高中數(shù)學知識點歸納

高中數(shù)學知識總結歸納（打印版）

引言

1.課程內容：

必修課程由5個模塊組成：

必修1:集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對、呆函數(shù)）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3：算法初步、統(tǒng)計、概率。

必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個高中學生所必須學習的。

上述內容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學基礎知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、

函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打

好基礎的同時，進一步強調了這些知識的發(fā)生、發(fā)展過程和實際應用，而不在技巧與難度上

做過高的要求。

此外，基礎內容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內容。

選修課程有4個系列：

系列1：由2個模塊組成。

選修1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數(shù)及其應用。

選修1—2：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴充與復數(shù)、框圖

系列2：由3個模塊組成。

選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、

空間向量與立體幾何。

選修2—2：導數(shù)及其應用，推理與證明、數(shù)系的擴充與復數(shù)

選修2—3：計數(shù)原理、隨機變量及其分布列，統(tǒng)計案例。

系列3：由6個專題組成。

選修3—1：數(shù)學史選講。

選修3—2：信息安全與密碼。

選修3—3：球面上的幾何。

選修3—4：對稱與群。

選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。

選修3—6：三等分角與數(shù)域擴充。

系列4：由10個專題組成。

選修4一1：幾何證明選講。

選修4—2：矩陣與變換。

選修4—3：數(shù)列與差分。

選修4一全坐標系與參數(shù)方程。

選修4—5：不等式選講。

選修4—6：初等數(shù)論初步。

選修4—7：優(yōu)選法與試驗設計初步。

選修4—8：統(tǒng)籌法與圖論初步。

選修4—9：風險與決策。

選修4—10：開關電路與布爾代數(shù)。

2.重難點及考點：

重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數(shù)

難點：函數(shù)、圓錐曲線

高考相關考點：

⑴集合與簡易邏輯：集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質、函數(shù)圖象、

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應用

⑷三角函數(shù)：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、

三角函數(shù)的圖象與性質、三角函數(shù)的應用

⑸平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、數(shù)量積及其應用

⑹不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等

式的應用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲

線的應用

⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間

向量

⑩排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用

(11)概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

?導數(shù)：導數(shù)的概念、求導、導數(shù)的應用

?復數(shù)：復數(shù)的概念與運算

高中數(shù)學必修1知識點

第一章集合與函數(shù)概念

K1.12集合

[1.1.11集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

(2)常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，。表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集.

(3)集合與元素間的關系

對象a與集合M的關系是aeM,或者。金河，兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.

③描述法：具有的性質｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合

叫做空集(0).

[1.1.21集合間的基本關系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質示意圖

(i)AcA

A^B

A中的任一元素都(2)0^A

子集(或

屬于B(3)若2口8且5口。，則/三。

0或o

B")

(4)若2口8且則/=8

AuB(1)0uZ(A為非空子集)

Z&5,且B中至

真子集(或少有一元素不屬于(2)若Nu5且5uC,則ZuC

B=)A)A

豐

A中的任一元素都

集合(I)ACB

A=B屬于B,B中的任

相等(2)BCA

一元素都屬于A

(7)已知集合Z有〃(，21)個元素，則它有2"個子集，它有2"-1個真子集，它有2"-1個非空子集，它

有2"-2非空真子集.

[1.1.31集合的基本運算

(8)交集、并集、補集

名稱記號意義性質示意圖

(1)AC\A=A

A^B{xIX￡4且(2)AH0=0

交集

X€5}(3)AC\B^AGU)

(1)A\JA=A

A^B{xIX￡4或(2)A\J0=A

并集6

X€5}(3)A\JB^A*J

—-/

且x任A}i

{X\XGU,額Nn8)=(/)u(膽)

補集

瘠(/UB)=(")n(*)2NU@/)=Uo

【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

(1)含絕對值的不等式的解法

不等式解集

|x|<a(a>0){x\-a<x<a}

|x|>a{a>0)x\x<-a^x>a}

把QX+b看成一個整體，化成

\ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)

|x|〉a(a〉0)型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

A=Z>2-4ac

二次函數(shù)一4

y=ax2+bx+c(a>0)

