2024～2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第1課時(shí) 分式的乘除教學(xué)設(shè)計(jì)

15.2分式的運(yùn)算15．2.1分式的乘除第1課時(shí)分式的乘除教學(xué)目標(biāo)課題15.2.1第1課時(shí)分式的乘除授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索分式的乘除運(yùn)算法則的過程，滲透類比轉(zhuǎn)化的思想.2.理解并掌握分式的乘除法法則，能運(yùn)用法則對(duì)分式進(jìn)行乘、除運(yùn)算.3.能解決一些與分式乘除有關(guān)的實(shí)際問題．教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用分式的乘除法法則進(jìn)行運(yùn)算．教學(xué)難點(diǎn)分子、分母為多項(xiàng)式的分式乘除運(yùn)算.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：提出問題，導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)意圖開始安排兩個(gè)具有實(shí)際背景的問題，意在體現(xiàn)分式的乘除運(yùn)算是由實(shí)際需要產(chǎn)生的，是研究某些問題時(shí)不可或缺的運(yùn)算，從而引起學(xué)生的興趣.【問題導(dǎo)入】問題1一個(gè)水平放置的長方體容器，其容積為V，底面的長為a，寬為b，當(dāng)容器內(nèi)的水占容積的eq\f(m,n)時(shí)，水面的高度為多少？問題2大拖拉機(jī)m天耕地ahm2，小拖拉機(jī)n天耕地bhm2，大拖拉機(jī)的工作效率是小拖拉機(jī)工作效率的多少倍？教師提出問題，請(qǐng)大家小組討論，待討論完成請(qǐng)兩位學(xué)生板書問題的答案：問題1長方體容器的高為eq\f(V,ab)，水面的高度為eq\f(V,ab)·eq\f(m,n).(分式乘法)問題2大拖拉機(jī)的工作效率是eq\f(a,m)hm2/天，小拖拉機(jī)的工作效率是eq\f(b,n)hm2/天，大拖拉機(jī)的工作效率是小拖拉機(jī)的工作效率的eq\f(a,m)÷eq\f(b,n)倍．(分式除法)如何計(jì)算eq\f(V,ab)·eq\f(m,n)和eq\f(a,m)÷eq\f(b,n)呢？讓我們一起進(jìn)入本課的學(xué)習(xí)！【教學(xué)建議】對(duì)這兩個(gè)問題，教學(xué)中只要學(xué)生考慮列式，并由所列式子識(shí)別出它們是分式的什么運(yùn)算即可．至于如何進(jìn)行運(yùn)算則是下面要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.活動(dòng)二：類比探究，獲取新知設(shè)計(jì)意圖通過回顧分?jǐn)?shù)的乘除法法則，引出分式的乘除法法則，溫故而知新，不僅有利于接受新知識(shí)，還能讓學(xué)生體會(huì)由數(shù)到式的過程.探究點(diǎn)分式的乘除法你還記得分?jǐn)?shù)的乘除法法則嗎？帶著問題完成下面練習(xí)：eq\f(3,4)×eq\f(2,5)＝eq\f(3×2,4×5)；eq\f(5,6)×eq\f(2,7)＝eq\f(5×2,6×7)；eq\f(3,4)÷eq\f(2,5)＝eq\f(3,4)×eq\f(5,2)＝eq\f(3×5,4×2)；eq\f(5,6)÷eq\f(2,7)＝eq\f(5,6)×eq\f(7,2)＝eq\f(5×7,6×2).根據(jù)上面的計(jì)算，回憶一下分?jǐn)?shù)的乘除法法則：乘法法則：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母．除法法則：一個(gè)數(shù)除以一個(gè)分?jǐn)?shù)，等于乘上這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù).類比分?jǐn)?shù)的乘除法法則，你能說出分式的乘除法法則嗎？類似于分?jǐn)?shù)，分式有：乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.【教學(xué)建議】教師可讓學(xué)生先自主思考后，再引導(dǎo)學(xué)生一起完成練習(xí)和分?jǐn)?shù)乘除法法則的回憶總結(jié).【教學(xué)建議】教學(xué)中應(yīng)首先出現(xiàn)文字表述，在學(xué)生理解后，可以適時(shí)地提出如何用式子表達(dá)教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖例1和例2是根據(jù)由簡到繁的順序安排的，例1中的分式的分子與分母都是單項(xiàng)式，例2中的分子或分母是多項(xiàng)式，由易到難達(dá)到解釋、示范和鞏固分式乘除法法則的目的.除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．那么，如何用式子表示呢？