滬教版 八年級(上)數(shù)學 秋季課程 第19講 勾股定理及兩點間的距離公式(解析版)

勾股定理及兩點間的距離公式

噫起內容分析

本章節(jié)主要講解兩部分內容，一是直角三角形的三條邊之間的數(shù)量關系即勾

股定理，包括勾股定理的證明、應用及逆定理的證明和應用兩方面；二是兩點間

的距離公式.難點是勾股定理的證明及應用，它是解決直角三角形三邊之間關系

的常用方法，是一個工具公式，在以后的學習中運用非常廣泛.

知識結構

模塊一：勾股定理的證明及應用

知識精講

1、勾股定理：

(1)直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.利用勾股定理往往構

造方程，已達到解決問題的目的；

(2)應用勾股定理解決實際問題，要注意分析題目的條件，關注其中是否存在直角

三角形，如果存在直角三角形，根據(jù)所給的三邊條件，建立方程，從而解決問

題；如果問題中沒有直角三角形，可以通過添加輔助線構造出直角三角形，尋

求等量關系，再根據(jù)勾股定理建立相應的方程，因此，在解決直角三角形中有

關邊長的問題時，要靈活的運用方程的思想.

例題解析

【例1](1)在直角△ABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=1,則A8=

(2)在直角△ABC中，ZC=90°,ZA=45°,AB=3,貝!1AC=,

【答案】⑴2；(2)-V2.

2

【解析】(1)由直角三角形性質推論即可得結論；

(2)設AC=3C=x,則由勾股定理可得：X2+X2=32,解得：x=3血，

2

，AC=-42.

2

【總結】考察直角三角形的性質和勾股定理的綜合應用.

【例2】(1)等邊三角形的邊長是3,則此三角形的面積是；

(2)等腰二角形底邊上的長為2,腰長為4,則它底邊上的高為

【答案】(1)-V3；(2)V15.

4

【解析】(1)作出等邊三角形的高，則可得高為士3右r-，則三角形的面積為9r-

24

(2)作底邊上的高，由三線合一性質和勾股定理可得底邊上的高為小

【總結】考察等腰三角形的三線合一和勾股定理的綜合運用.

【例3】(1)直角三角形兩邊長為3和4,則此三角形第三邊長為；

(2)直角三角形兩直角邊長為3和4,則此三角形斜邊上的高為；

(3)等腰三角形兩邊長是2、4,則它腰上的高是.

【答案】⑴5或行；(2)—；(3)—.

52

【解析】(1)3和4可以是兩直角邊長，也可以是一個直角邊和斜邊；

(2)由勾股定理可得：斜邊長為5,則由等面積法可知：三角形斜邊上的高為吆=乜;

55

(3)：2、2、4不能構成三角形，所以三角形的三邊長為4、4、2,

作等腰三角底邊上的高，則由等腰三角形三線合一性質和勾股定理可得：

底邊上的高為A，則由等面積法可知：此三角形腰上的高為拉叵=叵.

42

【總結】考察等腰三角形的性質和勾股定理的應用，注意分類討論.

【例4】（1）若直角三角形的三邊長分別為N+l,N+2,N+3則N的值是；

（2）如果直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù),則此三角形的周長為.

【答案】（1）2；（2）24.

【解析】（1）由題意有：（N+l）2+（N+2）2=（N+3）2,解：N=2（負值舍去）；

（2）可設直角三角形的三邊長分別為N-2,N,N+2

（N—2p+N2=（N+2）2,:.N=8

.?.三角形的周長為3N=24

【總結】考察勾股定理的應用.

【例5】如圖，在直角△ABC中，ZACB=90°,ZB=60°,。是斜邊AB的中點，BC=2,

求△AOC的周長.

【答案】4+23

【解析】VZACB=90°,。是斜邊AB的中點，

BD=CD=AD=-AB.

2

VZB=60",...△BOC是等邊三角形，:.CD=BC.

VZACB=90°,ZB=60a,：.ZA=30°,/.AB=4.

