《高等數(shù)學(xué)C》教學(xué)大綱

《高等數(shù)學(xué)C》教學(xué)大綱適用范圍：202X版本科人才培養(yǎng)方案課程代碼：13110081/13110091課程性質(zhì)：通識教育必修課學(xué)分：10學(xué)分學(xué)時：160學(xué)時（理論160學(xué)時）先修課程：無后續(xù)課程：線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、復(fù)變函數(shù)與積分變換等適用專業(yè)：機械設(shè)計制造及其自動化開課單位：理學(xué)部一、課程說明《高等數(shù)學(xué)C》是機械設(shè)計制造及其自動化的一門通識教育必修課。本課程主要講授一元函數(shù)微積分及其應(yīng)用、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用、向量代數(shù)與空間解析幾何、無窮級數(shù)與常微分方程等方面的基本知識（基本概念、基本理論、基本方法）和基本運算技能，為學(xué)習(xí)后續(xù)課程以及進一步獲得數(shù)學(xué)知識奠定必要的連續(xù)量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；并通過課程教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力、辯證思維能力和創(chuàng)新思維能力，能夠?qū)⒏叩葦?shù)學(xué)知識應(yīng)用到機械設(shè)計制造及其自動化領(lǐng)域中。二、課程目標(biāo)通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生達到如下目標(biāo)：課程目標(biāo)1：掌握一元函數(shù)微積分及其應(yīng)用、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用、向量代數(shù)與空間解析幾何、無窮級數(shù)與常微分方程等方面的基本知識（基本概念、基本理論、基本方法）和基本運算技能。課程目標(biāo)2：培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力、辯證思維能力和創(chuàng)新思維能力，并具備一定的自主學(xué)習(xí)能力。課程目標(biāo)3：培養(yǎng)學(xué)生借助數(shù)學(xué)建模思維，具有將數(shù)學(xué)建模原理應(yīng)用到機械設(shè)計制造及其自動化領(lǐng)域的能力。課程目標(biāo)4：使學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和團隊合作精神，幫助學(xué)生樹立辯證唯物主義世界觀和方法論。三、課程目標(biāo)與畢業(yè)要求《高等數(shù)學(xué)C》課程教學(xué)目標(biāo)對機械設(shè)計制造及其自動化專業(yè)畢業(yè)要求的支撐見表1。表1課程教學(xué)目標(biāo)與畢業(yè)要求關(guān)系畢業(yè)要求指標(biāo)點課程目標(biāo)支撐強度1.工程知識1.1掌握數(shù)學(xué)、物理的基礎(chǔ)知識，領(lǐng)會數(shù)學(xué)、自然科學(xué)的重要思想和思維方法，理解工程問題的數(shù)理本質(zhì)及其表述方法。課程目標(biāo)1：掌握一元函數(shù)微積分及其應(yīng)用、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用、向量代數(shù)與空間解析幾何、無窮級數(shù)與常微分方程等方面的基本知識（基本概念、基本理論、基本方法）和基本運算技能。課程目標(biāo)2：培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力、辯證思維能力和創(chuàng)新思維能力，并具備一定的自主學(xué)習(xí)能力。課程目標(biāo)3：培養(yǎng)學(xué)生借助數(shù)學(xué)建模思維，具有將數(shù)學(xué)建模原理應(yīng)用到機械設(shè)計制造及其自動化領(lǐng)域的能力。課程目標(biāo)4：使學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和團隊合作精神，幫助學(xué)生樹立辯證唯物主義世界觀和方法論。H注：表中“H（高）、M（中）”表示課程與相關(guān)畢業(yè)要求的關(guān)聯(lián)度。四、教學(xué)內(nèi)容、基本要求與學(xué)時分配理論部分理論部分的教學(xué)內(nèi)容、基本要求與學(xué)時分配見表2。表2教學(xué)內(nèi)容、基本要求與學(xué)時分配教學(xué)內(nèi)容教學(xué)要求，教學(xué)重點難點理論學(xué)時對應(yīng)的課程目標(biāo)1.函數(shù)與極限1.1映射與函數(shù)1.2數(shù)列的極限和函數(shù)的極限1.3無窮小與無窮大，無窮小的比較1.4極限的運算法則，極限存在準(zhǔn)則，兩個重要極限1.5函數(shù)的連續(xù)性與間斷點，連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性1.6閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)要求：（1）在中學(xué)已有函數(shù)知識的基礎(chǔ)上，加深對函數(shù)概念的理解，掌握函數(shù)的表示法，了解函數(shù)性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性）；（2）理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)的概念；（3）掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念；（4）會建立簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系；（5）理解極限、左極限、右極限的概念，了解極限的、定義；（6）掌握極限的四則運算法則，會用變量代換求某些簡單的復(fù)合函數(shù)的極限；（7）了解極限的性質(zhì)和兩個存在準(zhǔn)則，掌握利用兩個重要極限公式求極限的方法；（8）了解無窮小、無窮大、高階無窮小和等價無窮小的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小替換求極限；（9）理解函數(shù)連續(xù)性的概念；（10）了解函數(shù)間斷點的概念，會判別間斷點的類型；（11）了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理與最大值、最小值定理。