2024年新高考新題型第19題新定義壓軸解答題數(shù)學(xué)試題及答案

新高考新題型第19題新定義壓軸解答題全歸納

【目錄】

考點(diǎn)一:集合新定義

考點(diǎn)二:函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義

考點(diǎn)三:立體幾何新定義

考點(diǎn)四:三角函數(shù)新定義

考點(diǎn)五:平面向量與解三角形新定義

考點(diǎn)六:數(shù)列新定義

考點(diǎn)七:圓錐曲線新定義

考點(diǎn)八:概率與統(tǒng)計(jì)新定義

考點(diǎn)九:高等數(shù)學(xué)背景下新定義

考:情I分1折

創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用是新時(shí)代的主旋律，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中需要不斷滲透與培養(yǎng)的一種基本精神

與能力！借助“新定義”，可以巧妙進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)中的概念類比、公式設(shè)置、性質(zhì)應(yīng)用、知識(shí)拓展與創(chuàng)新應(yīng)用等的

交匯與融合,很好地融入創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用.

所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了高中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào),要求同

學(xué)們讀懂題意并結(jié)合已有知識(shí)、能力進(jìn)行理解,根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型。

考點(diǎn)要求統(tǒng)計(jì)考情分析

集合新定義2018年北京卷第20題，14分【命題俐】

2024年九省聯(lián)考之后，第19題將考查新定義問題?，F(xiàn)在

2023年北京卷第21題，15分

也有部分地區(qū)考試采用該結(jié)構(gòu)考試，比如安徽合肥一中省

數(shù)列新定義2022年北京卷第21題，15分

十聯(lián)考等。預(yù)測(cè)2024年新高考試卷第19題結(jié)構(gòu)考查新定

2021年北京卷第21題，15分

義問題，壓軸題,難度比較大.

1.代數(shù)型新定義問題的常見考查形式

（1）概念中的新定義；

（2）運(yùn)算中的新定義；???

(3)規(guī)則的新定義等.

2.解決“新定義”問題的方法

在實(shí)際解決“新定義”問題時(shí)，關(guān)鍵是正確提取新定義中的新概念、新公式、新性質(zhì)、新模式等信息，確定新定

義的名稱或符號(hào)、概念、法則等，并進(jìn)行信息再加工，尋求相近知識(shí)點(diǎn)，明確它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，探求解決

方法，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行知識(shí)轉(zhuǎn)換，有效輸出，合理歸納,結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)技巧與方法來分析與解決！

題目jJ(2018。北京)設(shè)九為正整數(shù)，集合A={a\a—(。，右，1，土店{0,1},A；=1,2,…，n},對(duì)于集合A

中的任意元素&=(0,x2,…，/”)和6=(%，…%)，記河(a，￡)=/[(，1+%-山一如)+(，2+夕2—上2-例

I)4"…(xn+yn—\xn—yn\)].

(I)當(dāng)「=3時(shí)，若a=(1,1,0),(=(0,1,1),求7W(a,a)和的值；

(II)當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是＞1的子集，且滿足:對(duì)于3中的任意元素a,￡,當(dāng)必，6相同時(shí)，M(a,0)是奇數(shù);當(dāng)&,

0不同時(shí)，是偶數(shù).求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值；

(III)給定不小于2的n,設(shè)B是A的子集,且滿足:對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素a，B，M(a,0)=0,寫出

一個(gè)集合B,使其元素個(gè)數(shù)最多,并說明理由.

題目口(2023?北京)數(shù)列{%},{bn}的項(xiàng)數(shù)均為m(nz>2),且?,bnE{1,2,…，m\,{a?},{60}的前n■項(xiàng)和

分別為An，并規(guī)定4=瓦=0.對(duì)于ke{0,1,2,…，m},定義以=max{i|B，W4,iG{0,1,2,…，m}

}，其中，maxW表示數(shù)集”中最大的數(shù).

(I)若的=2,ci2=1,a3=3,b尸1,b2=3,幾=3,求R,n，r2,r3的值；

(II)若a1>瓦,且2r產(chǎn)—+i+勺_氣,j—1,2,…，—1,求r”；

(III)證明:存在0Wp<qWm,0Wr<sW7n,使得Ap+B=Aq+Br.

???

題目①(2022?北京)已知Q：s，a2,…，a*為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m,若對(duì)任意的八e｛1,2,…，m｝,

在Q中存在3a計(jì)1，Q計(jì)2,…，。計(jì)式，>0)，使得氏+。計(jì)1+0^1^--^。計(jì)/=九，則稱。為小一連續(xù)可表數(shù)列.

(I)判斷Q:2,1,4是否為5—連續(xù)可表數(shù)列？是否為6—連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；

(II)若Qg，電，…，出為8—連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；

(III)若,。2，…，為20—連續(xù)可表數(shù)列，且Q1+Q2+—卜耿<20，求證：k>7.