VBD^CD^AD=-AB,：.CD=2.'：ZACB=9Q°,BC=2,AB=4,

2

22

AC=V4-2=2V3,/.CAADC=AD+CZ)+AC=2+2+2V3=4+273

【總結】考察直角三角形的性質和勾股定理的運用.

【例6】如圖，已知：△[△ABC中，NACB是直角，BC=15,48比AC大9,CZ）_LA8于

點、D,求CO的長.

【答案】—.

17

【解析】設AC=x,AB=x+9,

VAB-^AC2+CB-,/.(x+9)2=X2+152,解得：x

120

AC=8,AB=17由等面積法可知：CD=AC-BC^AB=8xl5<17=—

17

【總結】考察勾股定理和等面積法的應用.

【例7】已知已直角三角形的周長為4+而，斜邊上的中線為2,求這個直角三角形的面積.

【答案】--

2

【解析】???斜邊上的中線為2,所以斜邊長為4.

:直角三角形的周長為4+后，，兩直角邊之和為后.

???斜邊長為4,則兩直角邊的平方和為16,

???設兩直角邊分別為X,.則有解得：孫=31仔+=5,

直角三角形的面積為

2

【總結】考察勾股定理和直角三角形性質的應用，解題時注意方法的運用.

【例8】如圖，直線是沿南北方向的一條公路，某施工隊在公路的點A測得北偏西30。

的方向上有一棟別墅C,朝正北方向走了400米到達點B后，測得別墅C在北偏西75。

的方向上，如果要從別墅C修一條通向MN的最短小路，M

請你求出這條小路的長（結果保留根號）.

【答案】100+100方.\/'B

【解析】根據(jù)垂線段最短，過C作垂線的垂線段是最短的.\

過C作CD_LMN,垂足為。，過8作BE_LAC,垂足為E.\

由題意可知：ZCAB=3O°,/CW=75。，NBC4=45。.A

在放△ABE中，ZC4B=3O°,AB=400,ABE^-AB=200."

2

，由勾股定理可得：AE=20073

在放△CBE中，4C4=45°,BE=200,：.CE=200

：.AC=AE+CE=200V2+200

在R/VXACZ）中，ZCAB=30°,AC=200+200V3,

CD=100+10073.

【總結】考察勾股定理和直角三角形性質的應用.

【例9】如圖，公路MN和公里P。在點P處交匯，且NQPN=30°,點A處有一所中學，

AP=160米，假設拖拉機行駛時，周圍100米以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在MN

上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪音的影響?請說明理由；如果受影響，已知拖

拉機的速度是18千米/時，那么學校受影響的時間是多少秒？

【答案】24秒.

【解析】過A做垂足為艮D

PA

M

在放ZXAB尸中，/QPN=30。,AP=160,

：.AB=-AP=SO

2

V80<100,所以學校會受到噪音的影響.

假設在C處開始受到噪音影響，在D處開始不受影響，

/.C4=100,AD=100

由勾股定理可得：CB=BD=60

受影響的路程為120米=0.12千米

學校受影響的時間為些x3600=24秒.

18

【總結】考察勾股定理和直角三角形性質的應用，解題時注意對題意的分析.

【例10]如圖，矩形A3C。中，AB=8,BC=4,將矩形沿AC進行翻折，點D落在E處,

求出重疊部分△AFC的面積.

【答案】10.

【解析】VDC//AB,ZDCA^ZACF,

：.ZACF=ZCAF,，AF=FC

T^AF=FC=X,貝UFB=8—X

VBC2+BF2=CF2,：.42+（8-x）2=x2,解得:

???SAAfC=1-AF-CB=lx5x4=10

【總結】考察翻折圖形的性質和勾股定理的應用.

【例11]如圖，AB兩個村子在河邊的同側，A、8兩村到河邊的距離分別為AC=1千

米，8。=3千米，CO=3千米.現(xiàn)在河邊建一座水廠，建成后的水廠，可以直接向

A、8兩村送水，也可以將水送一村再轉送另一村.鋪設水管費用為每千米2萬元，試

在河邊8選擇水廠位置尸確定方案，使鋪設水管費用最低，并求出鋪設水管的總費用

（精確到0.01萬元）.

