2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變形單元綜合測(cè)試含解析北師大版必修4

單元綜合測(cè)試三(第三章綜合測(cè)試)時(shí)間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷(選擇題，共50分)一、選擇題(每小題5分，共50分)1．已知cosθ＝eq\f(4,5)，且eq\f(3,2)π<θ<2π，那么tanθ的值是(B)A.eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)解析：∵cosθ＝eq\f(4,5)，且eq\f(3,2)π<θ<2π，∴sinθ＝－eq\f(3,5)，∴tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(3,4).2．若cosα＝－eq\f(4,5)，sinα＝eq\f(3,5)，則2α的終邊所在象限為(D)A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：由題意，得sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(24,25)<0，cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(7,25)>0，故2α的終邊在第四象限．3．設(shè)A、B是△ABC的內(nèi)角，并且(1＋tanA)·(1＋tanB)＝2，則A＋B等于(A)A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(5π,4) D．kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)解析：因?yàn)?1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝2，所以tanA＋tanB＝1－tanAtanB，所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝1，所以A＋B＝eq\f(π,4).4．函數(shù)f(x)＝sinxcosx＋eq\f(\r(3),2)cos2x的最小正周期和振幅分別是(A)A．π，1 B．π，2C．2π，1 D．2π，2解析：本題考查了協(xié)助角公式、倍角公式和正弦型函數(shù)的性質(zhì)．三角函數(shù)中，當(dāng)角與角之間是2倍關(guān)系時(shí)，常選用倍角公式化為同角，然后整理成正弦型函數(shù)處理．f(x)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x＝sin(2x＋eq\f(π,3))，周期T＝π，振幅為1，故選A.5．已知tan(π－α)＝－2，則eq\f(1,cos2α＋cos2α)＝(D)A．－3 B.eq\f(2,5)C．3 D．－eq\f(5,2)解析：∵tan(π－α)＝－tanα＝－2，∴tanα＝2，∴eq\f(1,cos2α＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,2cos2α－sin2α)＝eq\f(tan2α＋1,2－tan2α)＝eq\f(4＋1,2－4)＝－eq\f(5,2)，故選D.6．已知sinx＋eq\r(3)cosx＝eq\f(6,5)，則cos(eq\f(π,6)－x)＝(B)A．－eq\f(3,5) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D.eq\f(4,5)解析：∵sinx＋eq\r(3)cosx＝eq\f(6,5)，∴2(eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx)＝eq\f(6,5)，∴2cos(eq\f(π,6)－x)＝eq\f(6,5)，∴cos(eq\f(π,6)－x)＝eq\f(3,5)，故選B.7．若sinθ＋cosθ＝m，且tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝n，則m2與n的關(guān)系為(B)A．m2＝n B．m2＝eq\f(2,n)＋1C．m2＝eq\f(2,n)－1 D．n＝eq\f(2,m2)解析：視察sinθ＋cosθ與sinθcosθ的關(guān)系：sinθcosθ＝eq\f(sinθ＋cosθ2－1,2)＝eq\f(m2－1,2).而tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,sinθcosθ)＝n，∴eq\f(m2－1,2)＝eq\f(1,n)，∴m2＝eq\f(2,n)＋1.8．設(shè)函數(shù)f(x)＝2cos2eq\f(ωx,2)－1(ω>0)，將y＝f(x)的圖像向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖像與原圖像重合，則ω的最小值等于(C)A.eq\f(1,3) B．3C．6 D．9解析：因?yàn)閒(x)＝2cos2eq\f(ωx,2)－1，所以f(x)＝cosωx.將函數(shù)f(x)＝cosωx(ω>0)的圖像向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖像的解析式為y＝cosωeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，因?yàn)閥＝cosωeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖像與原圖像重合，所以eq\f(πω,3)＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝6k(k∈Z)．又ω>0，所以ωmin＝6，故選C.9．4cos50°－tan40°＝(C)A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2)＋\r(3),2)C.eq\r(3)D．2eq\r(2)－1解析：本題考查非特別角三角函數(shù)的求值問題．4cos50°－tan40°＝eq\f(4cos50°cos40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(4cos50°sin50°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin100°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin60°＋40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin60°cos40°＋2cos60°sin40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)cos40°＋sin40°－sin40°,cos40°)＝eq\r(3).10．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，則下面等式肯定成立的是(C)A．A＝BB．A＝CC．B＝CD．A＝B＝C解析：由sinB·sinC＝cos2eq\f(A,2)＝eq\f(1＋cosA,2)，得2sinBsinC＝cosA＋1，化簡(jiǎn)得cos(B－C)－cos(B＋C)＝1＋cosA，又cos(B＋C)＝－cosA，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，即B＝C，選C.第Ⅱ卷(非選擇題，共100分)二、填空題(每小題5分，共25分)11．若f(sinx)＝3－cos2x，則f(cosx)＝3＋cos2x.解析：∵f(sinx)＝3－cos2x＝2＋2sin2x，∴f(x)＝2＋2x2，∴f(cosx)＝2＋2cos2x＝3＋cos2x.12．已知13sinα＋5cosβ＝9,13cosα＋5sinβ＝15，那么sin(α＋β)的值為eq\f(56,65).解析：兩式兩邊平方相加，得132＋130(sinα·cosβ＋cosαsinβ)＋52＝92＋152，即130sin(α＋β)＝112，所以sin(α＋β)＝eq\f(56,65).13．函數(shù)y＝sin2x＋2eq\r(3)sin2x的最小正周期T為π.解析：本題考查二倍角公式，協(xié)助角公式與三角恒等變形．y＝sin2x＋2eq\r(3)sin2x＝sin2x＋eq\r(3)(1－cos2x)＝sin2x－eq\r(3)cos2x＋eq\r(3)＝2sin(2x－eq\f(π,3))＋eq\r(3).