全概率公式導(dǎo)學(xué)案 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修+第一冊

1.3全概率公式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推導(dǎo)出全概率公式的過程.2.結(jié)合古典概型,會利用全概率公式計算概率.*3.了解貝葉斯公式.4.通過學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).◆知識點一全概率公式設(shè)B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個劃分,若P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則對任意一個事件A有P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A|B【診斷分析】判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)全概率公式中,B1,B2,…,Bn必須是一組兩兩互斥的事件. ()(2)全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)·P(B|A)是將樣本空間分成對立的兩部分后得到的. ()*◆知識點二貝葉斯公式設(shè)B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個劃分,若P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則P(Bi|A)=P(B◆探究點一全概率公式例1某考生回答一道四選一的考題,假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5,知道正確答案時,答對的概率為1,而不知道正確答案時猜對的概率為0.25,求他答對該道題目的概率.變式1[2024·山西運城芮城中學(xué)高二期末]某高校有橘園、桃園、李園3個食堂,根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析,某天上午下課后,進入橘園、桃園、李園食堂的學(xué)生人數(shù)分別占40%,35%,25%,但因為各種原因,進入橘園、桃園、李園食堂的學(xué)生中有一些同學(xué)未用餐,而選擇出校就餐.其中進入橘園、桃園食堂未用餐而選擇出校就餐的學(xué)生人數(shù)分別占2%,3%.現(xiàn)從在校學(xué)生中任選一位學(xué)生,若發(fā)現(xiàn)這位學(xué)生出校就餐的概率為2.5%,則推測進入李園食堂中但未用餐而選擇出校就餐的學(xué)生人數(shù)占 ()A.2.3% B.2.4%C.2.5% D.2.6%變式2在A,B,C三個地區(qū)爆發(fā)了流感,這三個地區(qū)分別有6%,5%,4%的人患了流感,假設(shè)這三個地區(qū)的人口數(shù)量之比為3∶5∶2,現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人,則這個人患流感的概率為.

[素養(yǎng)小結(jié)]全概率公式針對的是某一個過程中已知條件求結(jié)果發(fā)生的概率,解題步驟如下:(1)按照某種標(biāo)準(zhǔn)求樣本空間Ω的一個劃分B1,B2,…,Bn;(2)求P(Bi)(i=1,2,…,n);(3)求P(A|Bi)(i=1,2,…,n);(4)代入全概率公式求目標(biāo)事件的概率P(A).◆探究點二多個事件的全概率問題例2某支足球隊根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員四個位置,且出場率分別為0.2,0.5,0.2,0.1,當(dāng)乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員時,球隊輸球的概率依次為0.4,0.2,0.6,0.2.則當(dāng)乙球員參加比賽時,求該球隊某場比賽不輸球的概率.變式(1)某乒乓球訓(xùn)練館使用的球是A,B,C三種不同品牌的標(biāo)準(zhǔn)比賽球,根據(jù)以往使用的記錄數(shù)據(jù)得到下表:品牌名稱合格率占總數(shù)的比例A98%0.2B99%0.6C97%0.2若這些球在盒子中是均勻混合的,且無區(qū)別的標(biāo)志,現(xiàn)從盒子中隨機地取出一只球用于訓(xùn)練,則它是合格品的概率為 ()A.0.986 B.0.984 C.0.982 D.0.980(2)有3臺車床加工同一型號的零件,第1臺車床加工的次品率為6%,第2,3臺車床加工的次品率均為5%.加工出來的零件混放在一起,且第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.現(xiàn)從加工出來的零件中任取一個零件,則取到的零件是次品的概率為.

