明充分性，必要性，從而得出答案．詳解】由可得，，則是的必要不充分條件，故選：B3.若直線a不平行于平面，且，則下列結(jié)論成立的是（）．A.內(nèi)的所有直線與a是異面直線 B.內(nèi)不存在與a平行的直線C.內(nèi)存在唯一一條直線與a平行 D.內(nèi)的所有直線與a都相交【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線和平面的位置關(guān)系對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)，A選項(xiàng)，內(nèi)過點(diǎn)的直線與共面，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，內(nèi)，不過點(diǎn)的直線與異面，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.BC，若存在，則由于，所以，這與已知矛盾，所以B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：B4.已知關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域列不等式即可求得答案.【詳解】由于在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即，故選：A.5.已知點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則的值為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義結(jié)合二倍角的余弦公式即可求解答案.【詳解】因?yàn)槭墙K邊上一點(diǎn)，所以，，故選：B.6.已知，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，以及投影向量的計(jì)算方法，即可求解.【詳解】由，可得，解得則在上的投影向量為.故選：D.7.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.平均數(shù)為2，方差為2.4C.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2 D.中位數(shù)為3，方差為2.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意舉出特例，結(jié)合中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)以及方差公式，即可得出答案．【詳解】對于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A錯(cuò)誤；對于B，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差，則平均數(shù)為2，方差為時(shí)，一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故B正確；對于C，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為，方差為，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D錯(cuò)誤；故選：B．8.設(shè)函數(shù)，若對于任意實(shí)數(shù)在區(qū)間上至少2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】原問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少2個(gè)，至多有3個(gè)t，使，求取值范圍，數(shù)形結(jié)合判斷滿足條件區(qū)間長度，由此建立關(guān)于的不等式，解出即可．【詳解】令，則，令，則，則原問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少2個(gè)，至多有3個(gè)t，使得，求得取值范圍，作出與的圖象，如圖所示，由圖知，滿足條件的最短區(qū)間長度為，最長區(qū)間長度為，∴，解得．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列選項(xiàng)中說法正確的是（）A.必然事件和不可能事件相互獨(dú)立B.若數(shù)據(jù)的方差，則所有的都相同C.若，則事件相互獨(dú)立與互斥不能同時(shí)成立D.數(shù)據(jù)的方差是，數(shù)據(jù)的方差是，若，則【答案】ABC【解析】【分析】由必然事件與不可能事件的概念即可判斷A；由方差公式即可判斷B；根據(jù)互斥事件概率加法公式和獨(dú)立事件的概率乘法公式，結(jié)合推導(dǎo)可判斷C；由方差的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】必然事件是一定會(huì)發(fā)生的事件且概率為1，不可能事件是一定不會(huì)發(fā)生的事件且概率為0，又它們的交事件的概率為0，故相互獨(dú)立，所以A正確；若，則，故B正確；若事件，互斥成立，則，又，所以有，若事件，相互獨(dú)立，則有，矛盾，故事件，相互獨(dú)立與事件，互斥不能同時(shí)成立，C正確；若數(shù)據(jù)的方差是，，則數(shù)據(jù)的方差是，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10.已知，且，以下說法正確的是（）A.中至少有一個(gè)不大于1 B.C. D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】利用假設(shè)法可以判斷A,利用基本不等式的性質(zhì)可判斷B,由可以判斷C,可以判斷D.【詳解】對于A,若均大于1,那么,矛盾,所以中至少有一個(gè)不大于1,A正確.對于B,,當(dāng)且僅當(dāng)""時(shí),等號成立,B正確.對于C,.所以:,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號成立,C錯(cuò)誤.對于D,,,即,則,D正確.故選：ABD.11.已知平行六面體的棱長均為1，分別是棱和的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.若，則∥面C.若，則面D.若是線段的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)，在，，中依次使用余弦定理即可解得；B選項(xiàng)，假設(shè)平面成立，由線面平行的性質(zhì)可知，由平行線分線段成比例可知,找出全等三角形,可得；C選項(xiàng)，分別證明，由線面垂直的判定可得平面；D選項(xiàng)，找出全等三角形,可知當(dāng)最小時(shí)，故最小，故此時(shí)三點(diǎn)共線，利用余弦定理求的長度即的最小值.【詳解】由題設(shè)可知，平行六面體的六個(gè)面均為一個(gè)角是的菱形，連接交于點(diǎn)，???????在菱形中易得,又O為中點(diǎn)，則，在直角三角形中有,在中，由余弦定理可得，解得，則，在中，由余弦定理得,則，在中，余弦定理可得,解得，A正確；連接交于G，連接交于H，由于分別是棱和的中點(diǎn),可得，連接,交于點(diǎn)，則有，故，若平面,平面,平面平面,則，故,易得,故,與題設(shè)不符，B錯(cuò)誤；設(shè)與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn),??????????????則,在菱形中易得，則，又是中點(diǎn)，則，則，過點(diǎn)C作，使，連接,易得，平面內(nèi)由余弦定理得，解得，又，，則，則，又，則，因?yàn)槠矫?