愛提分中考復(fù)習(xí) 10二輪-全等綜合-第01講 全等綜合（一）(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王李 年級(jí)輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師王涵上課時(shí)間01-1806:30:00-08:30:00 知識(shí)圖譜全等綜合（一）知識(shí)精講一．全等三角形的判定方法：邊角邊定理：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．角邊角定理：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．邊邊邊定理：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．角角邊定理：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．斜邊、直角邊定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．二．全等三角形的應(yīng)用：1．運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線；2．能通過判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系．而證明兩條線段或兩個(gè)角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)．三．全等三角形輔助線的作法1．中點(diǎn)類輔助線作法見到中線(中點(diǎn))，我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長(zhǎng)中線或者是與中點(diǎn)有關(guān)的一條線段，尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí)，倍長(zhǎng)中線的應(yīng)用更是較為常見，常見添加方法如下圖（是底邊的中線)．2．角平分線類輔助線作法有下列三種作輔助線的方式：（1）由角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線；（2）過角平分線上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形；（3），這種對(duì)稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍．3．截長(zhǎng)補(bǔ)短類輔助線作法截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想．所謂“截長(zhǎng)”，就是將三者中最長(zhǎng)的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等；所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較短的線段延長(zhǎng)至與另一個(gè)已知的較短的長(zhǎng)度相等，然后求出延長(zhǎng)后的線段與最長(zhǎng)的已知線段的關(guān)系．有的是采取截長(zhǎng)補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解．三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：1．全等三角形的判定2．全等三角形輔助線的作法二．重難點(diǎn)：1．全等三角形的判定2．全等三角形輔助線的作法三．易錯(cuò)點(diǎn)：1．在使用判定定理證明兩個(gè)三角形全等時(shí)要注意條件的順序必須和判定定理要求的一樣，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)要對(duì)應(yīng)．2．輔助線只是一個(gè)指導(dǎo)方法，出現(xiàn)相關(guān)條件或結(jié)論時(shí)不一定要作輔助線或者是按照模型作輔助線，關(guān)鍵是如何分析題目；3．輔助線不是隨便都可以作的，比如“作一條線段等于另外一條線段且與某條線段夾角是多少度”這種輔助線就不一定能作出來．全等與三角形綜合例題例題1、如圖1，已知和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N．（1）將圖1中的繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，B，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)（如圖2），判斷的形狀并說明理由；（2）將圖1中的繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)（A，B，M三點(diǎn)在同一條直線上），（1）中的結(jié)論是否扔成立？若成立，試證明之；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）等腰直角三角形．【解析】（1）是等腰直角三角形；理由：因?yàn)楹途鶠榈妊苯侨切?，，，，，，，，A，B，E三點(diǎn)在同一條直線上點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)在和中，在和中，，是等腰直角三角形．（2）是等腰直角三角形；如圖3，A，B，N三點(diǎn)在同一條直線上；，，；，∵A，B，N三點(diǎn)在同一條直線上，，由（1）可得，，，在和中，，是等腰直角三角形．例題2、如圖1，在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)B，P在直線a的異側(cè)，直線a于M，直線a于N，連接PM、PN．（1）延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E（如圖2），=1\*GB3①求證：；=2\*GB3②求證：．（2）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B，P在直線a的同側(cè)，其他條件不變，此時(shí)還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC平行的位置時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時(shí)還成立嗎？不必說明理由．【答案】（1）見解析；（2）成立；（3）成立．【解析】（1）證明：=1\*GB3①如圖2：直線a于點(diǎn)M，CN直線a于點(diǎn)N，又為BC的中點(diǎn)又=2\*GB3②在中，．（2）成立，如圖3證明：延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)直線a于點(diǎn)M，CN直線a于點(diǎn)N，又為中點(diǎn)又在和中，則中，．（3）如圖4，四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)和P為BC邊中點(diǎn)，得到，得成立，即“四邊形MBCN是矩形”，則PM=PN成立．例題3、把兩個(gè)全等的和（其直角邊長(zhǎng)均為4）疊放在一起（如圖=1\*GB3①），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角滿足條件：），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖=2\*GB3②）（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系，四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH=X，的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使的面積恰好等于面積的？