五年級奧數(shù)-數(shù)論之余數(shù)問題

數(shù)論之余數(shù)問題

余數(shù)問題主要包括了帶余除法的定義，三大余數(shù)定理(加法余數(shù)定理，

乘法余數(shù)定理，和同余定理)，及中國剩余定理和有關棄九法原理的應

用。

知識點撥：

一、帶余除法的定義及性質：

一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)(bWO),若有a+b=q……r,也就

是a=bXq+r,

0<r<b；我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：

(1)當廠=0時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商

(2)當ro時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完

全商

一個完美的帶余除法講解模型：

c捆如圖，這是一堆書，共有a本，這個a就可

bq以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打

|||||||||H包，那么b就是除數(shù)的角色，經過打包后共

③本書打包了C捆，那么這個C就是商，最后還剩

余d本，這個d就是余數(shù)。

這個圖能夠讓學生清晰的明白帶余除法算式中4個量的關系。并且可

以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。

二、三大余數(shù)定理：

1.余數(shù)的加法定理

a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個

和除以c的余數(shù)。

例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23+16=39除以5的余

數(shù)等

于4,即兩個余數(shù)的和3+1.

當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。

例如：23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,故23+19=42除以5的余數(shù)

等于3+4=7除以5的余數(shù)，即2.

2.余數(shù)的乘法定理

a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者

這個積除以c所得的余數(shù)。

例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23X16除以5的余數(shù)

等于3X1=3。

當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。

例如：23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23X19除以5的余數(shù)

等于3X4除以5的余數(shù)，即2.

3.同余定理

若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m

同余，用式子表示為：a=b(modm),左邊的式子叫做同余式。

同余式讀作：a同余于b,模m。由同余的性質，我們可以得到一個非

常重要的推論：

若兩個數(shù)a,b除以同一個數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a,b的差一定能

被m整除

用式子表示為：如果有a三b(modm),那么一定有a—b=mk,k是

整數(shù),即m|(a—b)

三、棄九法原理：

在公元前9世紀，有個印度數(shù)學家名叫花拉子米，寫有一本《花拉子

米算術》，他們在計算時通常是在一個鋪有沙子的土板上進行，由于害

怕以前的計算結果丟失而經常檢驗加法運算是否正確，他們的檢驗方

式是這樣進行的：

例如:檢驗算式1234+1898+18922+678967+178902=889923

1234除以9的余數(shù)為1

1898除以9的余數(shù)為8

18922除以9的余數(shù)為4

678967除以9的余數(shù)為7

178902除以9的余數(shù)為0

這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2

而等式右邊和除以9的余數(shù)為3,那么上面這個算式一定是錯的。

上述檢驗方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如

果這個等式是正確的，那么左邊幾個加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9

的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。

而我們在求一個自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時，常常不用去列除法豎式

進行計算，只要計算這個自然數(shù)的各個位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可

以了，在算的時候往往就是一個9一個9的找并且劃去，所以這種方

法被稱作“棄九法”。

所以我們總結出棄九發(fā)原理：任何一個整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上

數(shù)字之和。

以后我們求一個整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計算這個整數(shù)各數(shù)位上數(shù)

字之和，再求這個和被9除的余數(shù)即可。

利用十進制的這個特性，不僅可以檢驗幾個數(shù)相加，對于檢驗相乘、

相除和乘方的結果對不對同樣適用

注意：棄九法只能知道原題一定是錯的或有可能正確，但不能保證一

定正確。

例如：檢驗算式9+9=9時，等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0,但是顯

然算式是錯誤的

但是反過來，如果一個算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定

滿足棄九法的規(guī)律。這個思想往往可以幫助我們解決一些較復雜的算

式迷問題。

四、中國剩余定理：

1.中國古代趣題：

中國數(shù)學名著《孫子算經》里有這樣的問題：“今有物，不知其數(shù)，三

三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？”答

日：“二十三?！?/p>

此類問題我們可以稱為“物不知其數(shù)”類型，又被稱為“韓信點兵”。

韓信點兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵

士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余

4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。

我們先考慮下列的問題：假設兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13

人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？

首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945（注：因為5、9、13、

17為兩兩互質的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然后再加3,

得9948（人）。

孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代

不會在晉朝之后，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發(fā)現(xiàn)

得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩余定理。

中國剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代數(shù)學中占

有一席非常重要的地位。

2.核心思想和方法：

對于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的

方法，下面我們就以《孫子算經》中的問題為例，分析此方法：

今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩

二，問物幾何？

題目中我們可以知道，一個自然數(shù)分別除以3,5,7后，得到三個余

數(shù)分別為2,3,2.那么我們首先構造一個數(shù)字，使得這個數(shù)字除以3

余1,并且還是5和7的公倍數(shù)。

先由5x7=35,即5和7的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35除以3余2,不符

合要求，那么就繼續(xù)看5和7的“下一個”倍數(shù)35x2=70是否可以，很

顯然70除以3余1

類似的，我們再構造一個除以5余1,同時又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)

