立體幾何壓軸小題（體積、角度、外接球等）九大題型-2025年高考數(shù)學重難點題型突破（解析版）

重難點專題32立體幾何壓軸小題(體積、角度、外接球等)九大題

型匯總

題型1體積最值..................................................................1

題型2線線角最值取值范圍........................................................8

題型3線面角最值取范圍.........................................................20

題型4面面角最值取值范圍.......................................................31

題型5外接球問題...............................................................40

題型6外接球截面相關...........................................................48

題型7正方體截面相關...........................................................56

題型8代數(shù)式最值取值范圍.......................................................68

題型9向量相關最值取值范圍.....................................................79

題型1體積最值

【例題1](2021?全國?高三專題練習)在棱長為3的正方體A8CD-A/iGA中，E是

的中點，P是底面4BCD所在平面內一動點，設PDi,PE與底面4BCD所成的角分別為的，92

(W均不為0),若％=&，則三棱錐P-BBiQ體積的最小值是

【答案】C

【解析】通過建系如圖，利用cos%=cos”,結合平面向量數(shù)量積的運算計算即得結論.

【詳解】解：建系如圖，?.?正方體的邊長為3,貝!]E(3,0,1),D^O,0,3),

設P(x,y,0)(x>0,y>0),則而=(3—久，―y,},西=(-x,—y,3),

,Jd=%，m=（0,。，1）i

cos?！?cos%,即品I兩團

西I?同

代入數(shù)據(jù)，得：I:q3

22

J(3-x)2+y2+-y/x+y+9

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整理得：X2+y2-8x+12=0,

變形，得：(￡—4)2+y2=4(04y42),

即動點P的軌跡為圓的一部分，

過點P作PF1BC,交BC于點F,則PF為三棱錐P-8B1G的高

.?點P到直線4。的距離的最大值是2.

貝UPFmin=3-2=1?

119

'''=2,BB].8ICI=IX3X3=5

1193

X1X=

?1?匕-BB1cl=W.PF.SABB1cl=222

【點睛】本題考查平面與圓柱面的截線，建立空間直角坐標系是解決本題的關鍵，注意解題

方法的積累，屬于中檔題.

【變式1-1]1.（2021?全國?校聯(lián)考二模）在長方體4BC0-4祖C也中,AB=4,BC=

3,=5,M,N分別在線段44]和4C上,\MN\=2,則三棱錐。-MNC1的體積最小值為

A.4B.3&-1C.4V3-2D.6&-4

【答案】A

【分析】此三棱錐中點D到平面MNC1的距離為定值￡,只要C1到MN的距離最小，則

△MNC1的面積最小，則三棱錐D-MNC1的體積最小.

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【詳解】如圖，面MNC1就是平面ACC1A1,因此D點到面MNC1的距離為定值裝，由

題意4CG&是正方形，由對稱性知當M（或N）與4重合時,G到直線MN的距離最小，最

小值為5,此時53順=|x2x5=5,■--VD_MNCi^=Jx5x=4.

故選A.

【點睛】最值問題求法很多，如用代數(shù)知識建立函數(shù)，用基本不等式，解不等式等是常用方

法，有時也可利用共線求距離最短，通過運動軌跡求最值等.

【變式1-1]2.（2021?全國?高三專題練習）如圖，已知直四棱由IBC。-&B1GD1的所有

棱長等于1MBC=60。,。和。1分別是上下底面對角線的交點〃在線段。Bi上,OH=3HB1,

點M在線段BD上移動,則三棱錐M-GOiH的體積最小值為

【絞案]立

1口木」48

【分析】因為C1到平面BB1D1D（即三棱錐底面O1MH）的距離為定值，所以當^OIMH

的面積取得最小值時，三棱錐M-的體積最小,將平面BB1D1D單獨畫圖可得，當

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點M在點B處時，AQIMH的面積有最小值，求出三棱錐G-01MH的體積即可.

【詳解】因為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形/ABC=60。,邊長為1,

.Q1C1J_平面BB1D1D，且01Cl=i,01Bl^^,

.-.Cl至I」平面BB1D1D的距離為O1C1=]

?.OH=3HB1，點M是線段BD上的動點,

..當AO1MH的面積取得最小值時，三棱錐C1-01MH的體積有最小值.

