初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)講義練習(xí)：胡不歸最值模型提升

中考數(shù)學(xué)幾何模型:胡不歸最值模型

點(diǎn)睛------------------------------------------------撥

開云霧開門見山

在前面的最值問(wèn)題中往往都是求某個(gè)線段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我們還

可能會(huì)遇上形如“B4+叱”這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問(wèn)題：（1）胡不

歸問(wèn)題;（2）阿氏圓.

【故事介紹】

從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩

點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家2之間是一片砂石地，但他義無(wú)反顧踏上歸途，

當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說(shuō)，老人彌留之際

不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？...”（“胡”同"何”）

【模型建立】

如圖，一動(dòng)點(diǎn)尸在直線外的運(yùn)動(dòng)速度為VI,在直線上運(yùn)動(dòng)的速度為V2,且0<V2,

A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使生+些的值最小.

匕K

MN

A七c

【問(wèn)題分析】

—+—=—（BC+^-Ac],記左=匕，即求BC+fcAC的最小值.

匕h乂（V2）V2

【問(wèn)題解決】

CH

構(gòu)造射線使得sin/ZMN=A,即——=k,CH=kAC.

AC

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過(guò)B點(diǎn)作BH±AD交MN于點(diǎn)C,交于H點(diǎn)，此時(shí)

BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.

【模型總結(jié)】

在求形如“B4+ZPB”的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與相等的線段，將“以+狂歹型問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為“出+PC'型.而這里的P8必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函

數(shù)得到kPB的等線段.

典題探究啟

迪思維探究重點(diǎn)

例題L如圖，AABC中，AB=AC=10,tanA=2,BEL4c于點(diǎn)E,。是線段BE上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則CO+好BD的最小值是.

5

【分析】本題關(guān)鍵在于處理“—BD",考慮tanA=2,LABE三邊之比為1:2:際，sinZABE—,

55

故作DH±AB交AB于H點(diǎn)，則?！?正80.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為CD+DH最小值，故C、D、H

5

共線時(shí)值最小，此時(shí)C￡>+OH=CH=3E=46.

【小結(jié)】本題簡(jiǎn)單在于題目已經(jīng)將BA線作出來(lái)，只需分析角度的三角函數(shù)值，作出垂線

DH,即可解決問(wèn)題，若稍作改變，將圖形改造如下：則需自行構(gòu)造a,如下圖，這一步正

是解決“胡不歸”問(wèn)題關(guān)鍵所在.

變式練習(xí)>>>

1.如圖，平行四邊形A8CD中，ZDAB^60°,A8=6,BC=2,P為邊C。上的一動(dòng)點(diǎn)，則

PB+—PD的最小值等于.

2

M

【分析】考慮如何構(gòu)造“魚尸口”，已知乙4=60。，且sin6（T=g,故延長(zhǎng)40,作P〃_LAO

22

延長(zhǎng)線于H點(diǎn),即可得PH=@PD,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求PB+PH最小值.當(dāng)B、P、H三點(diǎn)

2

共線時(shí)，可得尸3+尸8取到最小值，即88的長(zhǎng)，解直角即可得28長(zhǎng).

例題2.如圖，AC是圓。的直徑，AC=4,弧BA=120。，點(diǎn)。是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那

么的最小值為（）

2

A.亭B.V3C.i+^D.1+V3

【解答】解：：嬴的度數(shù)為120。，...NC=60。，

:AC是直徑，/.ZABC^90°,：.ZA=30°,

作BK〃CA,DE_LBK于E,OA/_LBK于M,連接08.

BK//AC,：.NDBE=NBAC=30°,

在RtADBE中，DE=：D,：.OD+^-BD^OD+DE,

22

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E與M重合時(shí)，的值最小，最小值為OM,

2

；/BAO=NA8O=30°,/.ZOBM^60°,

在RtAOBM中，

VOB=2,ZOBM=60°,：.OM=OB^m600=y13f.??工。5+0。的最小值為?,

2

故選：B.

變式練習(xí)>>>

2.如圖，△ABC中，ZBAC=30°_aAB=AC,尸是底邊上的高AH上一點(diǎn).若AP+8P+CP

的最小值為2亞，則BC=_屜二返

【解答】解：如圖將△A8P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△AMG.連接PG,CM.