若存在，求出此時(shí)x的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）面積是4，是一個(gè)定值，在旋轉(zhuǎn)中沒有變化；理由見解析；（2）；（3）存在．【解析】（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH=CK，四邊形CHGK的面積不變證明：連接CG、KH，為等腰直角三角形，為其斜邊中點(diǎn)，，與均為旋轉(zhuǎn)角，在與中，，（2），，，由得由，得到．（3）存在；根據(jù)題意，得解這個(gè)方程，得，即當(dāng)或時(shí)，的面積均等于的面積的．例題4、如圖1所示，點(diǎn)E、F在線段AC上，過E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)；DE，BF分別在線段AC的兩側(cè)，且AE=CF，AB=CD，BD與AC相交于點(diǎn)G．（1）求證：EG=GF；（2）若點(diǎn)E在F的右邊，如圖2時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．（3）若點(diǎn)E、F分別在線段CA的延長(zhǎng)線與反向延長(zhǎng)線上，其余條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？（要求：在備用圖中畫出圖形，直接判斷，不必說明理由）【答案】（1）見解析（2）成立，見解析（3）成立【解析】（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE=90°．∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF=DE．在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DGE（AAS）．∴EG=FG．（2）（1）中結(jié)論依然成立．理由如下：∵AE=CF，∴AE﹣EF=CF﹣EF．∴AF=CE．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE=90°．在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．∴BF=DE．在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DGE（AAS）．∴EG=FG．（3）（1）中結(jié)論依然成立．如圖所示：理由如下：∵AE=CF，∴AE+ACEF=CF+AC．∴AF=CE．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE=90°．在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．∴BF=DE．在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DGE（AAS）．∴EG=FG．例題5、等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，連接CF，過點(diǎn)B作BH⊥CF交CF于G，交AC于H．（1）如圖（1），延長(zhǎng)BH到點(diǎn)E，連接AE，當(dāng)∠EAB=90°，AE=1，F(xiàn)為AB的三等分點(diǎn)，且BF＜AF時(shí)，求BE的長(zhǎng)；（2）如圖（2），若F為AB中點(diǎn)，連接FH，求證：BH+FH=CF；（3）如圖（3），在AB上取點(diǎn)K，使AK=BF，連接HK并延長(zhǎng)與CF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，若G為CP的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出AH、BH、PG所滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】見解析【解析】（1）∵BH⊥CF，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CFB=∠CFB+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF，在△ABE與△BCF中，，∴△ABE∽△BCF，∴BF=AE=1，∵F為AB的三等分點(diǎn)，且BF＜AF，∴AB=3BF=3，∴BE==；（2）證明：過點(diǎn)A作AD⊥AB交BH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．∴∠BAD=∠CBF=90°，∴∠D+∠ABD=∠CFB+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠BCF，在△ABD與△BCF中，，∴Rt△BAD≌Rt△CBF，∴AD=BF，BD=CF．∵F為AB的中點(diǎn)，∴AF=BF，∴AD=AF，在△ADH與△AFH中，，∴△AHD≌△AHF，∴DH=FH．∵BD=BH+DH=BH+FH，∴BH+FH=CF；（3）如圖4，AH+BH=PG，理由是：過A作AM⊥AB，交BH延長(zhǎng)線于M，由（2）證得△MAB≌△FBC，∴AM=BF=AK，∠AMB=∠CFB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∵∠MAB=90°，∴∠MAH=45°，∴∠MAH=∠CAB，在△MAH與△KAH中，，∴△MAH≌△KAH，∴∠AMB=∠AKH，∴∠AKH=∠CFB，∵∠AKH=∠PKF，∠CFB=∠PFK，∴∠PKF=∠PFK，∵FC⊥BH，G是PC中點(diǎn)，∴CH=PH，∴∠AHK=2∠P，在△PFK中，∠PKF==90°﹣∠P，則90°﹣∠P+45°+2∠P=180°，解得∠P=30°，在CH上取一點(diǎn)R，使RH=BH，連接BR，∴∠RHB==60°，∴△RHB是等邊三角形，∴BH=BR=RH，∵∠CAB=∠ACB=45°，∠AHB=180°﹣60°=120°，∠BRC=180°﹣60°=120°，∴∠ABH=∠RBC，在△ABH與△CBR中，，∴△ABH≌△CBR，∴AH=CR，∵cos30°=，∴CH==CG，∴RH+RC=BH+AH=CG，∵PG=CG，∴BH+AH=CG．例題6、已知：等邊中，點(diǎn)是邊，的垂直平分線的交點(diǎn)，，分別在直線，上，且．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，，分別在邊，上時(shí)，請(qǐng)寫出、、三者之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，，分別在邊，上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）（2）（3）【解析】該題考查的是等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定．（1）如圖1，在上截取，連接，，，∵是邊和垂直平分線的交點(diǎn)，是等邊三角形，∴，也是等邊三角形三個(gè)角的平分線交點(diǎn)，∴∴，∴，∵在和中（SAS），∴，，∵，，∴，∴，即，∵在和中∴（SAS），∴，∵，∴……2分（2）如圖2，過點(diǎn)作，易得，，在邊上截取，連接，∵，，，∴，……4分∴，∴，∴∴易證……4分∴∴∴，∴（3）如圖3，延長(zhǎng)到，使，連接，，，∵是邊和垂直平分線的交點(diǎn)，是等邊三角形，∴，由三線合一定理得：，，∴，∵在和中，∴（SAS），∴，，∵，，∴，∴，即，∵在和中，∴（SAS）∴，∵，∴．