陜西省咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題含解析

PAGEPAGE14陜西省咸陽市試驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.數(shù)列，3，，，，…，則9是這個(gè)數(shù)列的第（）A.12項(xiàng) B.13項(xiàng) C.14項(xiàng) D.15項(xiàng)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知數(shù)列中前若干項(xiàng)，可以歸納總結(jié)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于n的方程，解方程得到答案.【詳解】數(shù)列，3，，，，…，可化為：，，，，，…，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為：當(dāng)時(shí)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)歸納，數(shù)學(xué)運(yùn)算的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.在等差數(shù)列中，若，，則等于（）A.45 B.75 C.50 D.【答案】C【解析】分析：詳解：依據(jù)等差數(shù)列中等差中項(xiàng)的性質(zhì)因?yàn)樗运赃xC點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列中等差中項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用，是簡潔題．在數(shù)列中，應(yīng)用等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)能使化簡、求值更加簡便、快捷．3.已知等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則（）A.-4 B.-6 C.-8 D.【答案】B【解析】【分析】把，用和公差2表示，依據(jù)，，成等比數(shù)列，得到解得.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，即解得故選：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，與等比中項(xiàng)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4.已知等比數(shù)列中,,,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)公比為,再依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解,進(jìn)而求得即可.【詳解】設(shè)公比為,則,故.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)等比數(shù)列各項(xiàng)間的關(guān)系求解某項(xiàng)的問題,屬于基礎(chǔ)題.5.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若,則的值為（）A.12 B.10 C.8 D.【答案】B【解析】因?yàn)樗?，故選B點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查了等比數(shù)列的重要性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，,留意等式兩邊的項(xiàng)數(shù)，都是兩項(xiàng).6.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，若，則（）A.7 B.8 C.15 D.【答案】C【解析】試題分析：由數(shù)列為等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，所以，即，因?yàn)?，所以，解得：，依?jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．考點(diǎn)：1．等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式；2．等差中項(xiàng)．7.等差數(shù)列18，15，12，…前n項(xiàng)和的最大值為（）A.60 B.63 C.66 D.69【答案】B【解析】【分析】先求出，再求出，即得前n項(xiàng)和的最大值.【詳解】由題得，令.所以.所以等差數(shù)列的前6項(xiàng)和前7項(xiàng)和最大，所以前n項(xiàng)和的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最大值的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.8.設(shè)是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）．A. B.與是的最大值C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依據(jù)，，可得，，．即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，．，，，與是的最大值．因此A，B，D正確．對于C．，可得，因此不正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其單調(diào)性，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．9.假如將2，5，10依次加上同一個(gè)常數(shù)后組成一個(gè)等比數(shù)列，那么該等比數(shù)列的公比是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)加上的常數(shù)為x，依據(jù)等比數(shù)列關(guān)系，解方程即可.【詳解】設(shè)加上的常數(shù)為x，則，解得.所以這三個(gè)數(shù)為，所以公比為.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查等比數(shù)列，依據(jù)等比中項(xiàng)關(guān)系建立等式解方程組求解，屬于基礎(chǔ)題目.10.下列命題中正確的是（）A.若a，b，c是等差數(shù)列，則，，是等比數(shù)列B.若a，b，c是等比數(shù)列，則，，是等差數(shù)列C.若a，b，c是等差數(shù)列，則，，2c是等比數(shù)列D.若a，b，c等比數(shù)列，則，，是等差數(shù)列【答案】C【解析】【分析】將設(shè)a，b，c為特別值，對選項(xiàng)逐一進(jìn)行解除，得到答案.【詳解】對于A選項(xiàng)，1,2,3成等差數(shù)列，但，，不成等比數(shù)列；所以A不正確.對于B選項(xiàng)，1,,4成等比數(shù)列，此時(shí)無意義，所以B不正確.對于C選項(xiàng)，a，b，c是等差數(shù)列，即，則所以，，2c成等比數(shù)列，所以C正確.對于D選項(xiàng)，1,2,4成等比數(shù)列，但，，不成等差數(shù)列；所以D不正確.所以選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差、等比數(shù)列變換后還是不是等比、等差數(shù)列的問題，解決的方法就是利用特別值進(jìn)行解除，用定義去推斷，屬于基礎(chǔ)題.11.在數(shù)列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),則的值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知得a2=1+(-1)2=2,∴a3·a2=a2+(-1)3,∴a3=,∴a4=+(-1)4,∴a4=3,∴3a5=3+(-1)5,∴a5=,∴=×=.故選C.12.在圓x2+y2＝5x內(nèi)，過點(diǎn)有n條弦的長度成等差數(shù)列，最小弦長為數(shù)列的首項(xiàng)a1，最大弦長為an，若公差，那么n的取值集合為A.{4，5，6，7} B.{4，5，6}C.{3，4，5，6} D.{3，4，5}【答案】A【解析】【分析】先求出圓的圓心和半徑，依據(jù)圓的幾何性質(zhì)計(jì)算出過點(diǎn)的最短弦長和最長弦長，即等差數(shù)列的第一項(xiàng)和第n項(xiàng)，再依據(jù)等差數(shù)列的公差d∈[，]，求出n的取值集合．【詳解】圓x2+y2=5x的圓心為C，半徑為r=過點(diǎn)P最短弦的弦長為a1=2=4過點(diǎn)P最長弦長為圓的直徑長an=5，∴4+（n﹣1）d=5，d=，∵d∈[，]，∴，∴4≤n≤7．故選A．【點(diǎn)睛】本題考察了圓的方程，圓的幾何性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等學(xué)問，解題時(shí)要學(xué)會(huì)運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)解決圓的弦長問題，提高解題速度．二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分．