字，顯然21可以符合要求。

最后再構造除以7余1,同時又是3,5公倍數(shù)的數(shù)字，45符合要求,

那么所求的自然數(shù)可以這樣計算：

2x70+3x21+2x45±M3,5,7]=233-M3,5,7],其中k是從1開始的自然數(shù)。

也就是說滿足上述關系的數(shù)有無窮多，如果根據實際情況對數(shù)的范圍

加以限制，那么我們就能找到所求的數(shù)。

例如對上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”，

那么我們可以計算2x70+3x21+2x45-2x[3,5,7]=23得到所求

如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”，

我們只要對最小的23加上只,5,7]即可,即23+105=128。

例題精講：

【模塊一：帶余除法的定義和性質】

（第五屆小學數(shù)學報競賽決賽）用某自然數(shù)“去除1992,得到商是46,余

數(shù)是「，求a和r.

因為1992是。的46倍還多廠，得至！11992+46=43……14,得1992=46x43+14,所以a=43,

r=14.

（清華附中小升初分班考試）甲、乙兩數(shù)的和是1。88,甲數(shù)除以乙數(shù)商

11余32,求甲、乙兩數(shù).

（法1）因為甲=乙義11+32,所以甲+乙=乙義11+32+乙=乙xl2+32=1088；

貝《乙=（1088-32）+12=88,甲=1088-乙=1000.

（法2）將余數(shù)先去掉變成整除性問題，利用倍數(shù)關系來做：從1088中減

掉32以后，1056就應當是乙數(shù)的（11+1）倍，所以得到乙數(shù)=1056+12=88,甲數(shù)

=1088-88=1000.

一個兩位數(shù)除310,余數(shù)是37,求這樣的兩位數(shù)。

本題為余數(shù)問題的基礎題型，需要學生明白一個重要知識點，就是把

余數(shù)問題--即“不整除問題”轉化為整除問題。方法為用被除數(shù)減去

余數(shù)，即得到一個除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個“除數(shù)與余

數(shù)的差”，也可以得到一個除數(shù)的倍數(shù)。

本題中310-37=273,說明273是所求余數(shù)的倍數(shù)，而273=3X7X13,

所求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿足比37大，符合條件的有39,91.

(2003年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)有兩個自然數(shù)相除，商是17,余數(shù)

是13,已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為2113,則被除數(shù)是多少？

被除數(shù)+除數(shù)+商+余數(shù)=被除數(shù)+除數(shù)+17+13=2113,所以被除數(shù)+除數(shù)

=2083,由于被除數(shù)是除數(shù)的17倍還多13,則由“和倍問題”可得:

除數(shù)二(2083-13)4-(17+1)=115,所以被除數(shù)=2083-115=1968.

用一個自然數(shù)去除另一個自然數(shù)，商為40,余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、

商、余數(shù)的和是933,求這2個自然數(shù)各是多少？

本題為帶余除法定義式的基本題型。根據題意設兩個自然數(shù)分別為

x,y,可以得到

[x=40y+16，解方程組得[x=856,即這兩個自然數(shù)分別是856,21.

(2000年“祖沖之杯”小學數(shù)學邀請賽試題)三個不同的自然數(shù)的和為

2001,它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數(shù)也相同，這

三個數(shù)是,,O

設所得的商為除數(shù)為b.(19a+6)+(23a+Z?)+(31a+6)=2001,73a+3匕=2001,由

b<19,可求得a=27,b=W.所以，這三個數(shù)分別是19a+b=523,23a+b=631,

31a+〃=847o

(2004年福州市“迎春杯”小學數(shù)學競賽試題)一個自然數(shù)，除以11時

所得到的商和余數(shù)是相等的，除以9時所得到的商是余數(shù)的3倍，這

個自然數(shù)是.

設這個自然數(shù)除以11余a(OVavll),除以9余匕(0"<9),則有Ua+a=9x3b+b,

即3a=76,只有a=7,b=3,所以這個自然數(shù)為12x7=84。

(1997年我愛數(shù)學少年數(shù)學夏令營試題)有48本書分給兩組小朋友，

已知第二組比第一組多5人.如果把書全部分給第一組，那么每人4

本，有剩余；每人5本，書不夠.如果把書全分給第二組，那么每人

3本，有剩余；每人4本，書不夠.問：第二組有多少人？

由48+4=12,48+5=9.6知,一組是10或H人.同理可知48+3=16,48+4=12

知，二組是13、14或15人，因為二組比一組多5人，所以二組只能

是15人，一組10人.

一個兩位數(shù)除以13的商是6,除以11所得的余數(shù)是6,求這個兩位

數(shù).

因為一個兩位數(shù)除以13的商是6,所以這個兩位數(shù)一定大于13x6=78,

并且小于13x(6+l)=91；又因為這個兩位數(shù)除以11余6,而78除以11余

1,這個兩位數(shù)為78+5=83.

【模塊二：三大余數(shù)定理的應用】

有一個大于1的整數(shù)，除45,59,101所得的余數(shù)相同，求這個數(shù).

