專題8解三角形問(wèn)題(原卷版+解析)

專題8解三角形問(wèn)題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】坡角、坡度問(wèn)題【題型二】仰角、俯角問(wèn)題【題型三】方位角與方向角問(wèn)題二、最新模考題組練【題型一】坡角、坡度問(wèn)題【典例分析】如圖，水壩的橫截面是梯形，迎水坡的坡角為，背水坡的坡度為，壩項(xiàng)寬米，壩高5米．求：(1)壩底寬的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)在上題中，為了提高堤壩的防洪能力，市防汛指揮部決定加固堤壩，要求壩頂加寬米，背水坡的坡度改為，求橫截面增加的面積（結(jié)果保留根號(hào)）【提分秘籍】基本規(guī)律坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示。

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離l的比叫做坡度，用字母i表示，則，如圖，坡度通常寫(xiě)成i=h∶l的形式。

【變式演練】1．（2019·江蘇常州·校考二模）如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座網(wǎng)絡(luò)信號(hào)塔，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底處測(cè)得該塔的塔頂?shù)难鼋菫?5°，然后他們沿著坡度為1:2.4的斜坡攀行了26米到達(dá)坡頂，在坡頂A處又測(cè)得該塔的塔頂?shù)难鼋菫?6°．求：(1)坡頂A到地面的距離；(2)網(wǎng)絡(luò)信號(hào)塔的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，）2．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，是一垂直于水平面的建筑物，一位同學(xué)從建筑物底端出發(fā)，沿水平方向向左行走11.6米到達(dá)點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)一段坡路，米，坡面的坡度（即），然后再沿水平方向向左行走4米到達(dá)點(diǎn)，在處測(cè)得建筑物頂端的仰角37°．(1)求點(diǎn)到建筑物的水平距離；(2)求建筑物的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，均在同一平面內(nèi)．）【題型二】仰角、俯角問(wèn)題【典例分析】如圖1所示是一種太陽(yáng)能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成．如圖2，是燈桿，是燈管支架，燈管支架與燈桿間的夾角．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架的長(zhǎng)度，他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)處測(cè)得燈管支架底部的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得燈管支架頂部的仰角為，測(cè)得，（在同一條直線上）．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求燈管支架底部距地面高度的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)求燈管支架的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）．【提分秘籍】基本規(guī)律仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角?！咀兪窖菥殹?．長(zhǎng)沙電視塔位于長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)岳麓山峰頂，其功能集廣播電視信號(hào)發(fā)射與旅游觀光于一身，登塔可鳥(niǎo)瞰長(zhǎng)沙全貌．為測(cè)量電視塔的高度，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組同學(xué)先在電視塔附近一棟樓房的底端A點(diǎn)處觀測(cè)電視塔頂端C處的仰角是，然后在安全人員的引導(dǎo)下去該樓房頂端B點(diǎn)處觀測(cè)電視塔底部D處的俯角是．已知樓房高約是．（結(jié)果用根號(hào)表示）(1)求樓房與電視塔底部距離的長(zhǎng)；(2)求電視塔的高度．2．位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺(tái)，是中國(guó)現(xiàn)存最早的天文臺(tái)，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量觀星臺(tái)的高度．如圖所示，他們?cè)诘孛嬉粭l水平步道上架設(shè)測(cè)角儀，先在點(diǎn)M處測(cè)得觀星臺(tái)最高點(diǎn)A的仰角為，然后沿方向前進(jìn)16m到達(dá)點(diǎn)N處，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為，測(cè)角儀的高度為1.6m．參考數(shù)據(jù)：，，，．(1)求觀星臺(tái)最高點(diǎn)A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1m）；(2)“景點(diǎn)簡(jiǎn)介”顯示，觀星臺(tái)的高度為12.6m，請(qǐng)計(jì)算本次測(cè)量結(jié)果的誤差．【題型三】方位角與方向角問(wèn)題【典例分析】如圖，碼頭A在碼頭B的正東方向，它們之間的距離為海里．一貨船由碼頭A出發(fā)，沿北偏東方向航行到達(dá)小島C處，此時(shí)測(cè)得碼頭B在南偏西方向，請(qǐng)求出碼頭A與小島C的距離是多少海里（結(jié)果保留根號(hào)）．【提分秘籍】基本規(guī)律1.方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角。

