河北省保定市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題

2018年高三第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則的子集個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】，所以，其子集個(gè)數(shù)為，選D.2.設(shè)為的虛部，為的實(shí)部，則（）A.1B.2C.3D.0【答案】A【解析】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；因此，選A.3.已知具有線性相關(guān)的變量，設(shè)其樣本點(diǎn)為，回歸直線方程為，若，（為原點(diǎn)），則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，因此，選B.4.已知非向量，則或是向量與夾角為銳角的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B5.已知，則為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)榈姆穸?所以為，選B.6.2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì).弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）.如果小正方形的邊長(zhǎng)為2，大正方形的邊長(zhǎng)為10，直角三角形中較小的銳角為，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)直角三角形中較小的直角邊長(zhǎng)為，則選A.7.如圖所示的程序框圖中，輸出的為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】執(zhí)行循環(huán)得：,選C.8.已知函數(shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，函數(shù)是上的奇函數(shù)，函數(shù)，則（）A.0B.2018C.4036D.4037【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，所以，因此，因此選D.9.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】幾何體為三棱錐，如圖，底面為頂角為120度的等腰三角形BCD，側(cè)棱AC垂直底面，,表面積為選C.點(diǎn)睛:空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問(wèn)題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用．10.已知向量，向量，函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是奇函數(shù)B.的一條對(duì)稱軸為直線C.的最小正周期為D.在上為減函數(shù)【答案】D【解析】，所以是偶函數(shù)，不是其對(duì)稱軸，最小正周期為，在上為減函數(shù)，所以選D.【點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)(1).(2)周期(3)由求對(duì)稱軸(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間11.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，虛軸長(zhǎng)為8，右焦點(diǎn)為，且與雙曲線的漸近線相切，若過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（）A.8B.C.D.【答案】D【解析】,因?yàn)榈诫p曲線的漸近線距離為，所以：，設(shè)MN交x軸于E，則,選D.【點(diǎn)睛】1.已知雙曲線方程求漸近線：2.已知漸近線設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程3，雙曲線焦點(diǎn)到漸近線距離為，垂足為對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn).12.定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】因?yàn)?，所以周期?，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，作圖可得四個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)于對(duì)稱，其和為，選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上13.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則__________．【答案】【解析】設(shè)拋物線方程為，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，所以，所以點(diǎn)睛：1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．2．若為拋物線上一點(diǎn)，由定義易得；若過(guò)焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為，則弦長(zhǎng)為可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到．14.甲、乙、丙三個(gè)各自獨(dú)立地做同一道數(shù)學(xué)題，當(dāng)他們都把自己的答案公布出來(lái)之后，甲說(shuō)：我做錯(cuò)了；乙說(shuō)：丙做對(duì)了；丙說(shuō)：我做錯(cuò)了．在一旁的老師看到他們的答案并聽(tīng)取了他們的意見(jiàn)后說(shuō)：“你們?nèi)齻€(gè)人中有一個(gè)人做對(duì)了，有一個(gè)說(shuō)對(duì)了.”請(qǐng)問(wèn)他們?nèi)齻€(gè)人中做對(duì)了的是__________．【答案】甲【解析】若甲做對(duì)了，則甲乙說(shuō)錯(cuò)了，丙說(shuō)對(duì)了，符號(hào)題意；若乙做對(duì)了，則乙說(shuō)錯(cuò)了，甲丙說(shuō)對(duì)了，不符號(hào)題意；若丙做對(duì)了，則丙說(shuō)錯(cuò)了，甲乙說(shuō)對(duì)了，不符號(hào)題意；因此做對(duì)了的是甲.15.已知實(shí)數(shù)滿足，若取得最小值時(shí)的最優(yōu)解滿足，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】9【解析】作可行域，則直線過(guò)點(diǎn)A(2,2)時(shí)取最小值，此時(shí)最優(yōu)解為(2,2)，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為9.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16.已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，，且，則__________．【答案】（或30°）【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理的三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列滿足：，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求其前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)，.【解析】試題分析：（1）由等差數(shù)列定義可得為等差數(shù)列，再根據(jù)得公差，最后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)條件變形得等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和試題解析：（1）由知數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為，所以；（2）∵，∴，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，從而，，，∴，所以.