題目@(2021?北京)設(shè)P為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列｛冊(cè)｝滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱｛冊(cè)｝為況P數(shù)列：

①Q(mào)i+p>0,且a2+p=0；

②a4n-l<Q4n(九=1，2,…)；

③^m+nC｛am+an+p,am+an+p+1｝(m=1,2,-??；n=1,2,???)■

(I)如果數(shù)列｛斯｝的前四項(xiàng)為2,—2,—2,—1,那么｛飆｝是否可能為此數(shù)列？說明理由；

(II)若數(shù)列｛aj是火。數(shù)歹IJ,求as；

(HI)設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為S0,是否存在%，數(shù)列｛4｝,使得S.'S。恒成立？如果存在，求出所有的p；如

果不存在，說明理由.

考點(diǎn)一:集合新定義

:題目[（2024?北京順義?高三統(tǒng)考期末）給定正整數(shù)n>3,設(shè)集合人=｛電,a?,…,飆｝.若對(duì)任意i,/C｛1,2,

…,n｝,QZ+Q,,Q「Q,兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于4,則稱集合A具有性質(zhì)P

（1）分別判斷集合｛1,2,3｝與｛—1,0,1,2｝是否具有性質(zhì)F；

（2）若集合A=｛l,a,b｝具有性質(zhì)P,求Q+b的值；

（3）若具有性質(zhì)P的集合B中包含6個(gè)元素，且1eB求集合B.

題目可（2024.北京?高三北京四中?？计谀┮阎?=色1,02,…,Q/（TI>3）,集合

｛（劣,g）,ES,yES,力Wg｝,且滿足，V與%￡S（i,，=1,2,…,?i,iW/）,（而％）eT與（Q,,QJET恰有一個(gè)成

立.對(duì)于T定義電（0,6）=以及Ga）=￡47@烏）,其中1=1,2,?；丸

[U,（仇。）t13=1,

例如，7（。2）=一式。2，。1）+d7（電,。3）++…+日?。?。2,。九）?

（1）若n=4,（電,電），（。3，。2）,（。2,。4）GT，求心（。2）的值及，?。?。4）的最大值；

⑵從必Q1）,…占3）中任意刪去兩個(gè)數(shù)，記剩下的數(shù)的和為河,求河的最小值（用"表示）；

（3）對(duì)于滿足b（Q）v?i—l（i=l,2,…，九）的每一個(gè)集合T,集合S中是否都存在三個(gè)不同的元素e,/,g,使

得d乂ej）+d￡/,g）+d?（g,e）=3恒成立？請(qǐng)說明理由.

???

［題目叵（2024?北京?高三景山學(xué)校?？计谀┰O(shè)集合4“={1,2,3,…,2"}（nCN*,rz＞3）,如果對(duì)于A2n的每一

個(gè)含有m（m＞4）個(gè)元素的子集P,P中必有4個(gè)元素的和等于4九+1,稱正整數(shù)m為集合A2?的一個(gè)“相關(guān)

數(shù)”.

⑴當(dāng)九=3時(shí)，判斷5和6是否為集合4的“相關(guān)數(shù)”，說明理由；

（2）若山為集合4”的“相關(guān)數(shù)”，證明：M一九一320；

（3）給定正整數(shù)外，求集合4”的“相關(guān)數(shù)”m的最小值.

題目目（2024?北京J01中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)A是正整數(shù)集的一個(gè)非空子集,如果對(duì)于任意cCA,都有①-

1eA或c+1eA,則稱A為自鄰集.記集合A.={1,2…,n}（九＞2,neN）的所有子集中的自鄰集的個(gè)數(shù)

為an.

（1）直接寫出省的所有自鄰集；

（2）若n為偶數(shù)且?guī)祝?,求證：4,的所有含5個(gè)元素的子集中，自鄰集的個(gè)數(shù)是偶數(shù)；

（3）若＞4,求證：an42an--i_.

???

考點(diǎn)二:函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義

［題目①(2024?廣東茂名?統(tǒng)考一模)若函數(shù)/(c)在［a向上有定義,且對(duì)于任意不同的如gC［a,b］,都有

|/(d)一/(旬|〈砸1—詞，則稱/㈤為［a,b］上的"類函數(shù)”.

(1)若/⑸=+，，判斷〃力)是否為［1,2］上的“3類函數(shù)”；

(2)若/(c)=磯7-l)ex-Y-xlnx為［l,e］上的“2類函數(shù)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑶若/(，)為［1,2］上的“2類函數(shù)”，且/⑴=/⑵，證明：V的,X2G［1,2］,1/(x0-/(s2)|<l.

題目(2024?山東二校聯(lián)考階段練習(xí))定義函數(shù)力(c)=1—c+'—H----F(—(nEN*).

/OTb

⑴求曲線y=力(力)在c=-2處的切線斜率；

(2)若力(2)一2)ke"對(duì)任意①eR恒成立，求k的取值范圍；

(3)討論函數(shù)九(①)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并判斷力(，)是否有最小值.若力(2)有最小值m,證明：rn>l—ln2；若

力⑸沒有最小值，說明理由.