這個題沒有告訴我們，這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是

由于所得的余數(shù)相同，根據同余定理，我們可以得到：這個數(shù)一定能

整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約

數(shù).101-45=56,59-45=14,(56,14)=14,14的約數(shù)有1,2,7,14,所以這個數(shù)可能

為2,7,14o

有一個整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3,求這個數(shù).

（法1）39-3=36,147-3=144,（36,144）=12,12的約數(shù)是1,2,3,4,6,12,因為余數(shù)

為3要小于除數(shù)，這個數(shù)是4,6,12；

（法2）由于所得的余數(shù)相同，得到這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任

意兩數(shù)的差,也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).51-39=12,147-39=108,

（12,108）=12,所以這個數(shù)是4,6,12.

在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多

少個？（余數(shù)可以為0）

我們知道18,33的最小公倍數(shù)為［18,33］二198,所以每198個數(shù)一次.

1?198之間只有1,2,3,…，17,198（余0）這18個數(shù)除以18及33

所得的余數(shù)相同，

而9994-198=5……9,所以共有5X18+9=99個這樣的數(shù).

（2008年仁華考題）一個三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以17

后所得的商與余數(shù)的和等于它除以19后所得到的商與余數(shù)的和.那

么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？

設這個三位數(shù)為S,它除以17和19的商分別為“和的余數(shù)分別為加和

n,貝1s=l1a+m=19b+n.

根據題思可知a+，所以s-（a+M=s-（b+"）,即16a=186,得8a=96.所

以a是9的倍數(shù)，b是8的倍數(shù).此時，由a+=b+〃知n-m=a-b=a-^a=^a.

由于s為三位數(shù)，最小為100,最大為999,所以100<17a+屋999,而l<m<16,

所以17a+l<17a+〃z<999,100<17G+m<17a+16,得到5<a<58,而a是9的倍數(shù)，

所以.最小為9,最大為54.

當4=54時，〃-切=$=6,而“W18,所以mW12,故此時s最大為17x54+12=930；

當a=9時，n-m=^a=l,由于m>l,所以此時s最小為17x9+1=154.

所以這樣的三位數(shù)中最大的是930,最小的是154.

兩位自然數(shù)ab與6a除以7都余1*并且a>》，求

能被7整除，即(10a+6)-(10b+a)=9x(a-6)能被7整除.所以只能有

a—6=7,那么瓦可能為92和81,驗算可得當月=92時，垢=29滿足題目

要,abxba-92x29=2668

學校新買來118個乒乓球，67個乒乓球拍和33個乒乓球網，如果將

這三種物品平分給每個班級，那么這三種物品剩下的數(shù)量相同.請問

學校共有多少個班？

所求班級數(shù)是除以118,67,33余數(shù)相同的數(shù).那么可知該數(shù)應該為118-67=51

和67-33=34

的公約數(shù)，所求答案為17.

(2000年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)在除13511,13903及14589時

能剩下相同余數(shù)的最大整數(shù)是.

因為13903—13511=392,14589-13903=686,

由于13511,13903,14589要被同一個數(shù)除時，余數(shù)相同，那么，它

們兩兩之差必能被同一個數(shù)整除.(392,686)=98,所以所求的最大整數(shù)是

98.

(2003年南京市少年數(shù)學智力冬令營試題)22期與2OO32的和除以7的余

數(shù)是.

找規(guī)律.用7除2,22,23,24,25,26,…的余數(shù)分別是2,4,1,2,

4,1,2,4,1,…,2的個數(shù)是3的倍數(shù)時，用7除的余數(shù)為1；2的

個數(shù)是3的倍數(shù)多1時，用7除的余數(shù)為2；2的個數(shù)是3的倍數(shù)多2

時，用7除的余數(shù)為4.因為22°°3=23x667+2,所以22。。3除以7余4.又兩個數(shù)

的積除以7的余數(shù)，與兩個數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同.而2003

除以7余1,所以2003,除以7余1.故與20032的和除以7的余數(shù)是

4+1=5.

(2004年南京市少年數(shù)學智力冬令營試題)在1995,1998,2000,2001,

2003中，若其中幾個數(shù)的和被9除余7,則將這幾個數(shù)歸為一組.這

樣的數(shù)組共有組.

1995,1998,2000,2001,2003除以9的余數(shù)依次是6,0,2,3,5.

因為2+5=2+5+0=7,2+5+3+6=0+2+54-3+6=7+9,

所以這樣的數(shù)組共有下面4個：(2000,2003),(1998,2000,2003),

(2000,2003,2001,1995),(1998,2000,2003,2001,1995).

(2005年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)有一個整數(shù)，用它去除70,110,

160所得到的3個余數(shù)之和是50,那么這個整數(shù)是.

(70+110+160)-50=290,50+3=16……2,除數(shù)應當是290的大于17小于70的約

數(shù)，只可能是29和58,110:58=1......52,52>50,所以除數(shù)不是58.

