專題06特殊四邊形及圓的相關(guān)證明與計(jì)算-（全國(guó)通 用）（解析版）

專題06特殊四邊形及圓的相關(guān)證明與計(jì)算考向1與圓有關(guān)的證明與計(jì)算【母題來源】2021年中考內(nèi)江卷【母題題文】（2021?內(nèi)江）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點(diǎn)，且，過點(diǎn)D的直線DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)AD、OE交于點(diǎn)G．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積；（3）連結(jié)BE，在（2）的條件下，求BE的長(zhǎng)．【試題解析】（1）證明：如圖，連接OD，∵，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵OD∥AE，∴△OGD∽△EGA，∴，∵，⊙O的半徑為2，∴，∴AE＝3，如圖，連接BD，∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AE，∴∠AED＝∠ADB＝90°，∵∠CAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴，即，∴AD＝2，在Rt△ADB中，cos∠DAB，∴∠DAB＝30°，∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，∴∠F＝30°，∵OD＝2，∴DF2，∴S陰影＝S△DOF﹣S扇形DOB2×22；（3）如圖，過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，連接BE，在Rt△AEM中，AM＝AE?cos60°＝3，EM＝AE?sin60°，∴MB＝AB﹣AM＝4，∴BE．【命題意圖】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力；推理能力?！久}方向】考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【得分要點(diǎn)】解決與圓有關(guān)的證明與計(jì)算的常用方法:(1)有切線時(shí),一般連接圓心與切點(diǎn),利用切線的性質(zhì)、圓周角定理及其推論等解決問題.(2)判斷直線是圓的切線有兩種方法:①如果直線與圓有交點(diǎn),則連接交點(diǎn)與圓心,證明直線與半徑垂直,即“有交點(diǎn),作半徑,證垂直”;②如果直線與圓沒有明確的交點(diǎn),則過圓心作該直線的垂線,證明垂線段等于半徑,即“無交點(diǎn),作垂直,證相等”.(3)證明線段相等時(shí),一般通過證三角形全等或“等角對(duì)等邊”或等量代換等來解決.(4)求線段的長(zhǎng)度,一般通過勾股定理、相似三角形、解直角三角形等來解決.考向2圓背景下的特殊四邊形的動(dòng)態(tài)探究問題【母題來源】2021年中考通遼卷【母題題文】（2021?通遼）如圖，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作⊙O的切線AC，點(diǎn)P是射線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，過點(diǎn)B作BD∥OP，交⊙O于點(diǎn)D，連接PD．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）當(dāng)四邊形POBD是平行四邊形時(shí)，求∠APO的度數(shù)．【試題解析】（1）證明：連接OD，∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°，∵OP∥BD，∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO，∴∠DOP＝∠AOP，在△AOP和△DOP中，∴△AOP≌△DOP（SAS），∴∠PDO＝∠PAO，∵∠PAO＝90°，∴∠PDO＝90°，即OD⊥PD，∵OD過O，∴PD是⊙O的切線；（2）解：由（1）知：△AOP≌△DOP，∴PA＝PD，∵四邊形POBD是平行四邊形，∴PD＝OB，∵OB＝OA，∴PA＝OA，∴∠APO＝∠AOP，∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°．【命題意圖】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力．【命題方向】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能熟記圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑是解此題的關(guān)鍵．【得分要點(diǎn)】圓背景下特殊四邊形動(dòng)態(tài)探究題的考查方式與解題方法:(1)常見的考查方式:①通過線段的長(zhǎng)判定四邊形的形狀;②通過角度的大小判定四邊形的形狀.(2)解此類題的一般方法:①假設(shè)四邊形為所要求的特殊四邊形;②根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì),結(jié)合已知條件,求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度或角的度數(shù);③檢驗(yàn)所求線段的長(zhǎng)度或角的度數(shù)是否滿足題意.考向3四邊形背景下的特殊四邊形的動(dòng)態(tài)探究問題【母題來源】2021年中考青島卷【母題題文】已知：如圖，在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cms．過點(diǎn)Q作QM∥BE，交AD于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN∥BC，交CD于點(diǎn)N．