(注：e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

???

［題目叵(2024?上海嘉定?統(tǒng)考一模)對(duì)于函數(shù)沙=/3),把/'(0稱為函數(shù)9=/(0的一階導(dǎo)，令/'(0=9(°),則

將9'(，)稱為函數(shù)"=/(，)的二階導(dǎo)，以此類推…得到九階導(dǎo).為了方便書寫，我們將n階導(dǎo)用［/㈤表

示.

(1)已知函數(shù)/(0ul+aln,—式,寫出其二階導(dǎo)函數(shù)并討論其二階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性.

(2)現(xiàn)定義一個(gè)新的數(shù)列:在g=/㈤取a產(chǎn)/⑴作為數(shù)列的首項(xiàng),并將［f(l+n)］?,n>l作為數(shù)列的第n+

1項(xiàng).我們稱該數(shù)列為y=f(x)的“九階導(dǎo)數(shù)列”

①若函數(shù)g(x)=d(n>1)，數(shù)列｛冊(cè)｝是？=g(x)的/階導(dǎo)數(shù)列”，取T九為｛an｝的前n項(xiàng)積,求數(shù)列

［式］的通項(xiàng)公式.

IJ-n-1)

②在我們高中階段學(xué)過的初等函數(shù)中，是否有函數(shù)使得該函數(shù)的“n階導(dǎo)數(shù)列”為嚴(yán)格減數(shù)列且為無窮數(shù)列,

請(qǐng)寫出它并證明此結(jié)論.(寫出一個(gè)即可)

H(2024?上海?高三上海市七寶中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(,)=,g(M=e~+c，其中e為自

然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)F(c)=of⑸—g(c),

(1)若01=6,求函數(shù)“=_?(*)的單調(diào)區(qū)間，并寫出函數(shù)y=F(a:)—ni有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)小的取值范圍；

(2)當(dāng)0VaV1時(shí)，g、g分別為函數(shù)y=FQ)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且不等式F(X1)+tF(x2)>0對(duì)任

意aC(0,1)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

(3)對(duì)于函數(shù)夕=/(,),若實(shí)數(shù)g滿足/(g)/(g+F)=。,其中F、。為非零實(shí)數(shù)，則物稱為函數(shù)/(2)的"F

—0—篤志點(diǎn)”.

e*/Q

①已知函數(shù)/(力)=；八，且函數(shù)八⑼有且只有3個(gè)“1—1—篤志點(diǎn)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

—；一,x<0

②定義在R上的函數(shù)/(c)滿足:存在唯一實(shí)數(shù)m,對(duì)任意的實(shí)數(shù)①，使得/(館+，)=/(小一2)恒成立或

/(m+,)=—/(館—①)恒成立.對(duì)于有序?qū)崝?shù)對(duì)(F,。)，討論函數(shù)/(2)“F—?！V志點(diǎn)”個(gè)數(shù)的奇偶性，并

說明理由

???

考點(diǎn)三:立體幾何新定義

題目工（2024?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果

坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條

數(shù)軸的夾角均為60°,我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°

坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：手了,分分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸Q軸、夕軸、z軸）正方向的單位向

量，若向量五=rc孑+yj+z1，則方與有序?qū)崝?shù)組相對(duì)應(yīng)，稱向量方的斜60°坐標(biāo)為[‘,沙,2],記作4=

⑴若云=[1,2,3],1=[―1,1,2],求日+族的斜60°坐標(biāo);

（2）在平行六面體ABCD-ABCrD.中，AB=4D=2,44產(chǎn)3,/BAD=NB44尸/。44產(chǎn)60°,N為線段

DC的中點(diǎn).如圖，以AD,為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”.

①求前的斜60°坐標(biāo)；

②若瓦面=[2,—2,0],求互法與前夾角的余弦值.

Qi。2。3

［題目②(2024.河南.高三校聯(lián)考期末)三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：瓦匕2匕3

C1。2C3

->->

13k

=Qib2c3+電匕3。1+。3ble2一。3匕2。1一。2ble3一。力3c2?若日義G=

X1UiZi,則稱日x3為空間向量日與坂的叉乘,

為2V222

其中日=g孑+gj+z質(zhì)比1,如為6R),i—Xil+y2j+z^X2,y2,z2&R),{1,1,補(bǔ)為單位正交基底.以O(shè)為

坐標(biāo)原點(diǎn)、分別以77%的方向?yàn)椋S、?/軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知A,B是空間直角坐標(biāo)

系中異于。的不同兩點(diǎn).

(1)①若人(1,2,1),口(0,-1,1),求加乂屈；

②證明：。1*歷+無乂。1=6.

(2)記△AOB的面積為S^OB，證明：S&AOB=y|OAxOB\.

⑶證明：(己NxOB)2的幾何意義表示以△AQB為底面、|瓦5xOB\為高的三棱錐體積的6倍.