將平面BB1D1D單獨畫圖可得，

當B點到O1H的距離最小時，AQIMH的面積有最小值.

過點B做BF//01H,可得直線BF上方的點到01H的距離比直線BF上的點到01H的距

離小，而線段BD上除B點外的所有點都在直線BF下方，到O1H的距離比B點到01H

的距離大.

即當M點在B點時，AOIMH的面積取得最小值，且三棱錐G-01MH的體積有最小值.

連接O1B,則O1B=OB1=JP+（苧）2=日,

.'.B1到O1B的距離d=^^=孥=等，

U-yDj__7

2

■.OH=3HB1,

-H到直線01B的距離為中=等.

Z14

口

2222148'

'^C1-O^BH-^AOrBH,,1_V3

2-48?

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故答案為*.

【點睛】本題考查了四棱柱的結構特征和三棱錐的體積計算，動態(tài)動點的最值問題需要先確

定點的位置，屬于較難題.

【變式1-U3.（2023春廣東?高三校聯(lián)考階段練習）設“，N,P分別是棱長為2的正方

體A8CD-的棱CD,GA,A%的中點，R為BD上一點,且R不與。重合，且M,

N,P,R在同一個表面積為S的球面上，記三棱錐N-MPR的體積為U，則*的最小值是.

【答案】卦

【分析】建立空間直角坐標系，先依據(jù)題給條件求得*的表達式，再利用導數(shù)即可求得其最

小值

【詳解】設M,N,P,R所在球面球心為O,取MP中點I,連接01,OP,OR

則I為AMNP外接圓圓心，01，平面MNP,

以D為原點，分別以DA,DC,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系

則,P(2,l,2)

設0(l,t,l),R(n,n,0),(0<n<2)

則由。P=OR可得，Jl+(1-t)2+1=7(1-n)2+(n-t)2+1

整理得t=,

?S_6叩+(1一臉尸)2]

人」V|x|x2x2|n-l|\n-l\

令n-1=k,則一1<k<0或0Vk

貝哈=渭2,-1<fc<OngO</c<1

令/(x)=|n.(4x+：+6(0O

則?㈤=|TT.(4一2_分=.弋丁一)4(0<比w1)

當0<%W1時,r(x)<0"(%)單調遞減；

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則當X=1時，/（X）取得最小值

故答案為：yn

【變式1-U4.（2020?全國?高三競賽）一個圓錐和一個圓柱，下底面在同一平面上，它們

有公共的內切球.記圓錐的體積為明，圓柱的體積為/，且％=k%.則k的最小值是.

【答案】：

【詳解】取它們的公共軸截面,如圖所設，則r=上，「=Rtge,h=r1tg29.

3

若匕=kV2,貝11有:兀rj-rrtg20=2nr^-ktg6.

化簡得3ktg&e—3kgtg26+1=0.

因為場8為實數(shù)，故/=9k2-12k>0.

但k>0,故k>消k=料，可得tg。=亨，原題有意義.所以，k的最小值是:

故答案為:

A

B

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【變式1-1]5<2021福建統(tǒng)考一模況圖在四棱錐E-A8CD中,EC1底面ABC。,FD//EC,

底面ABCD為矩形,G為線段4B的中點,CGLDG,CD=2,DF=CE,BE與底面ABC。所

成角為45。，則四棱錐E-力BCD與三棱錐F-CDG的公共部分的體積為.

【分析】GF與2E的交點為M,CF與DE的交點為N，連接MN,DM,EF，可得M、N是位置，

推出SMMN=，SMGC，把四棱錐E-4BCD與三棱錐F-CDG的公共部分的體積轉化為

|/YDG求解.

【詳解】解：如圖，GF與4E的交點為M,6與DE的交點為N,連接MN,DM,EF,

在四棱錐E-ABC。中，EC1底面ABC。，F(xiàn)D//EC,底面4BCD為矢巨形，DF=CE,所以四

邊形DFEC為平彳亍四邊形,所以EF//DC,S.EF=DC,

所以EF〃4B,S.EF=AB,AB=CD=-2,G為線段48的中點，CG1DG,4G=1,所以

DG=s/2,所以4。=BC=1,

???BE與底面ABC。所成角為45。,即ZEBC=45°,CE=BC=1,

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???GM:MF=AG:FE=1:2,N是尸C的中點，

11711

???SAMFN=\FM-FN-sin乙MFN=*-G?sin/MFN=|SAFGC,

則四棱錐E-ABC。與三棱錐尸-CDG的公共部分的體積為/_MNCG=|^D-FGC=3X3X

-1xr2xlaxl?=-2.

