2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：相似三角形及其應(yīng)用（講義）（解析版）

第21講相似三角形及其應(yīng)用

目錄

題型15利用相似三角形的性質(zhì)與判定求最

一、考情分析值

題型16利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決

二、知識(shí)建構(gòu)

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

考點(diǎn)一相似三角形的性質(zhì)與判定

題型17利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決

題型01添加條件使兩個(gè)三角形相似

存在性問(wèn)題

題型02證明兩個(gè)三角形相似

考點(diǎn)二相似三角形的常見(jiàn)模型

題型03確定相似三角形的對(duì)數(shù)

題型01A字模型

題型04在網(wǎng)格中判斷相似三角形

題型028字模型

題型05利用相似的性質(zhì)求解

題型03一線三垂直模型

題型06利用相似的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)

題型04三角形內(nèi)接矩形模型

題型07在網(wǎng)格中畫(huà)與已知三角形相似的三

題型05旋轉(zhuǎn)相似模型

角形

考點(diǎn)三相似三角形的應(yīng)用

題型08證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例

題型01測(cè)量樹(shù)高

題型09利用相似三角形的性質(zhì)求解決折疊

題型02測(cè)量旗桿高度

問(wèn)題

題型03測(cè)量樓高問(wèn)題

題型10利用相似三角形的性質(zhì)判斷函數(shù)圖

題型04測(cè)量河寬問(wèn)題

象

題型05杠桿問(wèn)題

題型11尺規(guī)作圖與相似三角形綜合應(yīng)用

題型06實(shí)驗(yàn)問(wèn)題

題型12三角板與相似三角形綜合應(yīng)用

題型07九章算經(jīng)問(wèn)題

題型13平移與相似三角形綜合應(yīng)用

題型08三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題

題型14利用相似三角形的性質(zhì)與判定求線

段比值

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

>了解相似三角形的判定定理.相似三角形是中考數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)考

相似三角形的

>了解相似三角形判定定理的證明.點(diǎn)，也是難度最大的一個(gè)考點(diǎn).它不僅可以作為簡(jiǎn)

性質(zhì)與判定

>了解相似三角形的性質(zhì)定理.單考點(diǎn)單獨(dú)考察，還經(jīng)常作為壓軸題的重要解題方

法，和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等問(wèn)題一起考

察.而且在很多壓軸題中，經(jīng)常通過(guò)相似三角形的

相似三角形的>

常見(jiàn)模型判定以及性質(zhì)來(lái)得到角相等或者邊長(zhǎng)間的關(guān)系，也

是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段.需要考

生在復(fù)習(xí)的時(shí)候給予加倍的重視！

相似三角形的>會(huì)利用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單

應(yīng)用的實(shí)際問(wèn)題.

題型01添加條件使兩個(gè)三角形相似

I"（相似:角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相辱二）

題型02證明兩個(gè)一:外形相似

Y相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比題型03確定相似」.角形的對(duì)數(shù)

題型04在網(wǎng)格中判斷相似二角形

-（相似：.角形周長(zhǎng)的比等于柑證。題型05利用相似的性質(zhì)求解

題型06利用相似的性偵求點(diǎn)的坐標(biāo)

"（相似三角形間積比等于相似比的平方）

/相似三角形題型07在網(wǎng)格中畫(huà)與已知：角形相似的三角形

_（的性質(zhì)與判/平行于T角形邊的直線和其他兩邊（或其延長(zhǎng)線）相交，\題型08證明二角形的對(duì).應(yīng)線段成比例

題型09利用相似三角形的性質(zhì)求解決折疊問(wèn)題

一（所構(gòu)成的三角形與原三角形同初

1題型10利用相似」角形的性質(zhì)判斷函數(shù)圖象

-（三邊成比例的兩個(gè)三角形相戀「）題型11尺規(guī)作圖與相似三角形綜合應(yīng)用

題型12三角板與相似三角形綜合應(yīng)用

-（兩邊成比例并11夾角相等的兩個(gè)三角形相似題型13平移與相似一角形綜合應(yīng)用

題型14利用相似:角形的性質(zhì)與判定求線段比值

相一《兩個(gè)用分別相等的兩個(gè)三角形相似.）

題型15利用相似三角形的性質(zhì)與判定求最值

似Y斜邊和直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似題型16利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