"：AB=AC,AH±BC,：.ZBAP=ZCAP,

\'PA^PA,.?.△BAP四△CAP(SAS),:.PC=PB,

?：MG=PB,AG^AP,ZGAP=60°,

.?.△G4P是等邊三角形，：.PA^PG,

：.PA+PB+PC^CP+PG+GM,

...當(dāng)M,G,P,C共線時(shí)，E4+P8+PC的值最小，最小值為線段CM的長(zhǎng)，

,：AP+BP+CP的最小值為2&,；.CM=2后，

VZBAM^60°,N2AC=30°,AZMAC^90°,；.AM=AC=2,

作8ALLAC于M貝I]BN=LA8=1,AN=43,CN=2-M，

2

:BC=22

'VBN+CN=Vl2+(2-V3)2=加-.

故答案為-V2.

例題3.等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中BC

邊在x軸上，8c邊的高在丫軸上.一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿

GC到達(dá)C點(diǎn)，已知電子蟲在丫軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，若電子蟲

走完全程的時(shí)間最短，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,飛）.

【解答】解：如圖作GM1AB于M,設(shè)電子蟲在CG上的速度為v,

電子蟲走完全全程的時(shí)間片超+竺=!（迪+CG）,

2vvv2

在RtAAMG中，GM^—AG,

2

，電子蟲走完全全程的時(shí)間（GM+CG）,

v

當(dāng)C、G、M共線時(shí)，且CM_LAB時(shí)，GA/+CG最短,

此時(shí)CG=AG=2OG,易知OG=L?2x6=?

32

所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,-M）.

故答案為：（0,-V3）-

變式練習(xí)>>>

3.如圖，AABC在直角坐標(biāo)系中，AB=AC,A（0,2&），C（1,0）,O為射線AO上一

點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)尸從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A—?！狢,點(diǎn)P在上的運(yùn)動(dòng)速度是在C。上的

3倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)。的坐標(biāo)應(yīng)為（）

A.（0,近）B.（0,返）C.（0,返）D.（0,返）

234

解：假設(shè)P在的速度為3匕在C。的速度為1匕

總時(shí)間「=坦+里=!（毀+CD）,要使f最小，就要也+C。最小，

3VVV33

因?yàn)锳8=AC=3,過(guò)點(diǎn)8作8H_LAC交AC于點(diǎn)H,交OA于Z）,

易證△AOZ/S/XACO,所以空.=毆=3,所以包

0CDH3

因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以BO=C￡>,所以要坦+C。最小，就是要OH+2D最小,

3

就要3、D、H三點(diǎn)共線就行了.因?yàn)椤鰽OCS^B。。，所以歿=毀，即工返=工,

_OB0D10D

所以。D=返，所以點(diǎn)。的坐標(biāo)應(yīng)為（0,返）.

44

例題4.直線y=?x與拋物線>=（x-3）2-4m+3交于A,8兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在點(diǎn)8的左

3

側(cè))，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為。(點(diǎn)D在點(diǎn)C的下方)，設(shè)點(diǎn)2的

橫坐標(biāo)為t

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及線段的長(zhǎng)(用含根的式子表示)；

(2)直接用含/的式子表示機(jī)與r之間的關(guān)系式(不需寫出f的取值范圍)；

(3)若CD=CB.①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)R使8B+之CP的

5

值最小，則滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(3,罵)

【解答】解：(1)拋物線y=(x-3)2-4〃計(jì)3的對(duì)稱軸為x=3,

令x=3,則有y=?x3=4,即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4).

拋物線產(chǎn)(%-3)2-4m+3的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,-4〃?+3),

點(diǎn)D在點(diǎn)C的下方，C￡)=4-(-4〃計(jì)3)=4/77+1

(2)???點(diǎn)8在直線尸白上，且其橫坐標(biāo)為。

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為G,Ar),將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線y=(%-3)之-4根+3中，得:

3

—/=G-3)2-4機(jī)+3,整理，得：機(jī)=工12-衛(wèi)^+3?

346

(3)①依照題意畫出圖形，如圖1所示.

過(guò)點(diǎn)C作CE〃無(wú)軸，過(guò)點(diǎn)2作BE//y軸交CE于點(diǎn)￡

,/直線BC的解析式為y=-^x,：.BE=&CE,

33

由勾股定理得：BC=J22=ACE.