的圖象

一元二次方程-b+yJb2-4ac

2—一

2b

ax+bx+c=0(a>0)再="一五無實根

(其中X]</)

的根

2

ax++。>0（。>0）.b、

{x|X<再或X〉x}{fxx^--}R

22a

的解集

ax2+bx+c<0（。>0）

{xI%1<x<x2}00

的解集

Kl.22函數(shù)及其表示

[1.2.1]函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設Z、8是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應法則/,對于集合Z中任何一個數(shù)x,在集合3中

都有唯一確定的數(shù)/(x)和它對應，那么這樣的對應(包括集合2,8以及Z到3的對應法則/)叫

做集合Z到8的一個函數(shù)，記作f

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應法則.

③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).

(2)區(qū)間的概念及表示法

①設是兩個實數(shù)，且滿足的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做[。,切；滿足a<x<6

的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b)；滿足aWx<6,或a<x<6的實數(shù)x的集合叫做半開半閉

區(qū)間，分別記做[a,6),(a,b]；滿足x?a,x〉a,xV6,x<b的實數(shù)x的集合分別記做

[a,+oo),(a,+oo),(-c?,b],(-c?,b).

注意：對于集合｛x[a<x<b｝與區(qū)間伍力)，前者a可以大于或等于6,而后者必須

a<b,(前者可以不成立，為空集；而后者必須成立).

(3)求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①/(x)是整式時，定義域是全體實數(shù).

②/(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù).

③/(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合.

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1.

⑤y=tanx中，xw左〃'+萬(左eZ).

⑥零(負)指數(shù)幕的底數(shù)不能為零.

⑦若/(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的

定義域的交集.

⑧對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知/(X)的定義域為［生加，其復合函數(shù)/［g(x)］的

定義域應由不等式a<g(x)<b解出.

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論.

⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個

最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是相同的，只是

提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的

值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)y=/(x)可以化成一個系數(shù)含有y的關于x的二次方程

a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,則在a(y)wO時，由于為實數(shù)，故必須有

A=62(J)-4?(J)-C(J)>0,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉化為

三角函數(shù)的最值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調性法.

［1.2.2］函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之

間的對應關系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.

(6)映射的概念

①設2、8是兩個集合，如果按照某種對應法則/,對于集合Z中任何一個元素，在集合3中都有

唯一的元素和它對應，那么這樣的對應(包括集合2,8以及Z到8的對應法則/)叫做集合2到8

的映射，記作f8.

②給定一個集合Z到集合3的映射，且aeZ/eB.如果元素a和元素6對應，那么我們把元素6叫

做元素a的象，元素a叫做元素6的原象.

K1.32函數(shù)的基本性質

［1.3.1］單調性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質

如果對于屬于定義域I內(1)利用定義

某個區(qū)間上的任意兩個(2)利用已知函數(shù)

/

y=nx)^

自變量的值X］、X2,當/的單調性

f(x2)

x時，都有f(X1)<f(x),

??一f(xj(3)利用函數(shù)圖象

那么就說f(X)在這個區(qū)(在某個區(qū)間圖

0

Xix2X

間上是單手教.象上升為增)

函數(shù)的(4)利用復合函數(shù)

單調性(1)利用定義

如果對于屬于定義域I內

(2)利用已知函數(shù)

某個區(qū)間上的任意兩個

y=f(x)

y的單調性

自變量的值X1、X”當

f(x,)X.

(3)利用函數(shù)圖象

x?時,都有f(x})>f(x2),

(在某個區(qū)間圖

0

那么就說f(x)在這個區(qū)X.X2x

象下降為減)

間上是誠手數(shù)

(4)利用復合函數(shù)

②在公共定義域內，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為

增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).

③對于復合函數(shù)y=/［g(x)］,令，/=g(x),若y=/(M)為增，M=g(x)為增，則y=/［g(x)］為增;

若y=/(M)為減，M=g(x)為減，則了=/［g(x)］為增；若

y=/(M)為增，M=g(x)為減，則,V=/［g(x)］為減；若

V=/(M)為減，M=g(x)為增，則y=/［g(x)］為減.