70+29=2……12,110+29=3……23,160+29=5……15,12+23+15=50,所以除數(shù)是29

（2002年全國小學數(shù)學奧林匹克試題）用自然數(shù)n去除63,91,129

得到的三個余數(shù)之和為

25,那么n=

n能整除63+91+129-25=258.因為25+3=8.」，所以n是258大于8的約

數(shù).顯然，n不

能大于63.符合條件的只有43.

號碼分別為101,126,173,193的4個運動員進行乒乓球比賽,規(guī)定每

兩人比賽的盤數(shù)是他們號碼的和被3除所得的余數(shù).那么打球盤數(shù)最

多的運動員打了多少盤？

本題可以體現(xiàn)出加法余數(shù)定理的巧用。計算101,126,173,193除以

3的余數(shù)分別為2,0,2,lo那么任意兩名運動員的比賽盤數(shù)只需要

用2,0,2,1兩兩相加除以3即可。顯然126運動員打5盤是最多

的。

（2002年《小學生數(shù)學報》數(shù)學邀請賽試題）六名小學生分別帶著14

元、17元、18元、21元、26元、37元錢，一起到新華書店購買《成

語大詞典》.一看定價才發(fā)現(xiàn)有5個人帶的錢不夠，但是其中甲、乙、

丙3人的錢湊在一起恰好可買2本，丁、戊2人的錢湊在一起恰好可

買1本.這種《成語大詞典》的定價是元.

六名小學生共帶錢133元.133除以3余1,因為甲、乙、丙、丁、戊

的錢恰好能買3本，所以他們五人帶的錢數(shù)是3的倍數(shù)，另一人帶的

錢除以3余1.易知，這個錢數(shù)只能是37元，所以每本《成語大詞典》

的定價是（14+17+18+21+26）+3=32（元）.

(2000年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)商店里有六箱貨物,分別重15,

16,18,19,20,31千克，兩個顧客買走了其中的五箱.已知一個顧

客買的貨物重量是另一個顧客的2倍，那么商店剩下的一箱貨物重量

是千克.

兩個顧客買的貨物重量是3的倍數(shù).

(15+16+18+19+20+31);(1+2)=119+3=39…2,剩下的一箱貨物重量除以3應當余

2,只能是20千克.

求2461x135x6047+11的余數(shù).

因為2461+11=223...8,135+11=12...3,6047+11=549...8,根據同余定理(三)，

2461x135x6047+11的余數(shù)等于8x3x8-11的余數(shù),而8x3x8=192,

1924-11=17...5,所以2461x135x6047+11的余數(shù)為5.

(華羅庚金杯賽模擬試題)求478x296x351除以17的余數(shù).

先求出乘積再求余數(shù)，計算量較大.可先分別計算出各因數(shù)除以17

的余數(shù)，再求余數(shù)之積除

以17的余數(shù).478,296,351除以17的余數(shù)分別為2,7和11,(2x7x11)-17=9……1.

求產的最后兩位數(shù).

即考慮產除以100的余數(shù).由于100=4x25,由于33=27除以25余2,所

以3。除以25余8,

?。除以25余24,那么3?。除以25余1；又因為32除以4余1,則產除以

4余1；即3?。一1能被4和25整除，而4與25互質,所以32。-1能被100

整除，即32。除以100余1,由于

1997=20x99+17,所以產除以100的余數(shù)即等于3"除以100的余數(shù)，而

36=729除以100余29,3,=243除以100余43,3。=守）。x3$,所以3”除以100

的余數(shù)等于29*29x43除以100的余數(shù)，而29x29x43=36163除以100余63,

所以產除以100余63,即驢97的最后兩位數(shù)為63.

絲E除以13所得余數(shù)是.

2000個"2"

我們發(fā)現(xiàn)222222整除13,2000+6余2,所以答案為22?13余9。

求143-9除以7的余數(shù).

法一：

由于143=3（mod7）（143被7除余3）,

所以14389三389（mod7）（14聾被7除所得余數(shù)與3股被7除所得余數(shù)相等）

而3,=729,729=1（mod7）（729除以7的余數(shù)為1）,

所以3秒三3隈36乂X36X35=35=5（mod7）.

14個

故14389除以7的余數(shù)為5.

法二：

計算第被7除所得的余數(shù)可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如下表:

31323334353637

mod73264513

于是余數(shù)以6為周期變化.所以3叫三35三5（mod7）.

（2007年實驗中學考題）12+22+32++20012+2002除以7的余數(shù)是多少？

由于「+22+3?++200F+20022=2002x2003x4005=]00]X2（）O3X1335,而1001是7的倍

數(shù)，所以這個乘積也是7的倍數(shù)，故F+22+32++20012+20022除以7的余

數(shù)是0;

（313。+30刈）被13除所得的余數(shù)是多少？

31被13除所得的余數(shù)為5,當n取1,2,3,時5"被13除所得余數(shù)

分別是5,12,8,1,5,12,8,1以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以/被

13除的余數(shù)與父被13除的余數(shù)相同，余12,貝卜產除以13的余數(shù)為

12；

30被13除所得的余數(shù)是4,當n取1,2,3,時，4,被13除所得的

余數(shù)分別是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,以6為周期

循環(huán)出現(xiàn)，所以早被13除所得的余數(shù)等于4被13除所得的余數(shù)，即

4,故30刈除以13的余數(shù)為4；

所以”+3031）被13除所得的余數(shù)是12+4—13=3.