【答案】10萬元.//

?

【解析】延長AC至點E,使得CE=AC,連接防交于一點，/

則此時鋪設水管費用最低.

過E作EF〃C。，交8。延長線于尸

,四邊形CEFD是長方形，CE=D尸=1

、匕-^x-----------二」F

?/EF=3,BF=4,，由勾股定理可得：BE=5

此時AP+PB=￥+3P=BE=5

...總費用為5x2=10萬元.

【總結】考察勾股定理在實際問題中的應用.

【例12]如圖，在直角△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,E、尸是BC上的兩點，且

ZEAF=45°,求證：BE2+CF2=EF2.

【答案】見解析

【解析】過C作CGL8C,使CG=CE,連接AG、FG.

VZBAC=90°,AB=AC,

ZB=ZBCA=45.

VCGLBC,：.ZACG=ZBCA=45,

：.ZACG=ZB.B

：AB=AC,BE=CG,

：.AAEB^^AGC

：.AE^AG,NBAE=NCAG.

,：ZEAF=45°,

：.ZBAE+ZCAF=45°,

：.Z.CAF+ZCAG=45°,即ZFAG=45°,

ZGAF=ZEAF

'：AF=AF,AE=AG,

：.AAFG絲ZV1FE,

/.EF=GF.

在血ACFG中，由勾股定理，可得：GF2=CG2+CF2,

又EF=GF,CG=CE,

BE2+CF2=EF2.

【總結】本題綜合性較強，本質上是對三角形的旋轉，同時結合了勾股定理進行解題.

模塊二：勾股定理的逆定理的證明及應用

知識精講

2、逆定理：

(1)如果三角形一條邊的平方等于其他兩邊的平方和，那么這個三角形是直角三角

形；利用逆定理來判斷三角形是否為直角三角形.

(2)在直角三角形的三邊中，首先弄清楚哪條邊是斜邊，另外應用逆定理時，最大

邊的平方和等于較小兩邊的平方和.

例題解析

【例13】下列命題中是假命題的是()

A.在△ABC中，若則△ABC是直角三角形

B.在AABC中，若/=3+c)S-c),則AABC是直角三角形

C.在△ABC中，若/B：ZC：ZA=3:4:5,則△ABC是直角三角形

D.△ABC中，若a:6:c=5:4:3,則AABC是直角三角形

【答案】C

【解析】A答案中：ZB+NA=NC,且N3+NA=180?！狽C,，NC=90。，所以是直

角三角形；B答案中：a2=b2-c2,a~+c2=b~,所以是直角三角形；

C答案中：N3=3x,NC=4x,ZA=5x,3x+4x+5x=180°,x=15°,/C=75°,

不是直角三角形；

D答案中：設a=5相，b=4m,c=3m,a2=b2+c2,所以是直角三角形.

【總結】考察判斷直角三角形的方法.

【例14】（1）將直角三角形的三邊都擴大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是______三角形；

（2）若AABC的三邊A、B、C滿足（。-6）（/+62-02）=0則—BC是________三角形.

【答案】（1）直角三角形；（2）等腰三角形或直角三角形.

【解析】（1）直角三角形的三邊都擴大相同的倍數(shù)后，三邊也滿足勾股定理，所以得到的三

角形是直角三角形；

（2）由題意有：。=6或/+匕2=°2,，三角形為等腰三角形或直角三角形.

【總結】考察勾股定理的應用.

【例15］（1）一根旗桿在離地面9米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，則旗桿

折斷之前有多少米？

（2）如果梯子的底端離建筑物8米，那么17米長的梯子可以到達建筑物的高度是

__________米.

【答案】（1）24米；（2）15米.

【解析】（1）由題意可知：折斷的旗桿的部分長度為J92+12?=15,

則旗桿長為9+15=24米；

（2）由題意可得：可達到建筑物的高度為而7=F=15.

【總結】考察勾股定理在實際問題中的應用.