2.方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。【變式演練】1．如圖是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭A在觀測(cè)站B的正東方向，碼頭A的北偏西方向上有一小島C，小島C在觀測(cè)站B的北偏西方向上，碼頭A到小島C的距離為海里．(1)______度，______度；(2)求觀測(cè)站B到的距離．2．如圖，一艘船由港沿北偏東方向航行60海里至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏東方向．，，，結(jié)果精確到海里）(1)∠ACB=°；(2)求、兩港之間的距離．1．（2023·江蘇徐州·?？家荒＃┤鐖D，在一座建筑物上，掛著“美麗徐州”的宣傳條幅，在建筑物的A處測(cè)得地面上B處的俯角為，測(cè)得D處的俯角為，其中點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，B、C、D在同一條直線上，，求宣傳條幅長(zhǎng)．給出下列條件：①BD=60米；②D到的距離為25米；③米；請(qǐng)?jiān)?個(gè)條件中選擇一個(gè)能解決上述問(wèn)題的條件填到上面的橫線上（填序號(hào)），并解決該問(wèn)題（結(jié)果保留根號(hào)）．2．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）2023年3月18、19日，鹽城市亭湖區(qū)中小學(xué)生籃球賽在先鋒實(shí)驗(yàn)學(xué)?；馃嵘涎荩敬伪荣悶槠?天，共有來(lái)自全區(qū)26所中小學(xué)代表隊(duì)，近270名運(yùn)動(dòng)員參加．如圖1，圖2分別是某款籃球架的實(shí)物圖與側(cè)面示意圖，已知底箱矩形在水平地面上，它的高為40cm，長(zhǎng)為200cm，底箱與后拉桿所成的角，后拉桿長(zhǎng)為180cm，支撐架的長(zhǎng)為182cm，伸臂平行于地面，支撐架與伸臂的夾角，籃筐與伸臂在同一水平線上．(1)求點(diǎn)F到地面的距離；(2)求籃筐到地面的距離．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：，，，）3．（2023·江蘇徐州·校聯(lián)考一模）如圖1，是護(hù)眼燈的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，其中長(zhǎng)為，長(zhǎng)為．．(1)點(diǎn)D到的距離為_(kāi)_____；(2)求點(diǎn)D到的距離．4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）我國(guó)的無(wú)人機(jī)水平位居世界前列，“大疆”無(wú)人機(jī)更是風(fēng)靡海外．小華在一條東西走向的筆直寬闊的沿江大道上玩無(wú)人機(jī)航拍．已知小華身高，無(wú)人機(jī)勻速飛行的速度是，當(dāng)小華在B處時(shí)，測(cè)得無(wú)人機(jī)（C處）的仰角為；兩秒后，小華沿正東方向小跑到達(dá)E處，此時(shí)測(cè)得迎面飛來(lái)的無(wú)人機(jī)（F處）的仰角為，平行于地面（直線l）．設(shè)點(diǎn)D與點(diǎn)F的水平距離為．(1)請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示點(diǎn)D與點(diǎn)F的鉛垂距離：；(2)求點(diǎn)C離地面的距離．(參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到）5．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）我市一4A級(jí)風(fēng)景區(qū)（如圖1）為了緬懷在宿北大戰(zhàn)中獻(xiàn)身的革命先烈，在山頂建有一座“宿北大戰(zhàn)紀(jì)念碑亭”．學(xué)完了三角函數(shù)知識(shí)后，某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”的小明和小華同學(xué)決定用自己學(xué)到的知識(shí)測(cè)量“宿北大戰(zhàn)紀(jì)念碑亭”的高度．如圖2，已知，斜坡的坡度為，斜坡的水平長(zhǎng)度為24米，在坡頂A處的同一水平面上矗立著“宿北大戰(zhàn)紀(jì)念碑亭”，在斜坡底P處測(cè)得該碑亭的亭頂B的仰角為，在坡頂A處測(cè)得該碑亭的亭頂B的仰角為．求：(1)坡頂A到地面的距離；(2)求碑亭的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．6．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）國(guó)旗是國(guó)家的象征與標(biāo)志．為了解學(xué)校旗桿的高度，某校九年級(jí)部分同學(xué)進(jìn)行了以下探索．活動(dòng)一：目測(cè)估計(jì)先由100位同學(xué)分別目測(cè)旗桿的高度，并將數(shù)據(jù)整理如下：旗桿高度11.512.012.513.013.514.014.515.015.5學(xué)生人數(shù)（人）6712252013854(1)目測(cè)旗桿高度的平均數(shù)是，眾數(shù)是______，中位數(shù)是______；(2)根據(jù)以上信息，請(qǐng)你估計(jì)旗桿的高度，并說(shuō)明理由．(3)活動(dòng)二：測(cè)量計(jì)算隨后，幾名同學(xué)成立了學(xué)習(xí)小組，并利用卷尺和測(cè)角儀測(cè)量旗桿的高度．如圖，他們?cè)谒降孛嫔霞茉O(shè)了測(cè)角儀，先在點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂部的仰角，然后沿旗桿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，又測(cè)得旗桿頂部的仰角，已知測(cè)角儀的高度為，求旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）7．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖1是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)的情景，圖2是小明鍛煉時(shí)上半身由位置運(yùn)動(dòng)到底面垂直的位置時(shí)的示意圖，已知米，米，（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求的長(zhǎng)；(2)若米，求M、N兩點(diǎn)的距離（精確到0.1米）.8．