高一數(shù)學(xué)集合與函數(shù)知識點總結(jié)

高中課程復(fù)習(xí)專題——數(shù)學(xué)集合與函數(shù)專題一、集合相關(guān)概念1、集合中元素的特性⑴元素的確定性：組成集合的元素必須是確定的。⑵元素的互異性：集合中不得有重復(fù)的元素。⑶元素的無序性：集合中元素的排列不遵循某種順序，是隨意排列的。2、集合的表示方法⑴列舉法：將集合中元素一一列出。⑵描述法：將集合中元素的公共屬性用語言描述出來。⑶解析法：用解析式的方式描述出集合元素的公共屬性。⑷圖示法：用韋恩圖直觀的畫出集合中的元素。3、集中特殊數(shù)集的表示方法自然數(shù)集：N正整數(shù)集：N+整數(shù)集：Z有理數(shù)集：Q實數(shù)集：R空集：Φ二、集合間的基本關(guān)系——子集與真子集1、自反性——任何一個集合都是它本身的子集：A?A。2、如果A?B且A≠B，則，A是B的真子集。3、傳遞性：如果A?B，B?C，則A?C。4、如果A?B且B?A，則A=B。5、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。6、有n個元素的集合，有2n個子集，有2n-1個真子集。三、集合間的運算運算類型交集并集補集定義由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A和B的交集（A∩B）。即A∩B={x∣x∈A且x∈B}由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A和B的并集（A∪B）。即A∪B={x∣x∈A或x∈B}設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集，由S中不屬于A的元素組成的集合稱為S中A的補集（CSA）。即CSA={x∣x∈S且xA}圖示性質(zhì)A∩A=AA∩Φ=ΦA(chǔ)∩B=B∩AA∩B?AA∩B?BA∪A=AA∪Φ=AA∪B=B∪AA?A∪BB?A∪BCSA∩CSB=CS（A∪B）CSA∪CSB=CS（A∩B）A∪CSA=SA∩CSA=Φ四、函數(shù)的相關(guān)概念1、函數(shù)：設(shè)A、B為非空集合，如果按照某個特定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，則就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，寫作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合B={f(x)∣x∈A}叫做函數(shù)的值域?！?、函數(shù)定義域的解題思路：⑴若x處于分母位置，則分母x不能為0。⑵偶次方根的被開方數(shù)不小于0。⑶對數(shù)式的真數(shù)必須大于0。⑷指數(shù)對數(shù)式的底，不得為1，且必須大于0。⑸指數(shù)為0時，底數(shù)不得為0。⑹如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，則，它的定義域是各個部分都有意義的x值組成的集合。⑺實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義。3、相同函數(shù)⑴表達式相同：與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。⑵定義域一致，對應(yīng)法則一致。4、函數(shù)值域的求法⑴觀察法：適用于初等函數(shù)和一些簡單的由初等函數(shù)通過四則運算得到的函數(shù)。⑵圖像法：適用于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)已經(jīng)分段函數(shù)。⑶配方法：主要用于二次函數(shù)，配方成y=(x-a)2+b的形式。⑷代換法：主要用于由已知值域的函數(shù)推測未知函數(shù)的值域。5、函數(shù)圖像的變換⑴平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進行加減。⑵伸縮變換：在x前加上系數(shù)。⑶對稱變換：高中階段不作要求。6、映射：設(shè)A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對應(yīng)，則就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的映射。⑴集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。⑵集合A中的不同元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個。⑶不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。7、分段函數(shù)⑴在定義域的不同部分上有不同的解析式表達式。⑵各部分自變量和函數(shù)值的取值范圍不同。⑶分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。8、復(fù)合函數(shù)：如果（u∈M），u=g(x)（x∈A）,則，y=f[g(x)]=F(x)（x∈A），稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。★五、函數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)的局部性質(zhì)——單調(diào)性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對應(yīng)定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個變量x1、x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，則y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，則則y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。⑴函數(shù)區(qū)間單調(diào)性的判斷思路ⅰ在給出區(qū)間內(nèi)任取x1、x2，則x1、x2∈D，且x1<x2。ⅱ做差值f(x1)-f(x2)，并進行變形和配方，變?yōu)橐子谂袛嗾摰男问?。ⅲ判斷變形后的表達式f(x1)-f(x2)的符號，指出單調(diào)性。