2025年中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：四邊形的證明與計算問題（9大題型）（原卷版）

中考大題05四邊形的證明與計算問題

考情分析?直擊中考

四邊形在中考數(shù)學(xué)中是占比較大，考察內(nèi)容主要有各個特殊四邊形的性質(zhì)、判定、以及其應(yīng)用:考察題

型上從選擇到填空再到解答題都有，題型變化也比較多樣;并且考察難度也都是中等和中等偏上，難度較大,

綜合性比較強.所以需要考生在復(fù)習(xí)這塊內(nèi)容的時候一定要準(zhǔn)確掌握其性質(zhì)與判定，并且會在不同的結(jié)合問

題上注意和其他考點的融合.

琢題突破?保分必拿

四邊形對角互補模型

正方形對稱模型

與正方形有關(guān)的三垂直模型

四邊形翻折模型

與四邊形有關(guān)的新定義問題

題型一：利用四邊形的性質(zhì)與判定求解

龍麓》大題典例

1.（2023,廣東深圳?中考真題）（1）如圖，在矩形ABCD中，E為4。邊上一點，連接BE,

①若BE=BC,過。作CF1BE交BE于點F,求證：AABE=AFCB；

②若s矩形4BCD=20時，則BE-CF=.

（2）如圖，在菱形ABCD中，cos力=，過C作CE14B交力B的延長線于點E,過E作EF14。交AD于點尸,

若S菱形4BCD=24時，求EF?BC的值.

（3）如圖，在平行四邊形28CD中，乙4=60。，48=6,力。=5,點E在CD上，且CE=2,點F為BC上一點,

連接EF,過E作EG1EF交平行四邊形2BCD的邊于點G,若EF-EG=7g時，請直接寫出4G的長.

備用圖

2.（2023?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實踐

【思考嘗試】

（1）數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,在矩形N3CD中，E是邊4B上一點，DF1CE于點尸,

GD1DF,AG1DG,AG=CF.試猜想四邊形ABCD的形狀，并說明理由；

【實踐探究】

（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2,在正方形ABCD中，￡是邊力B上一點，DF1CE

于點RAH1CE于點“，GDLDF交AH于點G,可以用等式表示線段FH,AH,CF的數(shù)量關(guān)系，請你思考

并解答這個問題；

【拓展遷移】

（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3,在正方形4BCD中，￡是邊48

上一點，4H1CE于點X,點/在C”上，且=連接力M,BH,可以用等式表示線段CM,的數(shù)

量關(guān)系，請你思考并解答這個問題.

GG

3.(2023?江蘇徐州?中考真題)【閱讀理解】如圖1,在矩形48CD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得

AC2^a2+b2,同理)^2222

BI2=a2+62,AC+BD=2(a+h).

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形2BCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b,則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判

斷，并說明理由.

【拓展提升】如圖3,已知B。為△4BC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c.求證：3。2=學(xué)—冬

【嘗試應(yīng)用】如圖4,在矩形4BCD中，若4B=8,BC=12,點尸在邊力。上，貝中/+PC?的最小值為

圖1圖2圖3圖4

四邊形邊角對角線對稱性

平行四邊形對邊平行且相等對角相等兩條對角線互相平分中心對稱

軸對稱、中心對

矩形對邊平行且相等四個角都是直角兩條對角線互相平分且相等

稱

對邊平行且四條兩條對角線互相垂直平分，且每軸對稱、中心對

菱形對角相等

邊都相等一條對角線平分一組對角稱

對邊平行且四條兩條對角線互相垂直平分，且每軸對稱、中心對

正方形四個角都是直角

邊都相等一條對角線平分一組對角稱

3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定

四邊形邊角對角線

平行四邊形1）兩組對邊分別平行兩組對角分別相等兩組對角線互相平分

2）兩組對邊分別相等

3）一組對邊平行且相等

矩形1）平行四邊形+一直角平行四邊形+兩條對角線相等

2）四邊形+三直角

菱形1）平行四邊形+一組鄰邊相等平行四邊形+兩條對角線互相

垂直

2）四邊形+四條邊都相等

正方形矩形+一組鄰邊相等菱形+一直角兩條對角線互相垂直平分且相

等的四邊形

蘢塞〉笠式訓(xùn)級

1.（2023?山東濟南?模擬預(yù)測）如圖1,在矩形中，點E,F分別在ZB,BC邊上,DE=AF,DE1AF

于點G.

