2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)四十九第五章三角函數(shù)5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)四十九正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.(多選題)已知函數(shù)f(x)=QUOTEcosx,則下列說法正確的是 ()A.f(x)的最小正周期為πB.f(x)的值域?yàn)閇-1,1]C.f(x)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增D.f(x)的圖象關(guān)于QUOTE中心對(duì)稱【解析】選C、D.因?yàn)閒(x+π)=QUOTEcos(x+π)=-QUOTEcosx≠f(x),所以π不是函數(shù)的周期,A錯(cuò);當(dāng)tanx≥0時(shí),f(x)=sinx,當(dāng)tanx<0時(shí),f(x)=-sinx,因?yàn)閤≠±QUOTE,所以sinx≠±1,所以f(x)的值域?yàn)?-1,1),B錯(cuò);當(dāng)x∈QUOTE時(shí),f(x)=-sinx是單調(diào)遞增的,C正確;fQUOTE=QUOTEcosQUOTE=-QUOTEcosQUOTE=-QUOTEcosQUOTE=-fQUOTE,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)QUOTE成中心對(duì)稱.D正確.2.下列函數(shù)中,同時(shí)滿意:①在QUOTE上是增函數(shù),②為奇函數(shù),③以π為最小正周期的函數(shù)的是 ()A.y=tanx B.y=cosxC.y=tanQUOTE D.y=|sinx|【解析】選A.選項(xiàng)B,D所給函數(shù)都是偶函數(shù),不符合題意;選項(xiàng)C中所給的函數(shù)的周期為2π,不符合題意.3.函數(shù)f(x)=QUOTE的定義域?yàn)?()A.{x|x∈R且x≠Q(mào)UOTE,k∈Z}B.{x|x∈R且x≠kπ+QUOTE,k∈Z}C.{x|x∈R且x≠kπ+QUOTE,k∈Z}D.{x|x∈R且x≠kπ-QUOTE,k∈Z}【解析】選A.QUOTE(k∈Z)得QUOTE所以x≠Q(mào)UOTEπ且x≠Q(mào)UOTEπ,x≠Q(mào)UOTE,k∈Z.【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=-2tanQUOTE的定義域是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選D.由2x+QUOTE≠Q(mào)UOTE+kπ,得x≠Q(mào)UOTE+QUOTE,k∈Z.所以函數(shù)f(x)=-2tanQUOTE的定義域是QUOTE.4.f(x)=-tanQUOTE的單調(diào)區(qū)間是 ()A.QUOTE,k∈ZB.(kπ,(k+1)π),k∈ZC.QUOTE,k∈ZD.QUOTE,k∈Z【解析】選C.令-QUOTE+kπ<x+QUOTE<QUOTE+kπ,k∈Z,解得-QUOTE+kπ<x<QUOTE+kπ,k∈Z,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為QUOTE,k∈Z.5.函數(shù)y=tanx+QUOTE是 ()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)【解析】選A.函數(shù)的定義域是QUOTE,且tan(-x)+QUOTE=-tanx-QUOTE=-QUOTE,所以函數(shù)y=tanx+QUOTE是奇函數(shù).6.函數(shù)f(x)=tanωx(ω>0)的圖象上的相鄰兩支曲線截直線y=1所得的線段長(zhǎng)為QUOTE,則ω的值是 ()A.1 B.2 C.4 D.8【解析】選C.由題意可得f(x)的周期為QUOTE,則QUOTE=QUOTE,所以ω=4.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=tanQUOTE,則下列說法中正確的是 ()A.函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為QUOTE,k∈ZB.函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸方程是x=QUOTEC.函數(shù)f(x)在區(qū)間QUOTE上為增函數(shù)D.函數(shù)f(x)的最小正周期是π【解析】選D.對(duì)于A,當(dāng)x+QUOTE=kπ或x+QUOTE=kπ+QUOTE時(shí),即QUOTE或QUOTE(k∈Z)是函數(shù)的對(duì)稱中心,故錯(cuò)誤;對(duì)于B,正切型函數(shù)無對(duì)稱軸,故錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)x∈QUOTE時(shí),x+QUOTE∈QUOTE,正切函數(shù)在此區(qū)間不單調(diào),故錯(cuò)誤;對(duì)于D,周期T=QUOTE=π,故正確.二、填空題(每小題5分,共10分)7.在(0,2π)內(nèi),使tanx>1成立的x的取值范圍為________.