我們可以試著將分?jǐn)?shù)乘除法練習(xí)中的數(shù)字換成字母，即可得出：eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(a·c,b·d)，eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(a·d,b·c).類型一分子、分母為單項(xiàng)式的分式乘除例1(教材P136例1)計(jì)算：(1)eq\f(4x,3y)·eq\f(y,2x3)；(2)eq\f(ab3,2c2)÷eq\f(－5a2b2,4cd).解：(1)eq\f(4x,3y)·eq\f(y,2x3)＝eq\f(4xy,6x3y)＝eq\f(2,3x2)；(2)eq\f(ab3,2c2)÷eq\f(－5a2b2,4cd)＝eq\f(ab3,2c2)·eq\f(4cd,－5a2b2)＝－eq\f(4ab3cd,10a2b2c2)＝－eq\f(2bd,5ac).類型二分子或分母為多項(xiàng)式的分式乘除例2(教材P136例2)計(jì)算：(1)eq\f(a2－4a＋4,a2－2a＋1)·eq\f(a－1,a2－4)；(2)eq\f(1,49－m2)÷eq\f(1,m2－7m).解：(1)eq\f(a2－4a＋4,a2－2a＋1)·eq\f(a－1,a2－4)＝eq\f(（a－2）2,（a－1）2)·eq\f(a－1,（a－2）（a＋2）)＝eq\f(（a－2）2（a－1）,（a－1）2（a－2）（a＋2）)＝eq\f(a－2,（a－1）（a＋2）)；(2)eq\f(1,49－m2)÷eq\f(1,m2－7m)＝－eq\f(1,m2－49)·(m2－7m)＝－eq\f(m（m－7）,（m＋7）（m－7）)＝－eq\f(m,m＋7).【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P137～138練習(xí)第1～3題．法則的問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)法則．對(duì)于分式的除法可簡記為“一變一倒”．【教學(xué)建議】教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下兩點(diǎn)：(1)先判斷運(yùn)算符號(hào)，如例1(2)．(2)再按乘除法法則運(yùn)算，并對(duì)運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行約分，把運(yùn)算結(jié)果化為最簡形式．【教學(xué)建議】教學(xué)中提醒學(xué)生分式的分子或分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式便于進(jìn)行約分，從而簡化運(yùn)算．教學(xué)中應(yīng)利用這樣的例題，說明運(yùn)算應(yīng)進(jìn)行到何種程度，為學(xué)生做示范．另外還需告訴學(xué)生若運(yùn)算中遇到整式，可將整式看成分母是1的“分式”．活動(dòng)三：強(qiáng)化應(yīng)用，鞏固提升設(shè)計(jì)意圖安排這樣的例題是想把培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力貫穿于教學(xué)的整個(gè)過程中．例(教材P136例3)如圖①，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長為am(a＞1)的正方形去掉一個(gè)邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長為(a－1)m的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了500kg.(1)哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？解：(1)“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田面積是(a2－1)m2，單位面積產(chǎn)量是eq\f(500,a2－1)kg/m2；“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田面積是(a－1)2m2，單位面積產(chǎn)量是eq\f(500,（a－1）2)kg/m2.∵a＞1，∴(a－1)2＞0，a2－1＞0.【教學(xué)建議】例題第(1)問要求比較兩個(gè)分式的大?。捎谒鼈兊姆肿邮窍嗤恼龜?shù)，而由問題的實(shí)際意義可知分母都是正數(shù)，所以只要比較分母的大小就可以了．具體比較大小時(shí)，需要利用前面學(xué)習(xí)過的乘法公式以及a>1這一條件，這對(duì)于學(xué)生來說有一定難度，因?yàn)樗麄円郧昂苌龠@樣分析問題，所以教材在正文中采用教學(xué)步驟師生活動(dòng)由圖②可得(a－1)2＜a2－1.[或∵a＞1，∴(a－1)2－(a2－1)＝(a2－2a＋1)－(a2－1)＝－2(a－1)＜0，即(a－1)2＜(a2－1)．]∴eq\f(500,a2－1)＜eq\f(500,（a－1）2)，所以“豐收2號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量高.