29

故答案為：!.

題型2線線角最值取值范圍

#占

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸

為共面問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計算：求該角的值，常利用解三角形；

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（0,3,當所作的角為鈍角時，應取它的補角作

為兩條異面直線所成的角.

【例題2]（2023?全國?高三專題練習）在三棱錐力-BCD中，BC==AC=4。=10,

力8=6,CD=16，點P在平面4CD內,S.BP=V30，設異面直線BP與CD所成角為a，則sina

的最小值為（）

3VioBVio02乘D"

?101055

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【答案】A

【分析】取CD中點K,易得三角形為正三角形，取ZK中點。，可證3。，平面ZCD,進

而確定點尸的位置，求得最小值.

【詳解】取中點K,連接ZK,BK,

?.?BC=BD=AC=AD=10,CD=16,

AK=BK=6,

vAB—6,

???/ZBK為正三角形，

取AK中點。，連接B。,

則B。1AK,且B。=3V3,

易知CD1平面ABK,

???CD1BO,???BO1平面AC。,

VBP=屈，：.P在圖中圓。上，

當P與G,H重合時，sina=1最大，

當P與M,N重合時，sina=篇=最小.

故選：A.

【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，線面垂直等知識，考查空間想象能力和運算求解

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能力，是中檔題.

【變式2-1]1.（2022?全國?高三專題練習）如圖，矩形4BCD中,AB=^,BC=2,￡為邊

4B的中點，沿OE將2MDE折起，點4折至4處（4任平面A8CD）,若M為線段&C的中點，

則在/ADE折起過程中，下列說法錯誤的是（）

A.始終有MB〃平面&DE

B.不存在某個位置，使得&C1平面&DE

C.三棱錐&-ADE體積的最大值是手

D.一定存在某個位置，使得異面直線BM與&E所成角為30°

【答案】D

【分析】利用翻折前后的不變量、結合反證法，可證A,B,C正確，從而利用排除法得到

正確選項。

【詳解】連結4C交DE于N,取CD的中點。，連結OM,OB,&N。

對A,易證,平面。M8〃平面&DE,BMu平面。MB,所以始終有MB〃/平面41DE,故A

正確；

對B,因為48=4,BC=2,假設&C_L平面&DE,貝！]4母1ArD,4C1ArE,則CD?_

222

A1D=CE-A±E0CD=CE,因為CD=4,CE=2&,所以CO=DE不成立，所以假設

錯誤，故不存在某個位置，使得&C1平面&DE，故B正確；

對C,當平面&DE1平面2BC0時，三棱錐4—40E的體積最大,V=/SAADE

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2?2）?魚=乎，故C正確；

故選：D

【點睛】本題考查空間平面圖形的翻折問題，考查線面、面面位置關系、體積求解，考查空

間想象能力和運算求解能力，屬于較難問題。

【變式2-1]2.（2021?全國?高三專題練習）如圖，已知等邊三角形A8C中，48=4C,。為

BC的中點，動點P在線段。8上（不含端點），記乙4PC=9，現(xiàn)將/4PC沿2P折起至zMPC"

記異面直線BC'與2P所成的角為a,則下列一定成立的是

A.0>aB.0<aC.9+a>-D.9+a<-

22

【答案】A

【詳解】設正三角形的邊長為2a,

如圖，在等邊三角形力BC中，過C作AP的垂線，垂足為E,

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過B作BF1CE,垂足為尸,

因為NAPC=e,貝II。e?A)，且PD=洛，故CP=當+a,

\32/tantztant/

所以CE=CPXsin0=+a)Xsin0=(V3cos0+sin0)a,

CF—2asin0,故EF=(sin0—V3cos0)a,又BF—2acos0.

將2Mpe沿AP折起至zMPC',貝!JC'F<CE+EF=CF=2asin8.

因LAP,EFlAP,EFdC'E^E,故AP，平面,

||AP,故BFJ_平面C'EF,C'Fu平面C'EF,

所以BF1C'F,又NC'BF為異面直線8C：4P所成的角，

而tana=tanAC'BF=篝<；；：北=tan。,因aae(0,。,故0>a,

故選A.

