頻率波數(shù)域波動方程偏移

中國地質大學（北京）課程名稱：應用地震學教師：段云卿第30冊PAGE1PAGE5（二）頻率波數(shù)域波動方程偏移序：有限差分法是在時空域進行偏移，利用付氏變換可在頻率波數(shù)域實現(xiàn)偏移。1．偏移公式速度減半后的波動方程：(6.4-67)對上式進行關于x和t的二維付氏變換，速度用常數(shù)，得(6.4-77)式中是波場函數(shù)u(x,z,t)的二維付氏變換。求解（6.4-77），有兩個解，分別對應著上行波和下行波。偏移研究的是上行波的向下延拓問題，所以只取上行波解為：（6.4-78）物理意義：用地面波場的付氏變換,可求出地下任何深度處的波場的付氏變換，是頻率波數(shù)域內的常速波場延拓公式。求地下任意深度處的波場u(x,z,t)對（6.4-78）進行反付氏變換，得（6.4-79）成像取t=0時刻的波場，由（6.4-79）得將(6.4-78)代入將(6.4-78)代入（6.4-80）2．頻波域波動方程偏移的特點優(yōu)點：=1\*GB3①利用快速付氏變換，偏移效率高。=2\*GB3②適合于大傾角的地區(qū)。缺點：=1\*GB3①速度橫向變化大的地區(qū)不能用。=2\*GB3②必須注意采樣間隔，以免出現(xiàn)假頻。（三）克?；舴蚍e分偏移1.用克?；舴蚍e分解求解波動方程維波動方程克?；舴蚍e分解nθ········M(x,y,z)QP13圖6.1-12克?；舴蚍e分示意圖如果圍繞著震源的封閉曲面Q，已知 Q面上波動的位移位φ(x1,y1,z1,t)及其對時間對空間的導數(shù),且這些值是連續(xù)的沒有奇點。那么可以算出Q面以外（內）任意觀測點M(x,y,z)上由震源引起的位移位：（注：“內外”公式差一負號，表現(xiàn)為波形反相）(6.1-37)式中[]不是方括號，表示計算t時刻的位移位要用到t1=t-時刻的位移位及其對時間對空間的導數(shù)，故[φ]叫延遲位。r——M點到Q面上各點和距離n——Q面的外法線方向。說明：（6.1-37）更深層的的含義a.已知Q面上的是位移位，算出來的是M點上的位移位。b.已知Q面上的是位移，算出來的是M點上的位移。c.1883年出現(xiàn)克?；舴蚬剑?983年用于生產(chǎn)實踐，用地面波場計算地下任一點的波場。3．適合地震疊后時間偏移的克?；舴蚍e分公式第一步：選擇Q面M*(x,y,-z,t)r*0Q0x(xL,yL,0,t)ryM(x,y,z,t)Q1n與z相反，M*點上波場u(x,y,-z,t)=0z選擇封閉曲面Q由無限大的地面Q0和地下無限大的半球面Q1構成。因為Q1上各點的波場值為0，它對封閉曲面Q內任一點M（x,y,z,t）的波場沒有貢獻。由（6.1-37）得由地面Q0計算地下任一點的位移波場的公式為：(6.4-83a)∵n與z方向相反∴∴(6.4-83b)第二步：消去對空間求導數(shù)項（6.4-83b）中含有波場對空間的導數(shù)項，實際記錄沒有對空間進行連續(xù)觀測,而是r固定，u=u(t),沒法求，想法消去這一項。計算M*(x,y,-z,t)的波場，M*(x,y,-z,t)是地下點M（x,y,z,t）關于地面的鏡象,地震勘探中地面以上波場值為0，用克?；舴蚍e分結果應為0,即(6.4-83c)在地面Q。上，代入（6.4-83-c），得(6.4-83d)即(6.4-83e)將(6.4-83b)與(6.4-83e)相加，得（書上Q╳）(6.4-83)該式已消去對空間的導數(shù)項，可以實用。第三步：延遲位、超前位及速度減半延遲位：用u(t-)求u（t）?？讼；舴蚍e分是用前一時刻波場u(t-)求后一時刻波場u（t）。超前位：用u(t+)求（t）。用地面波場向反時間方向“倒退”求出t=0時的波場，可理解為用u(t+)倒退求u（t）。由（6.4-83）得反時間方向克?；舴蚍e分公式為：(6.4-84a)地面波場地面波場據(jù)爆炸反射界面模型，將速度減半，有(6.4-84)注：書上有錯第四步：成像取t=0時刻波場得偏移結果，將空間深度Z轉換為時間深度，考慮二維偏移，去掉y坐標。由（6.4-84），得(6.4-85)注：zt=0t=0∵注：將該式與P154(6.4-66)比較xL-為地面記錄道的橫坐標，x-為偏移后剖面道的橫坐標。u(xL,0,τ=2r/V)xdrθdzM(x,z,t=0)u(x,z,0)等時面z,代入(6.4-85)，得(6.4-86)4.（6.4-86）式的物理意義(x1,0)(x2,0)(x3,0)(x4,0)(x5,0)(x6,0)xΔR(x,z)Z或t0按雙曲線到地面地震記錄上取波場值，將取來的波場值本身加權參加疊加，將取來的波場值求導數(shù)后加權參加疊加，將疊加結果放在雙曲線的頂點上。5．克希霍夫積分偏移與繞射掃描偏移的區(qū)別繞射掃描疊加偏移：按雙曲線取波場值，直接放在地下雙曲線的頂點上，只恢復了運動學特征。克?；舴蚍e分偏移：按雙曲線取波場值，經(jīng)計算加權后放在地下雙曲線的頂點上，既恢復了運動學特征，也恢復了動力學特征?？讼；舴蚍e分偏移的特點能適合大傾角的地層。不適合速度橫向變化大的情況。噪音對偏移結果影響大，因為噪音參加疊加。（四）二維波動方程偏移剖面的優(yōu)缺點優(yōu)點：（1）除水平疊加的優(yōu)點以外，波場的位置和時間在上下左右得到了歸位，即運動學特征在上下左右得到了恢復，提高了橫向分辨率。（2）用地面波場值計算地下網(wǎng)格點上的波場值，即波的振幅、頻率等動力學特征得到恢復。缺點：波場前后沒有歸位。三維波動方程偏移y0xz優(yōu)點：（1）除水平疊加的