[素養(yǎng)小結(jié)]全概率公式的應(yīng)用較廣,它的基本思路是將一個比較復(fù)雜的事件分解成若干個較簡單且兩兩互斥的事件的和,然后利用互斥事件的概率加法公式與乘法公式來計算.事件A發(fā)生的全概率公式為P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn),即A在事件B1發(fā)生的條件下的條件概率與B1發(fā)生的概率乘積,A在事件B2發(fā)生的條件下的條件概率與B2發(fā)生的概率乘積,…,A在事件Bn發(fā)生的條件下的條件概率與Bn發(fā)生的概率乘積的和.拓展為了弘揚頑強拼搏的體育競技精神,某學(xué)校的足球社團利用課余時間開展“三人足球”的比賽,比賽的第一階段為“傳球訓(xùn)練賽”,即參賽的甲、乙、丙三名同學(xué)第一次傳球從乙開始,隨機地傳球給其他兩人中的任意一人,接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人,則第6次傳球重新由乙同學(xué)傳球的概率為.

*◆探究點三貝葉斯公式例3設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1,貨車中途停車修理的概率為0.02,客車中途停車修理的概率為0.01.今有一輛汽車中途停車修理,則該汽車是貨車的概率為.

[素養(yǎng)小結(jié)]貝葉斯公式針對的是某一個過程中已知結(jié)果發(fā)生求事件過程中某個條件成立的概率,解題步驟如下:(1)按照某種標(biāo)準(zhǔn)求樣本空間Ω的一個劃分B1,B2,…,Bn;(2)命名已知會發(fā)生的結(jié)果為事件A;(3)分別計算P(Bi),P(A|Bi),i=1,2,…,n;(4)代入貝葉斯公式P(Bi|A)=P(Bi)P(1.3全概率公式【課前預(yù)習(xí)】知識點一診斷分析(1)√(2)√【課中探究】例1解:用事件A表示“該考生答對該題”,用事件B表示“該考生知道正確答案”,用事件B表示“該考生不知道正確答案”,則P(B)=0.5,P(B)=0.5,P(A|B)=1,P(A|B)=0.25,則P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)=1×0.5+0.25×0.5=0.625.變式1D[解析]設(shè)A表示出校就餐,A1,A2,A3分別表示進入橘園、桃園、李園食堂未用餐而選擇出校就餐,B1,B2,B3分別表示進入橘園、桃園、李園食堂.由全概率公式得P(A)=P(A1|B1)P(B1)+P(A2|B2)P(B2)+P(A3|B3)P(B3),即2.5%=2%×40%+3%×35%+P(A3|B3)×25%,解得P(A3|B3)=2.6%,故選D.變式20.051[解析]設(shè)此人來自A,B,C三個地區(qū)分別為事件A,B,C,事件D為這個人患流感,所以P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(C)=0.2,P(D|A)=0.06,P(D|B)=0.05,P(D|C)=0.04,因此P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.3×0.06+0.5×0.05+0.2×0.04=0.051.例2解:設(shè)事件A1表示“乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒”,事件A2表示“乙球員擔(dān)當(dāng)中鋒”,事件A3表示“乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)”,事件A4表示“乙球員擔(dān)當(dāng)守門員”,事件B表示“當(dāng)乙球員參加比賽時,球隊輸球”,則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32,所以當(dāng)乙球員參加比賽時,該球隊某場比賽不輸球的概率為1-0.32=0.68.變式(1)B(2)0.0525[解析](1)將A,B,C三種品牌分別記為第1,2,3個品牌,設(shè)事件Mi表示“取到的球是第i(i=1,2,3)個品牌”,事件N表示“取到的一個球是合格品”,所以P(N)=P(M1)P(N|M1)+P(M2)P(N|M2)+P(M3)P(N|M3)=0.98×0.2+0.99×0.6+0.97×0.2=0.984.故選B.(2)設(shè)B表示“取到的一個零件為次品”,Ai表示“零件為第i(i=1,2,3)臺車床加工出來的”,所以P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525.拓展516[解析]設(shè)第n次傳球重新由乙同學(xué)傳球的概率為Pn,則P1=1,P2=(1-P1)×12=0,P3=(