(2)打"J”函數(shù)/(x)=x+3(a〉0)的圖象與性質

X

/(X)分別在(-叫-G］、［、份,+8)上為增函數(shù)，分別在

［-G,o)、(o,JZ］上為減函數(shù).

(3)最大(小)值定義

①一般地，設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：(1)對于任意的xe/,都有

(2)存在/e/,使得/(%)=朋\那么，我們稱M是函數(shù)/(x)的最大值，記作/11ax(x)=M.

②一般地，設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)加滿足：(1)對于任意的xe/,都有

(2)存在使得/(%)=加.那么，我們稱冽是函數(shù)/(x)的最小值，記作

[1.3.2]奇偶性

(4)函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質

如果對于函數(shù)f(x)定義(1)利用定義(要

y

域內任意一個X,都有(a,f(a))先判斷定義域是否

l/T.

*丁4萬：￡W)，那么函數(shù)-a關于原點對稱)

oax

f(x)叫做奇酉朗.(2)利用圖象(圖

(-a,f(~a))

函數(shù)的象關于原點對稱)

奇偶性如果對于函數(shù)f(X)定義(1)利用定義(要

y

域內任意一個X,都有先判斷定義域是否

(a,f(a))

(-a,fSLx

f(：x)=f,那么函數(shù)關于原點對稱)

f(x)叫做假函數(shù).-aoax(2)利用圖象(圖

象關于y軸對稱)

②若函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則/(0)=0.

③奇函數(shù)在y軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個偶函數(shù)(或

奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).

K補充知識1函數(shù)的圖象

(1)作圖

利用描點法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式;

③討論函數(shù)的性質(奇偶性、單調性)；④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本

初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

y=f(x)煽鬻漓j=/(x+/z)j=f(x)篙蓄你j=f(x)+k

JJ''力<0,石移|川，|甲僅.J"'''J、'左<0,卜枝因個串位‘'

②伸縮變換

伸

J=/(X)O<G<1,

0>1,縮〃=/(儂)

y=/（x）啜背->J=*（X）

③對稱變換

y=/(x)了軸=f(-x)

y=/（x）直線尸">y=/T（x）

y=/(x)一風3］，=-f(-x)

去掉y軸左邊圖象

y=/(x)保留y軸右邊圖象，并作其關于〉軸對稱圖象>歹=/(回)

保留x軸上方圖象

J=/(X)將蔣由下方圖象翻折上去

（2）識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義

域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系.

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質，為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑,

獲得問題結果的重要工具.要重視數(shù)形結合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)（I）

K2.13指數(shù)函數(shù)

[2.1.1）指數(shù)與指數(shù)塞的運算

（1）根式的概念

①如果x"=a,aeR,xeR,n>1,且〃eN+，那么x叫做a的〃次方根.當n是奇數(shù)時，a的〃次

方根用符號后表示；當〃是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的〃次方根用符號而表示，負的〃次方根用符號-布

表示；0的〃次方根是0；負數(shù)a沒有〃次方根.

②式子后叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).當〃為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；當〃為

偶數(shù)時，a>0.

③根式的性質：而）"=a當〃為奇數(shù)時，歸=a；當〃為偶數(shù)時，

(?>0)

(a<0)

(2)分數(shù)指數(shù)幕的概念

m__

①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)幕的意義是：而(〃>0,加,〃￡N+，且〃〉1).0的正分數(shù)指數(shù)幕等于

0.

m1mI~~i

②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)幕的意義是：/7=(—尸=《(一r(a>0,加,〃eN+，且〃〉1).0的負分數(shù)

a\a

指數(shù)惠沒有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分數(shù)指數(shù)幕的運算性質

r+srs

①/?</=a(a>0,r,5eR)②(a'),=a(a>Q,r,sER)

③(ab)，=a'b'\a>Q,b>0,reJ?)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質

(4)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=a(a>0且aw1)叫做指數(shù)函數(shù)

a>\0<Q<1

歹|尸//\y=ax|7

J=l\l(。，1)

上土Jzll…u

(0,1)

圖象

°\JO\Z

定義域R

值域(0,+8)

過定點圖象過定點(0,1),即當x=0時，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

ax>\(%>0)ax<1(x>0)

函數(shù)值的

ax=l(x=0)ax=l(x=0)

變化情況

ax<1(x<0)ax>1(x<0)

a變化對圖象的影響在第一象限內，a越大圖象越高；在第二象限內，a越大圖象越低.