CE+BE3

*：CD=CB,

??<4m+l=|(L3)=|(爭(zhēng)樽■+我-3),解彳

當(dāng)機(jī)=-4時(shí)，"+4x(-4)=-坨-<0,不合適，

99

此時(shí)j=yX6=8.故此時(shí)點(diǎn)8的坐標(biāo)為(6,8).

②作B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)連接9加、28交拋物線

對(duì)稱軸于點(diǎn)N,如圖2所示.

,/直線BC的解析式為y="|x,FM±BC,

.?.tanNPCM=4'=之，J.sinZFCM^^-^-.

A4FC5

3

\'B.9關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，：.BF=B'F,

：.BF+^-CF=B'F+FM.

5

當(dāng)點(diǎn)8、F、M三點(diǎn)共線時(shí)QF+FM最小.

點(diǎn)坐標(biāo)為（6,8）,拋物線對(duì)稱軸為x=3,

點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,8）.

又；B'M_LBC,：.tanZNB'F=^-,

4

：.NF=B'N<anZNB'F=^-,

4

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,空）.故答案為：（3,空）.

44

變式練習(xí)>>>

4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中將y=2x+l向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線小直線A與x

軸交于點(diǎn)C；直線如y=x+2與x軸、y軸交于A、3兩點(diǎn)，且與直線（交于點(diǎn)D

（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,2）；

（2）直線Zi的表達(dá)式為y=2x-2；

（3）在直線/i上是否存在點(diǎn)E,使SAAOE=2SAAB。？若存在，則求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（4）如圖2,點(diǎn)尸為線段AD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接CP,一動(dòng)點(diǎn)X從C出發(fā)，沿線

段CP以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再沿線段PD以每秒亞個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)D后停止，求點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解答】解：（1）直線，2：y=x+2,令y=0,則x=-2,令y=0,則x=2,

故答案為（-2,0）、（0,2）；

（2）y=2x+l向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線/i，則直線/i的表達(dá)式為：尸2工-2,

故：答案為：y=2x-2；

（3）,**SAABOFyE~^OB=4,

將連=4代入/i的表達(dá)式得：4=2x-2,解得：x=3,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3,4）；

(4)過(guò)點(diǎn)P、C分別作y軸的平行線，分別交過(guò)點(diǎn)。作無(wú)軸平行線于點(diǎn)X、H',WC交

BD于點(diǎn)P',

/MPD，

直線8y=x+2,則PH=

點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間=里+畢=/7/+尸。，

1V2

當(dāng)C、P、X在一條直線上時(shí)，PH+PC最小,即為CW'=6,點(diǎn)尸坐標(biāo)(1,3),

故：點(diǎn)X在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用最少時(shí)間為6秒，此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)(1,3).

例題5.已知拋物線y=a(x+3)(x-1)(際0),與x軸從左至右依次相交于A、8兩點(diǎn)，與

y軸相交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y=-Mx+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D.

(1)若點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2,求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若在(1)的條件下，拋物線上存在點(diǎn)P,使得AACP是以AC為直角邊的直角三

角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(1)的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接8E.一動(dòng)點(diǎn)。

從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E,再沿線段ED以每秒2叵個(gè)

3

單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)。在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用

時(shí)間最少？

【解答】解：(1)'：y=a(x+3)(x-1),

...點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0)、點(diǎn)8兩的坐標(biāo)為

:直線y=--f^x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,：.b=-3M,

:'y=-Mx-3炳,當(dāng)x=2時(shí)，y=-5炳,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,-573)，

圖2

:點(diǎn)D在拋物線上，(2+3)(2-1)=-能,解得，a=-M,

則拋物線的解析式為y=-(x+3)(元-1)=-?/-2T\+3厲；__

(2)的坐標(biāo)為(-3,0),C(0,35)，...直線AC的解析式為：尸正尤+3?,

①:△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，.AC,

...設(shè)直線CP的解析式為：y=-旦+m,

把C(0,3A/3)代入得機(jī)=3遂,

3

...直線CP的解析式為：y=-亞_x+3?,

3

5

尸辱x+哂得X二——

3x=0

解(不合題意，舍去)，，尸(-—)

y=W3x2-2V3x+3V3號(hào)’L3

32炳、.