題型17利用相似一角形的性質(zhì)與判定解決存在性問(wèn)題

三

角

形（A字型）

及工8字型題型01A字模型

題型028字模型

其相似三角形}|結(jié)論。證明前］}

j（一線三等角型）題型03一線三垂直模型

的常見(jiàn)模型

應(yīng)/<三角形內(nèi)接矩形）題型（）4二:角形內(nèi)按矩形模型

題型05旋轉(zhuǎn)相似模型

用

旋轉(zhuǎn)型

題型（）1測(cè)云樹(shù)而

題型02測(cè)量旗桿高度

題型03測(cè)量樓高間.題

題型04測(cè)值河寬問(wèn)題

相似三角形的應(yīng)用

題型05杠桿問(wèn)題

題型06實(shí)驗(yàn)問(wèn)題

題型07九章算經(jīng)問(wèn)題

題型08三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題

考點(diǎn)一相似三角形的性質(zhì)與判定

?夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)捺理

相似三角形的概念:對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似用符號(hào)“S”，

讀作“相似于”.

相似三角形的判定方法：

1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

2）兩個(gè)三角形相似的判定定理：

①三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；

②兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；

③兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.

④斜邊和直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.

相似三角形的性質(zhì)：

1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

2）相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

4）相似三角形面積比等于相似比的平方.

判定兩個(gè)三角形相似需要根據(jù)條件選擇方法.有時(shí)條件不具備，需從以下幾個(gè)方面探求：

1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；

2）兩個(gè)三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找?jiàn)A這組等角的兩邊成比例；

3）兩個(gè)三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例；

4）條件中若有一組直角，可再找一組等角或兩邊成比例.

1.判斷網(wǎng)格中三角形是否相似，先運(yùn)用勾股定理計(jì)算出三邊的長(zhǎng)度，再看對(duì)應(yīng)邊的比例是否相等.

提升-必考題型歸納

題型01添加條件使兩個(gè)三角形相似

【例1】（2023?河北邢臺(tái)?統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形4BCD中，AADC=ABAC,則添加下列條件后，不能判

定和ABAC相似的是（）

A.G4平分/BCDB.ADAC=AABCC.—=—D.絲=叱

BCACABAC

【答案】C

【分析】可以根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等或兩組對(duì)角相等來(lái)證明兩個(gè)三角形相似.

【詳解】解：A、由C4平分NBCC可得NBC4=N4CD,結(jié)合"DC=NBAC,可以證明△4BC。人配故

此選項(xiàng)不符合題意；

B、由ND4C=AABC,結(jié)合N4DC=Z.BAC,可以證明4ABC八DAC,故止匕選項(xiàng)不符合題意；

C、由蔡結(jié)合N4DC=NB4C,不可以證明△力BCSADAC,故此選項(xiàng)符合題意；

D、由絲=生，結(jié)合/ADC=NB4C,可以證明AABCSADAC,故此選項(xiàng)不符合題意；

ABAC

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵.

【變式1T】（2023?黑龍江齊齊哈爾??？既＃┤鐖D，要使△4CD?A/IBC,則需要添加的條件是

（填一個(gè)即可）

【答案】ZXCD=乙B（答案不唯一）

【分析】由圖可得△4BD與AaCB有一個(gè)公共角NC,再根據(jù)相似三角形的判定方法即可得到結(jié)果.

【詳解】Vz/1=/.A,4ACD=LB

△ACD~AABC.

故填：/.ACD=LB

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

【變式1-2］（2023?江西贛州?統(tǒng)考一模）如圖，己知*=當(dāng)=鼠請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使△ABC“△AC。,

ACAD

你添加的條件是（寫(xiě)出一個(gè)即可）.

