《金融數(shù)學》(5)貸款償還方法

債務償還方法

（RepayingLoans）孟生旺

2主要內(nèi)容分期償還法（amortizationmethod）等額變額償債基金法（sinkingfundmethod）等額變額3債務償還的兩種方法分期償還法（amortizationmethod）：分期償還貸款，在每次償還的金額中，包括：支付當期利息償還部分本金償債基金法（sinkingfundmethod）：在貸款期間：分期償還利息積累償債基金，到期時一次性償還貸款本金。4等額分期償還

(levelinstallmentpayments)在等額分期償還法中，需要解決的問題包括：（1）每次償還的金額是多少？（2）未償還的本金余額是多少？（3）在每次償還的金額中，利息和本金分別是多少？5每次償還的金額貸款的本金是L0期限為n

年年實際利率為i每年末等額償還R則每次償還的金額R可表示為6未償還本金余額問題：每年償還R，第k年末的未償還本金余額？方法：將來法（prospectivemethod）過去法（retrospectivemethod）7方法一：將來法（prospectivemethod）把將來需要償還的本金折算成計算日的現(xiàn)值，即得未償還本金余額。第k年末，將來還需償還(n–k)次，故未償還本金余額為8方法二：過去法（retrospectivemethod）從原始貸款本金的累積值中減去過去已付款項的累積值。原始貸款本金累積到第k年末的價值：已償還金額累積到第k年末的價值：未償還本金余額：9證明：將來法=過去法。

（過去法）（將來法）10Example：Aloanisbeingrepaidwith10paymentsof$2000followedby10paymentsof$1000attheendofeachhalf-year.Ifthenominalrateofinterestconvertiblesemiannuallyis10%,findtheoutstandingloanbalanceimmediatelyafterfivepaymentshavebeenmadebyboththeprospectivemethodandtheretrospectivemethod.10次，每次200010次，每次1000支付5次以后，貸款余額是多少？解：每半年的實際利率為5％；（1）將來法：未償還本金余額為

貸款本金為（2）過去法：未償還本金余額為10次，每次200010次，每次100012Exercise：Aloanisbeingrepaidwith20annualpaymentsof$1000each.Atthetimeofthefifthpayment,theborrowerwishestopayanextra$2000andthenrepaythebalanceover12yearswitharevisedannualpayment.Iftheeffectiverateofinterestis9%,findtheamountofrevisedannualpayment.13解：由將來法，5年后的本金余額為

如借款人加付2000，則本金余額成為6060.70。

假設修正付款額為X，價值方程為故14本息分解：每期償還的本金和利息設第t年末的還款額為R，利息為It，本金為Pt，記Lt?1為第

t?1年末的未償還本金余額，則有15分期償還表16i=0.1n=20v=(1+i)^(-1)I=P=B=NULLfor(kin1:n){I[k]=1-v^(n-k+1)P[k]=v^(n-k+1)B[k]=(1-v^(n-k))/i}dat=rbind(interest=I,principal=P)barplot(dat,names.arg=1:20,main='20年期的等額分期償還：

利息（深色）遞減，本金（淺色）遞增',xlab='年度',ylab='每年的付款額')17i=0.1n=20v=(1+i)^(-1)I=P=B=NULLfor(kin1:n){ B[k]=(1-v^(n-k))/i}barplot(B,names.arg=1:20,main='20年期的等額分期償還的未償還貸款余額')18例：一筆貸款的期限為2年，每季度末等額償還一次，每年復利4次的年貸款利率為6%，如果第一年末償還的本金為2000元，計算在第二年末應該償還的本金。解：季度實際利率為i=1.5%

第1年末（第4次）償還的本金：P4=Rv8–4+1=Rv5

第2年末（第8次）償還的本金：P8=Rv8–8+1=Rv

所以P8/P4=v–4=(1+i

)4，即

P8=P4(1+i

)4=2000(1.015)4=2122.73（元）19Example：A$1000loanisbeingrepaidbypaymentsof$100attheendofeachquarterforaslongasnecessary,plusasmallerfinalpayment.Ifthenominalrateofinterestconvertiblequarterlyis16%,findtheamountofprincipleandinterestinthefourthpayment.20解：第三次還款后的未償還本金余額為從而有注意：此例無需算出最后一次付款的時期與金額。注：另一種解法（了解）21Exercise：Aloanisbeingamortizedbymeansoflevelmonthlypaymentsatanannualeffectiveinterestrateof8%.Theamountofprincipalrepaidinthe12-thpaymentis1000andtheamountofprincipalrepaidinthet-thpaymentis3700.Calculatet.22月實際利率為第12次付款中的本金為（R為每次的付款額，n為付款總次數(shù)）第t次付款中的本金為解上述方程組即得t=21623Exercise：Aborrows$10,000fromBandagreestorepayitwithequalquarterlyinstallmentofprincipleandinterestat8%,convertiblequarterlyoversixyears.AttheendoftwoyearsBsellstherighttoreceivefuturepaymentstoCataprice,whichproducesayieldrateof10%convertiblequarterlyforC.FindthepricereceivedbyB.2410000528.71…528.71528.71…528.71X2年，8次4年，16次解：25Exercise：Anamountisinvestedatanannualeffectiverateofinterestiwhichisjustsufficienttopay1attheendofeachyearfornyears.Inthefirstyearthefundactuallyearnsratei