【例16】AABC的三邊分別為A、B、C,+b2+c2+50=6tz+8Z?+10c,

判斷AABC的形狀.

【解析】Va2+b2+c2+50=6a+8b+10c,

：.（a-3）2+（Z?-4）2+（C-5）2=0,：.a=3,b=4,c=5.

：/+62=02,...△ABC是直角三角形.

【總結】考察完全平方公式的應用和勾股定理逆定理的運用.

【例17】如圖，公路上A、8兩點相距25千米，C、。為兩村莊，于點A,CB±

A8于點8,已知D4=15千米，CB=10千米，現(xiàn)要在公路A8上建一車站E.

（1）若使得C、D兩村到E站的距離相等，E站建在離A站多少千米處？

（2）若使得C、。兩村到E站的距離和最小，E站建在離A站多少千米處?

【答案】(1)AE=10；(2)AE=15.

【解析】(1)設AE=元，貝i]5E=25—x,

：.ED2=x2+152,EC?=（25-尤J+1（）2,

;ED=EC,：.x2+152=（25-x）2+102,

/.x=10,即AE=10.

（2）找出C點關于AB的對稱點F,聯(lián)結DF交AB于點E',

則此時的E'滿足C、D兩村到E站的距離和最小，

設=BE=25—x,

：.E￡>2=x2+152,EF2=（25-X）2+102,

'?*DF=A/252+252=25Vl，six2+152+7（25-x）2+102=2572，

解得：x=15,A￡=15

【總結】考察勾股定理的應用，注意最小值的求法.

【例18]如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=2,CD=3,DA=1,且/B=90°,求ND4B

的度數(shù).

【答案】135°.

【解析】連接AC

'：AB=BC=2,ZB=90°,：.AC=722+22=272,NWC=45。.

?.*AC=2&,AD=1,CD=3,：.AD2+AC2=CD~,

，ZDAC=90°,ZDAB=ZDAC+ZBAC=135°.

【總結】考察勾股定理及其逆定理的綜合運用.

【例19]如圖，已知在△ABC中，ZB=90°,AB=BC,AD是8C邊上的中線，EF是A。

的垂直平分線，交A8于點E,交AC于點尸，求AE：8E的值.

【答案】5：3.

【解析】連接即，

：EF是AD的垂直平分線，AE=ED

T^AB=BC=2,AE=ED=X,貝!15E=2—X

??BE2+BD-=ED2,/.(2-x)2+12=x2,解得：x.

53

貝！j5E=2—%=2——=-,

44

53

，AE:BE=—:―=5:3.

44

【總結】考察勾股定理和線段垂直平分線性質的綜合運用.

【例20]如圖，AA8C是等邊三角形，P是三角形內一點，PA=3,PB=4,PC=5,求

NAPB的度數(shù).

VDP=4,DC=3,PC=5,：.DP2+DC~=PC~,：.ZPDC=90°

：.NBDC=NBDP+Z.PDC=150°

AABP^ACBD,

：.ZAPB=NBDC=150P

【總結】考察旋轉輔助線的作法和勾股定理逆定理的應用.

【例21]如圖，尸是凸四邊形內一點，過點P作AB、BC、CD、D4的垂線，垂足分別為

E、F、G、H,已知AH=3,DH=4,DG=1,GC=5,CF=6,BF=4,S.BE-AE=1,

求四邊形ABC。的周長.

【答案】34.

【解析】由勾股定理可得：

AP-=AH2+PH2=AE2+PE2,

BP?=BE2+PE2=BF2+PF2,

CP-=PF-+CF~=CG2+PG2,

DP?=DG2+G產(chǎn)=DH2+PH2,

等式相加后代入數(shù)據(jù)可得：32+J5E2+62+1=A￡2+42+52+42,

整理得：BE2-AE2=11,即(2E+AE)(BE-AE)=11,"：BE-AE=\,

解得：BE=6,AE=5.所以周長為：3+4+1+5+6+4+6+5=34.

【總結】考察勾股定理的應用，注意解題方法的合理選擇.