重點：函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的概念；極限的概念；函數(shù)連續(xù)的概念；極限運算法則和兩個重要極限。難點：復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)的概念；函數(shù)的極限；函數(shù)極限存在與左、右極限之間關(guān)系；無窮小的比較；判斷間斷點的類型；求極限。161、2、42.導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念，函數(shù)的求導(dǎo)法則2.2高階導(dǎo)數(shù)2.3隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，相關(guān)變化率2.4函數(shù)的微分教學(xué)要求：（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系；（2）了解導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)變化率的實際意義，會求平面曲線的切線和法線方程，會用導(dǎo)數(shù)表達科學(xué)技術(shù)中一些量的變化率；（3）掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，了解反函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)以及二階導(dǎo)數(shù)，會解一些簡單實際問題中的相關(guān)變化率問題；（4）了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；（5）理解微分的概念，理解微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，了解微分的四則運算法則和一階微分形式不變性。重點：導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義；基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；微分的概念；導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。難點：導(dǎo)數(shù)、微分的概念；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)；隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法；實際問題中的變化率的描述。101、2、3、43.微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1微分中值定理，洛必達法則3.2泰勒公式3.3函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性3.4函數(shù)的極值與最大值最小值3.5函數(shù)圖形的描繪和曲率教學(xué)要求：（1）理解羅爾定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理；（2）掌握用洛必達法則求未定式極限的方法；（3）了解泰勒中值定理以及用多項式逼近函數(shù)的思想；（4）理解函數(shù)極值的概念，掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法，會求較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題；（5）會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪一些簡單函數(shù)的圖形；（6）了解曲率和曲率半徑的概念，會求曲率和曲率半徑。重點：羅爾定理；拉格朗日中值定理；函數(shù)極值；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值；會利用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性；會求拐點。難點：中值定理；求未定式的極限；描繪函數(shù)的圖形；求最大值、最小值的應(yīng)用問題。121、2、3、44.不定積分4.1不定積分的概念與性質(zhì)4.2換元積分法4.3分部積分法4.4有理函數(shù)的積分及積分表的使用教學(xué)要求：（1）理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握不定積分基本公式；（2）掌握不定積分的換元積分法和分部積分法；（3）會求有理函數(shù)、三角有理式及可化為有理函數(shù)的積分。重點：原函數(shù)與不定積分的概念；不定積分的基本公式；換元積分法和分部積分法。難點：換元積分法和分部積分法；有理函數(shù)的積分；三角有理式的積分。121、2、45.定積分5.1定積分的概念與性質(zhì)5.2微積分基本公式5.3定積分的換元積分法與分部積分法5.4反常積分教學(xué)要求：（1）理解定積分的概念和性質(zhì)；（2）理解積分上限函數(shù)及其求導(dǎo)定理，掌握牛頓─萊布尼茲公式；（3）掌握定積分的換元積分法和分部積分法；（4）了解兩類反常積分的概念，會計算簡單反常積分。重點：定積分的概念和幾何意義；積分上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理；牛頓─萊布尼茲公式；定積分的換元積分法和分部積分法。難點：定積分的概念；變上限積分函數(shù)的求導(dǎo)；反常積分的概念；定積分的換元積分法和分部積分法。121、2、46.定積分的應(yīng)用6.1定積分的元素法6.2定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用6.3定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用教學(xué)要求：理解科學(xué)技術(shù)問題中建立定積分表達式的元素法的思想，會用定積分表示和計算一些幾何量和物理量。重點：定積分的元素法。難點：定積分的元素法；求平面圖形的面積，曲線的弧長，旋轉(zhuǎn)體的體積；物理上的應(yīng)用問題。61、2、3、47.微分方程7.1微分方程的基本概念7.2可分離變量的微分方程7.3齊次方程和一階線性微分方程7.4可降階的高階微分方程和高階線性微分方程7.5常系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程教學(xué)要求：（1）了解微分方程及其解、通解、初值條件和特解等概念；（2）掌握可分離變量方程及一階線性方程的解法；（3）會解齊次方程，并從中領(lǐng)會用變量代換求解微分方程的思想；（4）會用降階法解高階方程；（5）理解二階線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；（6）掌握二階常系數(shù)齊次線性方程的解法，了解高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；（7）會求自由項形如、的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解，其中為實系數(shù)次多項式，為實數(shù)；（8）會通過建立微分方程模型，解決一些簡單的實際問題。