平面，面，C正確；由平行六面體的對稱性可得,則，當(dāng)最小時(shí)，可知最小，故此時(shí)三點(diǎn)共線，此時(shí)易得N為的中點(diǎn)，由可得,由B選項(xiàng)可知,又，則,在中，由余弦定理可得,解得，故的最小值是，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間中的最值問題，一般情況下會(huì)利用轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平面內(nèi)，將其化簡為代數(shù)類問題解決往往比較容易.非選擇題部分三、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12.已知，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限．【答案】二【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，再結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示可直接得答案.【詳解】由題意得，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為，故對應(yīng)點(diǎn)位于第二象限.故答案為：二.13.甲乙丙三位同學(xué)之間相互踢建子．假設(shè)他們相互間傳遞建子是等可能的，并且由甲開始傳，則經(jīng)過3次傳遞后，建子仍回到甲處的概率為____________．【答案】##【解析】【分析】列舉法求古典概型的概率即可.【詳解】設(shè)甲乙丙分別為，列樹狀圖得3次傳遞基本事件是種，滿足條件的基本事件是2種，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)，若對于，不等式恒成立，則正整數(shù)的最小值為______．【答案】3037【解析】【分析】先利用定義判定函數(shù)在2,+∞上的單調(diào)遞增，得到當(dāng)時(shí)，；并利用分子實(shí)數(shù)化變形和不等式放縮得到時(shí)，，進(jìn)而得到的取值范圍是，然后利用不等式恒成立的意義得到，從而求得的取值范圍，得到的最小值.【詳解】設(shè)，則，又∵，同理，∴，∴，即，∴在上單調(diào)遞增，又∵，∴當(dāng)時(shí)，；又∵時(shí)，，∴時(shí)，，且當(dāng)趨近于時(shí)，無限趨近于32，∵，∴的取值范圍是，為使不等式恒成立，必須且只需，∴，∴正整數(shù)的最小值為3037，故答案為：3037.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于利用分子有理化方法進(jìn)行恒等變形，并利用放縮法得到有關(guān)不等關(guān)系，進(jìn)而證明函數(shù)的單調(diào)性和求得函數(shù)的值域.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟）15.在中，角所對的邊分別為，且（1）求角的大小；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）方法一：利用正弦定理結(jié)合和差公式化簡即可求得B值；方法二：利用余弦定理結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式能得B值；（2）方法一：由余弦定理化簡可得結(jié)果；方法二：由正弦定理化簡結(jié)合三角形的面積公式可得答案.【小問1詳解】方法一即得：方法二：得即得：【小問2詳解】由余弦定理得：．得：或或．方法二：由正弦定理：或或.16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．（1）求的值；（2）求函數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）方法一：由函數(shù)的對稱性可得，展開可得參數(shù)a，b的值；方法二：將原問題轉(zhuǎn)化為為偶函數(shù)，再化簡可得參數(shù)值；（2）將原式化為，再結(jié)合換元法與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得最小值.【小問1詳解】方法一：，代入展開得，由等式恒成立，則，解得．方法二：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，解得．【小問2詳解】，設(shè)，則，，函數(shù)取得最小值為0，當(dāng)且僅當(dāng)或的時(shí)取到．17.今年6月我校進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)競賽選拔考試．從參加考試的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將其成績分成六組：第1組40,50，第2組50,60，第3組60,70，第4組，第5組80,90，第6組90,100，得到頻率分布直方圖（如下圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：（1）從頻率分布直方圖中，估計(jì)第65百分位數(shù)是多少；（2）已知學(xué)生成績評定等級有優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級，其中成績不小于90分時(shí)為優(yōu)秀等級．若從成績在的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成績優(yōu)秀的概率．【答案】（1）73（2）【解析】【分析】（1）首先確定第百分位數(shù)位于，設(shè)其為，由可求得結(jié)果；（2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出第五組和第六組的人數(shù)，利用列舉法列舉出所有可能的基本事件，并確定滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】成績在的頻率為，成績在的頻率為，第百分位數(shù)位于，設(shè)其為，則，解得：，第百分位數(shù)為.【小問2詳解】第組的人數(shù)為：人，可記為；第組的人數(shù)為：人，可記為；則從中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種情況；其中至少1人成績優(yōu)秀的情況有：，，，，，，，，，，，，，，，共種情況；至少1人成績優(yōu)秀的概率.18.如圖，三棱錐分別是的中點(diǎn)，且．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若面面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用等體積法，由，解得：，進(jìn)而能得點(diǎn)到平面的距離；（2）解法一：作，則，則是平面與平面所成的一個(gè)平面角，再求解即可；解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法進(jìn)行求解.【小問1詳解】由題可得，解得：，由，解得：，所以，點(diǎn)到平面的距離為1．【小問2詳解】解法一：（幾何法）由，面．結(jié)合第1問，可得：．由平面記面面，由作，則．可知：是平面與平面所成的一個(gè)平面角．在中，解得：．所以，平面與平面夾角的余弦值是．解法二：（向量法）如圖，以為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，過點(diǎn)，垂直于底面向上為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則,設(shè)面的法向量為n=x,y,z由可得，令可得：，易得，平面的法向量．所以，即平面與平面夾角的余弦值是．19.已知正實(shí)數(shù)集，定義：稱為的平方集.記