（2008年奧數(shù)網杯）已知a=200820082008,問：a除以13所得的余數(shù)是多

2008個2008

少？

2008除以13余6,10000除以13余3,注意到20082008=2008xl0000+2008；

200820082008=20082008x10000+2008；

2008200820082008=200820082008x10000+2008；

根據這樣的遞推規(guī)律求出余數(shù)的變化規(guī)律：

20082008除以13余6x3+6-13=11,200820082008除以13余11x3+6-39=0,

即200820082008是13的倍數(shù).

而2008除以3余1,所以"200820082008除以13的余數(shù)與2008除以13的

2008個2008

余數(shù)相同，為6.

777…77除以41的余數(shù)是多少？

1996個7

找規(guī)律：7+41=□…7,77+41=□…36,777+41=口-39,7777+41=□…28,

77777+41=口.-0,....,所以77777是41的倍數(shù)，而1996+5=3991,所以

777…77可以分成399段77777和1個7組成，那么它除以41的余數(shù)為

1996個7

7.

l'+22+33+44++2OO52005除以10所得的余數(shù)為多少？

求結果除以10的余數(shù)即求其個位數(shù)字.從1到2005這2005個數(shù)的個

位數(shù)字是10個一循環(huán)的，而對一個數(shù)的暴方的個位數(shù)，我們知道它總

是4個一循環(huán)的，因此把所有加數(shù)的個位數(shù)按每20個（20是4和10

的最小公倍數(shù)）一組，則不同組中對應的個位數(shù)字應該是一樣的.

首先計算1+22+33+4，++202。的個位數(shù)字，

為1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0=94的個位數(shù)字，為4,

由于2005個加數(shù)共可分成100組另5個數(shù)，100組的個位數(shù)字和是

4x100=400的個位數(shù)即0,另外5個數(shù)為200產、2OO22002>2OO32003>2OO42004>

2OO52005,它們和的個位數(shù)字是1+4+7+6+5=23的個位數(shù)3,所以原式的個

位數(shù)字是3,即除以10的余數(shù)是3.

求所有的質數(shù)P,使得獷+1與6/+1也是質數(shù).

如果p=5,則4P2+1=101,6P、1=151都是質數(shù)，所以5符合題意.如果P不

等于5,那么P除以5的余數(shù)為1、2、3或者4,pz除以5的余數(shù)即等

于V、2?、3?或者42除以5的余數(shù)，即1、4、9或者16除以5的余數(shù),

只有1和4兩種情況.如果/除以5的余數(shù)為1,那么4P除以5的

余數(shù)等于4xl+l=5除以5的余數(shù)，為0,即此時4P2十1被5整除，而4P2+1

大于5,所以此時4P不是質數(shù)；如果加除以5的余數(shù)為4,同理可知

6P2+1不是質數(shù)，所以P不等于5,4^+1與6P2+1至少有一個不是質數(shù),

所以只有0=5滿足條件.

在圖表的第二行中，恰好填上8978這十個數(shù)，使得每一豎列上下兩個

因數(shù)的乘積除以11所因數(shù)89909192939495969798

得的余數(shù)都是3.因數(shù)

因為兩個數(shù)的乘積除以11的余數(shù)，等于兩個數(shù)分別除以11的余數(shù)之

積.因此原題中的8978

可以改換為170,這樣上下兩數(shù)的乘積除以H余3就容易計算了.我

們得到下面的結果：

因數(shù)89909192939495969798

因數(shù)37195621048

是:

因8999999999

數(shù)9012345678

因9989999999

數(shù)1597340826

（2000年“華杯賽”試題）3個三位數(shù)乘積的算式abcxbcaxcab=234235286（其

中心"c）,在校對時，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯誤，但是知道

最后一位6是正確的，問原式中的應是多少？

由于234235286=2+3+4+2+3+5+2+8+6=8(mod9),abcxbcaxcab=(a++c)3(mod9),

于是(a+6+c)3=8(mod9),從而(用a+6+c三0,1,2,…,8(mod9)代入上式檢驗)

a+>+c三2,5,8(mod9)(1),對a進仃討論：

如果a=9,那么%+c=2,5,8(mod9)…(2),又cxaxb的個位數(shù)字是6,所以萬xc

的個位數(shù)字為4,6xc可能為4x1、7x2、8x3、6x4,其中只有(子c)=(4,1),(8,3)

符合(2),經檢驗只有983x839x398=328245326符合題意.

如果a=8,那么Z?+c=3,6,0(mod9)***(3),又辦xc的個位數(shù)字為2或7,則匕xc

可能為2x1、4x3、6x2、7x6、7x1,其中只有?c)=(2,1)符合⑶，經檢驗，

嬴^二821不合題意.

如果a=7,那么6+c=4,7,l(mod9)…(4),則人xc可能為4x2、6x3,其中沒有符

合(4)的s,c).