（2023·江蘇南京·一模）如圖，保定市某中學(xué)在實(shí)施“五項(xiàng)管理”中，將學(xué)校的“五項(xiàng)管理”做成宣傳牌（），放置在教學(xué)樓的頂部（如圖所示），該中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在山坡的坡腳A處測(cè)得宣傳牌底部D的仰角為，沿該中學(xué)圍墻邊坡向上走到處測(cè)得宣傳牌頂部的仰角為．已知山坡的坡度為，，．(1)求點(diǎn)距水平面的高度；(2)求宣傳牌的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）9．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，圖是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖．量得托板長(zhǎng)，支撐板長(zhǎng)，底座長(zhǎng)．托板固定在支撐板頂端點(diǎn)處，且，托板可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）(1)若，，求點(diǎn)到直線的距離；(2)為了觀看舒適，在（1）的情況下，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在直線上即可，求旋轉(zhuǎn)的角度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，）10．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，河流的兩岸互相平行，河岸上A、B兩處間的距離為50米，為了測(cè)量河流的寬度，某人在河岸的C處測(cè)得，然后沿河岸走了120米到達(dá)D處，測(cè)得．求河流的寬度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）11．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，梯形是某水壩的橫截面示意圖，其中，壩頂，壩高，迎水坡的坡度為．(1)求壩底的長(zhǎng)；(2)為了提高堤壩防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡加固該堤壩，要求壩頂加寬，背水坡坡角改為．求加固總長(zhǎng)5千米的堤壩共需多少土方？（參考數(shù)據(jù)：；結(jié)果精確到）12．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校門(mén)口安裝一款紅外線體溫檢測(cè)儀，該設(shè)備通過(guò)探測(cè)人體紅外輻射的能量對(duì)進(jìn)入測(cè)溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速體溫檢測(cè)，無(wú)需人員停留和接觸．如圖所示，是水平地面，其中是測(cè)溫區(qū)域，測(cè)溫儀安裝在校門(mén)上的點(diǎn)處，已知，．(1)___________度，___________度．(2)學(xué)生身高米，當(dāng)攝像頭安裝高度米時(shí)，求出圖中的長(zhǎng)度；（結(jié)果保留根號(hào)）(3)為了達(dá)到良好的檢測(cè)效果，測(cè)溫區(qū)的長(zhǎng)不低于米，請(qǐng)計(jì)算得出設(shè)備的最低安裝高度是多少？（結(jié)果保留位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）13．（2022·江蘇淮安·淮陰中學(xué)新城校區(qū)校聯(lián)考二模）我市里運(yùn)河風(fēng)光帶的國(guó)師塔，高大挺拔，古樸雄渾，別具一格．小明想知道國(guó)師塔的高度，在附近一高層小區(qū)頂樓A處，測(cè)得國(guó)師塔塔頂D處的俯角，塔底C處俯角，小明所在位置高度m．(1)求兩棟建筑物之間的水平距離；(2)求國(guó)師塔高度．（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：）14．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，一條寬為的河的兩岸，互相平行，河上有兩座垂直于河岸的橋，．測(cè)得公路的長(zhǎng)為，公路，與河岸的夾角分別為，，公路，與河岸的夾角分別為，．(1)求兩座橋，之間的距離（精確到）；(2)比較路徑①：和路徑②：的長(zhǎng)短，則較短路徑為（填序號(hào)），兩路徑相差km（精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，．）15．（2023·江蘇泰州·一模）亞洲第一、中國(guó)唯一的航空貨運(yùn)樞紐一一鄂州花湖機(jī)場(chǎng)，于2022年3月19日完成首次全貨運(yùn)試飛，很多市民共同見(jiàn)證了這一歷史時(shí)刻．如圖，市民甲在C處看見(jiàn)飛機(jī)A的仰角為45°，同時(shí)另一市民乙在斜坡CF上的D處看見(jiàn)飛機(jī)A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比=1：3，鉛垂高度DG=30米（點(diǎn)E、G、C、B在同一水平線上）．求：(1)兩位市民甲、乙之間的距離CD；(2)此時(shí)飛機(jī)的高度AB，（結(jié)果保留根號(hào)）專題8解三角形問(wèn)題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】坡角、坡度問(wèn)題【題型二】仰角、俯角問(wèn)題【題型三】方位角與方向角問(wèn)題二、最新?？碱}組練【題型一】坡角、坡度問(wèn)題【典例分析】如圖，水壩的橫截面是梯形，迎水坡的坡角為，背水坡的坡度為，壩項(xiàng)寬米，壩高5米．求：(1)壩底寬的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)在上題中，為了提高堤壩的防洪能力，市防汛指揮部決定加固堤壩，要求壩頂加寬米，背水坡的坡度改為，求橫截面增加的面積（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)米(2)5平方米【分析】（1）根據(jù)迎水坡的坡角為計(jì)算出，背水坡的坡度為計(jì)算出求和即可；（2）求出新梯形的下底，新增的部分是一個(gè)梯形，計(jì)算面積；或分別計(jì)算原梯形與新梯形的面積，求差即可．【詳解】（1）如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，壩高，，，由勾股定理可得：，，，，又，，（米）（2）如下圖所示：坡面坡度為：，，過(guò)作,垂足為，，即，，，新增梯形面積（平方米）【提分秘籍】基本規(guī)律坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示。

