第4章-正弦交流電路的分析

第4章正弦交流電路的分析了解正弦量的相量表示方法。深刻理解電阻、電感和電容的相量形式的伏安關(guān)系及其意義；了解感抗頻率特性與容抗頻率特性的意義。深刻理解KCL、KVL的相量形式及其應(yīng)用；了解串、并聯(lián)諧振。深刻理解并會(huì)計(jì)算正弦穩(wěn)態(tài)電路的平均功率；了解提高功率因數(shù)的意義；掌握提高功率因數(shù)的方法。本章學(xué)習(xí)要求

4.1相量法4.2阻抗和導(dǎo)納4.3RLC串聯(lián)電路4.4RLC并聯(lián)電路4.5正弦交流電路的相量圖求解法4.6復(fù)雜正弦交流電路4.7正弦電路中的功率4.8串聯(lián)諧振電路4.9并聯(lián)諧振電路

本章大綱4.1相量法

當(dāng)正弦量的三要素確定以后，該正弦量就惟一被確定了。它可以通過(guò)瞬時(shí)值表達(dá)式（三角函數(shù)式）和波形圖來(lái)描述，這2種表示正弦量的方法比較直觀。正弦交流電路的分析計(jì)算要涉及到三角函數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，甚至還有微分、積分運(yùn)算等，這些計(jì)算非常繁瑣。為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，將相量引入正弦交流電路的分析計(jì)算中。相量法是正弦交流電路分析的一個(gè)重要方法。應(yīng)用相量法需要運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算。

正弦量的相量表示法的基礎(chǔ)是復(fù)數(shù)。下面對(duì)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)要的回顧。1．復(fù)數(shù)的定義由實(shí)數(shù)a1和虛數(shù)ja2代數(shù)和構(gòu)成的數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)，如果用A表示，即

A=a1+ja2其中，為虛部單位，a1為復(fù)數(shù)A的實(shí)部，a2為復(fù)數(shù)A的虛部；a1，a2

R。2．復(fù)數(shù)平面以實(shí)數(shù)數(shù)軸和虛數(shù)數(shù)軸為坐標(biāo)軸而構(gòu)成的平面稱(chēng)為復(fù)數(shù)平面，簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)平面。其中“+1”表示實(shí)數(shù)數(shù)軸，“+j”表示虛數(shù)數(shù)軸。4.1.1復(fù)數(shù)

一個(gè)復(fù)數(shù)可用下面5種形式來(lái)表示。①代數(shù)形式：A=a1+ja2。②用復(fù)平面上的點(diǎn)表示，如圖中的坐標(biāo)點(diǎn)A所示。③用復(fù)平面上的向量表示，如圖中的向量所示，其中

角是向量A的輻角，a是向量A的模。④三角函數(shù)形式：復(fù)數(shù)A的模等于a，

角是復(fù)數(shù)A的輻角。3．復(fù)數(shù)的表示形式4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算①加減運(yùn)算復(fù)數(shù)相加或相減，就是把它們的實(shí)部和虛部分別相加或相減復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算也可在復(fù)平面上用平行四邊形法則作圖完成②乘法運(yùn)算

兩復(fù)數(shù)的相乘，等于它們的模相乘，輻角相加復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算如圖所示③除法運(yùn)算兩復(fù)數(shù)的相除，等于它們的模相除，輻角相減復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算如圖所示復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算用指數(shù)式或極標(biāo)式進(jìn)行比較方便。復(fù)數(shù)乘、除表示為模的放大或縮小，輻角表示為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

5．j的作用把任意復(fù)數(shù)A乘以j把任意復(fù)數(shù)A乘以j也就等于把復(fù)數(shù)A在復(fù)平面上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

/2。故把稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)因子

4.1.2正弦量的復(fù)數(shù)表示

只要作用在線性電路的各個(gè)電源都是同頻率的正弦量，則電路中的電流和電壓也一定是同頻率的正弦量，這意味著在待求的正弦電流和正弦電壓的三要素中，頻率為已知量，不必再考慮，只需要求出振幅和初相位2個(gè)要素，待求的正弦量便可以完全確定。根據(jù)正弦電路的這一特點(diǎn)，可以用一個(gè)復(fù)數(shù)來(lái)反映正弦量的振幅和初相位，把這個(gè)復(fù)數(shù)稱(chēng)作此正弦量的相量。

Im[]表示取復(fù)數(shù)的虛部用大寫(xiě)字母上加一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，稱(chēng)為正弦交流電流的最大值相量通過(guò)數(shù)學(xué)方法，把一個(gè)實(shí)數(shù)范圍的正弦時(shí)間函數(shù)與一個(gè)復(fù)數(shù)范圍的復(fù)指數(shù)函數(shù)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)在工程上常將正弦量的相量的模用有效值表示，稱(chēng)為有效值相量，即注意：相量可以表示正弦量，但相量和正弦量是完全不同的量。相量一定是復(fù)數(shù)，但復(fù)數(shù)不一定是相量