9，

②,:△ACP是以AC為直角邊的直角三角形,

一畀

：.AP±AC,設(shè)直線CP的解析式為：y=

把A(-3,0)代入得“：=-正，

尸-多一近,

...直線AP的解析式為:

廠3XP3得x=-3-卡),

解y二(

y=W3x2-2V3x+3\/3y=0f

綜上所述：點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-絲,絲叵)或悖一卡)；

39

(3)如圖2中，作。M〃無(wú)軸交拋物線于作OV_Lx軸于N,作于R

貝han/ZMN=^=^5=F，：.ZDAN=60°,：./EDF=60°,

AN5

FF鈣一42、_RFDE石DE

：.DE=——”---=±±±EF,：.Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間/=±i+-T-7=-=BE+-----=BE+EF,

sinZEDF312432

3

.,.當(dāng)BE和EP共線時(shí)，f最小，則此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)(1,-4、門).

變式練習(xí)>>>

5.如圖，已知拋物線尸-率+bx+c交x軸于點(diǎn)A(2,0)、8(-8,0),交y軸于點(diǎn)C,

過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的?！ㄅcy軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D

(1)求此拋物線的表達(dá)式及圓心M的坐標(biāo)；

(2)設(shè)P為弧BC上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)2,C重合)，連接AP交y軸于點(diǎn)N,請(qǐng)問(wèn)：APXN

是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)延長(zhǎng)線段交拋物線于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)廠是線段BE上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接

AF.動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)R再沿線段FB

以每秒逐個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8后停止，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)。在整個(gè)運(yùn)

動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少？

【解答】解：（1）拋物線解析式為＞=-L（x+8）（X-2）,即y=-Lx2-』x+4;

,442

當(dāng)x=0時(shí)，y=--x2-—x+4=4,則C(0,4)

42

：.BC^4fs，AC=2疾,AB=10,

,：BC2+A(^=AB2,.?.△ABC為直角三角形，且NACB=90。,

...AB為直徑，...圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0)；

(2)以4P為定值.理由如下：如圖1,

為直徑，/.ZAPB=90°,

?；/APB=NAON,NNAO=NBAP,：.AAPB^AAON.

：.AN：AB^AO：AP,：.AN-AP=AB?AO^20,

所以APXN為定值，定值是20；

（3）,JABLCD,：.OD=OC=A,則。（0,-4）,易得直線8。的解析式為y=-

-4,

過(guò)廠點(diǎn)作尸G,無(wú)軸于G,如圖2,

'：FG//OD,:ABFGs叢BDO,

ABF=FG；即此=世=&疾=掂,

BD0DFG0D4

點(diǎn)Q沿線段FB以每秒加個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B所用時(shí)間

等于點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到G點(diǎn)的時(shí)間，

當(dāng)AF+FG的值最小時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少，

作/EBI=NABE,8/交y軸于/,

作于H,貝!|FH=PG,：.AF+FG^AF+FH,

當(dāng)點(diǎn)A、F、H共線時(shí)，AF+切的值最小，此時(shí)如圖2,

作。K_LB/,垂足為K,

:BE平分NABI,:.DK=DO=4,設(shè)DI=m,

/DIK=ZBIO,：.△IDKSAffiO,

.DI_DK_4_1.-

??----------——,??D12,1n,

BIOB82

222

在RtA08/中，8+(4+m)=(2加),解得力i=4(舍去)，m2=—,/./(O,-上工),

33

設(shè)直線BI的解析式為y=kx+n,

-8k+n=0

把8(-8,0),/(0,-四)代入得.

32，解得?.直線由的解析式

313乙

b=~

為TT

?：AH±BI,：.直線AH的解析式可設(shè)為y=^x+q,

把A（2,0）代入得W+q=0,解得q=-W,.?.直線A”的解析式為y=_|x-W,

1,

廠方x-4

x-.,：.F(-2,-3),

解方程組《qq，解得

y=-3

即當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（-2,-3）時(shí)，點(diǎn)。在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少.

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

悟提升強(qiáng)化落實(shí)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3,B）,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP+goP最

［答案］：尸（2,0）

2.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4,且/ABC=60°,點(diǎn)M為對(duì)角線BD（不含點(diǎn)B）上的

一動(dòng)點(diǎn)，則AM+-BM的最小值為___________.

2

［答案］:273

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a?+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(0,

-73)1c(2,0),其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)M為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得以A,B,M,N為頂

點(diǎn)的四邊形為菱形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸￡),求的最小值.

a-b+c=0

???拋物線解析式為-零

【解答】解：(1)由題意，c=N^

4a+2b+c=0

X-晶，

???廠區(qū)/-亞的加=1(X-L2-3&,.?.頂點(diǎn)坐標(biāo)(J_,-&ZI)；

■2222828

(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(［，y).