【答案】言=k^BAC=2LCAD

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可進(jìn)行解答.

【詳解】解:添加四=k,

,.AB_AC_BC

AC-AD~CD

△ABC?XACD；

添力口NBZC=￡.CAD,

V—=—=fc,ABAC=/.CAD,

△ABCs&ACD；

故答案為：g=k^BAC=^CAD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握：三邊分別成比例的兩個(gè)三角形相似;

兩邊成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似；有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似.

題型02證明兩個(gè)三角形相似

【例2】（2022.廣東茂名?統(tǒng)考二模）如圖所示，點(diǎn)4D、C、E在同一直線上，滿足N4BC=90。，BD1BE,

且CB=CE.求證：AABD—AEB.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】先根據(jù)同角的余角相等，得UBD="BE,再根據(jù)“等邊對(duì)等角“可得然后根據(jù)“兩角

相等的兩個(gè)三角形相似”得出答案.

【詳解】證明：,：^ABC=90°,Z.DBE=90°,

:.乙ABC-乙DBC=4DBE-乙DBC,

"：BC=CE,

/.Z-CBE=Z-E,

/.Z-ABD=乙E..

又,?Z=乙4,

C.LABD-△AEB.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵.即兩角相等的兩個(gè)三角形

相似.

【變式2-1］（2023?陜西西安??？级＃┤鐖D，在AABC中，NB4C=2NB.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在BC邊上求

作一點(diǎn)M,使△CMAsACAB.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】作NB4C的平分線，交BC邊于點(diǎn)M,止匕時(shí)NCM4=NC4B.

【詳解】解：點(diǎn)M即為所作，

A

?.,AM平分NB4C,

：.^BAM="AM,

,/^BAC=24B,

:.乙B=/.CAM,

/.MCA=AACB,

；.△CMA-△CAB.

【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模)如圖，在△ABC中，AB=AC,BC恰好是乙4BD的角平分線.

(1)求證：AAPCsADPB；

(2)若AP=8P=1,AD^CP,求DP的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

(2)x=—

【分析】(1)由等腰三角形得NC=ZXFC,由角平分線得41BC=NCBD,進(jìn)而可得4c=乙CBD,證得力C||BD,

結(jié)論得證；

(2)由?△DPB得募=黑，構(gòu)建方程求解.

【詳解】(1)證明：?「ZB=ZC

???"=/-ABC

平分4480

:?乙ABC=Z.CBD

:,乙C=lCBD

：.AC\\BD

:?乙C=LDBP,乙CAP=

：.△APC-△DPB

(2)設(shè)尸O=x

?:PC=AD

：.PC=1+x

?：AAPCfDPB

.AP_CP

DP-BP

,1_x+1

??X一1

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練相關(guān)判定方法是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023?浙江杭州?杭州育才中學(xué)校考一模）如圖所示，在等腰三角形ABC中，Z8=AC,點(diǎn)石,

廠在線段上，CE=BF,點(diǎn)。在線段上，S.AE2=AQ-AB.

求證：

⑴乙乙4E=2LBAF；

（2）AACE?XAFQ.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）利用SAS證明△?!（：￡1三△ABF即可；

（2）根據(jù)AaCE三AABF得出4E=4F,L.CAE=^BAF,if^AE2=AQ-AB,AC=AB,得出竺=生,

AQAF

利用相似三角形的判定得出結(jié)論即可.

【詳解】（1）證明：'：AB^AC,

Z.B=Z.C,

AC=AB

在△4CE和△ABF中，乙C=,

CE=BF

：.△ACE三△ZBF(SAS),

：./LCAE=^BAF；

A

證明：\'^ACE=^ABF,

：.AE=AF,ACAE=Z.BAF,

"：AE2=AQ-AB,AC=AB,

.AEABpriAEAC

??--=---,即--=---,

AQAEAQAF

△ACEAFQ.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定，熟練掌握相關(guān)

判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

題型03確定相似三角形的對(duì)數(shù)

【例3】（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，/.ABC=M=乙BDC=乙4ED=72。.則圖中

相似三角形共有（）

【答案】C

【分析】首先算出三角形中角的度數(shù)，即可得到答案.