⑴求證：四邊形ABC。是正方形；

⑵延長CB到點H,使得BH=4E,判斷△4HF的形狀，并說明理由.

（3）如圖2,在菱形4BCD中,點E,F分別在AB,BC邊上，DE與”相交于點G,DE=AF,AAED=60°,

AE=6,BF=2,求DE的長.

2.（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）【問題發(fā)現(xiàn)】

（1）在一次小組合作探究課上，老師將正方形4BCD和正方形4EFG按如圖所示的位置擺放，連接BE和DG,

請直接寫出線段BE與DG的數(shù)量關(guān)系,位置關(guān)系；

【類比探究】

（2）若將“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形48CD和矩形4EFG,且矩形A8CD“矩形4EFG,AE=3,

4G=4,如圖，點E、D、G三點共線，點G在線段DE上時，若4。=半迫，求BE的長.

【拓展延伸】

（3）若將正方形4BCD和正方形4EFG改成菱形力BCD和菱形4EFG,且菱形ABC。”菱形4EFG如圖3,4。=5,

AC=6,2G平分NZMC,點P在射線4G上，在射線4f上截取4Q,使得4Q=|dP,連接PQ,QC,當(dāng)tan/PQC=

g時，直接寫出4P的長.

圖3

3.（2023?福建龍巖?模擬預(yù)測）綜合與實踐：過四邊形ABCD的頂點/作射線4M,尸為射線4M上一點，連

接DP.將力P繞點/順時針方向旋轉(zhuǎn)至力Q,記旋轉(zhuǎn)角NP4Q=a,連接BQ.

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形4BCD是正方形，且a=90。，無論點尸在何處,

總有BQ=DP,請證明這個結(jié)論.

【類比遷移】如圖2,如果四邊形力BCD是菱形，/.DAB=a=60°,^MAD=15°,連接PQ.當(dāng)PQ1BQ,

48=遍+魚時，求4P的長.

【拓展應(yīng)用】如圖3,如果四邊形力BCD是矩形，AD=3,AB=4,4M平分N/MC,a=90°.在射線4Q上

截取4R,使得AR=3P.當(dāng)△PBR是直角三角形時，請直接寫出4P的長.

題型二：中點四邊形

龍麓》大題典例

1.（2023?山西?中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形4BCD中，點、E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點，順次連接E,F,G,H,得到

的四邊形EFGH是平行四邊形.

D

G

C

H,

A/-E^B

圖1

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁

(Varingnon,Pierrel654—1722)是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接4C,分別交于點P,Q,過點。作DM14C于點M,交HG于點N.

分別為力的中點，.?"G||4C,”G=/C.(依據(jù)1)

.?.黑=段.-：DG=GC,：.DN=NM=，M.

NMGC2

?.?四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，.出口4匕SPHP||GQ.

■：HG||AC,即”G||PQ,

1

???四邊形HPQG是平行四邊形.(依據(jù)2).?.SnHpQGuHG-MNEHG-DM.

'''SAADC=-AC-DM=HG-DM,''-SI=IHPQG=-SAADC.同理，...

任務(wù)：

⑴填空：材料中的依據(jù)1是指：.

依據(jù)2是指：.

(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形4BCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH,使得四邊形EFGH為

矩形；(要求同時畫出四邊形力BCD的對角線)

(3)在圖1中，分別連接力C,BD得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線長度的關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

D

圖3

蘢龍》揶黃揖號

【模型介紹】依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形.

中點四邊形的性質(zhì)：

已知點E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、AD的中點，則

1

①四邊形EFGH是平行四邊形②Cc>EFGH=AC+BD③SEFGH='SABCD

【補充】“

結(jié)論一：順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所組成的四邊形是矩形.

結(jié)論二：順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是菱形.