如果aW6,那么6<5,c<4,正x^x^<700x600x500=210000000<222334586,因此

這時而不可能符合題意.綜上所述，正=983是本題唯一的解.

一個大于1的數(shù)去除290,235,200時，得余數(shù)分別為0,°+2,4+5,

則這個自然數(shù)是多少？

根據題意可知，這個自然數(shù)去除290,233,195時，得到相同的余數(shù)

(都為。).

既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以

這個數(shù)肯定余0.那么這個自然數(shù)是290-233=57的約數(shù)，又是233—195=38

的約數(shù)，因此就是57和38的公約數(shù),因為57和38的公約數(shù)只有19

和1,而這個數(shù)大于1,所以這個自然數(shù)是19.

一個大于10的自然數(shù)去除90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于這個

自然數(shù)去除220后所得的余數(shù)，則這個自然數(shù)是多少？

這個自然數(shù)去除90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除

90+164=254后所得的余數(shù)，所以254和220除以這個自然數(shù)后所得的余

數(shù)相同，因此這個自然數(shù)是254—220=34的約數(shù)，又大于10,這個自然數(shù)

只能是17或者是34.如果這個數(shù)是34,那么它去除90、164、220后

所得的余數(shù)分別是22、28、16,不符合題目條件；如果這個數(shù)是17,

那么他去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是5、11、16,符合題目

條件，所以這個自然數(shù)是17.

甲、乙、丙三數(shù)分別為603,939,393.某數(shù)a除甲數(shù)所得余數(shù)是人除

乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，a除乙數(shù)所得余數(shù)是a除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍.求

A等于多少？

根據題意，這三個數(shù)除以A都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們

表示出來：

6O3+A=&rx939^A=K2r2393+A=Nq

由于『2-4=24,要消去余數(shù)小斗“，我們只能先把余數(shù)處理成相同

的，再兩數(shù)相減.

這樣我們先把第二個式子乘以2,使得被除數(shù)和余數(shù)都擴大2倍，同

理，第三個式子乘以4.

于是我們可以得到下面的式子：603+4=屈/（939x2）+4=262rl

（393x4）+A=26您這樣余數(shù)就處理成相同的.最后兩兩相減消去余數(shù),

意味著能被A整除.

939x2-603=1275,393x4-603=969,(1275,969)=51=3x17.

51的約數(shù)有1、3、17、51,其中1、3顯然不滿足，檢驗17和51可

知17滿足，所以A等于17.

一個自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是0+5、2。、0,求這個

自然數(shù)和〃的值.

將這些數(shù)轉化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為2a的數(shù)：（429-5）x2=848,791、

500x2=1000,這樣這些數(shù)被這個自然數(shù)除所得的余數(shù)都是2a,故同余.

將這三個數(shù)相減，得到848—791=57、1000—848=152,所求的自然數(shù)一定是57

和152的公約數(shù)，而（57,152）=19,所以這個自然數(shù)是19的約數(shù)，顯然1是不

符合條件的，那么只能是19.經過驗證，當這個自然數(shù)是19時，除429、

791、500所得的余數(shù)分別為11、12、6,口=6時成立，所以這個自然數(shù)是19,

【模塊三：余數(shù)綜合應用】

著名的裴波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21……這串

數(shù)列當中第2008個數(shù)除以3所得的余數(shù)為多少？

斐波那契數(shù)列的構成規(guī)則是從第三個數(shù)起每一個數(shù)都等于它前面兩個

數(shù)的和，由此可以根據余數(shù)定理將裴波那契數(shù)列轉換為被3除所得余

數(shù)的數(shù)列：

1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……

第九項和第十項連續(xù)兩個是1,與第一項和第二項的值相同且位置連

續(xù)，所以裴波那契數(shù)列被3除的余數(shù)每8個一個周期循環(huán)出現(xiàn)，由于

2008除以8的余數(shù)為0,所以第2008項被3除所得的余數(shù)為第8項被

3除所得的余數(shù)，為0.

（2009年走美初賽六年級）有一串數(shù):1,1,2,3,5,8,……,從

第三個數(shù)起，每個數(shù)都是前兩個數(shù)之和，在這串數(shù)的前2009個數(shù)中，

有幾個是5的倍數(shù)？

由于兩個數(shù)的和除以5的余數(shù)等于這兩個數(shù)除以5的余數(shù)之和再除以

5的余數(shù).

所以這串數(shù)除以5的余數(shù)分別為：1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,

4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,……可以發(fā)現(xiàn)這串

余數(shù)中，每20個數(shù)為一個循環(huán)，且一個循環(huán)中，每5個數(shù)中第五個數(shù)

是5的倍數(shù).由于2009+5=4014,所以前2009個數(shù)中，有401個是5的

倍數(shù).

（圣彼得堡數(shù)學奧林匹克試題）托瑪想了一個正整數(shù)，并且求出了它分

別除以3、6和9的余數(shù).現(xiàn)知這三余數(shù)的和是15.試求該數(shù)除以18

的余數(shù).