2

VA(-1,0),B(0,-?),.\AB2=l+3=4.

①以A為圓心AB為半徑畫弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)AM=AB,

則(2+1)2+^=4,解得y=±Y7,即此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(!，區(qū))或(工，-YZ)；

222222

②以B為圓心為半徑畫弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)BM=AB,

貝I]（1_）2+（y+V3）2=4,解得y=-?+2/1^.或＞=_炳-2/11.,

222

即此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（!，-b+逗）或（!，-加-叵）；

2222

③線段AB的垂直平分線與對(duì)稱軸有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)AM=BM,

則（2+1）2+/=（[）2+（y+近）之，解得尸-近，

226

即此時(shí)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（工，

26__

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)"的坐標(biāo)為（!，近）或（工，-&或（！，-?+逗）

222222

或（工，-「-炫反）或（!，-1）；

2226

（3）如圖，連接AB,作。于H,交。B于P,此;時(shí)LpB+P。最小.

理由：VOA=1,OB=M，：.tanZABO=^-=^-

0B3

ZABO=30°,PH=^PB,

2

LPB+PD=PH+PD=DH,

2

.?.此時(shí)工尸B+P。最短（垂線段最短）.

2

在RSAOH中，VZAHD=90°,AD=^~,ZHAD=6Q°,

2

.人抽60。=里：.DH=-3--7-3-,

AD4

3A/3

：.LPB+PD的最小值為

2

4.【問(wèn)題提出】如圖①，已知海島A到海岸公路3。的距離為AB的長(zhǎng)度，C為公路2。上

的酒店，從海島A到酒店C,先乘船到登陸點(diǎn)。，船速為小再乘汽車，車速為船速的“

倍，點(diǎn)。選在何處時(shí)，所用時(shí)間最短？

【特例分析】若w=2,則時(shí)間/=毀+型，當(dāng)a為定值時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在8C上確定

a2a

一點(diǎn)、D,使得毀+gD的值最小.如圖②，過(guò)點(diǎn)C做射線CM,使得/BCM=30。.

a2a

（1）過(guò)點(diǎn)D作。E_LCM,垂足為E,試說(shuō)明：。￡=空；

2

（2）請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)。.

【問(wèn)題解決】（3）請(qǐng)你仿照“特例分析”中的相關(guān)步驟，解決圖①中的問(wèn)題.（寫出具體方

案，如相關(guān)圖形呈現(xiàn)、圖形中角所滿足的條件、作圖的方法等）

【綜合運(yùn)用】（4）如圖③，拋物線y=一282;^與x軸分別交于A,8兩點(diǎn)，與y軸

44

交于點(diǎn)C,E為。3中點(diǎn)，設(shè)尸為線段BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接E?一動(dòng)點(diǎn)尸從E

出發(fā)，沿線段EF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿著線段FC以每秒§個(gè)單位的速

3

度運(yùn)動(dòng)到C后停止.若點(diǎn)尸在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少，請(qǐng)求出最少時(shí)間和此時(shí)點(diǎn)廠的

【解答】解：（1）如圖①，：DE_LCM,.../。既:二"。，在RtABCM中，D￡=Cr>sin30°

=^CD；

（2）如圖①過(guò)點(diǎn)A作AELCM交BC于點(diǎn)。，則點(diǎn)。即為所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)；

（3）如圖②，過(guò)點(diǎn)C作射線CM,使得sin/BCM=L,

n

過(guò)點(diǎn)A作AE,CM,垂足為后交8C于點(diǎn)。，則點(diǎn)。為為所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)；

FFCFR

（4）由題意得：Z=~^4-^=EF+—CF,

115

3

過(guò)點(diǎn)C作C?！o(wú)軸交拋物線于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)尸作GFLCZ）交C。于點(diǎn)G,

ZACB=ZDCB=a,sin/48c=%=旦，貝!JEE=±CT,EF+-^CF=EF+FH,

AB555

故當(dāng)E、F、H三點(diǎn)共線且與CO垂直時(shí)，/最小，將點(diǎn)8、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并

解得：

直線BC的表達(dá)式為：y=-2x+3,點(diǎn)E是0B中點(diǎn)，其坐標(biāo)為：（3,0）,

4

即：最小時(shí)間為3秒.