and1ispaidattheendofthefirstyear.However,inthesecondyearthefundearnsratej,wherej>i.Findtherevisedpaymentwhichcouldbemadeattheendsofyear2throughn;(1)Assumingtherateearnedrevertsbackto

i

againafterthisoneyear;(2)Assumingtherateearnedremainsjfortherestofn-yearperiod.26(1)第2年末，在付款發(fā)生前，下述兩種方法計算的余額相等左：未來n-1次付款的現(xiàn)值（含第2年末的1次支付）右：第1年末的價值按j累積1年，即為第2年末的累積值第1年初的投資額為：27(2)第1年末，下述兩種方法計算的余額相等即有Y大于

1

還是小于

1？Y與X哪個大？28等額償債基金例：假設某人從銀行獲得10000元的貸款，期限為5年，年利率為6%。雙方約定：（１）借款人每年末向銀行支付600元利息；（２）借款人在銀行開設一個存款帳戶，每年末向該帳戶存入1791.76元，該帳戶按5.5％的利率計算利息。到第5年末，該帳戶的累計余額正好是10000元，用于償還貸款本金。借款人在銀行開設的該帳戶就是償債基金（sinkingfund）。含義：借款人分期償還貸款利息，同時積累一筆償債基金，用于到期時償還貸款本金。29等額償債基金法需要解決的問題？借款人在每年末的付款總金額，包括：向償債基金的儲蓄額支付的貸款利息每年末的貸款凈額。30符號:L0

原始貸款本金i

貸款年利率n

貸款期限I

借款人每年末名義上支付的利息，即

I=iL0

j

償債基金的利率D

借款人每年末向償債基金的儲蓄額31假設借款人每年末向償債基金的儲蓄額為D，則因此，借款人在每年末的付款總金額為借款人在每年末的付款總額：32第k年末的貸款凈額為償債基金在第k年末的累積值為每年末的貸款凈額：33特例：償債基金利率j=貸款利率i當j=i

時，借款人在每年末支付的總金額為（等額分期償還金額）因為結(jié)論：當

j

=i時，等額分期償還法=等額償債基金法34問題：對借款人而言，下列哪種貸款的成本較低？分期償還法：貸款利率為i償債基金法：貸款利率為i，償債基金利率為j，i>j35例假設：兩筆貸款的本金均為10000元，期限均為5年，但償還方式不同：第一筆：采用償債基金方法償還，貸款利率為6%，償債基金利率為5%。第二筆：采用等額分期方法償還。問題：當?shù)诙P貸款的利率為多少時，兩筆貸款對借款人而言是等價的。在償債基金法中，借款人每年末支付的金額為在分期償還法中，設貸款利率為r，則借款人每年末支付的金額為令此式等于2409.75，則有r=6.552%注：分期償還法的貸款利率（6.552%）大于償債基金法的貸款利率（6%）。37償債基金的價值方程（一般形式）W:servicepayment,可以不等于貸款利息.D:償債基金的儲蓄額i:貸款利率j:償債基金利率38Example(FM,example5.22,P156)Aloanof$10000isrepaidannuallyover10yearsusingthesinkingfundmethod.Interestontheloanischargedatanannualeffectiverateof5%,butthelenderrequiresaservicepaymentof$600attheendofeachyear.Determinethelevelannualsinkingfundpaymentifthesinkingfundcreditsinterestatanannualeffectiveinterestrateof4%.3940##該筆貸款的實際利率為5.52%：f=function(i)(600+728.15)*(1-(1+i)^(-10))/i-10000uniroot(f,c(-0.05,0.08))$root##[1]0.0552217服務費增加，實際利率會降低。如：增加到800，D=518.62，實際利率為5.37%該筆貸款的實際利率為：41等額分期償還與等額償債基金的比較相同點：定期、等額。不同點：已償還本金的計息方式不同。等額分期償還法：已償還的本金按貸款利率i計息。等額償債基金法：已償還的本金（即存入償債基金的金額）按利率j計息。關(guān)系：當i=j

時，兩種方法等價。42A20-yearloanof20,000mayberepaidunderthefollowingtwomethods:（1）amortizationmethodwithequalannualpaymentsatanannualeffectiverateof6.5%（2）sinkingfundmethodinwhichthelenderreceivesanannualeffectiverateof8%andthesinkingfundearnsanannualeffectiverateofj.BothmethodsrequireapaymentofXtobemadeattheendofeachyearfor20years.Calculatej.Exercise:43Solution:20000=X

