湖南省永州市20242024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試試卷含解析

Page15湖南省永州市20242024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試試卷滿分：150時(shí)間：120分鐘一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則的真子集個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，即，集合中有兩個(gè)元素，所以的真子集個(gè)數(shù)是.故選：A2.已知命題“，”，則命題（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【詳解】由題意可得命題是，故選：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】記集合，或.因?yàn)?，所以“”是“”充分不必要條件.故選：A4.如圖是杭州2024年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，如圖是會(huì)徽的幾何圖形，設(shè)弧長(zhǎng)度是，弧長(zhǎng)度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【詳解】設(shè)，則，所以，所以，故選：D5.已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊在第三象限且與單位圓交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】在單位圓上即終邊在第三象限所以，，所以所以.故選：C6.已知函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【詳解】函數(shù)的定義域是，，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故解除CD；，當(dāng)時(shí)，，，所以，故解除B.故選：A7.用二分法推斷方程在區(qū)間內(nèi)的根（精確度0.25）可以是（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.0.825 B.0.635 C.0.375 D.0.25【答案】B【詳解】設(shè)，，，，在內(nèi)有零點(diǎn)，在內(nèi)有零點(diǎn)，方程根可以是0.635.故選：B．8.定義在的函數(shù)滿意：對(duì)，，且，成立，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】由且，，則兩邊同時(shí)除以可得，令，則在單調(diào)遞增，由得且，即解得，故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，,則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】BC【詳解】對(duì)于A,取，滿意，,但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)?，所以，又，故，B正確；對(duì)于C,因?yàn)?，所以，故，C正確；對(duì)于D,取滿意，但，D錯(cuò)誤，故選：10.下列說法正確的是（）A.函數(shù)定義城為B.和g（x）=x表示同一個(gè)函數(shù)C.函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.函數(shù)f（x）滿意，則【答案】AC【詳解】對(duì)于A：由解得或x<－2，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故A正確；對(duì)于B：的定義域?yàn)?，的定義為，定義域不相同，所以和不是同一個(gè)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由，所以為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）滿意，所以，由解得，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11.已知是正數(shù)，且，則（）A.的最大值為4B.最大值為0C.的最小值為4D.的最小值為【答案】BCD【詳解】由是正數(shù)，且，可得，對(duì)A，，由可得，無最大值，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故B正確；對(duì)C，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確故選：BCD12.已知函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.的值域?yàn)镃.為周期函數(shù)，且最小正周期D.與的圖像恰有一個(gè)公共點(diǎn)【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，由于，所以，所以不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)；對(duì)于B，由于為整數(shù)，的值有三種狀況，所以的值域?yàn)楣蔅正確；對(duì)于C，由于，所以，故C正確；對(duì)于D，由B得，令，得或，而不是公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).令，得或，而，所以是兩個(gè)函數(shù)圖像的一個(gè)公共點(diǎn).令，得或，而，所以不是兩個(gè)函數(shù)圖像的一個(gè)公共點(diǎn).綜上所述，兩個(gè)函數(shù)圖像有一個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，那么___．【答案】【詳解】為冪函數(shù)，可設(shè)，則，解得：，，.故答案為：.14.已知關(guān)于的不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集為__．【答案】【詳解】由題意得，所以，故，即，，故解集為.故答案為：15.若函數(shù)存在最大值和最小值，記，側(cè)____________．【答案】16【詳解】，令則，即為奇函數(shù)，由此故故答案為：16.16.設(shè)函數(shù)，方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則的取值范圍是___________.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，所以在與上的圖像關(guān)于對(duì)稱.作出圖象如下圖所示，不防令，可得且所以，所以.因?yàn)?，令，則原式化為.因?yàn)槠鋵?duì)稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增所以所以的取值范圍是.故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）.【小問1詳解】解：原式.【小問2詳解】解：原式．18.已知非空集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，則,，【小問2詳解】由題意得是的真子集，而是非空集合，則且與不同時(shí)成立，解得，故a的取值范圍是19.科學(xué)試驗(yàn)中，試驗(yàn)員將某種染料倒入裝有水的透亮水桶，想測(cè)試染料的擴(kuò)散效果，染料在水桶中擴(kuò)散的速度是先快后慢，1秒后染料擴(kuò)散的體積是，2秒后染料擴(kuò)散的體積是，染料擴(kuò)散的體積y與時(shí)間x（單位：秒）的關(guān)系有兩種函數(shù)模型可供選擇：①，②，其中m，b均為常數(shù)．（1）試推斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；（2）若染料擴(kuò)散的體積達(dá)到，至少須要多少秒．【答案】（1）選，（2）至少需4秒【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)中，隨的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，且增長(zhǎng)的速度也越來越快，二函數(shù)中，隨的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，且增長(zhǎng)的速度也越來越慢，依據(jù)染料擴(kuò)散的速度是先快后慢，所以選其次個(gè)模型更合適，即，由題意可得：，解得：，所以該模型的解析式為：，【小問2詳解】由（1）知：，由題意知：，也即，則有，∴，∴，∴至少須要4秒．20.已知，.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【小問1詳解】∵，∴，解得.【小問2詳解】∵，∴，且，∴，∴，∴，則，∴，又∵，∴.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）令，求的最小值.【答案】（1）;（2）【小問1詳解】，所以函數(shù)的最小正周期為.【小問2詳解】由，可得，所以.令,則，令，其對(duì)稱軸為，①當(dāng)，即，在上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以.綜上所述，故22.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．（1）推斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）