∵ω＝2.∴T＝π.14．如圖所示，三個(gè)全等的正方形并排在一起則α＋β＝eq\f(π,4).解析：由題意知tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，且0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，∴tan(α＋β)＝eq\f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1，0<α＋β<π，∴α＋β＝eq\f(π,4).15．設(shè)當(dāng)x＝θ時(shí)，函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，則cosθ＝－eq\f(2\r(5),5).解析：f(x)＝sinx－2cosx＝eq\r(5)(eq\f(1,\r(5))sinx－eq\f(2,\r(5))cosx)，令eq\f(1,\r(5))＝cosα，eq\f(2,\r(5))＝sinα，則f(x)＝eq\r(5)sin(x－α)，∵x∈R，∴f(x)max＝eq\r(5)，且當(dāng)x－α＝2kπ＋eq\f(π,2)時(shí)取得最大值，k∈Z.∵x＝θ時(shí)，f(x)取得最大值，∴θ＝2kπ＋eq\f(π,2)＋α.∴cosθ＝cos(2kπ＋eq\f(π,2)＋α)＝－sinα＝－eq\f(2\r(5),5).三、解答題(本題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分12分)(1)已知α是第三象限角，f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－αtan－α－π,tan－αsin－π－α)，化簡(jiǎn)并求f(eq\f(17π,3))的值；(2)已知sin(θ＋kπ)＝－2cos(θ＋kπ)，k∈Z.求eq\f(4sinθ－2cosθ,5cosθ＋3sinθ).解：(1)f(α)＝eq\f(sinαcosα－tanα,－tanαsinα)＝cosα，則f(eq\f(17π,3))＝coseq\f(17π,3)＝cos(6π－eq\f(π,3))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).(2)由已知得cos(θ＋kπ)≠0，∴tan(θ＋kπ)＝－2，k∈Z，即tanθ＝－2，則eq\f(4sinθ－2cosθ,5cosθ＋3sinθ)＝eq\f(4tanθ－2,5＋3tanθ)＝10.17．(本小題滿分12分)已知α為其次象限角，且sinα＝eq\f(\r(15),4)，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),sin2α＋cos2α＋1)的值．解：eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),sin2α＋cos2α＋1)＝eq\f(\f(\r(2),2)sinα＋cosα,2sinαcosα＋2cos2α)＝eq\f(\r(2)sinα＋cosα,4cosαsinα＋cosα).∵α為其次象限角，sinα＝eq\f(\r(15),4)，∴cosα＝－eq\f(1,4)，∴sinα＋cosα≠0，∴eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),sin2α＋cos2α＋1)＝eq\f(\r(2),4cosα)＝－eq\r(2).18．(本小題滿分12分)已知銳角α，β滿意tan(α－β)＝2sinβcosβ，求證：2sin2β＝(tanα＋tanβ)cos2β.證明：因?yàn)閠an(α－β)＝sin2β，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)，sin2β＝2sinβcosβ＝eq\f(2sinβcosβ,sin2β＋cos2β)＝eq\f(2tanβ,1＋tan2β).所以eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(2tanβ,1＋tan2β)，去分母，整理，得tanα＝eq\f(3tanβ＋tan3β,1－tan2β).所以tanα＋tanβ＝eq\f(3tanβ＋tan3β＋tanβ－tan3β,1－tan2β)＝eq\f(2×2tanβ,1－tan2β)＝2tan2β.所以2sin2β＝(tanα＋tanβ)cos2β.19．(本小題滿分12分)已知向量a＝(cosx，－eq\f(1,2))，b＝(eq\r(3)sinx，cos2x)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝(cosx，－eq\f(1,2))·(eq\r(3)sinx，cos2x)＝eq\r(3)cosxsinx－eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＝coseq\f(π,6)sin2x－sineq\f(π,6)cos2x＝sin(2x－eq\f(π,6))．∴f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π，即函數(shù)f(x)的最小正周期為π.(2)∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6).由正弦函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)時(shí)，f(x)取得最大值1.當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝0時(shí)，f(0)＝－eq\f(1,2)，當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝eq\f(5,6)π，即x＝eq\f(π,2)時(shí)，f(eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)，∴f(x)的最小值為－eq\f(1,2).因此f(x)在[0，eq\f(π,2)]上最大值是1，最小值是－eq\f(1,2).20．(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)＝1－cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx＋t(x∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，是否存在實(shí)數(shù)t，使函數(shù)f(x)的值域恰為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(7,2)))？若存在，懇求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：(1)因?yàn)閒(x)＝1－cos2x＋eq\r(3)sin2x＋t＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋t＋1，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)t符合題意，因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋t＋1∈[t，3＋t]．又f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(7,2)))，所以t＝eq\f(1,2)，所以存在實(shí)數(shù)t＝eq\f(1,2)，使函數(shù)f(x)的值域恰為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(7,2))).21．(本小題滿分14分)已知向量a＝(coseq\f(3,2)x，sineq\f(3,2)x)，b＝(coseq\f(x,2)，－sineq\f(x,2))，c＝(1，－1)，其中x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]．(1)求證：(a＋b)⊥(a－b)；(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝(|a＋c|2－3)(|b＋c|2－3)，求f(x)的最大值和最小值．解：(1)證明：依題意，a＋b＝(coseq\f(3,2)x＋coseq\f(x,2)，sineq\f(3,2)x－sineq\f(x,2))，a－b＝(coseq\f(3,2)x－coseq\f(x,2)，sineq\f(3,2)x＋sine