分別連接PQ，PM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：（1）當(dāng)PQ⊥BD時(shí)，求t的值；（2）設(shè)五邊形PMDNQ的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)PQ＝PM時(shí)，求t的值；（4）若PM與AD相交于點(diǎn)W，分別連接QW和EW．在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使∠AWE＝∠QWD？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【試題解析】（1）如圖1中，由題意，BP＝DQ＝t（cm），在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝AD＝6cm，∠BAD＝90°，∴BD10（cm），∵PQ⊥BD，∴∠PQB＝90°，∴cos∠PBQ，∴，∴t，答：當(dāng)PQ⊥BD時(shí)，t的值為．（2）如圖2中，過點(diǎn)P作PO⊥QM于點(diǎn)O．在等腰Rt△ADE中，AD＝AE＝6，∠EAD＝90°，∴BE＝AB+AE＝8+6＝14（cm），∵QM∥BE，∴∠POH＝∠PAH＝∠OHA＝90°，∴四邊形OPAH是矩形，∴PO＝AH，∵QM∥EB，∴∠DQM＝∠QDM，∵∠QDM＝∠QDM，∴△DQM∽△DBE，∴，∴，∴QMt（cm），∵QN∥BC，∴∠DNQ＝∠C＝90°，∵∠CDB＝∠CDB，∴△NDQ∽△CDB，∴，∴，∴DNt（cm），QNt（cm）．∴S＝S四邊形DQPM+S△DNQ（PQ+DH）?QMQN?ND（HA+DH）?QMQN?ND?AD?QMQN?ND6tttt2t．∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：St2t（0＜t＜8）．（3）如圖3中，延長(zhǎng)NQ交BE于點(diǎn)G．由（1）（2）可知DC∥AB，∠DNQ＝90°，PO⊥QM，∵∠DNQ＝∠NGA＝∠BAD＝90°，∴四邊形NGAD是矩形，∴BG＝CN＝（8t）（cm），同理可證，四邊形PGQO是矩形，∴QO＝PG＝BP﹣CN＝t﹣（8t）＝（t﹣8）（cm），∴tt﹣8，∴t，答：當(dāng)PQ＝PM時(shí)，t的值為．（4）存在．理由：如圖4中，由（2）得DNt，QMt，∵QN∥BC，QM∥BE，∴∠DNQ＝∠NQH＝∠NDH＝90°，∴四邊形NQHD是矩形，∴QH＝DNt，且∠QHD＝90°，∴∠QHA＝∠DAE＝90°，∵∠AWE＝∠QWD，∴△HQW∽△AEW，同理可證△MHW∽△PAW，∴，，∴，∴，∴t，經(jīng)檢驗(yàn)，t是分式方程的解，答：在運(yùn)動(dòng)過程中，t的值為時(shí)，∠AWE＝∠QWD．【命題意圖】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；推理能力【命題方向】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．【得分要點(diǎn)】四邊形背景下特殊四邊形動(dòng)態(tài)探究題的考查方式與解題方法:(1)常見考查方式:通過探究動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間或位置來判定四邊形的形狀;(2)解此類題的一般方法:以題目所要求的特殊四邊形為條件,進(jìn)行逆推,求解相應(yīng)問題.1．（2021?東勝區(qū)一模）如圖，點(diǎn)D、E在以AB為直徑的⊙O上，AE與BC交于點(diǎn)F，∠DAC＝∠AED．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若點(diǎn)E是上一點(diǎn)，BD＝AD，BE＝1，求DF的長(zhǎng)．（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠DBA＝∠DEA．∠DAC＝∠DEA，∴∠DAC＝∠DBA，∴∠DAC+∠DAB＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥AB，∵AB為⊙O的直徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠BEF＝90°，∴∠ADF＝∠BEF，∵∠DAF＝∠EBF，∴△ADF∽△BEF，∴，設(shè)EF＝x，則DFx，∴BFx，∵EF2+BE2＝BF2，∴x2+1＝（x）2，解得：x1，x2＝2（不合題意，舍去），∴DF．2．（2021?南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）如圖，四邊形ABCD為菱形，以AD為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)F，連接DB交⊙O于點(diǎn)H，E是BC上一點(diǎn)，且BE＝BF，連接DE．（1）求證DE是⊙O的切線；（2）若BF＝1，BD，則菱形ABCD的面積為．（1）證明：連接DF，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，∴AB?BF＝BC?BE，即AF＝CE，∴△DAF≌△DCE（SAS），∴∠DFA＝∠DEC，∵AD是⊙O的直徑，∴∠DFA＝90°，∴∠DEC＝90°∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵AD是⊙O的直徑，∴∠AHD＝∠DFA＝90°，∴∠DFB＝90°，在Rt△BDF中，BF＝1，BD，∴DF2＝BD2?BF2＝5﹣1＝4，∴DF＝2，在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF2，∴AB2＝22+（AB﹣1）2，解得AB，∴S菱形ABCD＝AB?DF2＝5．3．（2021?