［題目包(2024?上海普陀?高三校考期末)對(duì)于一個(gè)三維空間，如果一個(gè)平面與一個(gè)球只有一個(gè)交點(diǎn)，則稱這個(gè)

平面是這個(gè)球的切平面.已知在空間直角坐標(biāo)系O-g/z中，球。的半徑為1,記平面加。9、平面zOc、平面

gOz分別為a、B、了.

(1)若棱長(zhǎng)為a的正方體、棱長(zhǎng)為6的正四面體的內(nèi)切球均為球。，求M的值；

0

(2)若球。在(J,))處有一切平面為4,求兒與a的交線方程，并寫出它的一個(gè)法向量；

(3)如果在球面上任意一點(diǎn)作切平面4,記/I與a、/?、7的交線分別為nz、n、p,求O到m、n、p距離乘積的最

小值.

???

[題目回（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）無數(shù)次借著你的光，看到未曾見過的世界：國(guó)慶七十周年建黨百年天安門

廣場(chǎng)三千人合唱的磅礴震撼,“930烈士紀(jì)念日”向人民英雄敬獻(xiàn)花籃儀式的凝重莊嚴(yán)……171金帆合唱團(tuán)，

這絕不是一個(gè)抽象的名字，而是艱辛與光耀的延展，當(dāng)你想起他，應(yīng)是四季人間，應(yīng)是繁星璀璨！這是開學(xué)典

禮中,我校金帆合唱團(tuán)的頒獎(jiǎng)詞，聽后讓人熱血沸騰,讓人心向往之.圖1就是金帆排練廳,大家都親切的稱

之為“六角樓”，其造型別致，可以理解為一個(gè)正六棱柱（圖2）由上底面各棱向內(nèi)切割為正六棱臺(tái)（圖3）,正

六棱柱的側(cè)棱交AQi的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,經(jīng)測(cè)量4DQH=12°,且AB=10,4口產(chǎn)8?（sinl2°=0.2）

圖3

（1）寫出三條正六棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.

（2）“六角樓”一樓為辦公區(qū)域，二樓為金帆排練廳,假設(shè)排練廳地板恰好為六棱柱中截面,忽略墻壁厚度,估

算金帆排練廳對(duì)應(yīng)幾何體體積.（棱臺(tái)體積公式：丁=:%（6+原+5））

（3）“小迷糊”站在“六角樓”下,陶醉在歌聲里.“大聰明”走過來說:“數(shù)學(xué)是理性的音樂，音樂是感性的數(shù)學(xué).

學(xué)好數(shù)學(xué)方能更好的欣賞音樂，比如咱們剛剛聽到的一個(gè)復(fù)合音就可以表示為函數(shù)S（,）=sine+

]sin2a;（①6兄），你看這多美妙!”

“小迷糊”：“..…”

親愛的同學(xué)們，快來幫“小迷糊”求一下SQ）的最大值吧.

???

考點(diǎn)四:三角函數(shù)新定義

題目1對(duì)于定義域五上的函數(shù)/（，），如果存在非零常數(shù)T,對(duì)任意Xe兒都有，Q+T）=叮⑸成立，則稱

,3）為“為函數(shù)”.

（1）設(shè)函數(shù)/（2）=以判斷/（。）是否為“T函數(shù)”，說明理由；

（2）若函數(shù)9（0=靖（a>0且a/1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明：g（,）為“T函數(shù)”；

（3）若函數(shù)/I（2）=COSMC為“T函數(shù)”，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

題目因若對(duì)于定義在R上的連續(xù)函數(shù)/（，），存在常數(shù)a（aeR）,使得/Q+a）+af（x）=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)必成

立，則稱/Q）是回旋函數(shù)，且階數(shù)為a.

⑴試判斷函數(shù)/Q）=sin7ra是否是一個(gè)階數(shù)為1的回旋函數(shù),并說明理由；

（2）已知/（力）=sins/是回旋函數(shù)，求實(shí)數(shù)⑶的值；

（3）若回旋函數(shù)/（/）=sin切力一1（0>0）在［0,1］恰有100個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)切的值.

???

考點(diǎn)五:平面向量與解三角形新定義

［題目1)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)/(c)=asinrc+6cos0,稱向量3必=(a,b)為函數(shù)/(a?)的相伴特征向

量，同時(shí)稱函數(shù)/(c)為向量OM的相伴函數(shù).

⑴記向量麗=(1,通)的相伴函數(shù)為了㈤,若當(dāng)加)=|■且優(yōu))時(shí),求sin力的值；

(2)已知4—2,3),B(2,6),OT=(-73,1)為h(±)=msin(x-y)的相伴特征向量，<p(x)=h居一1)，請(qǐng)

問在沙=wQ)的圖象上是否存在一點(diǎn)P,使得AP±BP.若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，說明理由；

(3)記向量成=(1,73)的相伴函數(shù)為了(⑼，若當(dāng)cC［0,晉］時(shí)不等式/⑵+磔?(，+>0恒成立,求實(shí)

數(shù)%的取值范圍.

