2024-2025學(xué)年四川省雅安市雅安中學(xué)高二上學(xué)期入學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年四川省雅安市雅安中學(xué)高二上學(xué)期入學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則(

)A.事件1與事件3互斥 B.事件1與事件2互為對(duì)立事件

C.事件2與事件3互斥 D.事件3與事件4互為對(duì)立事件2.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40％，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方式估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下12組隨機(jī)數(shù)：137，960，197，925，271，815，952，683，829，436，730，257，據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為(

)A.14 B.38 C.5123.從裝有若干個(gè)紅球和白球(除顏色外其余均相同)的黑色布袋中，隨機(jī)不放回地摸球兩次，每次摸出一個(gè)球.若事件“兩個(gè)球都是紅球”的概率為215，“兩個(gè)球都是白球”的概率為13，則“兩個(gè)球顏色不同”的概率為(

)A.

415 B.715 C.8154.在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，點(diǎn)M(2,?3,1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A.(?2,?3,?1) B.(2,3,?1) C.(?2,3,1) D.(?2,3,?1)5.甲、乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨(dú)立解出的概率為(

)A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.66.已知空間向量a=1,n,2，b=?2,1,2，若2a?b與A.532 B.3527.某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲、乙、丙三個(gè)不同的位置投中的概率分別p，12，23，該同學(xué)站在這三個(gè)不同的位置各投籃一次，恰好投中兩次的概率為38，則p的值為A.14 B.13 C.238.甲?乙?丙三位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，約定賽制如下：(1)累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；(2)比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；(3)每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；(4)當(dāng)一人被淘汰后，剩余兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽甲?乙首先比賽，丙首輪輪空，設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝概率都為12，則丙最終獲勝的概率為(

)A.516 B.716 C.12二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.不透明的袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)黃球.記A為事件“從中任取1個(gè)球是紅球”，B為事件“在有放回隨機(jī)抽樣中，第二次取出1個(gè)球是紅球”，則(

)A.PA=35 B.PB=12

C.事件A與B10.已知事件A，B，且P(A)=0.4,P(B)=0.3，則(

)A.如果B?A，那么P(AB)=0.3

B.如果B?A，那么P(A∪B)=0.4

C.如果A與B相互獨(dú)立，那么P(A∪B)=0.7

D.如果A與B相互獨(dú)立，那么P(11.一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)5位的數(shù)字

A=a1a2a3a4aA.A的所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的樣本空間中共有32個(gè)樣本點(diǎn)

B.若A的各位數(shù)字都是等可能地取值為0或1，則A=11100的概率大于A=00011的概率

C.若A的各位數(shù)字都是等可能地取值為0或1，則A中各位數(shù)字之和是4的概率為532

D.若a1=1,ak(k=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為13，出現(xiàn)1的概率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知A,B,C,D四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，平面ABCD外一點(diǎn)P，滿足PD=?2PA+5PB+λPC，則13.隨著阿根廷隊(duì)的奪冠，2022年卡塔爾足球世界杯落下帷幕.根據(jù)足球比賽規(guī)則，兩支球隊(duì)先進(jìn)行90分鐘常規(guī)賽.若比分相同，則進(jìn)行30分鐘加時(shí)賽；如果在加時(shí)賽比分依舊相同，則進(jìn)入5球點(diǎn)球大賽.若甲、乙兩隊(duì)在常規(guī)賽與加時(shí)賽中得分均相同，則甲、乙兩隊(duì)輪流進(jìn)行5輪點(diǎn)球射門，進(jìn)球得1分，不進(jìn)球不得分.假設(shè)甲隊(duì)每次進(jìn)球的概率均為0.8，乙隊(duì)每次進(jìn)球的概率均為0.5，且在前兩輪點(diǎn)球中，乙隊(duì)領(lǐng)先一球，已知每輪點(diǎn)球大賽結(jié)果相互獨(dú)立，則最終甲隊(duì)獲勝的概率為

．14.冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述為：任一正整數(shù)x，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，反復(fù)計(jì)算，最終都將會(huì)得到數(shù)字1.例如：給出正整數(shù)5，則進(jìn)行這種反復(fù)運(yùn)算的過(guò)程為5→16→8→4→2→1，即按照這種運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行5次運(yùn)算后得到1.若從正整數(shù)6，7，8，9，10中任取2個(gè)數(shù)按照上述運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算，則運(yùn)算次數(shù)均為奇數(shù)的概率為