【例22】已知，如圖，在AABC中，ZACB=9Q°,CZ）_LAB于點。，設AC=6,BC=a,

AB=c,CD=h.

求證：

（1）c+h>a+b；\

（2）以a+b、c+h、力為三邊可構成一個直角三角形.\

DA

【解析】(1)由等面積可知：ab^ch,-：a2+b2=c2,

(a+bf=a~+2ab+b~=c~+2ch,(c+lif=c2+h1+2ch.

'/c2+2ch<c~+h2+2ch,(a+b)2<(c+/z)2,/.c+h>a+b.

(2)(c+/?)2=c~+h2+2ch；h2+(a+b)2=h2+a~+b~+lab,a2+b2=c2,ab=ch

，(c+〃)2=〃2+(a+b)2,.?.以a+以c+〃、〃為三邊可構成一個直角三角形.

【總結】考察勾股定理及其逆定理的應用、等面積法的綜合應用.

模塊三：兩點間的距離公式

知識精講

3、距離公式：如果平面內有兩點，%）、3（%,為），則A、8兩點間的距離為：

"（占一%2）~+（%-％）2'

（1）當4（%，/）、2（%,%）兩點同在x軸上或平行于x軸的直線上，則有％=%，

AB=\xx-x2\；

（2）當4項，%）、5（%，%）兩點同在y軸上或平行于y軸的直線上，則有%=%，

AB=\yr-y2\.

例題解析

【例23】已知點A(2,2)、B(5,1).

(1)求A、8兩點間的距離；

(2)在x軸上找一點C,使AC=BC.

【答案】(1)屈;(2)C(3,0).

【解析】(1)AB=7(2-5)2+(2-l)2=710；

(2)設C(x,O),

'：AC=BC,：.7(2-X)2+22=7(5-X)2+12,x=3,

C(3,0).

【總結】考察兩點之間距離公式的應用.

【例24](1)已知A(x,3)、B(3,x+1)之間的距離為5,則x的值是；

(2)已知點P在第二、四象限的平分線上，且到。(2,-3)的距離為5,則

點P的坐標為.

【答案】(1)x=6或一1；(2)尸(6,-6)或尸(1,-1).

【解析】(1)由題意有：小_3)2+(3-犬_1)2=5,；.x=6或—1；

(2)設尸(m-a),/.7(a-2)2+(-a+3)2=5,；.a=6或一1,尸(6,-6)或P(1,-1).

【總結】考察兩點之間距離公式的應用.

【例25](1)以點A(1,2)、B(-2,-1),C(4,-1)為頂點的三角形是；

(2)已知點4(0,3)、8(0,-1),△ABC是等邊三角形，則點C的坐標是

【答案】(1)等腰直角三角形；(2)CQG，1)或。卜2石,1).

【解析】⑴,/AB=A/32+32=3V2,BC=A/62+02=6,AC=^32+32=3y/2,

：.AB2+AC2=BC2,AB=AC,

...該三角形為等腰直角三角形;

(2)C(a,b),

(3)VAB=4,AC=7a2+(3-&)2=4,BC=^a2+(b+lf=4,

解得：a=±2A/3,b=1,

：.c(24,［或

【總結】考察兩點之間距離公式的應用.

【例26】已知直角坐標平面內的點A(4,1)、B(6,3),在坐標軸上求點P,使朋=P8.

【答案】P(7,0)或尸(0,7).

【解析】①當點P在x軸上時，

設尸(x,0),'：PA=PB,：.7(4-X)2+12=7(6-X)2+32,x=7,：.P(7,0)

②當點P在〉軸上時，

設尸(0,y),'：PA=PB,J(1-y)2+42=J(3_yj+6?,y=7,AP(0,7)

滿足條件的P點的坐標為尸(7,0)或尸(0,7).

【總結】考察兩點之間距離公式的應用，由于點尸在坐標軸上，注意分類討論.

【例27】已知直角坐標平面內的點P(4,m),且點尸到點A(-2,3)、B(-1,-2)的距

離相等，求點P的坐標.

【答案】尸(4,|1.