題目也如圖，半圓。的直徑為2cm,A為直徑延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，04=2cm,B為半圓上任意一點(diǎn)，以48為一

邊作等邊三角形ABC.設(shè)ZAOB=a.

⑴當(dāng)a=看時(shí)，求四邊形。4cB的周長(zhǎng)；

(2)克羅狄斯?托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理:任意凸四

邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào),根據(jù)以上材料，則當(dāng)

線段。。的長(zhǎng)取最大值時(shí),求ZAOC.

(3)問：5在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值.

A

0

???

題目區(qū)將平面直角坐標(biāo)系中的一列點(diǎn)4(1,?)、4(2,<12)、…、45,M)、…，記為｛4｝，設(shè)/⑺=4瓦〉

)，其中寧為與V軸方向相同的單位向量.若對(duì)任意的正整數(shù)外，都有/⑺+1)>/(九)，則稱｛4J為T點(diǎn)歹！J.

(1)判斷4(1,1)、出僅9)、4(3,；)、…、…是否為T點(diǎn)列,并說明理由；

(2)若｛AJ為T點(diǎn)歹！J,且a2>ai.任取其中連續(xù)三點(diǎn)4、A+O入/2,證明△44+14+2為鈍角三角形；

(3)若｛4｝為T點(diǎn)列,對(duì)于正整數(shù)MZ、機(jī)(％VZV機(jī))，比較小不-j與MX-j的大小，并說明理由.

、題目切對(duì)于給定的正整數(shù)n,記集合/?”=｛司4=(如曲,g,…，我)，叼e五,/=1,2,3」”,71｝,其中元素宣稱為一

個(gè)一維向量.特別地，6=(0,0,…,0)稱為零向量.

1

ER,a—(ai,a2,,",?■?)CR=(幾也，…,b”)G定義加法和數(shù)乘：a+^—(a1+b1,a2+b2,―,an+&?)，

ka=(k的,卜。2,…,k%).

對(duì)一組向量石，石，…,4(sEN+，s>2),若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)自，島,…,鼠，使得自房+k2芯H----卜鼠

區(qū)=6,則稱這組向量線性相關(guān).否則，稱為線性無關(guān).

(I)對(duì)口=3,判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān),并說明理由.

①日=(1,1,1),彼=(2,2,2)；

②日=(1,1,1),/=(2,2,2),斤=(5,1,4)；

③?=(1,1,0),%=(1,0,1),/=(0,1,1),1=(1,1,1).

(H)已知向量入及歹線性無關(guān)，判斷向量4+擊/+落4+斤是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.

(III)已知館(館>2)個(gè)向量屬，石，…，或線性相關(guān)，但其中任意恒—1個(gè)都線性無關(guān)，證明下列結(jié)論：

(i)如果存在等式向&+自加H---1?除15^=6低￡/?"=1,2,3,???,771),則這些系數(shù)自，k?,…,心或者全為零，

或者全不為零；

(ii)如果兩個(gè)等式k荷+后顯H-----\~kmoZ=0,+。芯H----\-lmaZ=0(kiERJRR,i=1,2,3,—,m)同時(shí)成

立，其中廿0,則單=單=...=與i.

???

考點(diǎn)六:數(shù)列新定義

題目工(2024?北京?高三北京市第五中學(xué)校考階段練習(xí))若數(shù)列｛冊(cè)｝滿足：anE｛0,1｝,neN*,且a尸1,則稱

｛%｝為一個(gè)X數(shù)列.對(duì)于一個(gè)X數(shù)列｛冊(cè)｝,若數(shù)列｛氏｝滿足：8=1,且鼠+產(chǎn)鼠—羅卜，"eN*,則稱｛鼠｝

為｛aj的伴隨數(shù)列.

⑴若X數(shù)列｛QJ中，。2=1，。3=0,04=1，寫出其伴隨數(shù)列｛fen｝中也的值;

(2)若｛an｝為一個(gè)X數(shù)列，｛'｝為｛Q/的伴隨數(shù)列.

①證明："｛aj為常數(shù)列”是“｛圖｝為等比數(shù)列”的充要條件；

②求匕2019的最大值.

題目叵〕(2024.北京西城.北京師大附中?？寄M預(yù)測(cè))已知人為有限個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的非空集合，設(shè)入+力=

｛ai+a^a^ajEA｝,A—A—｛ai—a^a^a^4｝,記集合A+4和A—其元素個(gè)數(shù)分別為|A+A|,\A-A\.

設(shè)7t(A)=|A+A|—\A—川.例如當(dāng)4=｛1,2｝時(shí),A.-\-A—｛2,3,4｝,A-A—｛—1,0,1｝,|J4+A|=\A—川,

所以"(A)=0.