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)經(jīng)調(diào)查某市三個(gè)地區(qū)存在嚴(yán)重的環(huán)境污染，嚴(yán)重影響本地區(qū)人員的生活．相關(guān)部門立即要求務(wù)必加強(qiáng)環(huán)境治理，通過(guò)三個(gè)地區(qū)所有人員的努力，在一年后，環(huán)境污染問(wèn)題得到了明顯改善．為了解市民對(duì)城市環(huán)保的滿意程度，開展了一次問(wèn)卷調(diào)查，并對(duì)三個(gè)地區(qū)進(jìn)行分層抽樣，共抽取40名市民進(jìn)行詢問(wèn)打分，將最終得分按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]分段，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值，以及此次問(wèn)卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；(2)若分?jǐn)?shù)在區(qū)間[60,70)的市民視為對(duì)環(huán)保不滿意的市民，從不滿意的市民中隨機(jī)抽出兩位市民做進(jìn)一步調(diào)查，求抽出的兩位市民來(lái)自不同打分區(qū)間的概率．16.(本小題12分)甲乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)完游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．(1)設(shè)(i,j)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出甲乙二人抽到的牌的所有情況；(2)若甲抽到紅桃3，則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？(3)甲乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平，說(shuō)明你的理由．17.(本小題12分)杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)(T?e?19t??Asian?Games?Hangz?ou?2022)將于2023年9月23日至10月8日舉辦．本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目．同時(shí)，在保持40個(gè)大項(xiàng)目不變的前提下，增設(shè)了電子競(jìng)技項(xiàng)目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來(lái)一個(gè)新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場(chǎng)就喪失了冠軍爭(zhēng)奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個(gè)隊(duì)伍只有失敗了兩場(chǎng)才會(huì)淘汰出局，因此更有容錯(cuò)率．假設(shè)最終進(jìn)入到半決賽有四支隊(duì)伍，淘汰賽制下會(huì)將他們四支隊(duì)伍兩兩分組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進(jìn)入到勝者組，敗者進(jìn)入到敗者組．勝者組兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的勝者將進(jìn)入到總決賽，敗者進(jìn)入到敗者組．之前進(jìn)入到敗者組的兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對(duì)決，其中的勝者進(jìn)入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍．雙敗賽制下會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場(chǎng)比賽即總決賽就無(wú)法拿到冠軍，但是其它的隊(duì)伍卻有一次失敗的機(jī)會(huì)．近年來(lái)從敗者組殺上來(lái)拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個(gè)賽制對(duì)強(qiáng)者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡(jiǎn)單研究一下兩個(gè)賽制．假設(shè)四支隊(duì)伍分別為A，B，C，D，其中A對(duì)陣其他三個(gè)隊(duì)伍獲勝概率均為p，另外三支隊(duì)伍彼此之間對(duì)陣時(shí)獲勝概率均為12.最初分組時(shí)AB同組，(1)若p=23，在淘汰賽賽制下，A、(2)分別計(jì)算兩種賽制下A獲得冠軍的概率(用p表示)，并據(jù)此簡(jiǎn)單分析一下雙敗賽制下對(duì)隊(duì)伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對(duì)強(qiáng)者不公平”？18.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．(1)求證：PA//平面EDB；(2)求證：PB⊥平面EFD；(3)求平面CPB與平面PBD

的

夾角的大?。?9.(本小題12分)在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為p10<p1<1，收到0的概率為1?p1；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為p20<p2<1，收到1的概率為1?p2.現(xiàn)有兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼(例如，若收到1，則譯碼為1(1)已知p1①若采用單次傳輸方案，重復(fù)發(fā)送信號(hào)0兩次，求至少收到一次0的概率；②若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送0,0,1，證明：事件“第三次收到的信號(hào)為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨(dú)立．(2)若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時(shí)譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時(shí)譯碼為0的概率，求p2的取值范圍．

參考答案1.B

2.A

3.C

4.D

5.B

6.B

7.A

8.B

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.?2

13.0.304

14.110或0.

115.解：(1)由題意可得50.010+0.020+a+0.060+0.050+0.020解得a=0.040，由0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35,0.35+0.06×5=0.65，可得此次問(wèn)卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)在75,80上，設(shè)為x，則0.35+0.06x?75=0.5，解得所以此次問(wèn)卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為77.5(分)；(2)60,65的市民有0.010×5×40=2人，記為a，b，65,70的市民有0.020×5×40=4人，記為1，2，3，4，則從中抽取兩人的基本事件有：ab,a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,12,13,14,23,24,34,共15種，其中兩人來(lái)自不同的組的基本事件有8種，則所求概率為815

16.解：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情況(方片4用字母a表示，紅桃2，紅桃3，紅桃4分別用2，3，4表示)，可得基本事件的空間為：{(2,3)、(2,4)、(2,a)、(3,2)、(3,4)、(3,a)、(4,2)、(4,3)、(4,a)、(a,2)、(a,3)、(a,4)}，共12種不同情況，(2)解：由題意，甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，a，所以乙抽到的牌的數(shù)字大于3的概率為23(3)解：根據(jù)題意，甲抽到的牌比乙大的有(3,2)、(4,2)、(4,3)、(a,2)、(a,3)，共有5種情況，所以甲勝的概率p1=5因?yàn)?12

17.解：(1)記A，C拿到冠軍分別為事件M，N，

淘汰賽賽制下，A只需要連贏兩場(chǎng)即可拿到冠軍，

因此P(M)=23×23=49，

對(duì)于C想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝D，然后戰(zhàn)勝A，B中的勝者，

因此P(N)=12×23×13+12×13×12=736．

(2)記兩種賽制下A獲得冠軍的概率分別為p1，p2，則p1=p2，

而雙敗賽制下，A獲得冠軍有三種可能性：?①直接連贏三局;?②從勝者組掉入敗者組然后殺回總決賽18.(1)解：側(cè)棱PD⊥底面ABCD，而AD，DC?底面ABCD，故PD⊥AD，PD⊥DC，

底面ABCD是正方形，故AD⊥DC，

故以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

DC=1

．依題意得

A1,0,0

，

B1,1,0

，

P0,0,1

，

所以

PA=1,0,?1

，

DB=1,1,0

，設(shè)平面EDB的一個(gè)法向量為

m=(x則有

DB?m=x取

m=(1,?1,1)

，則

PA?因?yàn)?/p>

PA?

平面EDB，因此

PA/?/

平面EDB．(2)解：依題意得

PB=1,1,?1因?yàn)?/p>

PB?DE所以

PB⊥ED

．由已知

EF⊥PB

，且

EF∩DE=E

，EF，ED?平面EFD，所以

PB⊥

平面EFD．(3)解：依題意得

C0,1,0

，且

CB=1,0,0

，

設(shè)平面CPB的一個(gè)法向量為

n=(x則

CB?