既然相量是復(fù)數(shù)，那么相量在復(fù)平面上可以畫(huà)出來(lái)。當(dāng)把各個(gè)同頻率正弦量的相量畫(huà)在同一復(fù)平面上時(shí)，所得到的圖形稱(chēng)為相量圖。由于旋轉(zhuǎn)角頻率都相同，相量彼此之間的相位關(guān)系始終保持不變，因此在研究同頻相量之間的關(guān)系時(shí)，一般只按初相位作出相量，而不必標(biāo)出角頻率。

需要指出的是：①只有同頻率正弦量才能用相量表示，一起參與運(yùn)算。②正弦交流電路中，只有瞬時(shí)值、相量滿(mǎn)足、，最大值、有效值不滿(mǎn)足KCL、KVL。

相量的幾何意義相量不等于正弦量，但卻具有明確的意義，下面以電壓相量為例來(lái)說(shuō)明。如圖所示，在復(fù)平面上有向量OA，設(shè)定它的模等于正弦交流電壓e1的幅值Em，它OA的輻角等于e1的初相位

。

相量的幾何意義4.1.3基爾霍夫定律的相量表示KCL的相量形式為

表明在電路任一節(jié)點(diǎn)上的電流相量代數(shù)和等于零。

KVL的相量形式為

表明沿任一回路，各支路電壓相量的代數(shù)和等于零。4.2阻抗和導(dǎo)納在正弦交流電路中，為了用同一的參數(shù)表示正弦電路中的無(wú)源元件和無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)中電壓相量和電流相量的關(guān)系，一般用阻抗Z和導(dǎo)納Y表示稱(chēng)為阻抗模

稱(chēng)為阻抗角

4.2.1阻抗如果一端口N只含單個(gè)元件R、L或C則對(duì)應(yīng)的阻抗分別為如果一端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部為RLC串聯(lián)電路，則阻抗為阻抗三角形

Z的模值和輻角分別為：當(dāng)X>0時(shí)稱(chēng)Z呈感性，當(dāng)X<0時(shí)稱(chēng)Z呈容性。阻抗Z的代數(shù)形式，R、X和|Z|，之間的關(guān)系可用一個(gè)直角三角形表示，這個(gè)三角形稱(chēng)為阻抗三角形。4.2.2導(dǎo)納阻抗Z的倒數(shù)定義為導(dǎo)納，用Y表示

稱(chēng)為導(dǎo)納模稱(chēng)為導(dǎo)納角導(dǎo)納的代數(shù)形式可寫(xiě)為稱(chēng)為電導(dǎo)

稱(chēng)為電納

4.3RLC串聯(lián)電路

阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)在形式上與電阻的串聯(lián)與并聯(lián)電路相似以相量形式的電路元件約束基礎(chǔ)上來(lái)討論元件組合的綜合特性及作用相量分析法，就是對(duì)一個(gè)需要分析計(jì)算的正弦交流電路，用它的相量模型來(lái)代替，即正弦交流電路中的所有電壓、電流均用相量來(lái)表示，電路中的電阻、電抗均用對(duì)應(yīng)的復(fù)阻抗形式表示，然后應(yīng)用直流電路中介紹的各種電路分析方法對(duì)這個(gè)相量模型進(jìn)行分析和計(jì)算。所不同的是，直流電路中的計(jì)算公式和電路定律都相應(yīng)轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)形式。

4.3.1RL串聯(lián)電路相量KVL方程為選取電壓相量為參考相量，則電阻上，電感上的電壓和電流的相量關(guān)系以及RL串聯(lián)電路的相量關(guān)系如圖電壓相量三角形

RL串聯(lián)電路中各阻抗Z、R和XL之間的關(guān)系組成阻抗三角形

4.3.2RC串聯(lián)電路相量KVL方程為選取電壓相量為參考相量，電阻上，電容上的電壓和電流的相量關(guān)系以及RC串聯(lián)電路的相量關(guān)系如圖電壓相量三角形

RL串聯(lián)電路中各阻抗Z、R和XL之間的關(guān)系組成阻抗三角形

4.3.3RLC串聯(lián)電路選擇電流為參考相量，其相量KVL方程為

UX

=

UL

?