……7分隨練隨練1、如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形、拼在一起（圖1），不動(dòng)，（1）若將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB、MC（圖2），證明：MB=MC．（2）若將圖1的CE向上平移，不變，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB、MC（圖3），判斷并直接寫出MB、MC的數(shù)量關(guān)系．（3）在（2）中，若的大小改變（圖4），其他條件不變，則（2）中的MB、MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由．【答案】見解析．【解析】證明：（1）如圖2，連接AM，由已知得，，，，即，在和中，．（2）MB=MC．理由如下：如圖3，延長(zhǎng)、AE相交于，延長(zhǎng)EC交AD于F，，是ED的中點(diǎn)，B是的中點(diǎn)，，同理，．（3）MB=MC還成立．如圖4，延長(zhǎng)交CE于F，，，是ED的中點(diǎn)在和中，．隨練2、如圖，在中，，，E為AC邊的一點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，交BE于點(diǎn)D且，CG平分交BD于點(diǎn)G，（1）求證：CF=BG；（2）延長(zhǎng)CG交AB于H，連接AG，過點(diǎn)C作交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，求證：；（3）在（2）問的條件下，當(dāng)時(shí)，若，BG=6，求AC的長(zhǎng)．【答案】見解析；【解析】解：（1）如圖1，，平分，在和中，．（2）如圖2，，，，．（3）如圖3，過E作，交于M，由（2）得：設(shè)，則，，在中，，是AG的中點(diǎn)，在中，，．隨練3、如圖1，在中，，AB=AC，的平分線BE交AC于E．（1）求證：AE=BC；（2）如圖（2），過點(diǎn)E作EF//BC交AB于F，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）得到，連結(jié)，，求證：；（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在//AB？若存在，求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見解析．【解析】（1）證明：∵AB=BC，，又∵BE平分，，，，．（2）證明：∵AC=AB且EF//BC，；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，在和，；．（3）存在，理由：由（1）可知AE=BC，所以，在繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，E點(diǎn)經(jīng)過的路徑（圓?。┡c過點(diǎn)C且與AB平行的直線l交于M、N兩點(diǎn)，如圖：=1\*GB3①當(dāng)點(diǎn)E的像與點(diǎn)M重合時(shí)，則四邊形ABCM為等腰梯形，又，=2\*GB3②當(dāng)點(diǎn)E的像與點(diǎn)N重合時(shí)，由得，所以當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為或時(shí)，．隨練4、如圖1，在中，AB=BC，P為AB邊上的一點(diǎn)，連接CP，以PA、PC為鄰邊作，AC與PD相交于點(diǎn)E，已知．（1）求證：；（2）是否為矩形？請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接FP，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，得到（點(diǎn)M、N分別是的兩邊與BA、FP延長(zhǎng)線的交點(diǎn)）．猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】見解析．【解析】（1）證明：在和中，，，在中，，．（2）解：是矩形，理由如下：∵是平行四邊形，，∵由（1）知，，則，∴是矩形．（3）解：證明：，由（2）知，，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，得到，，即在和中，．隨練5、（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為________；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為____________．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）AD=BE;∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°（2）AE=AD+DE=BE+2CM．【解析】（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°；（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由：如圖2，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∵點(diǎn)A、D、E在同一直線上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．隨練6、(2013中考西城區(qū)一模)在Rt△ABC中，，，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部．（1）如圖1，，，點(diǎn)M、N分別在AB、BC邊上，則_______，△PMN周長(zhǎng)的最小值為_______；（2）如圖2，若條件不變，而，，，求△ABC的面積；（3）若，，，且，直接寫出的度數(shù)．BBB【答案】（1）；3（2）（3）【解析】該題考查的是三角形的綜合．（1），△PMN周長(zhǎng)的最小值為3；（2）分別將△PAB、△PBC、△PAC沿直線AB、BC、AC翻折，點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E、F，連接DE、DF，（如圖6）則△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC．∴，，．∵由（1）知，，，∴，，．∴△DBE是等邊三角形，點(diǎn)F、C、E共線．∴，．∵△ADF中，，，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．（3）．說明：作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N．（如圖7）由（2）知，．∵，，∴，．∴∠1=，．∴，．∴．∴．∴．圖圖6圖7拓展拓展1、已知，，等腰直角，，BD=DE，點(diǎn)在線段AC上．（1）如圖1，當(dāng)，點(diǎn)E在BC上時(shí)，試判斷AD與CE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）如圖2，當(dāng)，點(diǎn)E在BC外時(shí)，連接EC\、BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，設(shè)ED與BC交于點(diǎn)N，圖中是否存在與BN相等的線段？若存在，請(qǐng)加以證明．若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見解析．【解析】解：（1）．理由是：是等腰直角三角形∴又中，，同理，在和中，又∵中，，．（2），理由是：如圖2，過E作，交AC的延長(zhǎng)線于G，在和中，，，，是等腰直角三角形在和中，．