每年支付的金額：X=1815.13償債基金法中每年支付的利息：0.08(20000)=1600每年向償債基金支付：X–1600=215.13215.13=20000j=14.1844Johnborrows10,000for10yearsatanannualeffectiveinterestrateof10%.Hecanrepaythisloanusingtheamortizationmethodwithpaymentsof1,627.45attheendofeachyear.Instead,Johnrepaysthe10,000usingasinkingfundthatpaysanannualeffectiveinterestrateof14%.Thedepositstothesinkingfundareequalto1,627.45minustheinterestontheloanandaremadeattheendofeachyearfor10years.Determinethebalanceinthesinkingfundimmediatelyafterrepaymentoftheloan.Exercise：45Solution:已知每年支付額為1627.45每年支付的利息為：0.10(10000)=1000因此向償債基金支付：1627.45?1000=627.45償債基金在10年末的價值為（扣除本金10000之后）：627.45?10000=213346變額分期償還假設貸款金額為L0，每期末償還Rt（t=1，2，…，n）則有變額分期償還方法：（1）等額本金（2）還款額算術(shù)級數(shù)變化（3）還款額幾何級數(shù)變化

47例（等額本金償還）：一筆10000元的貸款，期限為5年，年利率為5%，每年末償還2000元本金。構(gòu)造分期償還表（amortizationschedule）。年份償還本金未償還本金余額支付當年利息（5％）每年末償還的總金額(1)(2)(3)(4)(5)

=

(2)

+

(4)0100001200080005002500220006000400240032000400030023004200020002002200520000100210048A10-yearloanof2000istoberepaidwithpaymentsattheendofeachyear.Itcanberepaidunderthefollowingtwooptions:(i)Equalannualpaymentsatanannualeffectiverateof8.07%.(ii)Installmentsof200eachyearplusinterestontheunpaidbalanceatanannualeffectiverateofi.Thesumofthepaymentsunderoption(i)equalsthesumofthepaymentsunderoption(ii).Determinei.Exercise:49Solution:Option1:R=299?Totalpayments=2990Option2:Interestneedstobe2990

2000=990990=i（2000+1800+1600+…+200）=i

11,000

i=0.0950例（償還額按算術(shù)級數(shù)變化）：假設貸款期限為5年，年利率為6%。借款人在每年末分期償還，每年末的償還金額依次為2000元，1800元，1600元，1400元，1200元。計算:（1）貸款本金為多少？（2）第三年末償還的利息和本金分別為多少？51貸款本金L0應該等于上述年金的現(xiàn)值，因此有第三年初（即第二年末）未償還的本金為（將來法）第三年末支付的利息為

I3=iL2=0.06×3762.97=225.78第三年末償還的本金為P3=R3–I3

=1600–225.78=1374.2152償還額按幾何級數(shù)變化53例（還款額按幾何級數(shù)變化）：一筆10000元的貸款，年利率為10%，期限為6年，每年末償還一次，每次的償還金額以50%的速度遞增。構(gòu)造分期償還表。解：假設第一年末的償還金額為R1，則有其中所以R1=736.69元。54第一年末應該支付的利息為

I1

=10000×0.1=1000（元）

顯然，第一年償還的總金額736.69元還不足以支付當年的利息1000元，故第一年償還的本金為負P1=R1–I1=736.69–1000=–263.31（元）第一年末的未償還本金余額將會增加，即增加為

L1=L0–P1=10000+263.31=10263.31（元）55第二年應該支付的利息為I2=iL1=0.1×10263.31=1026.33（元）按照幾何級數(shù)計算，借款人在第二年末償還的總金額為R2=1.5R1=736.69×1.5=1105.04（元）所以第二年償還的本金為P2=R2–I2=1105.04–1026.33=78.71（元）第二年末的未償還本金余額為L2=L1–P2

=10263.31–78.71=10184.6（元）依此類推，其他各年的計算結(jié)果如下表所示。56變額分期償還表（單位：元）

注：最后結(jié)果有0.07的舍入誤差。年份償還總金額利息本金未償還本金余額0100001736.691000–263.3110263.3121105.041026.3378.7110184.6031657.551018.46639.099545.5142486.33954.551531.788013.7353729.49801.372928.125085.6165594.24508.565085.68–0.07*參見excel表的計算過程57Aloanisamortizedoverfiveyearswithmonthlypaymentsatanominalinterestrateof9%compoundedmonthly.Thefirstpaymentis1000andistobepaidonemonthfromthedateoftheloan.Eachsucceedingmonthlypaymentwillbe2%lowerthanthepriorpayment.Calculatetheoutstandingloanbalanceimmediatelyafterthe40thpaymentismade.Exercise:Solution:共60次付款。第41次的付款額=1000(1+r)40計算剩余20次付款的現(xiàn)值：

416059變額償債基金借款人每年支付的總金額Rt由兩部分構(gòu)成：當年的利息：iL0向償債基金的儲蓄：Rt

iL0償債基金在第n年末的累積值必須等于貸款本金L0，故有

60貸款本金L0

為

前一式的分子和分母分別乘以(1+j)–n即得第2式（請練習）。在上式中，如果j=i，則有61例：一筆貸款的期限為5年，用償債基金方法償還，貸款利率為10%，償債基金利率為8%。如果借款人每年末的總付款金額（包括支付當期利息和向償債基金的儲蓄）分別為：1000元，2000元，3000元，4000元，5000