【解析】由題意可知：7(^-3)2+62=7(^+2)2+52,解得：m=|,

【總結】考察兩點之間距離公式的應用.

【例28】已知點A(2,3)B(4,5),在無軸上是否存在點P,使得R4+PB的值最小?若

存在，求出這個最小值；若不存在，說明理由.

【答案】存在，最小值為2歷.

【解析】找出A(2,3)關于x軸對稱的點為C(2,-3),連接BC,

則PA+PB的值最小值為BC=722+82=2V17.

【總結】考察兩點之間距離公式的應用.

3

【例29】已知直角坐標平面內的點A（4,―）、B（6,3）,在龍軸上求一點C,使得

2

△A8C是等腰三角形.

【答案】?，o］或C（6,0）或C（2,0）

【解析】設C（x,O）,

2

當CA=CB時,；.卜4-%）+Gj='E-------7107.J107小

（6-x）+3，x=—,,0j；

當C4=?寸，.??小一才+電.g1+22,x=2或6,，。⑹。）或C（2,o）；

當CB=AB時，J（6-X）2+32=jQJ+22,方程無解，所以不存在.

與，。］或C（6,0）或C（2,0）.

綜上，滿足條件的點C的坐標為：C

【總結】考察兩點之間距離公式的應用，注意分類討論.

【例30】已知點A（4,0）、B（2,-1）,點C的坐標是（x,2-x）,若AABC是等腰三角

形，求C的坐標.

或C。，-1）或C（4,一2）.

【解析】由兩點間距離公式，可得：

AB=7（4-2）2+l2=A/5,AC=7（^-4）2+（2-%）25C=7(-1-2-X)2+(2-X)2.

當CA=CB時，即7(4-X)2+(^-2)2=7(2-X)2+(-1-2+X)2，

當C4=A8時，即J(4T)2+(X_2)2=正2+12,

當CB=A8時，即J(2-X)2+(-1-2+X)2=4儼+2?，

解得：x=l或x=4,所以C。，-1）或C（4,一2）.

綜上，滿足條件的c點的坐標為：［^，一|［或［吟&，一檸&］或'丁

或（1，T）或（4,一2）.

【總結】本題主要考察兩點之間距離公式及勾股定理的應用，由于題目中并沒有說明斜邊是

哪條邊，因此要分類討論.

隨堂檢測

【習題1】六根細木棒，她們的長度分別是2、4、6、8、10、12（單位：cm）從中取出三

根，首尾順次連接搭成一個直角三角形，則這些木棒的長度分別為（）.

A.2、4、8B.4、8、10C.6、8、10D.8、10、12

【答案】C

【解析】只有c答案滿足勾股定理逆定理.

【總結】考察勾股定理逆定理的應用.

【習題2】已知點A（2,4）B（-1,-3）C（-3,-2）,那么△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.以上都不是

【答案】D

【解析】IAB=S”=底,ic=也+儼=q,AC=A/52+62=V61,

AB2+AC2N3C2,.?.該三角形不是直角三角形，也不是等腰三角形.

【總結】考察兩點之間的距離公式的應用.

【習題3］（1）如果等腰直角三角形一邊長為2,另外兩邊長為；

（2）如果直角三角形兩邊長為5和12,第三邊長度為

【答案】（1）2,2后或忘，忘；（2）13或"1?.

【解析】兩題目中的邊長可能為兩直角邊或一條直角邊和一條斜邊.

【總結】考察勾股定理的應用.

【習題4】如圖，將長方形ABCD沿AE折疊,使得點D落在上的點/處,AB=8，AD=IO.求

EC的長.A

【答案】CE=3.

【解析】由翻折性質，可知：AD=AF^10,

：.BF=y/AF2-AB2=6,CF=BC-BF=10-6=4.

設EC=x,EF=DE=8-x

VCE-+CF2=EF~,：.X2+42=（8-X）2,解得：x=%

CE=3.

【總結】考察勾股定理的應用.

【習題5】如圖，在四邊形ABC。中，ABLBC,AB=9,BC=n,CD=15,DA=15yf2.求四

邊形ABC。的面積.