^2.23對數(shù)函數(shù)

[2.2.11對數(shù)與對數(shù)運算

(1)對數(shù)的定義

①若/=N(a〉O,且awl),則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=log“N,其中a叫做底數(shù)，N叫

做真數(shù).

②負數(shù)和零沒有對數(shù).

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=logflN=a，=N(a〉0,aN1,N〉0).

(2)幾個重要的對數(shù)恒等式

b

logfl1=0,logaa=\,logfla=b.

(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：IgN,即logi°N；自然對數(shù)：InN,即log?N(其中e=2.71828…).

(4)對數(shù)的運算性質如果a〉0,awl,M>0,N〉0,那么

M

①加法：logflM+logaN=loga{MN}②減法：logaM-log”N=log”w

n0SaN

③數(shù)乘：nlogaM=\ogaM(n^R)@a'=N

⑤10gz.M"⑥換底公式：log,N=^^3〉0,且bwl)

"blogja

【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質

(5)對數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=log。x(a〉0且aw1)叫做對數(shù)函數(shù)

圖象Q〉10<。<1

y1

yf「1J=sg"%|ry=iogflx

\a，。).

o/(i,o)x

定義域(0,+8)

值域R

過定點圖象過定點(1,0),即當x=l時，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+00)上是減函數(shù)

logaX>0(x>l)logax<0(x>l)

函數(shù)值的

logax=0(x=l)logax=0(x=l)

變化情況

logax<0(0<x<1)logax>0(0<x<1)

a變化對圖象的影響在第一象限內，a越大圖象越靠低；在第四象限內，a越大圖象越靠高.

(6)反函數(shù)的概念

設函數(shù)y=/(x)的定義域為Z,值域為C,從式子y=/(x)中解出X,得式子x=°(y).如果對

于y在C中的任何一個值，通過式子x=°(y),x在Z中都有唯一確定的值和它對應，那么式子

x=9(y)表示x是歹的函數(shù)，函數(shù)x=°(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記作x=/T(y),習慣上改

寫成尸尸(x).

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出x=/T(y)；

③將x=/73)改寫成^=/一|1)，并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質

①原函數(shù)歹=/(x)與反函數(shù)^=/T(X)的圖象關于直線y=x對稱.

②函數(shù)y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=/T(x)的值域、定義域.

③若P(a,6)在原函數(shù)^=/(x)的圖象上，則尸’("。)在反函數(shù)^=/T(X)的圖象上.

④一般地，函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必須為單調函數(shù).

K2.33塞函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x“叫做幕函數(shù)，其中x為自變量，1是常數(shù).

(3)幕函數(shù)的性質

①圖象分布：幕函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.幕函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第

一、二象限(圖象關于y軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非

偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限.

②過定點：所有的幕函數(shù)在(0,+勾)都有定義，并且圖象都通過點(1,1).

③單調性：如果a>0,則幕函數(shù)的圖象過原點，并且在［0,+oo)上為增函數(shù).如果a<0,則幕函數(shù)的圖

象在(0,+8)上為減函數(shù)，在第一象限內，圖象無限接近x軸與y軸.

④奇偶性：當戊為奇數(shù)時，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當a為偶數(shù)時，幕函數(shù)為偶函數(shù).當。=旦(其中“q互

P

￡￡

質，?和qeZ),若夕為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則>=%"是奇函數(shù)，若夕為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則y=x"是偶

￡

函數(shù)，若P為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則y=x"是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：基函數(shù)y=》0,》6(0,+00),當a>l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x下方，若x>l,

其圖象在直線y=x上方，當a<l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x上方，若x>l,其圖象在直線

y=x下方.

［補充知識］］二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：+bx+c(awO)②頂點式：/(x)=a(x-/z)2+左(a00)③兩根式：

/(x)=o(x-x1)(x-x2)(a^0)(2)求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式.