5.如圖，△ABC是等邊二角形.

(1)如圖1,AH工BC于H,點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，沿高線A8向下移動(dòng)，以CP為邊在CP

的下方作等邊三角形CP。，連接BQ.求NC8Q的度數(shù)；

(2)如圖2,若點(diǎn)。為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接。4,DB,DC.證明：以ZM,DB,

DC為邊一定能組成一個(gè)三角形;

(3)在(1)的條件下，在P點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)尤=AP+2PC,點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為

?當(dāng)x取最小值時(shí)，寫出x,y的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【解答】(1)解：如圖1中

「△ABC是等邊三角形，AHLBC,

：.ZCAP=^ZBAC^3Q°,CA=CB,ZACB^6Q°,

2

「△PCQ是等邊三角形，

；.CP=CQ,ZPCQ^ZACB=6Q°,

：.ZACP^ZBCQ,

：.AACP^ABCQ,

：.ZCBQ=ZCAP=30°.

(2)證明：如圖2中，將△AOC繞當(dāng)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△A8Q,連接

AACD^AABQ,

：.AQ=AD,CD=BQ,

'：ZDAQ=60°,

：.^ADQ是等邊三角形，

：.AD=DQ,

：.DA,DB,DC為邊一定能組成一個(gè)三角形(圖中AB。。).

(3)如圖3中，作于E,C/tLAB于尸交A8于G.

'JPE^^PA,

2

：.PA+2PC^2C—PA+PC)=2(PE+PC),

2

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)E與歹重合，P與G重合時(shí)，

B4+2PC的值最小，最小值為2CF.

由(1)可知△ACPgABCQ,可得B0=B4,

：.PA=BQ=AG=CG=y,FG=^-y,：.x=2(y+Ly),：.y=^x.

6.如圖，已知拋物線y=K(尤+2)(x-4)(人為常數(shù)，且左>0)與無(wú)軸從左至右依次交于A,

8

8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)8的直線y=-*x+6與拋物線的另一交點(diǎn)為D

(1)若點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A,B,尸為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相

似，求左的值；

(3)在(1)的條件下，設(shè)B為線段2D上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接AR一動(dòng)點(diǎn)、M從點(diǎn)

A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速

度運(yùn)動(dòng)到。后停止，當(dāng)點(diǎn)歹的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？

【解答】解：⑴拋物線尸卷(x+2)(%-4),令y=0,解得尤=-2或x=4,

/.A(-2,0),B(4,0).__

?直線y=-經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(4,0),-Y3X4+6=0,解得b=&'*,

-333

直線BD解析式為：y=-1x+生巨.當(dāng)尤=-5時(shí)，y=3?,...￡)(-5,3近).

33

:點(diǎn)D(-5,3后在拋物線y=K(x+2)(x-4)上，.?.區(qū)(-5+2)(-5-4)=3?,

88

.?.左=色巨.；.拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：>=返G+2)(x-4).

99

即y二返/一里...

999

(2)由拋物線解析式，令x=0,得〉=-左，...CCO,-k),OC=k.

因?yàn)辄c(diǎn)尸在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以NA8P為鈍角.

因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是4ABCs△APB或小ABC^j\PAB.

①若△ABCsAAPB,則有如答圖2-1所示.

設(shè)尸(x,y),過(guò)點(diǎn)尸作PN_L無(wú)軸于點(diǎn)N,則。N=尤，PN=y.

twZBAC—tanAPAB,即：—=~,'.y——x+k.

2x+22

：.P(x,Kx+左)，代入拋物線解析式y(tǒng)=K(x+2)(x-4),

2-8

得工(x+2)(x-4)=—x+k,整理得：x1-6x-16—0,

82

解得：x=8或x=-2(與點(diǎn)A重合，舍去)，AP(8,5k).

/6,解得：

425k2+1005

②若△ABCs△出B,則有NABC=NB48,如答圖2-2所示.

設(shè)P(x,y),過(guò)點(diǎn)P作PN_Lx軸于點(diǎn)N,則ON=x,PN=y.

tanZABC=tanZPAB,即：—=——,

4x+2

：.P(無(wú)，Kx+K),代入拋物線解析式y(tǒng)=K(x+2)(x-4),

42-8

得K(x+2)(尤-4)=Kx+K,整理得：X2-4.r-12=0,

842

解得：x=6或x=-2(與點(diǎn)A重合，舍去)，AP(6,2k).