結(jié)論三：順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是正方形.

速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正.

蘢物要其訓(xùn)綣

1.（2022?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）在四邊形ABCD中，對角線4C與BD交于點。，E、F、G、H分別是48、

BC、CD、邊中點,連接EF、FG、GH、HE,分別交兩條對角線于點P、點Q、點R、點S,^,AC=BD.

圖1圖2

（1）如圖1,求證：四邊形EFGH是菱形；

⑵如圖2,若2C垂直平分8D,在不添加任何字母及輔助線的情況下，請直接寫出圖中銳角Na,使Na正弦

值等于PR與4B的比值.

2.（2023,黑龍江齊齊哈爾?三模）折紙是一項有趣的活動，有的同學(xué)玩過折紙，可能折過小動物、飛機、

小船等.在折紙過程中，不僅可以得到一些美麗的圖形，而且其中還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)知識.

如圖①，菱形紙片4BCD中，力8=4/4=60。.

(1)活動一:

如圖②，折疊菱形紙片力BCD,使點力落在點B處，則折痕的長為；菱形紙片4BCD的面積是

(2)活動二：

如圖③，E,￡G,H分別是菱形紙片4BCD各邊的中點，分別沿著折疊并展開.猜想四邊形EFGH

是什么特殊四邊形，并證明你的猜想；

⑶活動三：如圖④，先將菱形紙片4BCD沿4c折疊再展開，點E,F,G,”分別在邊力B,BC,CD,D4上且EFII4C,

再分別沿著EF,FG,GH,HE折疊再展開，若四邊形EFGH是正方形，則4E=；

⑷活動四：如圖⑤，折疊菱形紙片4BCD,使點2落在BC邊的中點尸處，則折痕MN的長為.

題型三：十字架模型

龍麓＞大題典例

1.(2022?四川樂山?中考真題)華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第121頁習(xí)題19.3第2小題及參考答案.

2.如圖，在正方形ABCD中，CELDF.求證：CE=DF.

證明：設(shè)CE與。尸交于點O,

???四邊形N2CD是正方形，.-.ZB=ZOCF=90°,BC=CD.；.NBCE+NDCE=90。.

■:CEIDF,:./.COD=90°.:.^.CDF+/.DCE=90°.

:.Z.CDF=Z.BCE.△CBE=ADFC.

：.CE=DF.

某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對該問題進一步探究

(1)【問題探究】如圖，在正方形/BCD中，點E、F、G、〃分別在線段/2、BC、CD、DA1.,且

并證明你的猜想.

(2)【知識遷移】如圖，在矩形/BCD中，AB^m,BC=n,點、E、F、G、〃分別在線段N8、BC、CD、

⑶【拓展應(yīng)用】如圖，在四邊形/BCD中，/.DAB=90°,^ABC=60°,AB=BC,點E、尸分別在線段

rp

上，且求嬴的值.

AB、ADCE1BF.Dr

避黃揖號

【模型介紹】如圖，在正方形ABCD中，若EF_LMN,則EF=MN

(1)問題解決：如圖①，若E,F分別是BC,CD上的點，且4E1BF.求證：AABEmABCF；

⑵類比探究：如圖②，若點E,F,G,H分別在BC,CD,DA,28上，且EG1HF,求證：EG=HF.

⑶遷移應(yīng)用：如圖③，在△ABC中，N4BC=90。，4B=8C,點。是BC的中點，點E是4C上一點，且

ADLBE,求力E：EC的值.

2.(2024?山東荷澤,一模)瑯珊中學(xué)九年級一班同學(xué)利用工具，對幾種四邊形進行探究.

圖1圖2圖3

【初步認識】同學(xué)們所用的工具由兩條互相垂直的直線構(gòu)成，垂足為。如圖1,同學(xué)們將該工具放入正方

形力BCD中，該工具與正方形四條邊的交點分別為E、F、G、H.

(1)若點。在邊長為1的正方形2BCD的中心，直接寫出。6+?！?。6+。F的最大值和最小值.