【解析】利用圖象y=tanx位于y=1上方的部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍可知.答案:QUOTE∪QUOTE8.tan2與tan3的大小關(guān)系是________(用“<”連接).

【解析】因?yàn)镼UOTE<2<3<π,函數(shù)y=tanx在QUOTE上單調(diào)遞增,所以tan2<tan3.答案:tan2<tan3三、解答題(每小題10分,共20分)9.求函數(shù)y=tan2x的定義域、值域和周期,并作出它在區(qū)間[-π,π]內(nèi)的圖象.【解析】定義域?yàn)镼UOTE;值域?yàn)?-∞,+∞);周期為QUOTE;對(duì)應(yīng)圖象如圖所示:10.若函數(shù)f(x)=2tanQUOTE(ω<0)的最小正周期為2π,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】因?yàn)閒(x)=2tanQUOTE(ω<0)的最小正周期為2π,所以QUOTE=2π,所以|ω|=QUOTE.又因?yàn)棣?lt;0,所以ω=-QUOTE.即f(x)=2tanQUOTE=-2tanQUOTE.由kπ-QUOTE<QUOTEx+QUOTE<kπ+QUOTE(k∈Z),得2kπ-QUOTEπ<x<2kπ+QUOTE(k∈Z),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為QUOTE(k∈Z).【補(bǔ)償訓(xùn)練】求函數(shù)y=tanQUOTE的單調(diào)區(qū)間及最小正周期.【解析】y=tanQUOTE=-tanQUOTE,由kπ-QUOTE<QUOTEx-QUOTE<kπ+QUOTE(k∈Z),得2kπ-QUOTE<x<2kπ+QUOTEπ(k∈Z),所以函數(shù)y=tanQUOTE的單調(diào)遞減區(qū)間是QUOTE,k∈Z,周期T=QUOTE=2π.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.關(guān)于函數(shù)f(x)=QUOTE的性質(zhì),下列敘述不正確的是 ()A.f(x)的最小正周期為QUOTEB.f(x)是偶函數(shù)C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=QUOTE(k∈Z)對(duì)稱D.f(x)在每一個(gè)區(qū)間QUOTE(k∈Z)內(nèi)單調(diào)遞增【解析】選A.因?yàn)閒QUOTE=QUOTE=QUOTE≠f(x),所以A錯(cuò);f(-x)=QUOTE=QUOTE=f(x),所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù),B正確;結(jié)合f(x)=QUOTE的圖象可知,C、D均正確.2.函數(shù)y=QUOTE的定義域?yàn)?()A.QUOTE,k∈ZB.QUOTE,k∈ZC.QUOTE,k∈ZD.QUOTE,k∈Z【解析】選C.由題可知,QUOTE1-tanQUOTE≥0,tanQUOTE≤1,-QUOTE+kπ<x-QUOTE≤QUOTE+kπ,k∈Z,-QUOTE+kπ<x≤QUOTE+kπ,k∈Z.x≠Q(mào)UOTE+kπ,k∈Z,所以x∈QUOTE,k∈Z.3.已知函數(shù)y=tanωx在QUOTE內(nèi)單調(diào)遞減,則()A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0C.ω≥1 D.ω≤-1【解析】選B.因?yàn)閥=tanωx在QUOTE內(nèi)是減函數(shù),所以ω<0且T=QUOTE≥π,所以|ω|≤1,即-1≤ω<0.【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)y=|tanQUOTE|的單調(diào)增區(qū)間為 ()A.QUOTE(k∈Z)B.QUOTE(k∈Z)C.QUOTE(k∈Z)D.QUOTE(k∈Z)【解析】選D.令t=x+QUOTE,則y=|tant|的單調(diào)增區(qū)間為QUOTE(k∈Z).由kπ≤x+QUOTE<kπ+QUOTE,得kπ-QUOTE≤x<kπ+QUOTE(k∈Z).4.若a=loQUOTEtan70°,b=loQUOTEsin25°,c=loQUOTEcos25°,則 ()A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.a<c<b【解析】選D.因?yàn)?<sin25°<sin65°=cos25°<1=tan45°<tan70°,所以loQUOTEsin25°>loQUOTEcos25°>loQUOTEtan70°,即a<c<b.二、填空題(每小題5分,共20分)5.y=tanQUOTE滿意下列哪些條件________(填序號(hào)).