點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問(wèn)題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫(xiě)出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.18.某大學(xué)導(dǎo)師計(jì)劃從自己所培養(yǎng)的研究生甲、乙兩人中選一人，參加雄安新區(qū)某部門組織的計(jì)算機(jī)技能大賽，兩人以往5次的比賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：（滿分100分，單位：分）.第一次第二次第三次第四次第五次甲的成績(jī)87878410092乙的成績(jī)10080859590（1）試比較甲、乙二人誰(shuí)的成績(jī)更穩(wěn)定；（2）在一次考試中若兩人成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于2，則稱兩人“實(shí)力相當(dāng)”.若從上述5次成績(jī)中任意抽取2次，求恰有一次兩人“實(shí)力相當(dāng)”的概率.【答案】(1)甲的成績(jī)更穩(wěn)定；(2).【解析】試題分析：（1）先求均值，再求方差，根據(jù)方差越小越穩(wěn)定確定結(jié)論，（2）先根據(jù)枚舉法確定5次成績(jī)中任意抽取2次所包含基本事件的總數(shù)，再?gòu)闹写_定恰有一次兩人“實(shí)力相當(dāng)”的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.試題解析：（1）∵，，，∴甲的成績(jī)更穩(wěn)定；（2）考試有5次，任選2次，基本事件有和，和，和，和，和，和，和，和，和，和共10個(gè)，其中符合條件的事件有和，和，和，和，和，和共有6個(gè)，則5次考試，任取2次，恰有一次兩人“實(shí)力相當(dāng)”的概率為，另法：這5次考試中，分?jǐn)?shù)差的絕對(duì)值分別為13，7，1，5，2，則從中任取兩次，分差絕對(duì)值的情況為共10種，其中符合條件的情況有共6種情況，則5次考試，任取2次，恰有一次兩人“實(shí)力相當(dāng)”的概率為.19.如圖，四棱臺(tái)中，底面，平面平面為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若，且，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】試題分析：（1）先根據(jù)平幾知識(shí)計(jì)算得到，再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得線面垂直平面即得；（2）利用等體積法可將點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為求高，也可直接作出垂線，再在三角形中求解.因?yàn)槠矫?所以平面平面，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則平面，最后解三角形即可.試題解析：（1）證明：連接，∵為四棱臺(tái)，四邊形四邊形，∴，由得，，又∵底面，∴四邊形為直角梯形，可求得，又為的中點(diǎn)，所以，又∵平面平面，平面平面，∴平面平面，∴；（2）解：在中，，利用余弦定理可求得，或，由于，所以，從而，知，又∵底面，則平面底面為交線，∴平面，所以，由（1）知，∴平面（連接），∴平面平面，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則平面，在中可求得，所以，所以，點(diǎn)到平面的距離為.20.橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)滿足.①證明：為定值；②設(shè)直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若成等差數(shù)列，求的值.【答案】(1)；(2)①.證明見(jiàn)解析；②..【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代人橢圓方程，與離心率聯(lián)立方程組解得a.b,（2）①根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，代入橢圓方程化簡(jiǎn)可得，再求比值即可，②先根據(jù)成等差數(shù)列，得，再根據(jù)橢圓定義化簡(jiǎn)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得的值.試題解析：（1）由得，把點(diǎn)代入橢圓方程為，∴得，∴，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）知，，而，∴為定值；②直線與橢圓聯(lián)立，得，，設(shè)，則，由①知，∴，∵成等差數(shù)列，∴，即解得或，又因?yàn)?，所?21.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，證明:當(dāng)且時(shí)，.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再研究二次方程解的情況：先討論導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)的情況，再討論有兩個(gè)不等根，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)性，（2）先作差函數(shù)，求導(dǎo)轉(zhuǎn)化研究根的情況，有一正根，表示差函數(shù)最小值，最后利用導(dǎo)數(shù)研究最小值函數(shù)最小值大于零.試題解析：（1）因?yàn)椋偃?，∴在為增函?shù)；②若，則或，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）令，，設(shè)的正根為，所以，∵，∴，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，令，恒成立，所以在上為增函數(shù)，又∵，∴，即，所以，當(dāng)時(shí)，.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，并用2B鉛筆將答題卡上所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)右側(cè)方框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；多涂、多答，按所涂的首題進(jìn)行評(píng)分；不涂，按本選考題的首題進(jìn)行評(píng)分.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線與相交于兩點(diǎn)，且.（1）求的值；（2）直線與曲線相交于，證明：（為圓心）為定值.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1），先將直線極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再由條件得直線過(guò)圓的圓心，解得的值；(2）代入消元得曲線的普通方程，設(shè)直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式，代入，由韋達(dá)定理以及參數(shù)幾何意義得.試題解析：（1）解：直線和圓的普通方程分別為，，∴直線過(guò)圓的圓心，所以；（2）證明：曲線，可知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入曲線得，恒成立，設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以為定值.點(diǎn)睛：直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負(fù)、可為0)若M1，M2是l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若線段M1M2的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，則t