【點睛】折疊過程中空間中角的大小比較,關鍵是如何把空間角轉化為平面角，同時弄清楚

在折疊過程各變量之間的關系(可利用解三角形的方法來溝通)，此類問題為難題，有一定

的綜合度.

【變式2-1]3.(2020?全國?高三專題練習)將正方形ABCD沿對角線AC折起，并使得平面

48C垂直于平面4CD,直線48與CD所成的角為

A.90°B,60°C.45°D.30°

【答案】B

【分析】將異面直線平移到同一個三角形中，可求得異面直線所成的角.

【詳解】如圖，取",BD,4。的中點，分別為。,M,N,

則ON||(CD,MN||IAB,所以NONM或其補角即為所求的角.

因為平面力BC垂直于平面AC。,BO1AC,所以B。_L平面力CD,所以8。1OD.

設正方形邊長為2,OB=OD=&,所以BD=2,貝!jOM=^BD=1.

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所以。N=MN=?！?1.所以4OMN是等邊三角形，乙ONM=60°.

所以直線4B與CD所成的角為60。.故應選B.

【點睛】本題考查異面直線所成的角.

【變式2-1]4.（2021?浙江?校聯(lián)考二模）如圖，正方體48。。出小。m1的棱長為1,線

段歷久上有兩個動點E,F,且EF=0.6,則當E,F移動時，下列結論中錯誤的是（）

A.4E〃平面

B.四面體AC￡T的體積為定值

C.三棱錐QBEF的體積為定值

D.異面直線4F、BE所成的角為定值

【答案】D

【分析】對于A,利用面面平行的判定定理先證得面ABi%〃面的80,從而得到4E〃平面

C\BD；

對于BC,通過計算四面體力CEF的體積、三棱錐Q8EF的體積，即可判斷；

對于D,作出兩個特殊情況的圖形，由圖形易知異面直線4F、BE所成的角不為定值.

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【詳解】對于A,如圖1,因為在正方體ABCO-AiBiCiOi中,B\CJ/AD,B^AD,

所以四邊形為。1。4是平行四邊形，故CiZV/ABi,

又因為ClDu面CiBD,4%心面QB。，所以面，

同理:%以〃面的BD,又Bi%u面4比方,

所以面4%歷〃面C/D,

因為AEu面,因此AE〃平面C/。，所以A中結論正確；

C,_______5,

/

對于B,如圖1,連結B0CL4C=。，貝!]

因為在正方體ABCD-4181cl為中,8%_1_面4BCD,故附_1_4。,

在底面正方形ABCD中，BD±AC,又BB1nBD=B,BBj_、BDu面兩小。,

所以力C_L面,即。。_1_面BBiDi。,

XXC

所以%-CEF=%-4EF=§5必￡尸。。=32^A-B1D1xEfxC。為定值，所以B中結論正確；

對于C,利用B中的結論得力-BEF=IxIxBBixEFxA。為定值，所以C中結論

正確；

對于D,如圖2，當尸與小重合時，過久作DiG〃BE，則N力DiG為異面直線4F、BE所成角，

如圖3,當F與藥重合時，過力作D1GJ/BE,易證DiQ〃4iP//4Bi,貝IkQOiGi為異面直線

AF.BE所成角,

由圖形易知NADlG/NQDiGi,故異面直線4F、BE所成的角不是定值，因此D中結論錯誤.

故選：D.

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【點睛】立體幾何中定值或定位置問題，其基本思想方法是以算代證，或以證代證，即從條

件出發(fā)，計算所求體積或證線面平行與垂直關系彳導到結果為定值或位置關系為平行或垂直.

【變式2-1】5.（2020?全國?高三專題練習）將正方形ABCD沿對角線4c折起，當以

四點為頂點的三棱錐體積最大時，異面直線4。與BC所成的角為

A.-B-C.-D.-

6432

【答案】C

【詳解】分析：將正方形ABC。沿對角線AC折起，可得當三棱錐B-力CD體積最大時，BO1

平面AOC.設夕是B折疊前的位置，連接B'B，可得就算直線4。與BC所成角，算出48B（

的各邊長,得/BBC是等邊三角形，從而求得直線XD與BC所成角的大小.