⑴若A=｛1,3,5｝,求九(A)的值；

(2)設(shè)A是由3個(gè)正實(shí)數(shù)組成的集合且(A+A)AA=0,4=AU｛0｝,證明：n(A")-n(A)為定值；

(3)若｛aj是一個(gè)各項(xiàng)互不相同的無窮遞增正整數(shù)數(shù)列,對(duì)任意nEN*,設(shè)4九=｛a1,a?,…,廝｝，bn=n(An).

已知Qi=1,出=2,且對(duì)任意nEN*也＞0,求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式.

???

【題目回（2024?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛冊(cè)｝：1,-2,-2,3,3,3,—4,—4,—4,

k個(gè)

—4,???,（―???,（—即當(dāng)（-2I*〈nW一依；1）（卜GN*）時(shí)，an=（一1）"%,記Sn=a1+a2H—

+an（nGN"）.

⑴求S2020的值；

（fc+1）（fc+2）

（2）求當(dāng)0<n<2（fcGN*），試用九、k的代數(shù)式表示Sn（neN*）;

（3）對(duì)于teN*,定義集合￡=｛n四是a”的整數(shù)倍，nGN*,且1<n<力｝,求集合為20中元素的個(gè)數(shù).

題目④（2024.全國(guó).高三專題練習(xí)）對(duì)于無窮數(shù)列｛4｝,若存在正整數(shù)T,使得an+T=冊(cè)對(duì)一切正整數(shù)n都成

立,則稱無窮數(shù)列｛斯｝是周期為T的周期數(shù)列.

（1）已知無窮數(shù)列｛冊(cè)｝是周期為2的周期數(shù)列，且5=3,a?=1,S”是數(shù)列｛斯｝的前九項(xiàng)和，若生Wt對(duì)一

切正整數(shù)n恒成立，求常數(shù)t的取值范圍；

（2）若無窮數(shù)列｛廝｝和｛0｝滿足勾=%+「廝,求證:“｛M｝是周期為T的周期數(shù)列”的充要條件是“｛氏｝是周

T

期為T的周期數(shù)列，且1>=>1,=0"：

b=1,62=0

（3）若無窮數(shù)列｛a“｝和｛心｝滿足b=an+1-an，且4+2二零（九＞1,九eN）'是否存在非零常數(shù)a,使得｛%｝

是周期數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的常數(shù)a；若不存在,請(qǐng)說明理由.

???

考點(diǎn)七:圓錐曲線新定義

題目切直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體.如:方程g=k,+l中，當(dāng)％取給定的實(shí)數(shù)時(shí)，表示一條

直線;當(dāng)k在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，表示過點(diǎn)（0,1）的直線族（不含y軸）.記直線族2（a-2）7+4y-4a+a2-0

（其中aCR）為9,直線族y=3t2?-2寅其中t>0）為Q.

（1）分別判斷點(diǎn)A（0,l）,B（l,2）是否在V的某條直線上，并說明理由；

（2）對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)g,點(diǎn)P（g,%）不在Q的任意一條直線上，求go的取值范圍（用g表示）；

（3）直線族的包絡(luò)被定義為這樣一條曲線:直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上

每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.求。的包絡(luò)和田的包絡(luò).

???

［題目區(qū)(2024?貴州貴陽?高三統(tǒng)考期末)閱讀材料：

在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M{x,y)與定點(diǎn)F(c,O)(或FX-c.O)的距離和它到定直線l:x=，(或l'-.x=

-^)的距離之比是常數(shù)色(0<c<a),則―評(píng)=色，化簡(jiǎn)可得+萼y=1,設(shè)a2-c2(b>

Caal_.aja2-c2

ca

0)，則得到方程W+￥=l(a>6>0),所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓,這是從另一個(gè)角度給出了橢圓的定

ab

義.這里定點(diǎn)F(c,0)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，直線l-.x=亞稱為相應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線;定點(diǎn)r(-c,0)是橢圓的

C

另一個(gè)焦點(diǎn),直線l'-.x=-亞稱為相應(yīng)于焦點(diǎn)F'的準(zhǔn)線.

C

根據(jù)橢圓的這個(gè)定義，我們可以把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離.若點(diǎn)“(2,夕)在橢圓W+M=l(a

ab

>6>0)上，F(xiàn)(c,0)是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的離心率e=且,則點(diǎn)M(x,y)到準(zhǔn)線l-.x=—的距離為^-x,

acc

所以|W|=9x(迂一/)=a—=a—ec,我們把這個(gè)公式稱為橢圓的焦半徑公式.

aVc)a

結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：

已知橢圓C:4+與=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為點(diǎn)P是該橢圓上第一象限的點(diǎn)，且PF,2軸,若直線1-.X

ab

=9是橢圓右準(zhǔn)線方程，點(diǎn)P到直線I的距離為8.

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)A/,N也在橢圓。上且ZWAP的重心為F,判斷是否能構(gòu)成等差數(shù)列？如果能，求

出該等差數(shù)列的公差，如果不能，說明理由.

???

