2024-2025學(xué)年河南省“五岳聯(lián)考”高二上9月數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河南省“五岳聯(lián)考”高二上9月數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.給出下列命題：?①零向量的方向是任意的;?②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同;?③若空間向量a，b滿足|a|=|?④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)為(

)A.4 B.3 C.2 D.12.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E為棱A1C1的中點(diǎn).設(shè)BA=aA.12a+b+12c 3.對(duì)于任意空間向量a，b，c，下列說法正確的是(

)A.若a⊥b，b⊥c，則a⊥c

B.a?(b+c)=a4.設(shè)x，y∈R，向量a=(x,2,2)，b=(2,y,2)，c=(3,?6,3)且a⊥c，bA.32 B.42 C.5.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A(?3,4)的直線l的一個(gè)法向量為(1,?3)，則直線l的點(diǎn)法式方程為：1×(x+3)+(?3)×(y?4)=0，化簡(jiǎn)得x?3y+15=0.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)M(1,2,3)的平面的一個(gè)法向量為m=(1,2,?4)，則該平面的方程為(

)A.x?2y?4z+7=0 B.x+2y?4z+7=0

C.x+2y+4z+7=0 D.x+2y?4z?7=06.已知圓錐PO的母線長(zhǎng)為2，表面積為3π，O為底面圓心，AB為底面圓直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，∠BOC=60°，M為PB中點(diǎn)，則△MOC的面積為(

)A.158 B.154 C.7.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知M，N，P分別是棱C1D1，AA1，BC的中點(diǎn)，Q為平面PMNA.π2B.π C.2π D.3π8.在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AB=PA.若BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，此時(shí)二面角A?PD?Q的余弦值為(

)A.33 B.306 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知平面α與平面β平行，若n=(2,?4,8)是平面β的一個(gè)法向量，則平面α的法向量可能為(

)A.(?1,2,?4) B.(?1,2,4) C.(2,4,?8) D.(?2,4,?8)10.在空間直角坐標(biāo)系中，有以下兩條公認(rèn)事實(shí)：(1)過點(diǎn)P0(x0,y(2)過點(diǎn)P(x0,y0,z現(xiàn)已知平面α:x+2y+3z=6，l1:6x?3y=2,3y?2z=1,lA.l1⊥α B.l2//α C.11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1A.兩條異面直線D1C和BC1所成的角為π4

B.直線BC1與平面ABCD所成的角等于π4

C.點(diǎn)C到平面BDC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1為正方體．?②直線BC1?③平面B1C?④平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1)．則上述結(jié)論正確的是

.(13.已知空間向量a=(2,3,m)，b=(0,2,1)，c=(2,7,n)，若a，b，c共面，則mn的最小值為

14.設(shè)空間向量i，j，k是一組單位正交基底，若空間向量a滿足對(duì)任意的x，y，|a?xi?yj|的最小值是2，則四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4，E(1)求CG?(2)證明：C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面．16.(本小題15分)

如圖，已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為(1)求線段CA1(2)求證：CA117.(本小題15分)已知空間中三點(diǎn)A(1,?2,3)，B(0,(1)若向量m與AB平行，且|m|=13(2)求向量AB在向量AC上的投影向量a(3)求以CB，CA為鄰邊的平行四邊形的面積．18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=1，CD=3，PD=2，∠PDA=60°，∠PAD=30°，且平面PAD⊥平面ABCD，在平面ABCD內(nèi)過B作BO⊥AD，交AD(1)求證：PO⊥平面ABCD;(2)求二面角A?PB?C的正弦值;(3)在線段PA上存在一點(diǎn)M，使直線BM與平面PAD所成的角的正弦值為277，求19.(本小題17分)將菱形ABCD繞直線AD旋轉(zhuǎn)到AEFD的位置，使得二面角E?AD?B的大小為π3，連接BE,CF，得到幾何體ABE?FDC.已知AB=4,∠DAB=π3,M,N分別為(1)證明：MN/?/平面CDF；(2)求BE的長(zhǎng)；(3)當(dāng)MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，求直線MN到平面CDF的距離．

參考答案1.D

2.A

3.B

4.D

5.B

6.A

7.C

8.C

9.AD

10.AC

11.BCD

12.①②③

13.?1

14.1

15.解：(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD，AA1，AB分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

則C(2,0,2)，F(xiàn)(1,4,0)，E(2,2,0)，G(0,2,4)，

CG=(?2,2,2)，EF=(?1,2,0)，

則CG?EF=(?2,2,2)?(?1,2,0)=2+4=6．

(2)證明：CE=(0,2,?2)，

令CE=mCG+nEF，即0=?2m?n2=2m+2n?2=2m,

16.解：(1)設(shè)CD=a,CB=b,CC1=c，則a=b=1,c=2，

又∠C1CB=∠BCD=∠C1CD=60°，

所以a·b=12,a·c=b·c=117.解：(1)由已知可得AB=(?1,22,2)，因?yàn)橄蛄縨與AB平行，設(shè)m=λAB，其中λ∈R，則m=|λ|?|AB|=|λ|1+8+4=13|λ|=13，

解得λ=±1，所以，m=AB=(?1,22,2)或m=?AB=(1,?22,?2)．

(2)由AC=(0,22,1)，可得|AC18.解：(1)證明：因?yàn)锽O⊥AD，因?yàn)锽C//AD，∠ADC=∠BCD=90所以四邊形BODC為矩形，在△PDO中，PD=2，DO=BC=1，∠PDA=60則PO=∴PO2+D且平面PAD⊥平面ABCD，PO?平面PAD平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD；

(2)以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵PO=3，∠PAD=30則O(0,0,0)，A(3,0,0)，P0,0,3，B設(shè)平面APB的法向量為m=(x,y,z)，PA=3,0,?由PA?m=3x?設(shè)平面CPB的法向量為n=(a,b,c)，PC由n?PB=cosm∵二面角A?PB?C是鈍二面角，∴二面角A?PB?C的正弦值為7

(3)設(shè)AM=λAP，則又平面PAD的法向量為OB=直線BM與平面PAD所成的角的正弦值為：

|cos解得λ=34，

19.解：(1)證明：在AD上取點(diǎn)H，使得AHAD=AMAF=BNBD因?yàn)锳HAD=AM因?yàn)镈F?平面CDF,HM?平面CDF，所以HM//平面CDF，因?yàn)锳HAD=BNBD，所以HN/?/AB，又因?yàn)橐驗(yàn)镃D?平面CDF,HN?平面CDF，所以HN//平面CDF，因?yàn)镠M∩HN=H且都在平面HMN內(nèi)，所以平面HMN//平面CDF，因?yàn)镸N?平面HMN，所以MN/?/平面CDF．(2)取AD的中點(diǎn)O，連接OE,OB,ED，如圖2．由題意可得?EAD,?BAD是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則EO=BO=且EO⊥AD,BO⊥AD，所以∠EOB為二面角E?AD?B的平面角，即∠EOB=π3，

則所以BE=2

(3)取OB的中點(diǎn)G，連接EG，則EG⊥OB，且EG=(2由(2)得EO⊥AD,BO⊥AD，EO∩OB=O，EO,OB?平面OBE，所以AD⊥平面OBE，因?yàn)镋G?平面OBE，所以EG⊥AD，又因?yàn)镋G⊥OB，AD∩OB=O，AD,OB?平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則