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離l的比叫做坡度，用字母i表示，則，如圖，坡度通常寫(xiě)成i=h∶l的形式。

【變式演練】1．（2019·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，在坡頂A處的同一水平面上有一座網(wǎng)絡(luò)信號(hào)塔，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底處測(cè)得該塔的塔頂?shù)难鼋菫?5°，然后他們沿著坡度為1:2.4的斜坡攀行了26米到達(dá)坡頂，在坡頂A處又測(cè)得該塔的塔頂?shù)难鼋菫?6°．求：(1)坡頂A到地面的距離；(2)網(wǎng)絡(luò)信號(hào)塔的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)坡頂A到地面的距離為10米(2)網(wǎng)絡(luò)信號(hào)塔的高度約為18.7米【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PO，根據(jù)斜坡AP的坡度為1：2.4，即可設(shè)AH=5k米，則PH=12k米．再根據(jù)勾股定理可求出AP=13k米，即13k=26，解出k的值，即可求出AH的值，即坡頂A到地面的距離；（2）先延長(zhǎng)BC交PO于點(diǎn)D，根據(jù)BC⊥AC，，得出BD⊥PO，四邊形AHDC是矩形，再根據(jù)∠BPD=45°，得出PD=BD，然后設(shè)BC=x，得出AC=DH=x-14，最后根據(jù)在Rt△ABC中，，列出方程，求出x的值即可．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)，∵斜坡的坡度為，∴，設(shè)米，則米，由勾股定理，得：米，∴，解得，∴米，答：坡頂A到地面的距離為10米；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，，∴，∴四邊形是矩形，米，．∵，∴．設(shè)米，由（1）可求出米，∴，即，∴米，在中，，即．解得．答：網(wǎng)絡(luò)信號(hào)塔的高度約為18.7米．2．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，是一垂直于水平面的建筑物，一位同學(xué)從建筑物底端出發(fā)，沿水平方向向左行走11.6米到達(dá)點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)一段坡路，米，坡面的坡度（即），然后再沿水平方向向左行走4米到達(dá)點(diǎn)，在處測(cè)得建筑物頂端的仰角37°．(1)求點(diǎn)到建筑物的水平距離；(2)求建筑物的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，均在同一平面內(nèi)．）【答案】(1)18米；(2)約為14.5米．【分析】（1）延長(zhǎng)EC交直線AB于M，則EM⊥AB，過(guò)C作CN⊥BF于N，則四邊形BMCN是矩形，首先根據(jù)CD的坡度求出CN和ND，進(jìn)而可得EM的值；（2）在Rt△AEM中，根據(jù)37°的正切可得AM，再根據(jù)AB＝AM+BM可得答案．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)EC交直線AB于M，則EM⊥AB，過(guò)C作CN⊥BF于N，如圖所示：則四邊形BMCN是矩形，在Rt△CDN中，∵tan∠CDF＝，∴設(shè)CN＝5a，則ND＝12a，∴CD＝＝13a＝2.6，解得a＝0.2，∴CN＝1米，ND＝2.4米，∴EM＝EC+ND+BN＝4+2.4+11.6＝18（米），答：點(diǎn)E到建筑物AB的水平距離是18米；（2）解：在Rt△AEM中，∵AM＝EM?tan37°≈18×0.75=13.5（米），∴AB＝AM+BM＝13.5+1≈14.5（米）．答：建筑物AB的高度約為14.5米．【題型二】仰角、俯角問(wèn)題【典例分析】如圖1所示是一種太陽(yáng)能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成．如圖2，是燈桿，是燈管支架，燈管支架與燈桿間的夾角．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架的長(zhǎng)度，他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)處測(cè)得燈管支架底部的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得燈管支架頂部的仰角為，測(cè)得，（在同一條直線上）．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求燈管支架底部距地面高度的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)求燈管支架的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，根據(jù)特殊三角函數(shù)值的計(jì)算方法即可求解；（2）如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可得是等邊三角形，再計(jì)算出的長(zhǎng)度，在中，根據(jù)特殊三角函數(shù)值的計(jì)算方法即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，，∴燈管支架底部距地面高度的長(zhǎng)為．（2）解：如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，∴，，，是等邊三角形，，，，，在中，，，∴燈管支架的長(zhǎng)度約為．