詳解：設。是正方形對角線&C、BD的交點，將正方形力BCD沿對角線4C折起,

可得當B。，平面4DC時，點B到平面ADC的距離等于80,而當8。與平面4DC不垂直時，點

8到平面ADC的距離為d，且d<BO，由此可得當三棱錐8-AC。體積最大時,BO1平面2DC.

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設是B折疊前的位置，連接夕B,因為4。||B'C,所以NBC9就算直線2。與8C所成角，設

正方形的邊長為a,因為8。1平面4DC,OB'u平面力DC,所以8。1OB',

因為B。'=8。=|XC=^a,所以88'=BC=B'C=a,

得/BB'C是等邊三角形，NBCB'=g,

所以直線力。與BC所成角為g,故選C.

點睛：該題所考查的是有關平面圖形的翻折問題，解決該題的關鍵是要明確翻到什么程度是

題中的要求，因為底面是定的，所以高最大時就是三棱錐體積最大時，即翻折成直二面角時

滿足條件,之后將異面直線所成角轉化為平面角，即三角形的內角來解，求出三角形的各邊

長,從而求得角的大小.

【變式2-1]6.（2021?全國統(tǒng)考一模）如圖所示的四棱錐P-4BCD中，底面ABCD與側面

PA。垂直,且四邊形為正方形,AD=PD=PA,點E為邊4B的中點，點尸在邊8P上,

且股=[BP過C,E尸三點的截面與平面PAD的交線為1,則異面直線PB與1所成的角為（）

【答案】D

【分析】由條件證明SBLDM,DMVPA,由此證明。M1平面248,再證明由此證

明/〃PB,再確定異面直線PB與1所成的角.

【詳解】因為E為邊48的中點，連接CE與DA的延長線交于點H,則A為DH的中點，所

以有AD=AH.連接FE與PA的延長線交于點G,則直線GH即為過C,E,F三點的截面與

平面PAD的交線/.

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取PB的中點O,連接OE,A0.因為BF=：BP,所以BF=\B0.

所以F為B。的中點，所以FE〃OA,即FG//OA.

又易知OE〃PA.即OEllAG.

所以四邊形OEGA為平行四邊形，從而。E=AG=\PA.

過點D作DMIlGH交PA于點M.則△0MA=△HGA,

從而得到4M=AG=即M為PA的中點.又DA=DP.因此DM1PA.

又平面48CD，平面PAO,平面ABC。C平面PAD=AD,

ABLAD,ABu平面ABC。,

所以AB_L平面PAD.從而AB1DM,PA^AB=A,PA,ABu平面P4B

因此DM1平面PAB.又0M〃GH.即DM〃1,

所以I，平面PAB,又PBu平面PAB，故l_LPB,

所以異面直線PB與I所成的角為*

故選：D.

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【變式2-1]7.(2023?全國?高三專題練習)a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角

三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有

下列結論：

①當直線AB與a成60。角時，AB與b成30。角;

②當直線AB與a成60。角時，AB與b成60。角;

③直線AB與a所成角的最小值為45°;

④直線AB與a所成角的最大值為60°.

其中正確的是.(填寫所有正確結論的編號)

【答案】②③

【分析】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構建如圖所示的邊長為1的正方體，

|AC|=1,|AB|=&,斜邊AB以直線AC為旋轉軸，則A點保持不變，B點的運動軌跡是

以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建

立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果.

【詳解】解：由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，

不妨設圖中所示正方體邊長為1,

故|AC|=1,|AB|=V2,

斜邊AB以直線AC為旋轉軸，則A點保持不變,

B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，

以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，

則D(1,0,0),A(0,0,1),直線a的方向單位向量]=(0,1,0),向=1,

—>—>

直線b的方向單位向量匕=(1,0,0),|Z?|=1,

設B點在運動過程中的坐標中的坐標B'(cos0,sin0,0),

第18頁共97頁

其中e為BC與CD的夾角，e曰0,2n）,

—>—>

???AB，在運動過程中的向量,AB'=(cosO,sinG,-1),\AB'\=V2,

—>

設月夕與褊斤成夾角為a臼0,

則cosa=L，s*二>(。工。*=^|sin0|G[O,它],

\a\-\ABr\22

..aG[=,自，.?.③正確，④錯誤.

—>—?