重點：可分離變量的微分方程及一階線性微分方程的解法；二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)；二階常系數(shù)齊次線性方程的解法。難點：可降階的二階方程的求解；二階常系數(shù)非齊次線性方程的解；用微分方程建立和求解一些簡單相關(guān)實際問題的數(shù)學(xué)模型。121、2、3、48.向量代數(shù)與空間解析幾何8.1向量及其線性運算，數(shù)量積，向量積，混合積8.2平面及其方程，空間直線及其方程8.3曲面及其方程，空間曲線及其方程教學(xué)要求：（1）理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示；（2）掌握向量的運算，了解兩個向量垂直、平行的條件；（3）掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標(biāo)表達式以及用坐標(biāo)表達式進行向量運算的方法；（4）了解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及圖形，會求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；（5）了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會求該投影曲線的方程；（6）掌握平面方程和直線方程及其求法，會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，會利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問題，會求點到直線、點到平面的距離。重點：空間直角坐標(biāo)系的概念；向量的概念；數(shù)量積、向量積的坐標(biāo)表示；平面方程與直線方程。難點：平面方程、直線方程的求法；常見二次曲面的方程及圖形；空間曲線的參數(shù)方程。141、2、49.多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用9.1多元函數(shù)的基本概念9.2偏導(dǎo)數(shù)和全微分9.3多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)公式9.4多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用，方向?qū)?shù)與梯度9.5多元函數(shù)的極值及其求法教學(xué)要求：（1）理解二元函數(shù)的概念及其幾何意義，了解多元函數(shù)的概念；（2）了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；（3）理解偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，會求偏導(dǎo)數(shù)，了解全微分存在的必要條件和充分條件；（4）了解全微分形式的不變性，了解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計算方法；（5）掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握全微分的求法，會求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，會求隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；（6）了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，并會求它們的方程；（7）理解二元函數(shù)的極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值的求法，掌握求條件極值的拉格朗日數(shù)乘法，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題。重點：二元函數(shù)的概念；二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念；復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法；二元函數(shù)極值與條件極值。難點：全微分、方向?qū)?shù)、梯度的概念；復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法。181、2、3、410.重積分10.1二重積分的概念與性質(zhì)，二重積分的計算法10.2三重積分10.3重積分的應(yīng)用教學(xué)要求：（1）理解二重積分概念，了解三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)；（2）掌握二重積分的計算方法，會計算簡單的三重積分；（3）會用重積分計算平面圖形的面積、立體的體積以及曲面的面積等一些幾何量與物理量。重點：二重積分的概念；二重積分在直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系下的計算方法；三重積分的計算。難點：二重積分在直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系下的計算方法；二重積分在幾何、物理上的應(yīng)用；三重積分的計算。161、2、3、411.曲線積分與曲面積分11.1對弧長的曲線積分，對坐標(biāo)的曲線積分11.2格林公式及其應(yīng)用11.3對面積的曲面積分，對坐標(biāo)的曲面積分11.4高斯公式，斯托克斯公式教學(xué)要求：（1）理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系，會計算兩類曲線積分；（2）掌握格林公式并會用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，了解第二類平面曲線積分與路徑無關(guān)的物理意義，會求全微分的原函數(shù)；（3）了解兩類曲面積分的概念，理解兩類曲面積分的性質(zhì)及二者的關(guān)系，會計算兩類曲面積分；（4）了解高斯公式，會利用高斯公式計算積分，并會用斯托克斯公式計算曲線積分。重點：兩類曲線積分、曲面積分的概念及計算；格林公式。