UC稱(chēng)為電抗壓降

當(dāng)UX＞0，即UL＞UC時(shí)，電路呈現(xiàn)感性；當(dāng)UX＜0，即UL＜UC時(shí)，電路呈現(xiàn)容性。電路的阻抗阻抗值為阻抗角為4.4RLC并聯(lián)電路

交流電路的相量模型也可以用各個(gè)元件的導(dǎo)納表示，特別是并聯(lián)電路，用導(dǎo)納分析更簡(jiǎn)便。

4.4.1RL串聯(lián)電路相量KCL方程為選電壓相量為參考相量，電阻上，電感上的電壓和電流的相量關(guān)系以及RL串聯(lián)電路的相量關(guān)系

RL串聯(lián)電路中各電流之間組成電流相量三角形如圖RL串聯(lián)電路中各阻抗之間Y、G和BL組成導(dǎo)納三角形如圖

4.4.2RC并聯(lián)電路選取電壓相量為參考相量，電阻上，電容上的電壓和電流的相量關(guān)系以及RC并聯(lián)電路的相量關(guān)系如圖

RC并聯(lián)電路中各電流組成電流相量三角形如圖

RC并聯(lián)電路中各阻抗Y、G和BC組成導(dǎo)納三角形如圖

4.4.2RLC并聯(lián)電路選擇電壓為參考相量其相量KCL方程為其中電流三角形4.5正弦交流電路的相量圖求解法

在正弦交流電路中，對(duì)于某些不太復(fù)雜的電路，相量圖是一個(gè)十分有用的工具。例如RLC串聯(lián)電路、RLC并聯(lián)電路等。這些電路中若采用相量圖對(duì)其進(jìn)行定性或定量的分析計(jì)算，通過(guò)電路中各電流相量圖直觀反映出相互之間的關(guān)系，可使電路的計(jì)算簡(jiǎn)潔。

用相量圖求解正弦交流電路的方法

參考相量的選擇用相量圖法求解正弦交流電路時(shí)，首先應(yīng)選定參考相量（參考相量的初相為），同一電路中只可選擇一個(gè)參考相量，其余相量都以參考相量為基準(zhǔn)。參考相量的選擇是否合適非常重要，應(yīng)根據(jù)電路的具體結(jié)構(gòu)合理選擇才能使相量圖變得簡(jiǎn)潔，否則會(huì)使電路的求解困難。①對(duì)于串聯(lián)電路，常選電流為參考相量。②對(duì)于并聯(lián)電路，常選電壓為參考相量。③對(duì)于混聯(lián)電路，參考相量的選擇比較靈活，可根據(jù)已知條件選定電路內(nèi)部某串聯(lián)部分電流或某并聯(lián)部分電壓為參考相量。④對(duì)于較復(fù)雜的混聯(lián)電路，常選末端電壓或電流為參考相量用相量圖求解電路的方法根據(jù)電路結(jié)構(gòu)及已知條件選擇參考相量。以參考相量為基準(zhǔn)，根據(jù)各元件或電路的電壓與電流的相位關(guān)系畫(huà)出其余的電壓電流相量圖。運(yùn)用電路的兩個(gè)基本定律（相量形式的歐姆定律和KCL、KVL定律）及三角函數(shù)求解電路。4.6阻抗與導(dǎo)納的等效互換

對(duì)于同一個(gè)網(wǎng)絡(luò)端口，不難看出它的阻抗和導(dǎo)納互為倒量，有

ZY=1；Y=1/Z；Z=1/Y阻抗的導(dǎo)納可以等效互換，條件為即代數(shù)形式表示

以RLC電路為例，它的阻抗可以直接寫(xiě)出

對(duì)于RLC并聯(lián)電路，它的導(dǎo)納可以直接寫(xiě)出

2個(gè)并聯(lián)的阻抗可用一個(gè)等效阻抗代替

2個(gè)串聯(lián)的阻抗可用一個(gè)等效阻抗代替

4.7正弦電路中的功率在交流電路中，相位差起著很重要的作用。由于二端網(wǎng)絡(luò)的電流與電壓之間有相位差，使交流電路的功率出現(xiàn)能量交換，因此，對(duì)一般交流電路功率的分析要比對(duì)直流電路功率的分析復(fù)雜得多，需要引入新的概念，如有功功率（平均功率）、無(wú)功功率、視在功率和功率因數(shù)等。

正弦交流電路4.7.1瞬時(shí)功率在正弦交流電路中，由于有電感或電容的存在，一般情況是電壓和電流兩正弦量的頻率相同，但兩者有一定的相位差。如圖2-26（a）所示，設(shè)通過(guò)二端網(wǎng)絡(luò)的電流及二端網(wǎng)絡(luò)電壓的表示式為瞬時(shí)功率平均功率又稱(chēng)為有功功率