⑵復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律為“同增異減”；多個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)原則“減偶則增，減奇則減”。⑶注意事項函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成并集，如果函數(shù)在區(qū)間A和B上都遞增，則表示為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為A和B，不能表示為A∪B。2、函數(shù)的整體性質(zhì)——奇偶性對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(-x)，則f(x)就為偶函數(shù)；對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=-f(x)，則f(x)就為奇函數(shù)。⑴奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)ⅰ無論函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，只要函數(shù)具有奇偶性，該函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱。ⅱ奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。⑵函數(shù)奇偶性判斷思路ⅰ先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不關(guān)于原點對稱，則為非奇非偶函數(shù)。ⅱ確定f(x)和f(-x)的關(guān)系：若f(x)-f(-x)=0，或f(x)/f(-x)=1，則函數(shù)為偶函數(shù)；若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/f(-x)=-1，則函數(shù)為奇函數(shù)。3、函數(shù)的最值問題⑴對于二次函數(shù)，利用配方法，將函數(shù)化為y=(x-a)2+b的形式，得出函數(shù)的最大值或最小值。⑵對于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)，畫出圖像，從圖像中觀察最值。⑶關(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題ⅰ判斷二次函數(shù)的頂點是否在所求區(qū)間內(nèi)，若在區(qū)間內(nèi)，則接ⅱ，若不在區(qū)間內(nèi)，則接ⅲ。ⅱ若二次函數(shù)的頂點在所求區(qū)間內(nèi)，則在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a>0時，頂點為最小值，a<0時頂點為最大值；后判斷區(qū)間的兩端點距離頂點的遠近，離頂點遠的端點的函數(shù)值，即為a>0時的最大值或a<0時的最小值。ⅲ若二次函數(shù)的頂點不在所求區(qū)間內(nèi)，則判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性若函數(shù)在[a，b]上遞增，則最小值為f(a)，最大值為f(b)；若函數(shù)在[a，b]上遞減，則最小值為f(b)，最大值為f(a)。六、指數(shù)和對數(shù)1、指數(shù)的性質(zhì)⑴根式：如果xn=a，則x叫做a的n次方根，記作（n>1，n∈N+）ⅰ負數(shù)沒有偶次方根。ⅱ0的任何次方根都是0。ⅲ當(dāng)n為奇數(shù)時=a，當(dāng)n是偶數(shù)時=∣a∣⑵分數(shù)指數(shù)冪=（a>0，m、n∈N+，n>1）負指數(shù)冪=（a>0，m、n∈N+，n>1）0的正分數(shù)指數(shù)冪為0,0的負指數(shù)冪沒有意義。⑶實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)ar?as=ar+s(a>0，r、s∈R)(ar)s=ar?s(a>0，r、s∈R)(ab)r=ar?br(a、b>0，r∈R)2、對數(shù)的性質(zhì)⑴對數(shù)：如果ax=N(a>0，a≠1)，則，x叫做以a為底N的對數(shù)，記?。簂ogaN=x，其中a為底數(shù)，N為真數(shù)。ⅰ注意底數(shù)a的取值范圍：a>0且a≠1。ⅱ常數(shù)對數(shù)：以10為底的對數(shù)lgN；自然對數(shù)：以e=2.71828…為底的對數(shù)lnN。⑵對數(shù)的運算性質(zhì)：如果a>0且a≠1，M>0，N>0loga(M?N)=logaM+logaNloga=logaM–logaNlogaMn=nlogaM(N∈R)⑶對數(shù)的換底公式logab=logcb/logca(a>0且a≠1,c>0且c≠1，b>0)則=logab=1/logba七、基本初等函數(shù)1、指數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)a的取值a>10<a<1圖像定義域x∈Rx∈R值域y∈(0，+∞)y∈(0，+∞)單調(diào)性全定義域單調(diào)遞增全定義域單調(diào)遞減奇偶性非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)過定點（0,1）（0,1）注意：⑴由函數(shù)的單調(diào)性可以看出，在閉區(qū)間[a,b]上，指數(shù)函數(shù)的最值為：a>1時，最小值f(a)，最大值f(b)；0<a<1時，最小值f(b)，最大值f(a)。⑵對于任意指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)，都有f(1)=a。2、對數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=logax(a>0且a≠1))，叫做對數(shù)函數(shù)a的取值a>10<a<1圖像定義域x∈(0，+∞)x∈(0，+∞)值域y∈Ry∈R單調(diào)性全定義域單調(diào)遞全定義域單調(diào)遞減奇偶性非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)過定點(1,0)(1,0)3、冪函數(shù)：函數(shù)y=xa(a∈R)，高中階段，冪函數(shù)只研究第I象限的情況。⑴所有冪函數(shù)都在(0，+∞)區(qū)間內(nèi)有定義，而且過定