［題目①(2024?重慶?高三重慶八中校考階段練習(xí))類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標(biāo)系中，

可以定義曲面(含平面)S的方程，若曲面S和三元方程FQ,：y,z)=0之間滿足:①曲面S上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)

均為三元方程F(6,g,z)=0的解;②以三元方程尸(力,g,2)=0的任意解(如泱,％)為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面S

上，則稱曲面S的方程為F{x,y,￡)=0,方程F(c,y,z)=0的曲面為S.已知曲面。的方程為冬+￥-f

114

=1.

(1)已知直線Z過曲面。上一點(diǎn)Q(1,L2)，以2=(-2,0,-4)為方向向量，求證:直線Z在曲面。上(即Z上任

意一點(diǎn)均在曲面。上)；

(2)已知曲面。可視為平面力Oz中某雙曲線的一支繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面；同時(shí),過曲面。上任意一

點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面。上.設(shè)直線Z'在曲面。上,且過點(diǎn)T(2,0,2),求異面直線I與I'

所成角的余弦值.

???

［題目回(2024?廣東中山?高三統(tǒng)考期末)類比平面解析幾何的觀點(diǎn)，在空間中，空間平面和曲面可以看作是適

合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，在空間直角坐標(biāo)系。-g/z中，空間平面和曲面的方程是一個(gè)三元方程

F{x,y,z)—0.

(1)類比平面解析幾何中直線的方程，直接寫出：

①過點(diǎn)P(g,%,z0)，法向量為五=的平面的方程；

②平面的一般方程；

③在必y,z軸上的截距分別為a,b,c的平面的截距式方程(abcW0)；(不需要說明理由)

(2)設(shè)4E為空間中的兩個(gè)定點(diǎn)，|瓦砌=2c>0,我們將曲面「定義為滿足爐用+啟園=2a(a>c)的動(dòng)

點(diǎn)P的軌跡，試建立一個(gè)適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O-g/z,并推導(dǎo)出曲面「的方程.

題目回(2024?湖南長(zhǎng)沙?高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí))定義:一般地，當(dāng)久>0且;I/1時(shí)，我們把方程4+^

ab

=4(a>b>0)表示的橢圓G稱為橢圓考■+K=l(a>b>0)的相似橢圓.

ab

⑴如圖，已知E(—四,0),砥，^,0),河為。。：/+d=4上的動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)用河至點(diǎn)N,使得=\MF^FXN

的垂直平分線與月N交于點(diǎn)P,記點(diǎn)P的軌跡為曲線。，求C的方程；

⑵在條件⑴下，已知橢圓G是橢圓。的相似橢圓，是橢圓G的左右頂點(diǎn).點(diǎn)Q是G上異于四個(gè)頂

點(diǎn)的任意一點(diǎn)，當(dāng)4=e2(e為曲線C的離心率)時(shí),設(shè)直線QM與橢圓。交于點(diǎn)AB,直線QM與橢圓。交

于點(diǎn)D,E,求|4B|+\DE\的值.

???

[題瓦回(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(4B)=max{E-g|,|陰-紡|}為兩點(diǎn)

4(小明)、3(狽納)的“切比雪夫距離”，例如：點(diǎn)呂(1,2),點(diǎn)2(3,5),因?yàn)閨1—3|<|2—5],所以點(diǎn)打與點(diǎn)￡

的“切比雪夫距離”為|2—5|=3,記為d(Pi，B)=3.

(1)已知點(diǎn)A(O,/),B為re軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

①若d(AB)=3,寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②直接寫出d(4B)的最小值

(2)求證:對(duì)任意三點(diǎn)4B,。，都有d(A,C)+d(C,B)>d(AB)；

(3)定點(diǎn)C(g,%),動(dòng)點(diǎn)。(外夕)滿足磯C,P)=r(r>0),若動(dòng)點(diǎn)P所在的曲線所圍成圖形的面積是36,求r

的值.

題目⑦(2024?上海黃浦?高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試)定義:若橢圓C：4+￡=l(a>6>0)上的兩個(gè)點(diǎn)

ab

明),取電,物)滿足弩+瞥=0,則稱AB為該橢圓的一個(gè)“共軌點(diǎn)對(duì)”，記作[AB].已知橢圓。的

a~b

一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為E(—22,0),且橢圓。過點(diǎn)A(3,l).

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求“共軌點(diǎn)對(duì)”[AB]中點(diǎn)B所在直線I的方程；

(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P,Q在橢圓。上，且PQ〃。4,(2)中的直線Z與橢圓。交于兩點(diǎn)BP?，且5點(diǎn)的

縱坐標(biāo)大于0,設(shè)四點(diǎn)在橢圓。上逆時(shí)針排列.證明：四邊形BFBQ的面積小于8V3.

???

考點(diǎn)八:概率與統(tǒng)計(jì)新定義

題目切在平面直角坐標(biāo)系，中，設(shè)點(diǎn)集4=｛（0,0）,（1,0乂2,0）「-，（九,0）｝，&=｛（0,1）,（%1）｝，&=｛（0,

2）,（1⑵,（2,2）,……，伍,2）｝,mCN*.令峪=4U&Ua.從集合跖中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X

表示它們之間的距離.

