二項(xiàng)分布第2課時(shí)導(dǎo)學(xué)案 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第2課時(shí)二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握二項(xiàng)分布的均值與方差的公式.2.能利用二項(xiàng)分布解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.◆知識(shí)點(diǎn)二項(xiàng)分布的均值和方差(1)均值:若隨機(jī)變量X~B(n,p),則EX=.

(2)方差:若隨機(jī)變量X~B(n,p),則DX=.

【診斷分析】判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲5次,則正面向上的次數(shù)的方差等于14. (◆探究點(diǎn)一二項(xiàng)分布的均值和方差例1已知一個(gè)箱子中裝有除顏色外完全相同的4個(gè)紅球和3個(gè)白球.(1)一次取出2個(gè)球,在已知它們顏色相同的情況下,求該顏色是紅色的概率;(2)一次取出1個(gè)球,取出后記錄顏色并放回箱中,取球3次,求取到紅球的次數(shù)X的均值與方差.變式小明同學(xué)從家到學(xué)校要經(jīng)過(guò)6個(gè)紅綠燈路口,假設(shè)他在各個(gè)路口遇到紅燈是相互獨(dú)立的,并且概率都是13,則小明同學(xué)在上學(xué)途中遇到的紅燈次數(shù)X的均值為,方差為[素養(yǎng)小結(jié)](1)求二項(xiàng)分布的均值和方差的步驟:①一是判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布;②二是代入二項(xiàng)分布的均值和方差公式計(jì)算均值和方差.(2)若X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,則DX=p(1-p);若X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,即X~B(n,p),則DX=np(1-p).◆探究點(diǎn)二已知二項(xiàng)分布的均值和方差求參例2設(shè)隨機(jī)變量X~B(9,p),且EX=3,則p= ()A.13 B.23 C.19 變式(1)設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p),如果EX=12,DX=4,那么n和p分別為 ()A.18和23 B.16和C.20和13 D.15和(2)隨機(jī)變量X,Y滿足Y=3X-1,且X~B(3,p),若P(X≥1)=1927,則DY=[素養(yǎng)小結(jié)]一般求二項(xiàng)分布中n與p兩個(gè)參數(shù)時(shí),會(huì)結(jié)合二項(xiàng)分布的均值與方差公式,通過(guò)方程的思想方法求解n或p.◆探究點(diǎn)三二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用例3已知一批玉米種子的發(fā)芽率是0.8.(1)問(wèn):每穴至少種幾粒種子,才能保證每穴至少有一粒種子發(fā)芽的概率大于98%?(2)若每穴種3粒種子,求恰好2粒種子發(fā)芽的概率.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010)變式[2024·吉林汪清高二期末]某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品,制作過(guò)程必須先后經(jīng)過(guò)兩次燒制,當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制,兩次燒制過(guò)程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平,經(jīng)過(guò)第一次燒制,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為0.5,0.6,0.4,經(jīng)過(guò)第二次燒制,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為0.6,0.5,0.75.(1)求經(jīng)過(guò)第一次燒制恰有一件產(chǎn)品合格的概率;(2)經(jīng)過(guò)先后兩次燒制,記合格產(chǎn)品的件數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.[素養(yǎng)小結(jié)]利用二項(xiàng)分布來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是在實(shí)際問(wèn)題中建立二項(xiàng)分布的模型,也就是看它是否是n重伯努利試驗(yàn),隨機(jī)變量是否為在這n重伯努利試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù),滿足這兩點(diǎn)的隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布,否則就不服從二項(xiàng)分布.拓展高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?前面擋有一塊玻璃,讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過(guò)程中與各層小木塊碰撞,且等可能地向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的高爾頓板有7層小木塊,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以12的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過(guò)6次與小木塊碰撞,最后掉入編號(hào)為1,2,…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號(hào)球槽,則在6次碰撞中有2次向右4次向左滾下(1)若進(jìn)行1次高爾頓板試驗(yàn),求這個(gè)小球掉入2號(hào)球槽的概率;(2)若進(jìn)行5次高爾頓板試驗(yàn),記小球掉入偶數(shù)號(hào)球槽的次數(shù)為X,求X的分布列與期望.第2課時(shí)二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用【課前預(yù)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)(1)np(2)np(1-p)診斷分析×【課中探究】例1解:(1)在已知它們顏色相同的情況下,該顏色是紅色的概率P=C42C(2)由題意可知,一次取出1個(gè)球,取得紅球的概率為47,取出后記錄顏色并放回箱中,取球3次,則X的可能取值為0,1,2,3,且X~B3,47,所以EX=np=3×47=127,DX=np(1-p)=3×變式243[解析]由題意可得,X~B6,13,∴EX=6×13=2,DX=6×1例2A[解析]因?yàn)殡S機(jī)變量X~B(9,p),且EX=3,所以EX=np=9p=3,所以p=13,故選A變式(1)A(2)6[解析](1)由EX=np=12,(2)因?yàn)镻(X≥1)=1927,所以P(X=0)=1-P(X≥1)=827,又P(X=0)=C30p0(1-p)3=827,所以p=13,故DX=np(1-p)=3×13×1-13=23,所以DY=D(3X-例3解:(1)設(shè)每穴種n(n∈N*)粒種子,則每穴至少有一粒種子發(fā)芽的概率為1-0.2n>0.98,可得n>log0.20.02=-2+lg2-1+lg2≈-故n的最小值為3,即每穴至少種3粒種子才能使每穴至少有一粒種子發(fā)芽的概率大于98%.(2)若每穴種3粒種子,則恰好2粒種子發(fā)芽的概率為C32×0.82×0.2=0.變式解:(1)經(jīng)過(guò)第一次燒制恰有一件產(chǎn)品合格的概率p=0.5×(1-0.6)×(1-0.4)+(1-0.5)×0.6×(1-0.4)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.4=0.38.(2)經(jīng)過(guò)先后兩次燒制,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為p1=0.5×0.6=0.3,p2=0.6×0.5=0.3,p3=0.4×0.75=0.3.所以p1=p2=p3=0.3,則隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0,1,2,3,且ξ~B(3,0.3).可得P(ξ=0)=(1-0.3)3=3431000,P(ξ=1)=C31×0.3×(1-0.3)2=4411000,P(ξ=2)=C32×0.32×(1-0.3)=1891000,P(ξ=3)=0.3ξ0123P34344118927隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=3×0.3=0.9.拓展解:(1)設(shè)A表示“這個(gè)小球掉入2號(hào)球槽”,這