請把正確答案填在題中橫線上）13.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則________.【答案】3【解析】【分析】首先依據(jù)，求出，再計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，舍去.當(dāng)時(shí)，，即，整理得到，.所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和的計(jì)算，嫻熟駕馭公式為解題的關(guān)鍵，屬于簡潔題.14.等差數(shù)列中，，，則數(shù)列中肯定值最小的項(xiàng)是第________項(xiàng)．【答案】9【解析】【分析】先求出，再得出數(shù)列的單調(diào)性，從而可得答案.【詳解】在等差數(shù)列中，，，則等差數(shù)列單調(diào)遞減，令，得，可得數(shù)列，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，最小.故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和考查數(shù)列的單調(diào)性，依據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得出數(shù)列中的最小項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式______【答案】【解析】【分析】依據(jù)求出；利用得到，證得數(shù)列為等比數(shù)列；再依據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式寫出結(jié)果.【詳解】由得：，即又，則由此可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列則本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解問題，關(guān)鍵是能夠利用證得數(shù)列為等比數(shù)列，即符合遞推關(guān)系符合等比數(shù)列定義的形式.16.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，有下列三個(gè)命題：①若{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則an＝an＋1；②若Sn＝an(a為非零常數(shù))，則{an}是等比數(shù)列；③若Sn＝1－(－1)n，則{an}是等比數(shù)列.其中真命題的序號是________.【答案】①③【解析】易知①是真命題，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和知②不正確，③正確．據(jù)此可得真命題的序號是①③.三、解答題（本大題共6小題，共74分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知等差數(shù)列滿意，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列滿意，，問：與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)128.【解析】試題分析：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)學(xué)問，考查學(xué)生的分析問題解決問題的實(shí)力、轉(zhuǎn)化實(shí)力、計(jì)算實(shí)力.（Ⅰ）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將轉(zhuǎn)化成和，解方程得到和的值，干脆寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（Ⅱ）先利用第一問的結(jié)論得到和的值，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，將和轉(zhuǎn)化為和，解出和的值，得到的值，再代入到上一問等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中，解出的值，即項(xiàng)數(shù).試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，?所以.（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為.因?yàn)?，，所以?所以.由，得.所以與數(shù)列的第項(xiàng)相等.考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.18.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)，且，，成等比數(shù)列，求．【答案】或【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公差為d，由條件可得化簡得，解出方程可得答案.【詳解】設(shè)數(shù)列公差為d，由，且，，成等比數(shù)列即，即解得，或，，∴或，即或．【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等比數(shù)列的概念，屬于基礎(chǔ)題.19.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）由已知可得等差數(shù)列的公差為整數(shù)．由可得列出不等式組解得的范圍，從而可確定整數(shù)的值，最終由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由已知先寫出，列出的表達(dá)式，由于可分裂為，故采納裂項(xiàng)相消法求．（1）由，為整數(shù)知，等差數(shù)列的公差為整數(shù)．又，故于是，解得，因此，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2），于是．考點(diǎn)：1．等差數(shù)列通項(xiàng)公式；2．裂項(xiàng)法求數(shù)列的前項(xiàng)和．20.用分期付款的方式購買某家用電器一件，價(jià)格為1150元，購買當(dāng)天先付150元，以后每月這一天還款一次，每次還款數(shù)額相同，20個(gè)月還清，月利率為1%，按復(fù)利計(jì)算．若交付150元后的第一個(gè)月起先算分期付款的第一個(gè)月，全部欠款付清后，請問買這件家電實(shí)際付款多少元？每月還款多少元？(最終結(jié)果保留4個(gè)有效數(shù)字)參考數(shù)據(jù)：(1＋1%)19＝1.208，(1＋1%)20＝1.220，(1＋1%)21＝1.232.【答案】詳見解析.【解析】試題分析:購買當(dāng)天先付款后，所欠款數(shù)可求，用20個(gè)月還清，月利率為1%，按復(fù)利計(jì)息，分期付款的總款數(shù)，是等比數(shù)列的前20項(xiàng)和，求出可得買這件家電實(shí)際付款數(shù)，以及每個(gè)月應(yīng)還款數(shù).試題解析:由題易得x(1＋1%)19＋x(1＋1%)18＋…＋x(1＋1%)＋x＝1000(1＋1%)20，即x·＝1000×(1＋1%)20，所以x＝≈55.45，即每月還款55.45元．所以買這件家電實(shí)際付款55.45×20＋150＝1259(元)，每月還款55.45元．21.已知是等差數(shù)列，是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，.⑴求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；⑵若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，;(2).【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知條件，，.可列出關(guān)于的方程組，解方程組求出的值，最終求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)用錯(cuò)位相消法，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，可以求出數(shù)列前項(xiàng)和.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋杂?，所以?2)因?yàn)椋?，所以，因此①，②，①—②得：，.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了用錯(cuò)位相消法求數(shù)列前項(xiàng)和.22.已知f（x）＝3x2－2x，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（n，Sn）（n∈N*）均在函數(shù)y＝f（x）的圖象上．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn<對全部n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．【答案】（1）an=6n－5（n∈N*）（2）m＝10【解析】【詳解】試題分析：（1）依據(jù)條件得到Sn=3n2－2n，進(jìn)行求解即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)