【詳解】解：???乙ABC=￡C=乙BDC=AAED=72°,

.??乙4=180°-乙ABC-Z.C=180°-72°-72°=36°,

???^ADE=180°-AA-/-AED=180°-36°-72°=72°,

???乙DBC=180°-ZC-乙BDC=180°-72°-72°=36°,

???Z-AED=乙ABC,

??.ED//BC,

??.Z.EDB=乙DBC=36°,

???乙BED=180一乙EBD一乙EDB=180-36°-36°=108°,

???乙DBC=180°-ZC-Z.BDC=180°-72°-72°=36°,L.ADB=Z.ADE+乙EDB=72°+36°=108°,

???Z.AED=乙ABD,Z.ADE=Z.ACB,

AED?AABC,

Z.AED=Z-C,Z,ADE=乙BDC,

AED-△BCD,

Z-ABD=Z-C,Z-ACB=乙BDC,

BCD—△ABC,

???Z.A=乙EBD,Z.ADB=2BED,

???△EBD~ADAB.

故相似的三角形對(duì)數(shù)為4對(duì)：

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2022?廣東江門(mén)??？家荒＃┤鐖D，BD和CE是AABC的高，在不添加其它字母情況下，則圖中

相似三角形共有（）

A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.5對(duì)

【答案】A

【分析】利用相似三角形的判定方法可判定A/lBDsAACE,AADE-ABC,即可求解.

【詳解】解：和CE是△力BC的高，

：.^AEC=4ADB=90°,

'：Z.A=/.A,

△ABD~^△ACE,

■:乙BEC=乙BDC=90°,

???點(diǎn)3,點(diǎn)C,點(diǎn)。，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，

：.^ACB+^BED=180°,

9：^BED+^AED=180°,

J.Z.ACB=/-AED,

又???44=匕4,

△ADE~△ABC9

...相似三角形共有2對(duì)，

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，圓的有關(guān)知識(shí)，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

題型04在網(wǎng)格中判斷相似三角形

【例4】(2019?浙江?校聯(lián)考三模)如圖，八個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)正方形網(wǎng)格，連結(jié)小長(zhǎng)方形的頂

A.①和②B.②和③C.①和③D.①和④

【答案】D

【分析】設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2a,寬為a.利用勾股定理求出三角形的三邊長(zhǎng)即可判斷.

【詳解】由題意可知：小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，

設(shè)小長(zhǎng)方形的寬為a,則長(zhǎng)為2a,

...圖①中的三角形三邊長(zhǎng)分別為2a、7(2a)2+(2a)2=2夜a-7(2a)2+(4a)2=2V5a；

圖②中的三角形三邊長(zhǎng)分別為2a,J(2a)2+(3以=ga,J(3a)2+(4以=5a；

圖③中的三角形三邊長(zhǎng)分別為2a，7(2a)2+(4a)2=2小a-J(4a)2+(4a)2=4V2a；

圖④中的三角形三邊長(zhǎng)分別為J(2a)2+(a。=V5a,^/(a)2+(3a)2=V10a>-J(3a)2+(4a)2=5a,

①和②圖中三角形不相似；

..2a工\fl3a豐5a

*2a2V4y[2a

...②和③圖中三角形不相似；

,,2a2\[2a2y/5a

2a2\[Sa4^j2a

...①和③圖中三角形不相似；

..2d_2V2Q_2y[Sa_2^5

?V5aV10a5a5

二①和④圖中三角形相似.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí).

【變式4-1](2021?遼寧撫順?統(tǒng)考一模)如圖，在正方形網(wǎng)格中有3個(gè)斜三角形：①AABC；②ACDB；③X

DEB；其中能與△4BC相似的是.(△ABC除外)

【答案】③SDEB)

【分析】分別求出三個(gè)三角形的三邊的比，再根據(jù)相似三角形的判定方法解答.

【詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格可知：AB=1,AC-V12+I2=A/2,BC=V12+22=V5,△ABC的三邊之比是AB：

AC：BC=1：V2：V5,

同理可求：②△CDB的三邊之比是CDBC：BD=l：V5：2企；

③ADEB中DE：BD：BE=2：2VL24=1：A/2：V5.

...③6DEB）與△ABC相似，

故答案為：③ADEB.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，從“三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似”的角度考慮是解題關(guān)鍵.

題型05利用相似的性質(zhì)求解

【例5】（2023?陜西榆林??？既＃┤鐖D，在等邊△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊BC,"上，^ADE=60°,若4。=

4,啜=j則DE的長(zhǎng)度為（）

CE2

48

A.1B.-C.2D.-

33

【答案】D

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

【詳解】解：為等邊三角形，

.??=cC=60°.

??.Z.ADB+乙BAD=180°一乙B=120°.

???Z.ADE=60°,

??.AADB+乙EDC=180°-^ADE=120°,

Z-ADB+乙BAD=乙ADB+乙EDC,

???Z-BAD=Z-EDC,

???△BADCDE,

.BD_AD

??CE-DE'

4_3

DE2

??.DE=

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角

形的判定與性質(zhì).

【變式5-1］（2023?浙江杭州?校聯(lián)考二模）如圖，AaBC中，DE||BC,若蔡=|，那么下列結(jié)論中，正確

【答案】D

【分析】由*=|得到*=：通過(guò)證明△40EABC,ADOECOB,得到*=*=裳=：，喙=

DLJ*3AD5ADAC<BC5BC

^=1，即可判斷A、B、C,再根據(jù)三角形的面積比等于相似比的平方即可判斷D.

【詳解】解：?；DE||BC,

???Z-ADE=Z.ABCfZ.AED=乙ACB,乙EDC=2BCD,乙DEB=Z-CBE,

???△ADE-'AABC,△DOE-'ACOBf

AD_AE_DEDE_DO

"AB-AC~BC'BC-CO'

。_

…,A=—2，

BD3

AD_2

,t,——，

AB5

譚若喑/冷冷1，故A、B、C錯(cuò)誤，不符合題意

???褰=（金T了/故口正確，符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解

題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2023?云南紅河?統(tǒng)考二模）如圖，△>!￡）￡?AACB,DE=5,S-QE：S四邊形BCEP=%16,則BC

為（）

2025

A.8B.—C.—D.10

33

【答案】c

【分析】根據(jù)S—DE：S四邊形HCED的比，可得S—DE：S“CB的比，利用面積比是相似比的平方，可得If，從而

可得答案.

【詳解】解：,「SziaDE：S四邊形BCEO=9：16,

?,^LADE'■^i^ACB~9：25，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了形似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握面積比是相似比的平方.

【變式5-3］（2023?福建南平?統(tǒng)考二模）在等邊三角形48C中，點(diǎn)。，E分別是邊4B,AC的中點(diǎn)，若AZBC的

周長(zhǎng)為12,則AADE的周長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.6D.9

【答案】C

【分析】利用中位線定理，得到三角形相似，運(yùn)用周長(zhǎng)之比等于相似比計(jì)算選擇.

【詳解】設(shè)三角形的周長(zhǎng)用C表示，

:點(diǎn)D,E分別是邊AB,4C的中點(diǎn)，

：.DE||BC,DE=-BC,

2

/.△ADEABC,

??△■4DE_絲_1

C^ABCBC2'

?CLADE_1

??—―,

122

,?CMDE=6，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-4］（2023?甘肅武威?統(tǒng)考三模）已知△ABCDEF,且乙4=30°,乙E=30。，則“的度數(shù)是C）

A.120°B.60°C.90°D.30°

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???△480△￡>￡1/,/.E=30°,

.-./.ABC=NE=30°,

???ZX=30°,

Z.C=180°-/.A-/.ABC=120°,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理.熟練掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，是解題

的關(guān)鍵.