【提分秘籍】基本規(guī)律仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角?！咀兪窖菥殹?．長(zhǎng)沙電視塔位于長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)岳麓山峰頂，其功能集廣播電視信號(hào)發(fā)射與旅游觀光于一身，登塔可鳥(niǎo)瞰長(zhǎng)沙全貌．為測(cè)量電視塔的高度，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組同學(xué)先在電視塔附近一棟樓房的底端A點(diǎn)處觀測(cè)電視塔頂端C處的仰角是，然后在安全人員的引導(dǎo)下去該樓房頂端B點(diǎn)處觀測(cè)電視塔底部D處的俯角是．已知樓房高約是．（結(jié)果用根號(hào)表示）(1)求樓房與電視塔底部距離的長(zhǎng)；(2)求電視塔的高度．【答案】(1)樓房與電視塔底部距離的長(zhǎng)為；(2)電視塔的高度為．【分析】（1）由的高及在樓房頂端B點(diǎn)處觀測(cè)電視塔底部D處的俯角是，用銳角三角函數(shù)解直角三角形即可；（2）由（1）中求得的長(zhǎng)度及在樓房底端A點(diǎn)處觀測(cè)電視塔頂端C處的仰角是，用銳角三角函數(shù)解直角三角形即可．【詳解】（1）解：頂端B點(diǎn)處觀測(cè)電視塔底部D處的俯角是，，在中，，，（m），答：樓房與電視塔底部距離的長(zhǎng)為；（2）在樓房底端A點(diǎn)處觀測(cè)電視塔頂端C處的仰角是，，在中，，（m）．答：電視塔的高度為．2．位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺(tái)，是中國(guó)現(xiàn)存最早的天文臺(tái)，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量觀星臺(tái)的高度．如圖所示，他們?cè)诘孛嬉粭l水平步道上架設(shè)測(cè)角儀，先在點(diǎn)M處測(cè)得觀星臺(tái)最高點(diǎn)A的仰角為，然后沿方向前進(jìn)16m到達(dá)點(diǎn)N處，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為，測(cè)角儀的高度為1.6m．參考數(shù)據(jù)：，，，．(1)求觀星臺(tái)最高點(diǎn)A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1m）；(2)“景點(diǎn)簡(jiǎn)介”顯示，觀星臺(tái)的高度為12.6m，請(qǐng)計(jì)算本次測(cè)量結(jié)果的誤差．【答案】(1)12.3m(2)0.3m【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，m，利用即可求解；（2）用即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D．則，由題意得：m，m，，，設(shè)m，則m，m，在中，，∴m，∴m，即觀星臺(tái)最高點(diǎn)A距離地面的高度約為m．（2）解：m．∴本次測(cè)量結(jié)果的誤差為0.3m．【題型三】方位角與方向角問(wèn)題【典例分析】如圖，碼頭A在碼頭B的正東方向，它們之間的距離為海里．一貨船由碼頭A出發(fā)，沿北偏東方向航行到達(dá)小島C處，此時(shí)測(cè)得碼頭B在南偏西方向，請(qǐng)求出碼頭A與小島C的距離是多少海里（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】碼頭A與小島C的距離是海里是海里．【分析】作交的延長(zhǎng)線于D，根據(jù)等角對(duì)等邊可得是等腰直角三角形，得，，設(shè)海里，則海里，再由銳角三角函數(shù)得，結(jié)合圖形得，得到，求解即可．【詳解】解：過(guò)C作交的延長(zhǎng)線于D，則，由題意得：，，∴是等腰直角三角形，∴，，設(shè)海里，則海里，在中，，∴（海里），∵，∴，解得：，∴，即海里，答：碼頭A與小島C的距離是海里．【提分秘籍】基本規(guī)律1.方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角。

2.方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角?！咀兪窖菥殹?．如圖是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭A在觀測(cè)站B的正東方向，碼頭A的北偏西方向上有一小島C，小島C在觀測(cè)站B的北偏西方向上，碼頭A到小島C的距離為海里．(1)______度，______度；(2)求觀測(cè)站B到的距離．【答案】(1)，(2)10【分析】（1）由題意得，，根據(jù)計(jì)算求解可得的度數(shù)；（2）如圖，過(guò)B作，垂足為D，求解，，則，，設(shè)，則，根據(jù)計(jì)算求解的值即可．【詳解】（1）解：由題意得，，∴，故答案為：，；（2）解：如圖，過(guò)B作，垂足為D，∴，∴，，∴，，設(shè)，則，∴，解得，∴到的距離為10．2．如圖，一艘船由港沿北偏東方向航行60海里至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏東方向．，，，結(jié)果精確到海里）(1)∠ACB=°；(2)求、兩港之間的距離．【答案】(1)(2)兩港之間的距離約為海里【分析】（1）根據(jù)港在港北偏東方向，在港北偏西方向，可知；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意，解直角三角形即可．【詳解】（1）解：∵港在港北偏東方向，在港北偏西方向，∴；故答案為：；（2）解：由題意得，，，海里，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，∴，在中，，∴是等腰直角三角形，∴里，在中，，，∴海里，∴海里，答：兩港之間的距離約為海里．1．（2023·江蘇徐州·?？家荒＃┤鐖D，在一座建筑物上，掛著“美麗徐州”的宣傳條幅，在建筑物的A處測(cè)得地面上B處的俯角為，測(cè)得D處的俯角為，其中點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，B、C、D在同一條直線上，，求宣傳條幅長(zhǎng)．給出下列條件：①BD=60米；②D到的距離為25米；③米；請(qǐng)?jiān)?