除以3、6和9的余數(shù)分別不超過2,5,8,所以這三個余數(shù)的和永遠

不超過2+5+8=15,

既然它們的和等于15,所以這三個余數(shù)分別就是2,5,8.所以該數(shù)

加1后能被3,6,9整除,W[3,6,9]=18,設該數(shù)為a,貝|4=18/71-1,即

a=18（m-l）+17（m為非零自然數(shù)），所以它除以18的余數(shù)只能為17.

（2005年香港圣公會小學數(shù)學奧林匹克試題）一個家庭，有父、母、

兄、妹四人，他們任意三人的歲數(shù)之和都是3的整數(shù)倍，每人的歲數(shù)

都是一個質數(shù)，四人歲數(shù)之和是100,父親歲數(shù)最大，問：母親是多少

歲？

從任意三人歲數(shù)之和是3的倍數(shù)，100除以3余1,就知四個歲數(shù)都是

3人+1型的數(shù)，又是質數(shù).只有7,13,19,31,37,43,就容易看出：

父43歲，母37歲，兄13歲，妹7歲.廠

（華杯賽試題）如圖，在一個圓圈上有幾十個孔（不到100r\/

個），小明像玩跳棋那樣，從A孔出發(fā)沿著逆時針方向，每""

隔幾孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔.他先試著每隔2孔跳一

步,結果只能跳到B孔.他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最

后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道這個圓圈上共有多少

個孔嗎？

設想圓圈上的孔已按下面方式編了號：A孔編號為1,然后沿逆時針方

向順次編號

為2,3,4,B孔的編號就是圓圈上的孔數(shù).

我們先看每隔2孔跳一步時，小明跳在哪些孔上?很容易看出應在1,

4,7,10,…上，也就是說，小明跳到的孔上的編號是3的倍數(shù)加

1.按題意，小明最后跳到B孔，因此總孔數(shù)是3的倍數(shù)加1.

同樣道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味著總孔數(shù)是5的倍

數(shù)加1;而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味著總孔數(shù)是7的

倍數(shù).

如果將孔數(shù)減1,那么得數(shù)既是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，因而是15的

倍數(shù).這個15的倍數(shù)加上1就等于孔數(shù)，設孔數(shù)為“，則”15加+1（機

為非零自然數(shù)）而且“能被7整除.注意15被7除余1,所以15x6被7

除余6,15的6倍加1正好被7整除.我們還可以看出，15的其他（小

于的7）倍數(shù)加1都不能被7整除，而15x7=105已經大于100.7以上的

倍數(shù)都不必考慮，因此，總孔數(shù)只能是15x6+1=91.

(1997年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)將12345678910111213...…依次寫到第

1997個數(shù)字，組成一個1997位數(shù),那么此數(shù)除以9的余數(shù)是

本題第一步是要求出第1997個數(shù)字是什么，再對數(shù)字求和.

共有9個數(shù)字，1079共有90個兩位數(shù)，共有數(shù)字：90x2=180(個)，

100-999共900個三位數(shù)，共有數(shù)字：900x3=2700(個)，所以數(shù)連續(xù)寫，不

會寫到999,從100開始是3位數(shù)，每三個數(shù)字表示一個數(shù)，

(1997-9-180)^3=602……2,即有602個三位數(shù)，第603個三位數(shù)只寫了它的

百位和十位.從100開始的第602個三位數(shù)是701,第603個三位數(shù)

是9,其中2未寫出來.因為連續(xù)9個自然數(shù)之和能被9整除，所以

排列起來的9個自然數(shù)也能被9整除，702個數(shù)能分成的組數(shù)是：

702+9=78(組)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未寫出

來，所以余數(shù)為9-2=7.

設筋+1是質數(shù)，證明：E,20…，/被2〃+］除所得的余數(shù)各不相同.

假設有兩個數(shù)a、b,(l<b<a<n),它們的平方從被2〃+1除余數(shù)相同.那

么，由

同余定理得a?-6?三0(mod(2〃+1)),即(a-6)3+6)=0(mod(2〃+1)),由于2〃+1是質數(shù)，

以。+b=0(mod(2〃+1))或a—b=O(mod(2?+1)),由于a+b,a—b均小于2〃+1且大于0,

可知，a+b與2〃+1互質,a-匕也與2〃+1互質，即a+b,a-b都不能被2〃+1整

除，產生矛盾，所以假設不成立，原題得證.

試求不大于100,且使3"+7〃+4能被11整除的所有自然數(shù)n的和.

通過逐次計算，可以求出3,被n除的余數(shù),

依次為:3為3,3,為9,竽為5,3,為4,3$為1,…，

因而3"被11除的余數(shù)5個構成一個周期：3,9,5,4,1,3,9,5,

4,1,……；類似地，

可以求出7"被11除的余數(shù)10個構成一個周期：7,5,2,3,10,4,

6,9,8,1,....；

于是3"+7"+4被n除的余數(shù)也是10個構成一個周期：3,7,0,0,4,

0,8,7,5,6,....；

這就表明，每一個周期中，只有第3、4、6個這三個數(shù)滿足題意，

即九=3,4,6,13,14,16,……,93,94,96時3"+7"+4能被11整除，所以，

所有滿足條件的自然數(shù)n的和為：

3+4+6+13+14+16+...+93+94+96=13+43+...+283=1480.