①在QUOTE上單調(diào)遞增;②為奇函數(shù);③以π為最小正周期;④定義域?yàn)閧x|x≠Q(mào)UOTE+QUOTE,k∈Z}.【解析】令x∈QUOTE,則QUOTE∈QUOTE,所以y=tanQUOTE在QUOTE上單調(diào)遞增,①正確;tanQUOTE=-tanQUOTE,故y=tanQUOTE為奇函數(shù),②正確;T=QUOTE=2π,所以③不正確;由QUOTE≠Q(mào)UOTE+kπ,k∈Z,得{x|x≠π+2kπ,k∈Z},所以④不正確.答案:①②6.函數(shù)y=tanQUOTE的單調(diào)遞增區(qū)間為________.

【解析】令α=2x-QUOTE,因?yàn)閥=tanα的增區(qū)間是α∈QUOTE,k∈Z,所以2x-QUOTE∈QUOTE,k∈Z,所以x∈QUOTE,k∈Z.答案:QUOTE,k∈Z7.給出下列命題:(1)函數(shù)y=tan|x|不是周期函數(shù);(2)函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù);(3)函數(shù)y=QUOTE的周期是QUOTE;(4)y=sinQUOTE是偶函數(shù).其中正確命題的序號(hào)是________.

【解析】y=tan|x|是偶函數(shù),由圖象知不是周期函數(shù),因此(1)正確;y=tanx在每一個(gè)區(qū)間QUOTE(k∈Z)內(nèi)都是增函數(shù),但在定義域上不是增函數(shù),所以(2)錯(cuò);y=QUOTE的周期是QUOTE.所以(3)正確;y=sinQUOTE=cosx是偶函數(shù),所以(4)正確.因此,正確的命題的序號(hào)是(1)(3)(4).答案:(1)(3)(4)8.若tanQUOTE≤1,則x的取值范圍是________.

【解析】令z=2x-QUOTE,在QUOTE上滿意tanz≤1的z的值是-QUOTE<z≤QUOTE,在整個(gè)定義域上有-QUOTE+kπ<z≤QUOTE+kπ,解不等式-QUOTE+kπ<2x-QUOTE≤QUOTE+kπ,得-QUOTE+QUOTE<x≤QUOTE+QUOTE,k∈Z.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知-QUOTE≤x≤QUOTE,f(x)=tan2x+2tanx+2,求f(x)的最值及相應(yīng)的x值.【解析】因?yàn)?QUOTE≤x≤QUOTE,所以-QUOTE≤tanx≤1,f(x)=tan2x+2tanx+2=(tanx+1)2+1,當(dāng)tanx=-1即x=-QUOTE時(shí),f(x)有最小值1,當(dāng)tanx=1即x=QUOTE時(shí),f(x)有最大值5.10.已知函數(shù)f(x)=3tanQUOTE.(1)求f(x)的定義域、值域.(2)探討f(x)的周期性,奇偶性和單調(diào)性.【解析】(1)由QUOTEx-QUOTE≠Q(mào)UOTE+kπ,k∈Z,解得x≠Q(mào)UOTE+2kπ,k∈Z.所以定義域?yàn)閧x|x≠Q(mào)UOTE+2kπ,k∈Z},值域?yàn)镽.(2)f(x)為周期函數(shù),周期T=QUOTE=2π.f(x)為非奇非偶函數(shù).由-QUOTE+kπ<QUOTEx-QUOTE<QUOTE+kπ,k∈Z,解得-QUOTE+2kπ<x<QUOTE+2kπ,k∈Z.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE(k∈Z).11.已知函數(shù)f(x)=x2+2xtanθ-1,其中θ≠Q(mào)UOTE+kπ,k∈Z.(1)當(dāng)θ=-QUOTE,x∈[-1,QUOTE]時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值與最小值;(2)函數(shù)g(x)=QUOTE為奇函數(shù),求θ的值;(3)求θ的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[-1,QUOTE]上是單調(diào)的.【解析】(1)當(dāng)θ=-QUOTE時(shí),f(x)=x2-QUOTEx-1=QUOTE-QUOTE,因?yàn)閤∈QUOTE,所以當(dāng)x=QUOTE時(shí),f(x)min=-QUOTE,當(dāng)x=-1時(shí),f(x)max=QUOTE.(2)gQ