個(gè)條件中選擇一個(gè)能解決上述問(wèn)題的條件填到上面的橫線上（填序號(hào)），并解決該問(wèn)題（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】①或②，過(guò)程見(jiàn)解析【分析】選擇條件①時(shí)，證，設(shè)米，則米，由米，得出方程，解方程即可；選擇條件②時(shí)，由含角的直角三角形的性質(zhì)得米，同（1）得：米即可．【詳解】解：選擇條件①時(shí)，由題意知，，∵，∴，在中，，∴，在中，，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)米，則米，∴,解得：，∴米，即宣傳條幅長(zhǎng)為米；選擇條件②時(shí)，同（1）得：，∵D到的距離為25米，∴（米），同（1）得：米，即宣傳條幅長(zhǎng)為米，選擇條件③時(shí)，不能解決上述問(wèn)題，故答案為：①或②．2．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）2023年3月18、19日，鹽城市亭湖區(qū)中小學(xué)生籃球賽在先鋒實(shí)驗(yàn)學(xué)校火熱上演．本次比賽為期2天，共有來(lái)自全區(qū)26所中小學(xué)代表隊(duì)，近270名運(yùn)動(dòng)員參加．如圖1，圖2分別是某款籃球架的實(shí)物圖與側(cè)面示意圖，已知底箱矩形在水平地面上，它的高為40cm，長(zhǎng)為200cm，底箱與后拉桿所成的角，后拉桿長(zhǎng)為180cm，支撐架的長(zhǎng)為182cm，伸臂平行于地面，支撐架與伸臂的夾角，籃筐與伸臂在同一水平線上．(1)求點(diǎn)F到地面的距離；(2)求籃筐到地面的距離．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)點(diǎn)F到地面的距離約為196cm(2)籃筐到地面的距離約為305cm【分析】（1）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，在中，利用，求出的長(zhǎng)，證明四邊形是矩形，求出，即可得到點(diǎn)F到地面的距離；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，在中，利用，求出，即可得到籃筐到地面的距離．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，在中，，∴．∵，∴四邊形是矩形，∴，∴．答：點(diǎn)F到地面的距離約為196cm．（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，∵，∴，在中，，∴，∴．答：籃筐到地面的距離約為305cm．3．（2023·江蘇徐州·校聯(lián)考一模）如圖1，是護(hù)眼燈的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，其中長(zhǎng)為，長(zhǎng)為．．(1)點(diǎn)D到的距離為_(kāi)_____；(2)求點(diǎn)D到的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，則點(diǎn)D到的距離為的長(zhǎng)度．再結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解；（2）在（1）基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)B作，過(guò)點(diǎn)D作，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，設(shè)與交于點(diǎn)P．由所作輔助線可得出四邊形是矩形，點(diǎn)D到的距離是的長(zhǎng)度．結(jié)合（1）得出．再根據(jù)，可求出．在中，結(jié)合銳角三角函數(shù)可求出，進(jìn)而可求出．又易求出，再在中，結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求出，即點(diǎn)D到的距離為．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F．則點(diǎn)D到的距離為的長(zhǎng)度．∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∴即點(diǎn)D到的距離為．故答案為：；（2）解：如圖，在（1）基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)B作，過(guò)點(diǎn)D作，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，設(shè)與交于點(diǎn)P．則四邊形是矩形，點(diǎn)D到的距離是的長(zhǎng)度．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴點(diǎn)D到的距離為．4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）我國(guó)的無(wú)人機(jī)水平位居世界前列，“大疆”無(wú)人機(jī)更是風(fēng)靡海外．小華在一條東西走向的筆直寬闊的沿江大道上玩無(wú)人機(jī)航拍．已知小華身高，無(wú)人機(jī)勻速飛行的速度是，當(dāng)小華在B處時(shí)，測(cè)得無(wú)人機(jī)（C處）的仰角為；兩秒后，小華沿正東方向小跑到達(dá)E處，此時(shí)測(cè)得迎面飛來(lái)的無(wú)人機(jī)（F處）的仰角為，平行于地面（直線l）．設(shè)點(diǎn)D與點(diǎn)F的水平距離為．(1)請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示點(diǎn)D與點(diǎn)F的鉛垂距離：；(2)求點(diǎn)C離地面的距離．(參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到）【答案】(1)；(2)【分析】（1）連接，過(guò)點(diǎn)F作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，交直線l于點(diǎn)H，則，，根據(jù)題意得：，可得，在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得x的值，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)F作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，根據(jù)題意得：，，在中，，即點(diǎn)D與點(diǎn)F的鉛垂距離為；故答案為：（2）解：過(guò)點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，交直線l于點(diǎn)H，則，，根據(jù)題意得：，∴，在中，，∴，解得：，∴．