河南模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D是AB下方的圓上一點(diǎn)，點(diǎn)C是優(yōu)弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作⊙O的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OC，OD，CB，BD．（1）求證：BD∥OC；（2）若AB＝6，填空：①當(dāng)BE＝時(shí)，四邊形ODBC是菱形；②當(dāng)BE＝時(shí)，S△BCES△ABC．（1）證明：連接CD，如圖：∵C為優(yōu)弧ABD的中點(diǎn)，∴AC＝CD，又OA＝OD，OC＝OC，∴△ACO≌△DCO（SSS），∴∠A＝∠ODC，∵，∴∠A＝∠CDB，∴∠ODC＝∠CDB，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDB＝∠OCD，∴BD∥OC；（2）①解：如圖：∵BE是⊙O的切線，∴∠ABE＝90°，∵四邊形ODBC是菱形，∴OC＝BC，而OC＝OB，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠OBC＝60°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝30°，在Rt△ABE中，BE＝AB?tanA＝6×tan30°＝2，故答案為：2；②解：如圖：由（2）知∠ABE＝∠BCE＝90°，又∠E＝∠E，∴△ABE∽△BCE，∴，∵S△BCES△ABC，∴，設(shè)CE＝t，則AC＝4t，AE＝5t，∴，∴BEt，，∴BC，∴AC，∴4t，∴t，∴BEt＝3，故答案為：3．4．（2021?欒川縣三模）某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了一次有趣的數(shù)學(xué)探究：如圖①所示，在鈍角∠AOB的邊OB上任取一點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CE∥OA，以點(diǎn)C為圓心，CO的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線CE于點(diǎn)D，在上任取一點(diǎn)P，作射線OP，交射線CE于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F也隨之移動(dòng)，是否存在某個(gè)時(shí)刻，∠AOF恰好等于∠AOB呢？經(jīng)過試驗(yàn)、猜想、推理驗(yàn)證，他們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)PF與OC滿足某種數(shù)量關(guān)系時(shí)，∠AOF∠AOB．請(qǐng)你根據(jù)以上信息，把如下不完整的“圖②”和“已知”補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖②，點(diǎn)C在鈍角∠AOB的邊OB上，CE∥OA，以點(diǎn)C為圓心、CO的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線CE于點(diǎn)D，點(diǎn)P在上，射線OP交CE于點(diǎn)F，（填PF與OC的數(shù)量關(guān)系）．求證：∠AOF∠AOB．解：PF＝OC，如圖②，證明：連接PC，∵CE∥OA，∴∠AOF＝∠PFC，∵CP＝OC，PF＝OC，∴CP＝PF，∴∠PFC＝∠PCF，∵∠CPO是△FPC的外角，∴∠CPO＝∠PFC+∠PCF＝2∠AOF，∵CP＝OC，∴∠CPO＝∠COP，∴∠COP＝2∠AOF，∵∠AOF+∠COP＝∠AOB，∴∠AOF∠AOB．故答案為：PF＝OC．5．（2021?南陽模擬）小亮在學(xué)習(xí)中遇到如下一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)C是半圓AmB上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB＝6，CD平分∠ACB，過點(diǎn)A作AD∥BC交CD于點(diǎn)D，連接BD．當(dāng)△BCD為等腰三角形時(shí)，求線段AC的長(zhǎng)度．小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計(jì)算徹底解決，于是他嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)研究此問題．將線段AC的長(zhǎng)度作為自變量x，BC，BD和CD的長(zhǎng)度都是x的函數(shù)，分別記為yBC，yBD和yCD．請(qǐng)將下面的探究過程補(bǔ)充完整：（1）根據(jù)點(diǎn)C在半圓AmB上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測(cè)量線段AC，BC，BD的長(zhǎng)度，得到下表的幾組對(duì)應(yīng)值：AC01.02.03.04.04.55.05.56BC65.95.75.24.5a3.32.40BD65.04.23.744.55.36.38.5①上表中a的值是4.0；②操作中發(fā)現(xiàn)，“無需測(cè)量線段CD的長(zhǎng)度即可得到y(tǒng)CD關(guān)于x的函數(shù)解析式”．請(qǐng)直接寫出yCD關(guān)于x的函數(shù)解析式．（2）小亮已在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出了函數(shù)yBD的圖象，如圖2所示．①請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系中畫出函數(shù)yBC和yCD的圖象；②結(jié)合圖象直接寫出當(dāng)△BCD為等腰三角形時(shí)，線段AC長(zhǎng)度的近似值（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（3）小亮觀察發(fā)現(xiàn)，函數(shù)yBD的圖象有最低點(diǎn)．