難點：曲線積分、曲面積分的概念；兩類曲線積分、曲面積分的關(guān)系；高斯公式；斯托克斯公式。161、2、3、412.無窮級數(shù)12.1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)12.2常數(shù)項級數(shù)的審斂法12.3冪級數(shù)12.4函數(shù)展開成冪級數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用和傅里葉級數(shù)教學(xué)要求：（1）理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件；（2）掌握正項級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法，掌握幾何級數(shù)、級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件；（3）了解交錯級數(shù)的萊布尼茲定理，了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及二者的關(guān)系；（4）了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念，掌握簡單冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的求法，了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會利用冪級數(shù)的性質(zhì)求和；（5）會利用、、、、的麥克勞林展開式將一些簡單的函數(shù)展開成冪級數(shù)；（6）了解傅里葉級數(shù)的概念，會將定義在上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)。重點：正項級數(shù)的比較判別法、比值判別法；冪級數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間的求法；間接展開法把簡單的函數(shù)展開成泰勒級數(shù)。難點：級數(shù)斂散性的概念及判定；任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂的判定；把函數(shù)展開成冪級數(shù)。161、2、4合計160五、教學(xué)方法及手段本課程教學(xué)以課堂講授為主，利用超星學(xué)習(xí)通平臺，結(jié)合網(wǎng)絡(luò)優(yōu)質(zhì)視頻資源，配合多媒體課件等采用啟發(fā)式、討論式教學(xué)等共同完成課堂授課內(nèi)容，促進學(xué)生積極思考，開發(fā)學(xué)生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生理解問題、分析問題和解決問題的能力；課下采取自學(xué)、分組任務(wù)、課后作業(yè)等形式，對課堂授課內(nèi)容進行鞏固和提高；采用釘釘、微信等交流工具，加強教師和學(xué)生之間的溝通交流。六、課程資源1.推薦教材：同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2014.2.參考書：（1）同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南:同濟第七版[M].北京:高等教育出版社,2014.（2）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.數(shù)學(xué)分析(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2019.（3）方桂英,崔克儉.高等數(shù)學(xué)(第四版)[M].北京:科學(xué)出版社,2018.3.期刊：（1）董浩宇,高德智.第二型曲線積分的分部積分方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2018,34(5):114-117.（2）林群,童增祥,張景中.先于極限的微積分中引入連續(xù)性[J].高等數(shù)學(xué)研究,2020,23(04):1-10.（3）戴敏.多元函數(shù)微分學(xué)中的反例構(gòu)造技巧[J].高等數(shù)學(xué)研究,2021,24(3):36-40.（4）MondherBenjemaa.Taylor'sformulainvolvinggeneralizedfractionalderivatives[J].AppliedMathematicsandComputation,2018,335:182-195.（5）DiegoDominici.PowerseriesexpansionofaHankeldeterminant[J].LinearAlgebraanditsApplications,2020,601:17-54.（6）XiaojieHuang,ZhixiuLiu,ChunWu.Derivativeandhigher-orderCauchyintegralformulaofmatrixfunctions[J].OpenMathematics,2021,19(1):1771-1778.4.網(wǎng)絡(luò)資源：（1）李雨生,郭鏡明,潘生亮等.高等數(shù)學(xué)[Z/OL].北京:愛課程ICourse.2019[2021]./sCourse/course_2181.html.（2）李繼成,趙小艷,吳慧卓等.高等數(shù)學(xué)[Z/OL].北京:中國大學(xué)MOOC.2016[2021]./course/XJTU-1001744016?tid=1465249460.（3）朱建民,李建平,黃建華等.高等數(shù)學(xué)[Z/OL].北京:中國大學(xué)MOOC.2014[2021]./course/NUDT-9004?tid=1465472487.七、課程考核對課程目標(biāo)的支撐課程成績由過程性考核成績和期末考核成績兩部分構(gòu)成，具體考核/評價細(xì)則及對課程目標(biāo)的支撐關(guān)系見表3。表3課程考核對課程目標(biāo)的支撐考核環(huán)節(jié)占比考核/評價細(xì)則課程目標(biāo)1234過程性考核課堂表現(xiàn)10（1）根據(jù)課堂出勤情況、課堂回答問題和分組任務(wù)完成情況進行考核，滿分100分。（2）以平時考核成績乘以其在總評成績中所占的比例計入課程總評成績?！獭獭?32作業(yè)10（1）主要考核學(xué)生對各章節(jié)知識點的復(fù)習(xí)、理解和掌握程度，滿分100分。（2）每次作業(yè)單獨評分，取各次成績的平均值作為此環(huán)節(jié)的最終成績。（3）以作業(yè)成績乘以其在總評成績中所占的比例計入課程總評成績?！獭獭?42階段測驗20（1）根據(jù)每次階段測驗情況單獨評分，滿分100分。（2）每次階段測驗單獨評分，取各次測驗成績的平均值作為此