題型06利用相似的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)

[例6](2023?四川宜賓?四川省宜賓市第二中學(xué)校?？级?如圖，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(0,1)、(0,3),

點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)乙4cB最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是()

【答案】B

【分析】過(guò)點(diǎn)4、B作OP,點(diǎn)。P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，利用圓周角大于對(duì)應(yīng)的圓外角得到此時(shí)乙4cB最大,

連接R4、PB、PC,作PHLy軸于H,如圖，利用垂徑定理得4”==1,則。"=2,再根據(jù)切線的性

質(zhì)得PC1%軸，則四邊形PC0H為矩形，所以PC=0H=2,貝UP4=2,在RSPAH中，利用勾股定理計(jì)算

出PH=,,于是可得到C點(diǎn)坐標(biāo)為(V5,0).

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)4、B作OP,點(diǎn)OP與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，乙4cB最大，

連接PA、PB、PC,作PH_Ly軸于H,如圖，

?.?點(diǎn)4、B的坐標(biāo)分別是(0,1)、(0,3),

???OA=1,AB=3-1=2,

PH1AB,

???AH=BH=1,

：.OH=2,

1??OP與x軸相切于點(diǎn)c,

PC1x軸，

???四邊形PCOH為矩形，

PC=0H=2,

PA=2,

在RtAPAH中，PH=y/PA2-AH2=V22-I2=V3,

C點(diǎn)坐標(biāo)為(百，0).

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題，熟練掌握垂徑定理、圓周角定理，勾股定理,坐標(biāo)與圖形，掌握相關(guān)定理

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1](2023?江西九江?統(tǒng)考三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己如4(1,0),8(2,0),C(0,l),在坐

標(biāo)軸上有一點(diǎn)P,它與4c兩點(diǎn)形成的三角形與A/IBC相似，貝UP點(diǎn)的坐標(biāo)是.

【答案】(3,0)或(0,2)或(0,3)

【分析】分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)尸在無(wú)軸上時(shí)，△PAC-△以IB時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P'在y軸上時(shí)，△P'CA-△BAC^LP"AC?

XBCA,分別求解即可.

AOA=OC=1,OB=2,AB=OB-OA=1,

.,.AC=V2,

當(dāng)點(diǎn)「在苫軸上時(shí)，APAC?△CAB時(shí)，

.AC_AP

??—，

ABAC

.^2_PA

??三=正'

：.PA=2,

：.0P=3,

，P(3,0),

當(dāng)點(diǎn)P'在y軸上時(shí)，xFCAsXBAC,

'：AC=CA,

：.AB=CP'=1,

：.0P'=2,

.”(0,2).

當(dāng)?ABS時(shí)，有第=券，

...cp"=空=2,

AB

：.OP"=1+2=3,

；.P"(0,3),

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)或(0,2)或(0,3).

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)與分類討論的射線思考問(wèn)題.

【變式6-2](2023?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè))已知拋物線y=a--m乂+c與x軸交于4(一1,0)、B(4,0),與

(2)連接4C,點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)，且在y軸右側(cè)，過(guò)點(diǎn)尸作PQL無(wú)軸于Q,若△PAQsAAC。，請(qǐng)求出點(diǎn)

P的坐標(biāo).

【答案】(l)y=|x2-|x-2

(2)(5,3)或者(3,-4)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可作答；

(2)設(shè)P(%*久2一|%一2),且％>0,即有Q(%0),可得QO=X,PQ=假/一|工一2卜求出℃=2,40=1,

即4Q=AO+OQ=1+%,根據(jù)△PAQs△ACO,有絲=—,可得?="-p即：\x2—3%—4|=1+X,

4。PQ1-X2--X-2

解方程即可求解.