設a與b所成夾角為pe[0,§,

->T

cosp=~~'=Ke"。，s嗎，二)",。，0)1=^|COS0|,

\ABf\-\b\\b\-\ABr\2

當京，與]夾角為60。時，即a=與，

|sin0|=y/2cosa—應cosg=--,

?.cos20+sin20=1，,cos|3=看cosB|=|,

.pe[0,=],/.p=,止匕時力臺與廟勺夾角為60°,

②正確，①錯誤.

故答案為②③.

【名師點睛】（1）平移直線法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直

線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計算：求該角的值，常利用解三角形；

第19頁共97頁

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是(0,印，可知當求出的角為鈍角時，應取它的補

角作為兩條異面直線所成的角.

(2)求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍.

題型3線面角最值取范圍

【例題3](2020?全國?高三專題練習)在正方體ABC。-a/iGA中，分別為棱44、

的中點，M為棱4當(含端點)上的任一點，則直線ME與平面AEF所成角的正弦值的

最小值為

【答案】|

【分析】建立直角坐標系，設正方體邊長為2,求出平面DEF的法向量為沅，直線ME與平

面AEF所成角為a,sina=|cos(m,FM)|=瓜J.正,因為ae[0,2],所以當a=2時，取

到最小值，代入即可.

【詳解】解：如圖，建立直角坐標系，設正方體邊長為2,AM=a,

則E(2,0,1),M(2,a,2),D(0,0,2),F(2,2,1),

設平面OEF的法向量為沅=(久，y,z),

京=(0,2,0),西=(-2,0,1),

由萬?麗=。，記.庠=。，得｛_2：；z°=0，令2=2,"1,故記=(1,0,2),

由前=(0,a,l),

設直線ME與平面所成角為a,

sina=|cos(沅薊)|=而片,

因為ae[0,2],所以當a=2時，

sina的最小值為福=|,

故答案為：|.

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【點睛】考查立體幾何中的最值問題，本題利用向量法求線面所成的角，基礎題.

【變式3-1]1.(2021?浙江紹興?校聯(lián)考二模)點P為棱長是2的正方體4BCD-

的內切球。球面上的動點，點M為81G的中點，若滿足DP1BM,則BiP與面CDP所成角的

正切值的最小值是

A-B/C.0D.包

6557

【答案】C

【詳解】分析：由題意首先確定點的軌跡，然后結合題意由幾何關系求解最小值即可.

詳解：如圖所示，￡/分別為棱的中點，易知8M1平面COEF,

則點P在平面CDEF內，又點P在內切球。球面上，

則點P為球與平面的交線所成的圓。1,

作，平面CDEF于點H，點P為圓。1上的點，貝1kHp4為與面CDP所成角,

tan/HPBi=魯,其中為定值，

則滿足題意時，HP有最大值即可,

設圓。1的半徑為r,則H%ax="。1+「，

VB1-CDF=VD-B1FC，即：[x(Ix2x遙)xZU=[x?x2x1)x2,則8/=專,

RtAP。。1中，由勾股定理可得r=0/="P2_=Jl2-|=嘉,

Rt△B/D中，由勾股定理可得HD=JBM—HB*=小2—[=等，

00i為△4HD的中位線，貝U00]=+H0i=：HD=理,

Z75z75

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則H%ax=HOi+r=^+/

綜上可得，與面CDP所成角的正切值的最小值是：

2

HB]=粕_V14-2

“Pmax一隼十馬一5

VsVs

本題選擇C選項.

Ai

/力5

/；M/

c

點睛：本題主要考查空間幾何體的軌跡，等價轉化的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉化

能力和計算求解能力.

【變式3-1]2.（2021?全國?高三專題練習）如圖所示,直平行六面體4BCD-2/6%的

所有棱長都為2/DAB=60°,過體對角線BA的截面S與棱和CC1分別交于點E、F,

給出下列命題中：

①四邊形BE。/的面積最小值為26；

②直線EF與平面BCG%所成角的最大值為W;

③四棱錐當-BED/的體積為定值；

④點名到截面S的距離的最小值為第.