即點(diǎn)C離地面的距離為．5．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）我市一4A級(jí)風(fēng)景區(qū)（如圖1）為了緬懷在宿北大戰(zhàn)中獻(xiàn)身的革命先烈，在山頂建有一座“宿北大戰(zhàn)紀(jì)念碑亭”．學(xué)完了三角函數(shù)知識(shí)后，某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”的小明和小華同學(xué)決定用自己學(xué)到的知識(shí)測(cè)量“宿北大戰(zhàn)紀(jì)念碑亭”的高度．如圖2，已知，斜坡的坡度為，斜坡的水平長(zhǎng)度為24米，在坡頂A處的同一水平面上矗立著“宿北大戰(zhàn)紀(jì)念碑亭”，在斜坡底P處測(cè)得該碑亭的亭頂B的仰角為，在坡頂A處測(cè)得該碑亭的亭頂B的仰角為．求：(1)坡頂A到地面的距離；(2)求碑亭的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)10米；(2)米【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)斜坡的坡度為，可求出米，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，則米，設(shè)米，在和中，利用銳角三角函數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，∵斜坡的坡度為，斜坡的水平長(zhǎng)度為24米，∴米，即坡頂A到地面的距離10米；（2）解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，則米，設(shè)米，在中，，即，解得：，在中，，∴是等腰直角三角形，∴，即，解得：，即碑亭的高度為米．6．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）國(guó)旗是國(guó)家的象征與標(biāo)志．為了解學(xué)校旗桿的高度，某校九年級(jí)部分同學(xué)進(jìn)行了以下探索．活動(dòng)一：目測(cè)估計(jì)先由100位同學(xué)分別目測(cè)旗桿的高度，并將數(shù)據(jù)整理如下：旗桿高度11.512.012.513.013.514.014.515.015.5學(xué)生人數(shù)（人）6712252013854(1)目測(cè)旗桿高度的平均數(shù)是，眾數(shù)是______，中位數(shù)是______；(2)根據(jù)以上信息，請(qǐng)你估計(jì)旗桿的高度，并說(shuō)明理由．(3)活動(dòng)二：測(cè)量計(jì)算隨后，幾名同學(xué)成立了學(xué)習(xí)小組，并利用卷尺和測(cè)角儀測(cè)量旗桿的高度．如圖，他們?cè)谒降孛嫔霞茉O(shè)了測(cè)角儀，先在點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂部的仰角，然后沿旗桿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，又測(cè)得旗桿頂部的仰角，已知測(cè)角儀的高度為，求旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)13.0，13.25(2)，理由見(jiàn)解析(3)旗桿的高度為【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)與眾數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（2）利用中位數(shù)進(jìn)行決策；（3）由題意知，，，，則，，根據(jù)，即，求的值，根據(jù)計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由圖表可知，眾數(shù)為，中位數(shù)為第50和51個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，第50和第51個(gè)數(shù)據(jù)分別為，，∴中位數(shù)為，故答案為：13.0，13.25；（2）解：估計(jì)旗桿高度為，理由如下：當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì)．（3）解：由題意知，，，，∴，，∵，即，解得，∵，∴旗桿的高度為．7．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖1是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)的情景，圖2是小明鍛煉時(shí)上半身由位置運(yùn)動(dòng)到底面垂直的位置時(shí)的示意圖，已知米，米，（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求的長(zhǎng)；(2)若米，求M、N兩點(diǎn)的距離（精確到0.1米）.【答案】(1)米；(2)米【分析】（1）過(guò)作于，可得四邊形為矩形，利用銳角三角函數(shù)即可求出的長(zhǎng)；（2）過(guò)作交射線于點(diǎn)，則，利用30度角的直角三角形即可求出M，N兩點(diǎn)的距離．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)作于，則四邊形為矩形，∴米，米，∴（米）在中，∵∴（米）；（2）如圖，過(guò)作交射線于點(diǎn)，則，∴，∵米，∴，∵米，∴米，∴，∴，在中，（米），∴M，N兩點(diǎn)的距離約為米．8．（2023·江蘇南京·一模）如圖，保定市某中學(xué)在實(shí)施“五項(xiàng)管理”中，將學(xué)校的“五項(xiàng)管理”做成宣傳牌（），放置在教學(xué)樓的頂部（如圖所示），該中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在山坡的坡腳A處測(cè)得宣傳牌底部D的仰角為，沿該中學(xué)圍墻邊坡向上走到處測(cè)得宣傳牌頂部的仰角為．