⑴當(dāng)口=1時(shí)，求X的概率分布；

（2）對(duì)給定的正整數(shù)n（n>3），求概率P（X4九）（用口表示）.

題目區(qū)（2024?河北?高三雄縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）在信息論中，燧（entropy）是接收的每條消息中包含

的信息的平均量，又被稱為信息燧信源燧平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件樣

本或特征.（焙最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因?yàn)樵诫S機(jī)的信源的嫡越大）來自信源的另

一個(gè)特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當(dāng)它發(fā)生了，會(huì)提供更多的信息.由于

一些其他的原因,把信息（嫡）定義為概率分布的對(duì)數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個(gè)事件的

信息量構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)變量，這個(gè)隨機(jī)變量的均值（即期望）就是這個(gè)分布產(chǎn)生的信息量的平均值（即”商）.

端的單位通常為比特，但也用Sh、nat、Hart計(jì)量,取決于定義用到對(duì)數(shù)的底.采用概率分布的對(duì)數(shù)作為信

息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了IS/i的信息，而擲機(jī)次就為小位.更一般地,你需要

用log2n位來表示一個(gè)可以取n個(gè)值的變量.在1948年,克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學(xué)的燧，引入到信息

論，因此它又被稱為香農(nóng)滴.而正是信息帽的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯?麥克斯韋為了說明

違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的麥克斯韋妖理論被推翻.設(shè)隨機(jī)變量￡所有取值為1,2,…，九，定義￡

的信息崎=—,匯舄=i,i=i,2,…,/

（1）若九=2,試探索W的信息嫡關(guān)于H的解析式,并求其最大值；

（2）若丹=呂=/，Pk+1=2Pk（k=2,3,…,n）,求此時(shí)的信息嫡.

2

???

［題目①(2024?北京?高三階段練習(xí))設(shè)離散型隨機(jī)變量X和y有相同的可能取值,它們的分布列分別為

72TI

P^X—a^—xk,P(y=Q?！獃k,軟>0,%>0,k=1,2,…,可>^軟=汰=1.指標(biāo)。(X||y)可用來刻畫

k=lk=l

x和y的相似程度，其定義為n(x||y)=之>由也.設(shè)x~Bgp),o<P<i.

念練

(1)若Y-B(n,q),0<q<1,求D(X\\Y)；

(2)若n=2,P(y=%—1)=5#=1,2,3,求。伊||丫)的最小值；

O

(3)對(duì)任意與x有相同可能取值的隨機(jī)變量y,證明：o(x|*)>o,并指出取等號(hào)的充要條件

［題目］?（2024?山西朔州?高三校考開學(xué)考試）某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)g（i=1,2,…,20）和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)僅

(i=l,2,-,20)如下表:

學(xué)生編號(hào)i12345678910

數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?00999693908885838077

知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)?nèi)?9016022020065709010060270

學(xué)生編號(hào)i11121314151617181920

數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?5747270686660503935

知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)?nèi)?535405025302015105

20

計(jì)算可得數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值是元=75,知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均值是歹=90,并且￡（色一可2=6464,

i=l

2020

2（%一歹）2=149450,2（電一動(dòng)（加一萬）=21650.

i=li=l

（I）求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）;

⑵設(shè)NGN*,變量力和變量g的一組樣本數(shù)據(jù)為｛（電，%）|i=1,2,…,N｝,其中為（i=1,2,…,N）兩兩不相同，

%（i=1,2,…,N）兩兩不相同.記應(yīng)在｛①/"=1,2,…,N｝中的排名是第R位，%在｛外加=1,2,…,N｝中的排

名是第SM立，i=1,2,…,N.定義變量力和變量y的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（記為p）為變量力的排名和變量y的

排名的樣本相關(guān)系數(shù).

AN

⑴記4=兄-S"i=1,2,…,N.證明：p=l--------------三￡壺

7V（7V2-1）2=1

（沉）用⑴的公式求得這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”約為0.91,簡(jiǎn)述“斯皮爾

曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時(shí)的優(yōu)勢(shì).

注:參考公式與參考數(shù)據(jù).

九

「元）（仇一見

X3TV

i=l;之肥=n(n+1)(2n+1)

V—“6464x149450?31000.

In_6

\之@-前之(或-明2k=l

Vi=li=l

???

：題目回(2024?安徽合肥?合肥一六八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))在一個(gè)典型的數(shù)字通信系統(tǒng)中，由信源發(fā)出攜帶著一

定信息量的消息，轉(zhuǎn)換成適合在信道中傳輸?shù)男盘?hào)，通過信道傳送到接收端.有干擾無記憶信道是實(shí)際應(yīng)用

中常見的信道，信道中存在干擾，從而造成傳輸?shù)?/p>