4.7.2有功功率

4.7.3無(wú)功功率

電路中的電感元件和電容元件有能量?jī)?chǔ)放，與電源之間要交換能量，所以電路中也存在無(wú)功功率。設(shè)通過(guò)二端網(wǎng)絡(luò)的電流及二端網(wǎng)絡(luò)電壓的表示式為Q反映了電路中儲(chǔ)能元件與電源進(jìn)行能量交換規(guī)模的大小。當(dāng)時(shí)，即感性電路時(shí)，Q＞0；當(dāng)，即容性電路時(shí)，Q＜0。所以無(wú)功功率的正負(fù)與電路的性質(zhì)有關(guān)。因?yàn)殡姼性碾妷撼坝陔娏?0°，電容元件的電壓滯后于電流90°。無(wú)功功率4.7.4視在功率

二端網(wǎng)絡(luò)兩端電壓有效值和電流有效值的乘積稱(chēng)為視在功率，用S表示，即 視在功率具有重要的實(shí)用意義，電源（如發(fā)電機(jī)和變壓器等）在銘牌上都標(biāo)出它的輸出電壓和輸出電流的額定值UN和IN。這就是說(shuō)，電源的視在功率是給定的，至于輸出的有功功率，不取決于電源本身，而是取決于和電源相連的二端網(wǎng)絡(luò)，因此視在功率可作為描寫(xiě)電源特征的物理量之一。電源的視在功率，也稱(chēng)為電源的額定容量（簡(jiǎn)稱(chēng)容量），用戶(hù)須根據(jù)用電設(shè)備的視在功率來(lái)選用與它配套的電源。 4.7.5復(fù)功率

復(fù)功率定義為端口的電壓相量端口電流相量的共軛復(fù)數(shù)復(fù)功率是一個(gè)輔助計(jì)算復(fù)功率的復(fù)數(shù)，引入復(fù)功率的目的是能夠直接應(yīng)用相量法計(jì)算出來(lái)的電壓相量和電流相量，使各種功率可以方便的計(jì)算出來(lái)，但是應(yīng)注意，復(fù)功率不代表正弦量，也不直接反映是與范圍的能量關(guān)系。復(fù)功率的概念顯然適用于單個(gè)電路元件或任何一段電路。功率因數(shù)是正弦交流電路中一個(gè)很重要的物理量，它反映了二端網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)，也涉及到電源的“利用率”。如果功率因數(shù)pf=1，表示二端網(wǎng)絡(luò)和電源之間不存在能量互換，這時(shí)有功功率等于視在功率，電源最大限度地輸出有功功率，電源得到充分利用。如果功率因數(shù)pf<1，電路和電源之間出現(xiàn)能量互換，這時(shí)有功功率小于視在功率，電源的利用率降低。4.7.6功率因數(shù)的提高設(shè)負(fù)載的電壓、阻抗角、有功功率分別為U1、

1和P，它們也是并聯(lián)電容器前線路的電壓、阻抗角和有功功率。并聯(lián)電容器后，線路的電壓、阻抗角、有功功率分別為U、

和P（注意：由于電容不產(chǎn)生有功功率，所以并聯(lián)電容器前后P不變）

這就是把功率因數(shù)由cos

1提高到cos

所需并聯(lián)電容器容量的計(jì)算公式。

4.8串聯(lián)諧振電路在凡含有電感和電容的電路中，因感抗和容抗都是頻率的函數(shù)，所以當(dāng)改變電感元件、電容元件的參數(shù)或電源的頻率時(shí)，感抗和容抗就會(huì)發(fā)生變化，引起電壓與電流之間的相位差的變化。當(dāng)電路的電壓、電流同相位，即電路呈電阻性時(shí)，稱(chēng)電路的這種狀態(tài)為諧振。諧振在電子技術(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用。

電路中發(fā)生諧振的條件

諧振頻率為在RLC串聯(lián)電路中發(fā)生的諧振，稱(chēng)串聯(lián)諧振。

若感抗和容抗相等，即諧振頻率完全是由電路本身的參數(shù)決定的，是電路本身的固有性質(zhì)。每一個(gè)RLC串聯(lián)電路都對(duì)應(yīng)一個(gè)諧振頻率。當(dāng)電源的頻率一定時(shí)，改變電路的參數(shù)L或C，可以使電路發(fā)生諧振；當(dāng)電路參數(shù)一定時(shí)，改變電源頻率，也可使電路發(fā)生諧振。

RLC串聯(lián)電路及電壓與電流相量圖2.串聯(lián)諧振的特點(diǎn)1）U,I

同相，電路呈阻性IUCULURRLCURULUCUIU0wLwRwCw1容性()0ww<感性()0ww>=()XXRCL-+22ZZ=min2）電路中阻抗最小，U一定時(shí)，電流最大RUIII===max0Z0I0wIwR=ZZ=mi