(2)eq\f(500,（a－1）2)÷eq\f(500,a2－1)＝eq\f(500,（a－1）2)·eq\f(a2－1,500)＝eq\f(（a＋1）（a－1）,（a－1）2)＝eq\f(a＋1,a－1).所以，“豐收2號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量是“豐收1號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量的eq\f(a＋1,a－1)倍.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合修一條公路，已知甲工程隊(duì)每天修(a2－4)m，乙工程隊(duì)每天修(a－2)2m(其中a>2)，甲工程隊(duì)修900m所用時(shí)間是乙工程隊(duì)修600m所用時(shí)間的多少倍？分析：根據(jù)題意，分別表示出甲工程隊(duì)修900m所用時(shí)間和乙工程隊(duì)修600m所用時(shí)間，再將兩時(shí)間相除即可求解.解：甲工程隊(duì)修900m所用時(shí)間為eq\f(900,a2－4)天，乙工程隊(duì)修600m所用時(shí)間為eq\f(600,（a－2）2)天，由題意可得eq\f(900,a2－4)÷eq\f(600,（a－2）2)＝eq\f(900,（a＋2）（a－2）)·eq\f(（a－2）2,600)＝eq\f(3a－6,2a＋4)，∴甲工程隊(duì)修900m所用時(shí)間是乙工程隊(duì)修600m所用時(shí)間的eq\f(3a－6,2a＋4)倍.借助圖形直觀的辦法得出結(jié)論，旁白中給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明．教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)和認(rèn)知能力等具體情況，靈活處理.活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：1.分式乘法的法則是什么？用式子如何表示？2.分式除法的法則是什么？用式子如何表示？3.分式乘除法的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)化成什么？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P146～147習(xí)題15.2第1，2，10，11題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)15.2分式的運(yùn)算15.2.1分式的乘除 第1課時(shí)分式的乘除分式的乘法法則：eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(a·c,b·d).2.分式的除法法則：eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(a·d,b·c).教學(xué)反思本節(jié)課是從實(shí)際背景問題切入，讓學(xué)生明白分式乘除是由實(shí)際需要產(chǎn)生的，研究不可或缺，引發(fā)學(xué)生興趣，繼而從分?jǐn)?shù)的乘除法法則的角度引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、探究、歸納總結(jié)出分式的乘除法法則，培養(yǎng)學(xué)生類比的探究能力，加深對(duì)“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生在自主探究、合作交流中感受探索的樂趣和成功的體驗(yàn).解題大招一分式乘除法有意義的條件例1若eq\f(x＋2,x－1)÷eq\f(x,x－1)有意義，求x的取值范圍．分析：解：由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,x≠0，))即x的取值范圍是x≠1且x≠0.解題大招二含整式的分式乘除的解法含整式的分式乘除的解法跟分式與分式的乘除的解法相同，只是整式與分式進(jìn)行乘除運(yùn)算時(shí)，整式可以看作分母是1的“分式”．例2計(jì)算：(1)eq\f(－3a2,4b2)÷(－6a2b)；(2)eq\f(x2－4x,x)÷(x2－16)．解：(1)eq\f(－3a2,4b2)÷(－6a2b)＝－eq\f(3a2,4b2)·(－eq\f(1,6a2b))＝eq\f(3a2,24a2b3)＝eq\f(1,8b3)；(2)eq\f(x2－4x,x)÷(x2－16)＝eq\f(x（x－4）,x)·eq\f(1,（x＋4）（x－4）)＝eq\f(x（x－4）,x（x＋4）（x－4）)＝eq\f(1,x＋4).解題大招三與分式的乘除有關(guān)的取值合適型化簡求值的方法按照解題大招二的分式乘除法的運(yùn)算步驟化簡后，取一個(gè)使原分式有意義的值，代入計(jì)算即可．對(duì)于除法的取值還需特別注意既不能使原分?jǐn)?shù)的分母為0，也不能使除式為0．例3先化簡分式eq\f(a2－1,a2＋2a＋1)÷eq\f(a2－a,a＋1)，然后請(qǐng)你選取一個(gè)合適的a的值代入，求分式的值．解：原式＝eq\f(（a＋1）（a－1）,（a＋1）2)÷eq\f(a（a－1）,a＋1)＝eq\f(（a＋1）（a－