請(qǐng)你直接寫出線段BD長(zhǎng)度的最小值（寫出精確值）．解：（1）①∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC4.0．故答案為：4.0．②∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCB＝45°，∴∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴CDAC，∴yCDx．（2）①函數(shù)yBC和yCD的圖象如圖所示：②由圖象可得：當(dāng)AC＝2.6或3.3或4.2時(shí)，△BCD為等腰三角形．（3）如圖，將△ABD繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEC，取AB中點(diǎn)G，連接CG、EG，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：AB＝AE＝6，CE＝BD，∠GAE＝90°，∵G為AB的中點(diǎn)，∴AG＝3，∴EG3，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴EC+CG≥EG，∴EC+3≥3，∴BD＝CE≥33，∴BD最小值為33．6．（2021?姑蘇區(qū)校級(jí)一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，BM＝3x，BN＝4x（0＜x＜1）．把△MBN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，得到△MEF，點(diǎn)E落在線段MN上．（1）求證：MN∥AC；（2）若點(diǎn)E在∠BCA的平分線上，求BM的長(zhǎng)；（3）若△MEF與△ABC重疊部分圖形的周長(zhǎng)為，求x的值．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝4，∴，，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BMN∽△BAC，∴∠BMN＝∠BAC，∴MN∥AC；（2）解：連接CE，若點(diǎn)E在∠ACB的平分線上，則∠NCE＝∠ACE，∵M(jìn)N∥AC，∴∠NEC＝∠ACE，∴∠NCE＝∠NEC，∴NE＝CN，由勾股定理得MN＝5x，∴2x＝4﹣4x，∴x，∴BM＝3x＝2；（3）解：當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，過點(diǎn)N作NH⊥AC于H，則四邊形ENHF為矩形，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∠BNM+∠HNC＝90°，∴∠BMN＝∠HNC，∴cos∠BMN＝cos∠HNC，∴，解得x，當(dāng)0＜x時(shí)，重疊部分周長(zhǎng)為12x，當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，周長(zhǎng)最大為12，當(dāng)x＜1時(shí)，如圖，設(shè)MF、EF分別交AC于P、Q兩點(diǎn)，此時(shí)△MEF與△ABC重疊部分為梯形MEPQ，在Rt△ABC和Rt△NHC中，∵sin∠ACB，∴，∴NH，∴FQ＝FE﹣NH＝4x，∵cosF，tanF，∴FPFQ＝8x﹣3，PQFQ，∴MP＝MF﹣FP＝5x﹣（8x﹣3）＝3﹣3x，∴梯形MEPQ的周長(zhǎng)為ME+EQ+PQ+MP為，即，解得x，∴當(dāng)x時(shí)，△MEF與△ABC重疊部分圖形的周長(zhǎng)為．7．（2021?徐州模擬）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)P、Q是對(duì)角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著BD以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)沿著DB以2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為xs，△AQP的面積為ycm2，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）a＝．（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△APQ的面積為6cm2；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ為直徑的圓與△APQ的邊有且只有三個(gè)公共點(diǎn)．解：（1）由題意可得：Q運(yùn)動(dòng)3s達(dá)到B，∴BD＝3×2＝6，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD3，∴aAB?AD＝9，故答案為：9；（2）連接AC交BD于O，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OAACBD＝3，∵△APQ的面積為6，∴PQ?OA＝6，即PQ×3＝6，∴PQ＝4，而BP＝x，DQ＝2x，當(dāng)P在Q下面時(shí)，6﹣x﹣2x＝4，∴x，當(dāng)P在Q上方時(shí)，Q運(yùn)動(dòng)3s到B，此時(shí)PQ＝3，∴x＝4時(shí)，PQ＝4，則△APQ的面積為6；綜上所述，x或x＝4；（3）當(dāng)x＝0時(shí)，如圖：B與P重合，D與Q重合，此時(shí)以PQ為直徑的圓與△APQ的邊有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到BD中點(diǎn)時(shí)，如圖：此時(shí)x，以PQ為直徑的圓與AQ相切，故與△APQ的邊有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)P、Q重合時(shí)，如圖：顯然不構(gòu)成三角形和圓，此時(shí)x＝2，當(dāng)Q運(yùn)