V/\ABC^/\PAB,迪=里.

1/6=116+/,解得左=±?，

APAB764+4k26

'：k>0,

綜上所述，k=M^.或k=M.

5

(3)方法一：

如答圖3,由(1)知：。(-5,3A/3),

如答圖2-2,過(guò)點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)N,

則。N=3?,ON=5,BN=4+5=9,

..11/。&4=四=^5=返，

BN93

：.ZDBA^3O°.

過(guò)點(diǎn)。作。K〃x軸，則/KZ)F=/Z)8A=30。.

過(guò)點(diǎn)F作FG1DK于點(diǎn)G,則FG=1DF.

2

由題意，動(dòng)點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+DF,運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t^AF+^DF,

2

：.t=AF+FG,即運(yùn)動(dòng)的時(shí)間值等于折線AF+FG的長(zhǎng)度值.

由垂線段最短可知，折線AF+FG的長(zhǎng)度的最小值為OK與x軸之間的垂線段.

過(guò)點(diǎn)A作AHLOK于點(diǎn)X,貝卜最,j、=AH,AH與直線8。的交點(diǎn)，即為所求之廠點(diǎn).

VA點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2,直線BD解析式為：y=-返x+W返，

33

；.y=-返x(-2)+^Z1=2?,：.F(-2,2?).

33

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(-2,273)時(shí)，點(diǎn)〃在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少.

方法二：

DK//AB,AH1DK,交直線BD于點(diǎn)R

\'ZDBA=30°,：.ZBDH=3Q°,

FH=DFxsin30°=^-,

2

.?.當(dāng)且僅當(dāng)AHLOK時(shí)，AP+F”最小，

研

點(diǎn)/在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)為：f=.+y=AF+FH-

1

-返X+&Z1,"x=Ax=-2,

IBD-y

33

：.F(-2,2出).

7.已如二次函數(shù)y=-/+2x+3的圖象和x軸交于點(diǎn)A、8（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交

于點(diǎn)C,

（1）如圖1,尸是直線8C上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與8、C重合）過(guò)P作P?！o(wú)軸交

直線BC于°,求線段P。

的最大值；

（2）如圖2,點(diǎn)G為線段0C上一動(dòng)點(diǎn)，求BG+gCG的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)；

5

（3）如圖3,在（2）的條件下，M為直線BG上一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM,

MN,求AM+MN的最小值.

【解答】解：（1）令y=0,即：-X2+2X+3=0,

解得：x=3或-1,即點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分比為（-1,0）、（3,0）,

令％=0,則y=3,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,3）,

直線5C過(guò)點(diǎn)。（0,3）,則直線表達(dá)式為：y=kx+3,

將點(diǎn)8坐標(biāo)代入上式得：0=3%+3,解得：k=-1,

則直線3C的表達(dá)式為：y=-x+3,

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（m,n）,n=-m2+2m+3,

則點(diǎn)。坐標(biāo)為（3-m九），

則PQ=m-（3-〃）=-m2+3m,

,?Z=-1V0,則尸。有最大值，

當(dāng)m=-旦=旦，PQ取得最大值為?；

2a24

(2)過(guò)直線CG作/GC”=a,使CH_LGH,

當(dāng)sina=‘■時(shí)，HG=±GC,

55

則BG+^-CG的最小值即為HG+GB的最小值，

5

當(dāng)8、H、G三點(diǎn)共線時(shí)，HG+GB最小，則/GBO=a,

Vsina=—,貝！Icosa=—,tana=—,

554

OG=OB?tana=3xA=2,即點(diǎn)G（0,空），

444

CG=3-9=3,而BG=E,

444

BG+3CG的最小值為：2L；

55

（3）作點(diǎn)A關(guān)于直線8G的對(duì)稱點(diǎn)4,

過(guò)4作軸，交BG于點(diǎn)交x軸于點(diǎn)N,

則此時(shí)AM+MN取得最小值，即為A,N的長(zhǎng)度，

則：ZGBA=ZAA'N^ZOGB=a,

4V=2ABsinNA8G=2x4xsina=處，

5

AW=A/Acosa=—xA=^_,

5525

即：AM+MN的最小值為生.

25