拓展2、如圖1，在中，是銳角，點(diǎn)D為射線BC上的一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，，=1\*GB3①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為；=2\*GB3②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，=1\*GB3①中的結(jié)論是否依然成立，并說明理由；（2）如果AB=AC，是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，（點(diǎn)C、F不重合），并說明理由．【答案】見解析．【解析】證明：（1）=1\*GB3①正方形ADEF中，AD=AF，又，即．=2\*GB3②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)=1\*GB3①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，又，，即．（2）當(dāng)時(shí)，（如圖）．理由：過點(diǎn)A作交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，，，，（同角的余角相等），AD=AF，即．拓展3、如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中，．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定，使繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：=1\*GB3①線段DE與AC的位置關(guān)系是；=2\*GB3②設(shè)的面積為，的面積為，則與的數(shù)量關(guān)系是．（2）猜想論證當(dāng)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了和中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想．（3）拓展探究已知，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DE//ABA交BC于點(diǎn)E（如圖4）．若在射線BA上存在點(diǎn)F，使，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長(zhǎng)．【答案】見解析．【解析】解：（1）=1\*GB3①∵繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，，是等邊三角形，又．=2\*GB3②，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，的邊AC、AD上的高相等的面積和的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即（2）如圖，是由繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，，,，在和中，的面積和的面積相等（等底等高的三角形的面積相等）即；（3）如圖，過點(diǎn)D作DF1//BE，易求四邊形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此時(shí)；過點(diǎn)D作，，DF1//BE，，∵BF1=DF1，，，是等邊三角形，，，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，在和中，點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，，點(diǎn)D是角平分線上的一點(diǎn)，DE//AB又，,故BF的長(zhǎng)為或．拓展4、探究問題1，已知：如圖1，三角形中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，AE，BF交于點(diǎn)M，連接DE，DF．若，則k的值為．拓展問題2已知：如圖2，三角形ABC中，CB=CA，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部，且，過點(diǎn)M分別作，，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．求證：．推廣問題3如圖3，若將上面問題2中的條件“CB=CA”變?yōu)椤啊?，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】見解析．【解析】解：（1），和都是直角三角形是AB的中點(diǎn)∴DE和DF分別為和的斜邊中線，．（2）∵CB=CA，即，又∵∵D是AB的中點(diǎn)，即BD=AD又∵．（3）DE=DF，如圖1，作AM的中點(diǎn)G，BM的中點(diǎn)H點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，同理可得：，于E，H是BM的中點(diǎn)∴在Rt中，又，同理可得：DH=FG，，四邊形DHMG是平行四邊形，又在與中，．拓展5、某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：如圖1，在等腰直角中，AB=AC，，小敏將一塊三角板中含角的頂點(diǎn)放在A上，從AB邊開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分，則AE也平分．請(qǐng)你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決；小穎的想法：將沿AD所在的直線對(duì)折得到，連接EF（如圖2）小亮的想法：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接（如圖3）；請(qǐng)你從中任選一種方法進(jìn)行證明；（3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出當(dāng)且時(shí)，等量關(guān)系仍然成立，先請(qǐng)你繼續(xù)研究：當(dāng)時(shí)（如圖4）等量關(guān)系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．【答案】見解析．【解析】（1）證明：如圖1，，，即平分（2）選擇小穎的方法．證明：如圖2，連接EF．由折疊可知，，AB=AF，BD=DF∵，由（1）可知，在和中，，．在Rt中，（3）當(dāng)時(shí)，等量關(guān)系仍然成立．證明如下：如圖4，按小穎的方法作圖，設(shè)AB與EF相交于點(diǎn)G∵將沿AD所在的直線對(duì)折得到，，，．又，．又．在和中，，．在中，拓展6、如圖1，已知中，AB=BC=1，，把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為DE，長(zhǎng)直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．（1）在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N．=1\*GB3①證明；=2\*GB3②在這一過程中，直角三角板DEF與的重疊部分為四邊形DMBN，請(qǐng)說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明是如何變化的；若不發(fā)生變化，求出其面積；（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長(zhǎng)AB交DE于M，延長(zhǎng)BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，延長(zhǎng)FD交BC于N，延長(zhǎng)DE交AB于M，DM=DN是否仍然成立