②己知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關時，常使用頂點式.

③若已知拋物線與X軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求/(X)更方便.

(3)二次函數(shù)圖象的性質

①二次函數(shù)/1)="2+區(qū)+0(。70)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為x=-2,頂點坐標是

2a

b4ac-b2

②當a>0時，拋物線開口向上，函數(shù)在(-00,-2］上遞減，在［-2,+00)上遞增，當x=-2時，

2a2a2a

4etc——hh

盤1a)=*；當Q<O時，拋物線開口向下，函數(shù)在(—8,—二］上遞增，在［_二,+8)上遞減,

4a2a2a

*6.4ac-b-

=3X=----時tH，f（X）=--------

CJ，A

2amax\4a

③二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(aw0)當A=〃-4ac>0時，圖象與x軸有兩個交點

1?1

(4)一元二次方程ax?+/zx+c=0(。w0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不

夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理(韋達定理)的運用,

下面結合二次函數(shù)圖象的性質，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布.

設一元二次方程a/+區(qū)+。=0(。。0)的兩實根為國,工2,且再4%2.令/(x)=a/+bx+c,從以

下四個方面來分析此類問題：①開口方向：a②對稱軸位置：%=-—③判別式：A④端點函數(shù)

2a

值符號.

④抬無2<發(fā)20

⑤有且僅有一個根X］(或左)滿足抬V%(或％2)<k2=M)M)<0,并同時考慮了(抬)=0

或fg=0這兩種情況是否也符合

⑥左1<工1<左2W“Vx2Vp2o

此結論可直接由⑤推出.

(5)二次函數(shù)/(x)=a/+樂+0(。。0)在閉區(qū)間［p,g］上的最值

設/(%)在區(qū)間［p,q］上的最大值為M,最小值為加，令/

(I)當。>0時(開口向上)

②若p<一-—,則加=/(一--)③若一-->q,則加=/(q)

2a2a2a

(II)當a<0時(開口向下)

①若-----<p,則M=f(/?)②若pV------Qq,則M=f(------)③若----->q,則M=f(^)

2a2a2a2a

第三章函數(shù)的應用

一、方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y=/（x）（xe。），把使/（x）=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)

y=f(x)(xeD)的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)y=/（x）的零點就是方程/（x）=0實數(shù)根，亦即函數(shù)y=/（x）的圖象

與x軸交點的橫坐標。即：

方程/（x）=o有實數(shù)根=函數(shù)y=/（X）的圖象與X軸有交點=函數(shù)y=/（X）有零點.

3、函數(shù)零點的求法：

求函數(shù)y=/（X）的零點：

①（代數(shù)法）求方程/（X）=0的實數(shù)根；

②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)>=/（X）的圖象聯(lián)系起來，并利用

函數(shù)的性質找出零點.

4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aw0）.

1）△>0,方程辦2+bx+c=0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次函數(shù)

有兩個零點.

2）△=0,方程ox?+bx+c=0有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點,

二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

3）△<0,方程以2+Z?x+c=0無實根，二次函數(shù)的圖象與X軸無交點，二次函數(shù)無零點.

高中數(shù)學必修2知識點

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結構特征

E'D"

底面

(1)棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,

由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱4BCDE-Z'8'C'DE'或用對角線的端點字母，如五棱柱

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于

底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐尸-ZZ'C力Z'

幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高

的比的平方。

(3)棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺P—A'B'C'D'E'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖是一個矩形。

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形。

(6)圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側面母線交于原圓錐的頂點；③側面展開圖是一個弓形。

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

(1).平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸;

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度不變;

（3）.畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

3圓錐的表面積5=獷/+"2

2圓柱的表面積S=2加7+2加，

4圓臺的表面積5=勿"+亞2+成/+成25球的表面積5=4成2

（二）空間幾何體的體積

1柱體的體積%=5底乂力2錐體的體積%=；5底乂力

3臺體的體積3=；（S上+,5上5下+5下）義力4球體的體積

4,

V=-7iR3

3

第二章直線與平面的位置關系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如

圖）

（2）平面通常用希臘字母