【答案】—.

2

【解析】聯(lián)結AC,過C作

BC

'：AB±BC,AB=9,BC=12,：.AC=15.

222

VCZ)=15,AC=15,15A/2,?.CD+AC=AD,

，AACD為直角三角形.

S四邊形鉆CD=SBC+SAAOC=^ABBC+-ADEC

1c1右1572333

二—x9x12H—x15yl2x------=.

2222

【總結】考察勾股定理及其逆定理的綜合運用.

【習題6］如圖，在△ABC中，為BC邊上的中線，AB=5,AC=3,AD=2.求：AABC

的面積.

A

【答案】6.

［解析】延長AD至E,使得DF=AD,聯(lián)結

?；BD=CD,ZADB=NCDE,DF=AD

：.AABD名△CDE,AB=CE=5B/c

/——

VAC=3,AE=4,CE=5,：.AC2+7IE2=CE2,/

3Z＞一

AZZMC=90°,SAADC=^-AD-AC-

E

BD=CD,S^ABC=2s△△0c=6.

【總結】考察勾股定理逆定理的應用和等底同高的面積相等的應用.

【習題7】若A、B、C是三角形的邊長且關于x的方程r-2（。+6）無+<?+24=0有兩個相

等的實數(shù)根，試判斷這個三角形的形狀.

【答案】直角三角形.

【解析】由題意可知：［―2（a+b）\~—4（c2+2abj=0,a1+b~=c2,

這個三角形為直角三角形.

【總結】考察勾股定理逆定理的應用.

【習題8】如圖，在一條公路上有P、。兩個車站，相距27初z,A、8是兩個村莊，API

PQ,BQ±PQ,且AP=15Am,BQ=24km,現(xiàn)在要在公路上建立一個商場M使得A、

8兩個村莊到商場M的距離相等，求PM的長.B

【答案】PM=20.

【解析】設尸河=x,MQ=27-x,

VMA=MB,：.VX2+152=7（27-X）2+242,——q----------------------

解得：x=20,APM=20.A

【總結】考察勾股定理的應用及對最小值的應用.

【習題9】已知點A（-2,8）2（1,4）,點C在y軸上，使AABC為直角直角三角形，求滿足條

件的點C的坐標.

【答案】*,6+#）或*,6-街）或或c（o，,J.

【解析】設C（0,y）,則AC="4+（y-8）2,BC=^+{y-^,AB=A/32+42=5.

當AC2+BC2=AB2時，貝1J（8-才+22+（4-y）2+l2=32+42,

解得：y=6+A/6y=6—A/6,C（°，6+5/^）或C（0，6-；

19

當AC?+AB?=202時，則（87）2+22+32+42=（4-才+12,解得:

cfo,y

13

當Ry+AB?=472時，則（4-y）2+12+32+42=（8-yy+22,解得:一

/.cfo,y

,綜上所述，滿足條件的c點的坐標為：C（0,6+n）或C（0,6-網(wǎng)或c/q）

或

【總結】考察兩點之間的距離公式的運用，注意分類討論.

【習題10]如圖，在AABC中，ZACB=90,AC=BC,M是AABC內一點，且

AM=3,BM=1,CM=2,求NBMC的度數(shù).，?

/'；

【答案】135。.c/\

【解析】在過點C作CD,CM于點C,在CD上截取一點。，\

使得CD=CM,連接80/V\\

VZACM+ZDCA=90°,ZACM+ZBCM=900/

/.ZDCA=ZBCMA/----------------B

'：AC=BC,ZDCA=ZBCM,CD=CM

：.AACD冬LBCM,

：.BM=AD=1

VZMCD=90°,CD=CM,

：.DM=242,ZCDM=45°

:DA=1,DM=20,AM=3,

：.DA2+DM2=AM2,

=90°

ZADC=ZADM+Z.CDM=135。

?/AACD咨ABCM,

：.ZBMC=ZADC^135°

【總結】考察旋轉輔助線的作法和勾股定理逆定理的應用.