若°為自然數(shù)，證明網(y5一產).

10=2x5,由于*5與產9的奇偶性相同,所以斗(*5_"949).

片。。5_產9=產畫6_]),如果°能被5整除，那么電飛,_i)；如果“不能被5

整除，那么a被5除的余數(shù)為1、2、3或者4,/被5除的余數(shù)為廣、

24、3,、4,被5除的余數(shù)，即為1、16、81、256被5除的余數(shù)，而這

四個數(shù)除以5均余1,所以不管a為多少，,被5除的余數(shù)為1,而

a56=(a4),4,即14個,相乘，所以小除以5均余1,則能被5整除,

有5|小9(才一1).所以5|(產5_產).

由于2與5互質，所以io|(?2005-?1949).

設n為正整數(shù)，左=2004",k被7除余數(shù)為2,k被11除余數(shù)為3,求n

的最小值.

2004被7除余數(shù)為2,被11除余數(shù)也為2,所以2“被7除余數(shù)為2,

被11除余數(shù)為3.

由于2:2被7除余2,而2=8被7除余1,所以n除以3的余數(shù)為1；

由于2^=256被11除余3,2*1024被11除余1,所以n除以10的余數(shù)為

8.

可見”+2是3和10的公倍數(shù)，最小為[3,10]=30,所以n的最小值為28.

有三個連續(xù)自然數(shù)，其中最小的能被15整除，中間的能被17整除,

最大的能被19整除，請寫出一組這樣的三個連續(xù)自然數(shù).

設三個連續(xù)自然數(shù)中最小的一個為n,則其余兩個自然數(shù)分別為〃+1,

〃+2?

依題意可知：15|",17|（〃+1）,19|（〃+2）,根據整除的性質對這三個算式進

行變換：

15f1512〃315]（2“一15）、

171（〃+1）.171（2"+2）f171（2w-15）[=>[15,17,19]|（2〃-15）

19|（w+2）f19|（2〃+4）f

從上面可以發(fā)現(xiàn)2〃—15應為15、17、19的公倍數(shù).

由于[15,17,19]=4845,所以2〃-15=4845（2左-1）（因為215是奇數(shù)），可得

“=4845左一2415.

當左=1時〃=2430,"+1=2431,“+2=2432,所以其中的一組自然數(shù)為2430、

2431、2432.

（2008年西城實驗考題）從1,2,3,……,n中，任取57個數(shù)，使這

57個數(shù)必有兩個數(shù)的差為13,則n的最大值為多少？

被13除的同余序列當中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、

66……，其中只要取到兩個相鄰的，這兩個數(shù)的差為13；如果沒有兩

個相鄰的數(shù)，則沒有兩個數(shù)的差為13,不同的同余序列當中不可能有

兩個數(shù)的差為13,對于任意一條長度為x的序列，都最多能取戶1個

數(shù)，使得取出的數(shù)中沒有兩個數(shù)的差為13,即從第1個數(shù)起隔1個取

1個.

基于以上，n個數(shù)分成13個序列，每條序列的長度為］曰或［曰+i,兩

個長度差為1的序列，要使取出的數(shù)中沒有兩個數(shù)的差為13,能夠被

取得的數(shù)的個數(shù)之差也不會超過1,所以為使57個數(shù)中任意兩個數(shù)的

差都不等于13,則這57個數(shù)被分配在13條序列中，在每條序列被分

配的數(shù)的個數(shù)差不會超過1,那么13個序列有8個序列分配了4個

數(shù)，5個序列分配了5個數(shù)，則這13個序列中8個長度為8,5個長

度為9,那么當n最小為8x8+9x5=109時，可以取出57個數(shù)，其中任兩

個數(shù)的差不為13,所以要使任取57個數(shù)必有兩個數(shù)的差為13,那么

n的最大值為108.

從1,2,3,4,2007中取N個不同的數(shù)，取出的數(shù)中任意三個的

和能被15整除.N最大為多少？

取出的N個不同的數(shù)中，任意三個的和能被15整除，則其中任意兩個

數(shù)除以15的余數(shù)相同，且這個余數(shù)的3倍能被15整除，所以這個余

數(shù)只能是0,5或者10.在12007中，除以15的余數(shù)為0的有15x1,

15x2,???,15x133,共有133個；除以15的余數(shù)為5的有15x0+5,15x1+5,…,

15x133+5,共有134個；除以15的余數(shù)為10的有15x0+10,15x1+10,…，

15x133+10,共有134個.所以N最大為134.

將自然數(shù)1,2,3,4......依次寫下去，若最終寫到2000,成為12319992000,

那么這個自然數(shù)除以99余幾？

由于99=9X11,可以分別求這個數(shù)除以9和H的余數(shù)，進而求出它除以

99的余數(shù).實際上求得這個數(shù)除以9和1