【詳解】(1)將/(一1,0)、8(4,0)代入y=a/一|%+c,可得：

(ax(-1)2-|x(-1)+c=0

Iax42-|x4+c=0

解得：［a=L

Ic=-2

即拋物線解析式為：y=|%2-|%-2；

(2)如圖，

設(shè)P^x,^x2—|光一2),且％>0,

〈PQ_L%軸,

；?Q(x,0),

：.QO=x,PQ=||x2-|%-2|,

當(dāng)久=0時(shí)，y=-2,即C(0,—2),

：.OC=2,

??N(-L0),

：.AO=1,即ZQ=ZO+OQ=1+%,

,:&PAQ?bACO,

.CO_AQ

??—，

AOPQ

.2_1+x

即：|x2—3%—4|=1+x,

當(dāng)—3x—4>。時(shí)，%2—3x—4=1+%,

解得：％=5(x=-1舍去)，

HP：P(5,3),

當(dāng)——3%—4<0時(shí)，—/+3x+4=1+x,

解得：x=3(x=-1舍去)，

即：P(3,-4),

綜上：點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：(5,3)或者(3,-4).

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解拋物線解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，解一元

二次方程等知識(shí)，掌握相似三角形的性質(zhì)以及解一元二次方程的方法是解答本題的關(guān)鍵.

【變式6-3](2023?江西贛州?統(tǒng)考一模)如圖，直線y=ax+2與x軸，y軸分別相交于力，B兩點(diǎn)，與雙曲

線y=g(x>0)相交于點(diǎn)P,PC1K軸于點(diǎn)C,且PC=4,點(diǎn)4的坐標(biāo)為(—4,0).

(1)求一次函數(shù)和雙曲線的解析式；

(2)若點(diǎn)Q為雙曲線上點(diǎn)P右側(cè)的一點(diǎn)，且軸于“，當(dāng)AAB。?ACQ"時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】(l)y=|乂+2,y=g

(2)Q(8,2)

【分析】(1)4的坐標(biāo)為(-4,0),代入直線y=a久+2待定系數(shù)即可求解；進(jìn)而根據(jù)PC=4,即點(diǎn)P的縱坐

標(biāo)為4,代入y=^x+2得：P(4,4),進(jìn)而代入反比例數(shù)解析式即可求解；

(2)設(shè)HQ為X,貝UCH=2x,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：的坐標(biāo)為(―4,0),代入直線、=4%+2

0=—4a+2,解得a=：

.,.y=-%+2,

)2

???PC=4,即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,代入y=|x+2得：

，4=%+2

2

解得：%=4,

即P(4,4),

將P(4,4)代入y=久%>0)

.*.4=解得k=16

4

(2)當(dāng)AAB。-ACQH時(shí)

.AOCH

??—=—=Ln

BOHQ

設(shè)HQ為x,則C”=2%

.,.Q(4+2%,%)代入反比例解析式久=

4+2%

.??解得％=一4或2

Vx>0

.*.%=2

■,?(2(8,2).

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

題型07在網(wǎng)格中畫(huà)與已知三角形相似的三角形

[例7](2023?吉林延邊?統(tǒng)考一模)如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的6x8的正方形網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)小正方形

的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上，在給定的網(wǎng)絡(luò)中，只用無(wú)刻度直尺，按要求作圖，

不要求寫(xiě)畫(huà)法.

(1)在圖①中，作ADEF,使△DEFmAABC,且點(diǎn)。、E、尸均在格點(diǎn)上.

(2)在圖②中，作ACGH,使△CG/fsAABC,點(diǎn)G、”均在格點(diǎn)上，且相似比不為1.

(3)在圖③中，作NAMB,使=

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)利用網(wǎng)格的特點(diǎn)和三角形全等的判定方法SSS進(jìn)行作圖即可；

(2)根據(jù)相似三角形的判定方法和網(wǎng)格的特點(diǎn)作圖即可；

(3)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到力M=BM=CM=加,貝此MAC=NC,由三

角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可得到乙4MB=2乙C,滿足題意.

【詳解】(1)解：如圖，ADEF滿足題意，

(2)如圖，ACGH滿足題意,

(3)如圖，N力MB滿足題意,

【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定、相似三角形的判定、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)網(wǎng)格特

點(diǎn)正確作圖是解題的關(guān)鍵.