已知山坡的坡度為，，．(1)求點(diǎn)距水平面的高度；(2)求宣傳牌的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)2米(2)米【分析】（1）根據(jù)得到，設(shè)，利用勾股定理計(jì)算即可．（2）過(guò)點(diǎn)B作，垂足為F，判定四邊形是矩形，解直角三角形計(jì)算計(jì)算即可．【詳解】（1）∵，∴，設(shè)，∵m，∴，解得（舍去），∴（m）．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為F，則四邊形是矩形，∴，∵，∴；∵，，，∴∴，∴，∴．9．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，圖是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖．量得托板長(zhǎng)，支撐板長(zhǎng)，底座長(zhǎng)．托板固定在支撐板頂端點(diǎn)處，且，托板可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）(1)若，，求點(diǎn)到直線的距離；(2)為了觀看舒適，在（1）的情況下，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在直線上即可，求旋轉(zhuǎn)的角度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，）【答案】(1)；(2)【分析】（1）通過(guò)作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出、，即可求出點(diǎn)到直線的距離；（2）畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，結(jié)合圖形，明確圖形中的已知的邊角，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求出相應(yīng)的角度即可．【詳解】（1）如圖2，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由題意可知，，，，，在中，，，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，答：點(diǎn)到直線的距離約為；（2）旋轉(zhuǎn)后，如圖3所示，根據(jù)題意可知，在中，，∴，∴，因此旋轉(zhuǎn)的角度約為：，答：旋轉(zhuǎn)的角度約為．10．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，河流的兩岸互相平行，河岸上A、B兩處間的距離為50米，為了測(cè)量河流的寬度，某人在河岸的C處測(cè)得，然后沿河岸走了120米到達(dá)D處，測(cè)得．求河流的寬度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）【答案】160米【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，設(shè)米，則米，再證得四邊形是矩形，可得米，米，從而得到米，在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F．在中，，∵，∴．設(shè)米，則米．∵∴四邊形是矩形，∴米，米，∵米，∴米．

在中，，∵，∴，解得：．∴（米）．答：河流的寬度為160米．11．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，梯形是某水壩的橫截面示意圖，其中，壩頂，壩高，迎水坡的坡度為．(1)求壩底的長(zhǎng)；(2)為了提高堤壩防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡加固該堤壩，要求壩頂加寬，背水坡坡角改為．求加固總長(zhǎng)5千米的堤壩共需多少土方？（參考數(shù)據(jù)：；結(jié)果精確到）【答案】(1)(2)加固總長(zhǎng)5千米的堤壩共需土方【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，可得：，利用坡比求出的長(zhǎng)，易得為等腰直角三角形，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，利用，即可得解；（2）過(guò)點(diǎn)F作于G，求出梯形的面積，再乘以總長(zhǎng)即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作于，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是等腰梯形∴∴是等腰直角三角形∴，∴；（2）解：過(guò)點(diǎn)F作于G，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴加固總長(zhǎng)5千米的堤壩共需土方：．12．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校門(mén)口安裝一款紅外線體溫檢測(cè)儀，該設(shè)備通過(guò)探測(cè)人體紅外輻射的能量對(duì)進(jìn)入測(cè)溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速體溫檢測(cè)，無(wú)需人員停留和接觸．如圖所示，是水平地面，其中是測(cè)溫區(qū)域，測(cè)溫儀安裝在校門(mén)上的點(diǎn)處，已知，．(1)___________度，___________度．(2)學(xué)生身高米，當(dāng)攝像頭安裝高度米時(shí)，求出圖中的長(zhǎng)度；（結(jié)果保留根號(hào)）(3)為了達(dá)到良好的檢測(cè)效果，測(cè)溫區(qū)的長(zhǎng)不低于米，請(qǐng)計(jì)算得出設(shè)備的最低安裝高度是多少？（結(jié)果保留位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)；(2)米(3)設(shè)備的最低安裝高度是米【分析】（1）根據(jù)題意得出，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即