【習題11】若在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,/ACB=90°,貝！I/+〃=試用兩種方

法證明.

【解析】方法一：如圖，XCDE沿MNDE,且8、C、。在一條直線上，聯(lián)結AE

△CDE出AADE,：.ZACB=NCED

,：ZECD+NCED=90°,：,ZACB+NCED=90°,；.ZACE=90°

/.梯形ABDE的面積為g(a+b^a+匕)=2x

整理得：a2+b2=c2,即得證.

方法二、如圖，由四個AABC拼成以下圖形，

則四邊形BCEG和四邊形ADFH都為正方形

1/四邊形BCEG的面積為c2,

四邊形ADFH的面積為4x]ab+c2=(0+6)2,

整理得：a2+b2=c2,即得證.

【總結】本題主要考查學生對勾股定理的理解及通過幾何說理方法說明定理的正確性.

課后作業(yè)

【作業(yè)1】下列命題中，正確的有()個

(1)腰長及底邊上的高對應相等的兩個等腰三角形全等

(2)有一直角邊和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等

(3)有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】(1)(2)正確，(3)錯誤，分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況.故選C.

【總結】考察三角形全等的判定.

【作業(yè)2】如圖，圖中的字母、數(shù)代表正方形的面積，則4=

【答案】22.

【解析】根據(jù)勾股定理得A的面積等于另外兩正方形面積之差.

【總結】考察勾股定理的應用.

［作業(yè)3］如圖，RtMBC中，斜邊Afi=1,則AB?+比2+AC2的值是

【答案】2.

【解析】AB2+BC2+AC2=1+1=2.

【總結】考察勾股定理的應用.

【作業(yè)4】已知點A(3，-5),點B的橫坐標為-3,且A、8兩點之間的距離為10,那么點B

的坐標是.

【答案】3(-3,3)或3(-3,-13).

【解析】設3(-3,間，：54=70,7(^+5)2+62=10,解得：根=3或-13,

8(-3,3)或8(-3,-13).

【總結】考察兩點之間的距離公式的應用.

【作業(yè)5】現(xiàn)將直角三角形ABC的直角邊AC沿直線AO折疊，使它落在斜邊AB上，點C

與點E重合，已知AC=3,BC=4,則CD等于

【答案】cr>=-.

2

【解析】由翻折性質，可得：AC=AE=3,：.BE=2.設CZ)=r>E=x,則O8=4-x,

?/DE2+BE-=BD2,：.X2+22=(4-X)2,解得：x=1,CD=1.

【總結】考察翻折性質及勾股定理的綜合應用.

【作業(yè)6】如果AABC的周長為12,而AB+BC=2AC,AB-BC=2,那么AABC的形狀是

【答案】直角三角形.

【解析】VAB+BC+AC^12,AB+BC^2AC,AB-BC^2,

聯(lián)立方程，解得:AB=5,BC=3,AC=4.

VAB-=AC-+CB2,???AABC為直角三角形.

【總結】考察勾股定理逆定理的應用.

【作業(yè)7】已知等腰直角三角形TWC斜邊BC的長為2,AD3C為等邊三角形，那么A、。

兩點的距離為.

【答案】4￡)=百-1或6+1.

【解析】VAB=AC,BD=CD,，DA垂直平分3c.

設D4交BC于E,

:等腰直角三角形A5C斜邊BC的長為2,AE=1

：ADBC為等邊三角形，，根據(jù)勾股定理和直角三角形的性質可得：DE=y/3

當A點在AD3C內部時，AD=73-1；

當A點在ADBC外部時，A￡>=V3+1.

【總結】考察勾股定理和直角三角形的性質的綜合運用，注意分類討論.

【作業(yè)8】已知：如圖，已知在RrAABC中，48=90,ZC=30,將AABC繞點A逆時針

旋轉30后得到AAPQ,若AB=1,則兩個三角形重疊部分的面積為_________.

【答案】哈.A-

【解析】設AC與P。相交于。

由題意可得：NS4O=30。，ZPAD=30°,AP=AB=1

VZP=90°,ZPAD=30°,：.^PD=x,