(1)在圖1中，作一個(gè)格點(diǎn)△DEF,使得ADEF與AABC相似(相似比不等于1),且

(2)在圖2中，作一個(gè)格點(diǎn)使得APQR與AaBC全等，且每條對(duì)應(yīng)邊都互相垂直.

注：圖1,圖2在答題卷上.

【答案】(1)見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定畫(huà)出圖形即可（答案不唯一）;

（2）根據(jù)全等三角形的判定，畫(huà)出圖形即可（答案不唯一）.

【詳解】（1）解：如圖，ADEF即為所求；

D

F

或者，滿足即可:

E

FD

（2）解：如圖，即為所求;

P

或者，滿足ABJ.PQ,BC1PR,力CJ.QR即可:

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.

【變式7-2X2023?安徽安慶?安慶市第四中學(xué)?？级＃┤鐖D，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的網(wǎng)格中，

△力8C的頂點(diǎn)及線段MN的端點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上.

(1)作出ATIBC關(guān)于直線MN對(duì)稱的AAiBiCi；

(2)畫(huà)出一個(gè)格點(diǎn)△EFC,使△EFCsAABC(相似比不為1).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)先作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，再一次連接即可;

(2)連接點(diǎn)C和4tBi中點(diǎn)凡連接CM,連接MF,AMFC即為AEFC,點(diǎn)E和點(diǎn)M重合.

【詳解】(1)解：如圖所示：AABiG即為所求；

(2)解：如圖所示：AEFC即為所求.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的作圖，以及作相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱的作圖方法,

以及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等.

題型08證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例

【例8】(2020?河北唐山?統(tǒng)考一模)如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE：EC=2：3,連

接AE、BD,且AE、BD交于點(diǎn)F,貝UDF：BF等于()

D.__E

F

AB

A.2：5B.2：3C.3：5D.3：2

【答案】A

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得出AB〃CD且AB=CD,結(jié)合DE:EC=2:3可得出界=|,由AB〃CD

可得出△DEF八BAF,再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF:BF的值.

【詳解】解：:四邊形ABCD為平行四邊形，

???AB〃CD,且AB=CD.

VDE:EC=2:3,

?DE_DE_2_DE

??DCDE+EC5BA*

?「AB〃CD,

/.△DEFs、BAF,

._D—F__D—E—2

''BFBA5?

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì),利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合DE：EC=2：

3找出DE：BA的值是解題的關(guān)鍵.

【變式8-1］（2020.安徽合肥.統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)H為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段DH

上一點(diǎn)，且/BGC=90。，延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)E,延長(zhǎng)CG交AD于點(diǎn)F,當(dāng)CD=4,DE=1時(shí)，則DF的長(zhǎng)

A.2B.-C.V5D.-

25

【答案】A

【分析】延長(zhǎng)AD,BE相交于點(diǎn)M,可得ADFGSZ\HCG,ADMGsAHBG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

DF=DM,由AMDEs^CDF可得差=誓，進(jìn)而得出差=蕓，再根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可.

DFCDDFCD

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AD,BE相交于點(diǎn)M,

VDF/7CH,

.,.△DFG^AHCG,

.DF_DG

**CH~GH'

.DM_DG

**BH~GHf

VCH=BH,.\DF=DM,

又???矩形/BCR

???乙CDF=Z.EDM=90。，

???乙BGC=90。,

???2CGE=90。，

???乙CEG=乙MED,

???乙FCD=Z.M,

???AMDE^ACDF,

.DE_DM

,?DF-CD'

,DE_DF

??DF~CD'

：.DF2=DE?CD=1X4=4,

/.DF=V4=2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線并熟練掌握矩形的性質(zhì)、

相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式8-2](2023?上海松江?統(tǒng)考一模)如圖，已知梯形ABCD中，AD\\BC.E是邊4B上一點(diǎn)，CE與對(duì)角線

⑴△4BD?4FCB；

(2)BD-BE=AD-CE.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)由BE?=EF?EC可證△BEF-ACEB,得至IJzlEBF=/ECB,再由4D||8