其中，所有真命題的序號為（）

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A.①②③B.①③④C.①③D.②④

【答案】B

【解析】①分析可得當為為棱A4i，CG的中點時,四邊形BE。/的面積最小，求解即可；

②過點E的平面BCC/i的垂線交平面于點M,轉化直線EF與平面BCC/i所成角最大為直線

EF與直線EM的夾角最小,進而求解即可；

③轉化四棱錐的體積為以平面88速和平面BB#為底的三棱錐的體積的和，進而求證即可；

④分析可得當點E與點4重合，點F與點品重合時四邊形BED/的面積最大，此時點當?shù)浇孛鍿

的距離的最小，進而求解即可

【詳解】由題，因為過體對角線，則由對稱性易得四邊形BE。/是平行四邊形，

連接且交于點。，過點E作8。的垂線，垂足為N,

則若四邊形BED/面積最小，即EN最小，

即為棱A41到平面DBB也的距離即為40長，

因為=60。,貝！|乙48c=120°,

所以"=y/AB2+BC2-2AB-BC-cos^ABC=J22+22+2X2X2X1=2A/3,

貝！Mo=IAC=V3,

2222

又BDi=JBD+D1D=V2+2=2Vx

所以S=1x2V2xV3x2=2西此時E,F為棱CG的中點故①正確；

過點E的平面BCG%的垂線交平面于點M,則EM即為點E到平面BCC/i的距離，根據(jù)底面菱

形4BCD的性質，可得EM=V3,

若直線EF與平面BCC/i所成角最大,則直線EF與直線EM的夾角最小，即NFEM最小，此時

cos/.FEM=警最大，即EF最小，

EF

即EF=AC時，故cosNFEM=署=親=也則NFEM=條

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則直線EF與平面BCG/所成角最大為3一三=故②錯誤；

Z3o

設點。1到平面43814,平面8%出的距離分別為/11也，即從點。1分別向//1，8?作垂線即

可,由菱形可得刈=h2=V3f

iiii

=X=XX

^Br-BEDrF=VD「BBIE+3LBB^E，h1+]XSLBB1p-h2"-區(qū)4?AB?

/Il+-x-BC-/i--x2x2-hi+ix2x2-h=-x2V3=-,

32626323

為定值，故③正確；

因為四棱錐Bi-BE。/的體積為定值?，

所以若點當?shù)浇孛鍿的距離的最小，則截面S的面積最大，即四邊形BED/面積最大，即EN最

大,則當點E與點4重合，點F與點G重合時符合條件,此時在ABAE中,BE=2,BD1-ED1=

2/廁COSNEAB=黑:產(chǎn)=|,則sin/ED/='

所以EN=EDr-sin/EO/=2&x?=呼,此時S=1義2聲義孚x2=2近，

設點名到截面S的距離為d,則U=|s-d=|x277d=誓，所以d=率，故④正確

綜上,①③④正確，

故選：B

【點睛】本題考查線面角的計算，考查四棱錐的體積的計算，考查空間想象能力與運算能力,

考查轉化思想

【變式3-1]3.（2022?全國?高三專題練習）在矩形4BCD中,AB=4,4。=3,E為邊4。上

的一點，DE=1,現(xiàn)將2MBE沿直線BE折成/4BE，使得點4在平面BCDE上的射影在四邊

形8CDE內（不含邊界），設二面角4-BE-C的大小為。，直線48,4c與平面BCDE所成

的角分別為a,￡,則

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.P<a<3B.S<6<a

C.a<0<pD.a<13<9

【答案】D

【分析】由折疊前后圖象的對比得點A在面BCDE內的射影。在線段。尸上，利用二面角、線

面有的定義，求出tana,tan/?,tan。的表達式，再進行大小比較.

【詳解】如圖所示，在矩形48CD中，過4作4F1BE交于點。，將/4BE沿直線BE折成Z14BE,

則點4在面BCDE內的射影。'在線段。尸上,

則h=4。'，

由二面角、線面角的定義得：tan。=焉,tana=磊,tan/?=焉,

UUUD（JC

顯然0，。<O'B,O'O<O'C,所以tan。最大,所以。最大,

當。與。重合時，（tana）max=白，（tanjg）min=2

因為黑<白,所以(tana)max<(tan^)min,則tana<tan/?,所以a<0,

UDUC

所以a<p<8,故選D.

【點睛】本題以折疊問題為背景，考查二面角、線面角大小比較，本質考查角的定義和正切

函數(shù)的定義，考查空間想象能力和運算求解能力.

