2025屆江蘇省南京市玄武區(qū)溧水中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題含解析

2025屆江蘇省南京市玄武區(qū)溧水中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（）A.3 B.C. D.2．已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.3．已知向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D4．?dāng)?shù)列中，滿足，，設(shè)，則（）A. B.C. D.5．函數(shù)的最小值為（）A. B.1C.2 D.e6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上第一象限的點(diǎn)，若，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.7．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，則（）A. B.C. D.以上都不對8．若隨機(jī)事件滿足，，，則事件與的關(guān)系是（）A.互斥 B.相互獨(dú)立C.互為對立 D.互斥且獨(dú)立9．已知全集，集合，則（）A. B.C. D.10．現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.1511．已知數(shù)列中，其前項和為，且滿足，數(shù)列的前項和為，若對恒成立，則實數(shù)的值可以是（）A. B.2C.3 D.12．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程的斜率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．由曲線圍成的圖形的面積為________14．過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為___________.15．已知.若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為______.16．已知直線與平行，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大?。唬?）若，，，求的長.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，且，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).19．（12分）如圖，在三棱錐中，已知△ABC和△PBC均為正三角形，D為BC的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若，，求三棱錐的體積20．（12分）已知：（常數(shù)）；：代數(shù)式有意義（1）若，求使“”為真命題的實數(shù)的取值范圍；（2）若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍21．（12分）某校從參加高二年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計了他們的化學(xué)成績（成績均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后畫出如圖部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求出這60名學(xué)生中化學(xué)成績低于50分的人數(shù)；（2）估計高二年級這次考試化學(xué)學(xué)科及格率（60分以上為及格）；（3）從化學(xué)成績不及格的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人，求他的成績低于50分的概率22．（10分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求在上投影長及的模長，再應(yīng)用勾股定理求點(diǎn)C到直線AB的距離.【詳解】因為，，所以設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，則故選：D2、B【解析】令，再結(jié)合，和已知條件將問題轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：令，則，因為，所以，即函數(shù)為上的增函數(shù)，因為，不等式可化為，所以，故不等式的解集為故選：B3、A【解析】由已知，分別表示出選項對應(yīng)的向量，然后利用平面向量共線定理進(jìn)行判斷即可完成求解.【詳解】因，，，選項A，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則，即，解得，故該選項正確；選項B，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則，即，解得不存，故該選項錯誤；選項C，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；選項D，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；故選：A.4、C【解析】由遞推公式可歸納得，由此可以求出的值【詳解】因為，，所以，，，因此故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)列的遞推式求值和歸納推理思想的應(yīng)用，意在考查學(xué)生合情推理的意識和數(shù)學(xué)建模能力5、B【解析】先化簡為，然后通過換元，再研究外層函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得的最小值【詳解】化簡可得：令，故的最小值即為的最小值，是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，易知對求導(dǎo)可得：當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增則有：故選：B6、C【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，，根據(jù)拋物線的定義求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得直線的斜率，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，其中，，則，可得，則，所以點(diǎn)，故，因此，直線的傾斜角為.故選：C.7、B【解析】根據(jù)極限的定義計算【詳解】由題意故選：B8、B【解析】利用獨(dú)立事件，互斥事件和對立事件的定義判斷即可【詳解】解：因為，，又因為，所以有，所以事件與相互獨(dú)立，不互斥也不對立故選：B.9、B【解析】根據(jù)題意先求出，再利用交集定義即可求解.【詳解】全集，集合，則，故故選：B10、D【解析】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D11、D【解析】由求出，從而可以求，再根據(jù)已知條件不等式恒成立，可以進(jìn)行適當(dāng)放大即可.【詳解】若n=1，則，故；若，則由得，故，所以，，又因為對恒成立，當(dāng)時，則恒成立，當(dāng)時，，所以，，，若n為奇數(shù)，則；若n為偶數(shù)，則，所以所以，對恒成立，必須滿足.故選：D12、D【解析】求解導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線的斜率.【詳解】求導(dǎo)得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，所以函數(shù)在處切線的斜率為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】曲線圍成的圖形關(guān)于軸，軸對稱，故只需要求出第一象限的面積即可.【詳解】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關(guān)于關(guān)于軸，軸對稱，因此只需求出第一象限的面積即可.當(dāng)，時，曲線可化為：，在第一象限為弓形，其面積為，故.故答案為：.14、【解析】設(shè)，，，，分別代入雙曲線方程，兩式相減，化簡可得：，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求直線方程【詳解】過點(diǎn)的直線與該雙曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，，，，兩式相減可得：，因為為的中點(diǎn)，，，，則，所以直線的方程為，即為故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于有關(guān)弦中點(diǎn)問題常用“點(diǎn)差法”，其解題步驟為：①設(shè)點(diǎn)（即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)）；②代入（即代入圓錐曲線方程）；③作差（即兩式相減，再用平方差公式分解因式）；④整理（即轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式），然后求解.15、【解析】將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題即可得到實數(shù)的取值范圍【詳解】因為，所以；因為在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因為，所以.故答案為：16、【解析】根據(jù)平行可得斜率相等列出關(guān)于參數(shù)的方程，解方程進(jìn)行檢驗即可求解.【詳解】因為直線與平行，所以，解得或，又因為時，，，所以直線，重合故舍去，而,,，所以兩直線平行.所以，故答案為：3.【點(diǎn)睛】(1)當(dāng)直線的方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理化邊為角后，結(jié)合兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式可求得；（2）用表示出，然后平方由數(shù)量積的運(yùn)算求得向量的模（線段長度）【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，即，因為，所以，，∵，故；（2）由，得，所以，所以.18、（1）.（2）答案見解析.【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，求得，，由此可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求得導(dǎo)函數(shù)，分和討論，當(dāng)時，設(shè)，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，得出所令函數(shù)的單調(diào)性，從而得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得答案.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，所以，故，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問2詳解】解：依題意，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，設(shè)，此時，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)，即時，有唯一零點(diǎn)在區(qū)間上，當(dāng)，即時，在上無零點(diǎn)；故當(dāng)時，在上有1個零點(diǎn)；當(dāng)時，在上無零點(diǎn).19、（1）證明見解析；（2）.【解析】【小問1詳解】因為△ABC和△PBC為正三角形，D為BC的中點(diǎn)，所以,又,所以平面【小問2詳解】因為△ABC和△PBC為正三角形，且，所以,又，所以正三角形的面積為，所以.20、（1）；（2）.【解析】（1）若，分別求出，成立的等價條件，利用為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）利用是的充分不必要條件，建立不等式關(guān)系即可求實數(shù)的取值范圍【詳解】：等價于：即；：代數(shù)式有意義等價于：，即，（1）時，即為，若“”為真命題，則，得：故時，使“”為真命題的實數(shù)的取值范圍是，，（2）記集合，，若是成立的充分不必要條件，則是的真子集，因此：，，故實數(shù)的取值范圍是21、（1）6人；（2）75%；（3）.【解析】（1）由頻率分布直方圖可得化學(xué)成績低于50分的頻率為0.1，然后可求得人數(shù)為人；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求分?jǐn)?shù)在第三、四、五、六組的頻率之和即可；（3）結(jié)合圖形可得“成績低于50分”的人數(shù)是6人，成績在這組的人數(shù)是，由古典概型概率公式可得所求概率為試題解析：（1）因為各組的頻率和等于1，由頻率分布直方圖可得低于50分的頻率為：，所以低于分的人數(shù)為（人）（2）依題意可得成績60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），其頻率之和為，故抽樣學(xué)生成績的及格率是，于是，可以估計這次考試化學(xué)學(xué)科及格率約為75%（3）由