【變式3-1]4.（2021?全國?高三專題練習）已知正三棱錐P-ABC（底面是正三角形，頂

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點在底面的射影是正三角形的中心），直線BC//平面a百F,G分別是棱P4AB,PB上一點（除

端點），將正三棱錐P-ABC繞直線BC旋轉一周，則能與平面a所成的角取遍區(qū)間［。,外一

切值的直線可能是

P

A.EFB.FGC.EGD.EF,FG,EG中的任意一條

【答案】B

【分析】能取遍區(qū)間［。,，一切值，可以先考慮。和凈特殊值，對選項中涉及的三條直線進

行驗證排除可得正確答案.

【詳解】假設即滿足題意，當EF與平面a所成的角為朋，

EFJ.CL,由BC||a口」彳導BC_LEF.

在正三棱錐中，可得BC1AP,當BC1EF時可得BC1平面PAB,

顯然這是不可能成立的，所以￡尸不滿足題意.

同理，EG與BC不可能垂直，貝UEG與平面a所成的角不可能為今

綜上所述，可以排除A,C,D,故選B.

【點睛】本題考查立體圖形中的位置關系，選擇題可適當利用特殊值、排除法等解題技巧.

【變式3-1］5.（2019?河南鄭州?校聯(lián)考一模）已知圓錐的母線長為2r,底面圓半徑長為r,

圓心為。，點M是母線PA的中點，AB是底面圓的直徑.若點C是底面圓周上一點，且0C

與母線PB所成的角等于60。，則MC與底面所成的角的正弦值為（）

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p

A-2

B.日或日

c.-

2

D-K

【答案】D

【分析】結合題意,構造出MC與底面所成角，然后結合三角值計算公式，即可.

【詳解】結合題意，過M點作MQ14B,繪制圖形，

結合題意可知/MOC=60。或120。,M。=r,OC=r,結合余弦定理可知

M一代入，解得=1

coszMOC=2MOO7CMC-或陋T

而MQ為三角形APO的中位線，所以MQ=fr,因為PO垂直底面，而MQ平行PO,可知MQ

垂直底面，故NMCQ即為MC與底面所成角，所以sinzMCQ=翳=（鱷，故選D.

【點睛】考查了線面角的找法和計算公式，關鍵找出線面角，難度中等.

【變式3-1]6.（2021秋?黑龍江佳木斯?高三佳木斯一中?？茧A段練習）下圖中的幾何體是

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由兩個有共同底面的圓錐組成.已知兩個圓錐的頂點分別為P、Q,高分別為2、1,底面

半徑為1.A為底面圓周上的定點，B為底面圓周上的動點（不與A重合）.下列四個結論：

①三棱錐P-4BQ體積的最大值為］;

②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為￡；

③當直線BQ與AP所成角最小時，其正弦值為嚕；

④直線BQ與AP所成角的最大值為;;

其中正確的結論有.（寫出所有正確結論的編號）

【答案】①③

【分析】由①可知VPTBQ=%-PBQ只需求點A到面P8Q的最大值

對于②，求直線PB與平面PAQ所成角的最大值，可轉化為P8到軸截面距離的最大值問題

進行求解

對于③④，可采用建系法進行分析

【詳解】選項①

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如圖所示，當。410B時，四棱錐體積最大，VA-PBQ=SXPBQ-Oi4=|x|xl=|

選項②中，線PB與平面PAQ所成角最大值的正弦值為tan/BP。=案=J所以NBP。*￡

選項③和④，如圖所示：

以垂直于。C方向為X軸，。。方向為y軸，0P方向為Z軸，其中4(0,-1,0)設B(cos&sin仇0)

P(0,0,2),(2(0,0,-l).AP=(0,l,2)/BQ=(—cos。,一cos。,-1)

1

設直線BQ與AP所成角為a,cosa=鑿溫=萋鼠,當cos。=1時，cosa取到最大值，

cosa=誓，此時sina=察

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由于cos?！闧—1,1],|—cos0—2|e[1,3],coscr*0,所以a取不到]

答案選①、③

【點睛】幾何體的旋轉問題需要結合動態(tài)圖形和立體幾何基本知識進行求解，需找臨界點是

正確解題的關鍵，遇到難以把握的最值問題，可采用建系法進行求解.

【變式3-1】7.(2021?全國?高三專題練習)已知圓錐的頂點為S,。為底面中心,A,B,C為

底面圓周上不重合的三點為底面的直徑,SA=AB醒為S4的中點設直線M