(2)試猜想黑的值，并證明你的猜想.

rri

【知識遷移】如圖2,同學(xué)們又將該工具放入矩形4BCD中，該工具與矩形四條邊的交點分別為F、G、

H.若=BC=n,則尊=.(直接寫出答案)

rri—

【拓展運用】如圖3,同學(xué)們將工具放入四邊形4BCD中，使其經(jīng)過C、2兩點，并與力B邊交于點E,與4D

邊交于點上已知ND4B=90。，乙48c=60。，AB=BC.求D的r值.

3.(2024?廣東陽江?一模)某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下

探究:

圖2圖3圖4

【觀察猜想】

點E,尸分別是4B,4。上的兩點，連接DE,CF,ED1CF,則老的值為

(1)如圖1,在正方形4BCD中,GF

(2)如圖2,在矩形4BCD中，AD=7,=4,點E是4。上的一點，連接CE,BD,且CE1BD,則言的

DU

值為;

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，乙4=48=90。，點E為4B上一點，連接DE,過點C作DE的垂線交ED的延

長線于點G,交4D的延長線于點尸，求證：DE-AB=CF-AD.

【拓展延伸】

(4)如圖4,在RtaaBD中，NBAD=90。，AD=9,tanzXDfi=將△力BD沿RD翻折，點4落在點C處

得ACBD,點E,尸分別在邊48,4。上，連接DE,CF,DE1CF.求蜉的值.

Cr

題型四：正方形半角模型

龍麓》大題典例

1.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個含有45。角的三角尺

放在正方形4BCD中，使45。角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉(zhuǎn)三角尺時，45。角的兩邊CM,

CN始終與正方形的邊4D,48所在直線分別相交于點M,N,連接MN,可得△CMN.

圖③

【探究一】如圖②，把△CDM繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到同時得到點H在直線上.求證:

/.CNM=乙CNH；

【探究二】在圖②中，連接BD,分別交CM,CN于點E,F.求證：4CEFMCNM；

【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線BD與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點E,F.連接4C

交BD于點0,求=7的值.

2.(2022?貴州黔西?中考真題)如圖1,在正方形4BCD中，E,尸分別是BC,CD邊上的點(點E不與點

B,C重合），Mz￡XF=45°.

(1)當(dāng)BE=。尸時，求證：AE=AF；

(2)猜想BE,EF,。尸三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)如圖2,連接/C,G是。2延長線上一點，GHA.AE,垂足為K,交NC于點X且G”=4E.若DF=a,

CH=b,請用含a,6的代數(shù)式表示EF的長.

蘢龍》解:去揖號.

【模型介紹】正方形半角模型分為“正方形內(nèi)含型半角模型”和“正方形外延型半角模型”，其中前者較

為常見.

正方形內(nèi)含型半角模型結(jié)論：

已知正方形ABCD中，E,F分別是BC、CD上的點，ZEAF=45°,AE、AF分別與BD相交于點0、P,貝心

①EF=BE+DF②AE平分/BEF,AF平分NDFE③C.EF=2倍正方形邊長_____D

@SAABE+SAADF=SAAEF⑤AB=AG=AD(過點A作AGLEF，垂足為點G)

@0P2=0B2+0D2⑦若點E為BC中點，則點F為CD三等分點BEC

⑧AAPOsAAEFsADPFsABEOsADAOsABPA⑨ABEP四點共圓、AOFD四點共圓、OECFP五點共圓

⑩AAPE、AAOF為等腰直角三角形(11)EF=V20P

2

(12)SAAEF=2SAAPO(13)AB=BPX0D

(14)CE-CF=2BE?DF(15)AEPC為等腰三角形

(16)PX=BX+DP(過點E作EX_LBD,垂足為點X)

蘢爾笠式訓(xùn)級

1.(2023?吉林白城?模擬預(yù)測)下面是小明同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認真閱讀并補充完整.

圖①圖②圖③

【作業(yè)】如圖①，已知正方形力BCD中，E,尸分另IJ是4B、BC邊上的點，且NEDF=45。.求證：EF=AE+CF.

證明：如圖，將△D4E繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得至貝!=DM/2=NDCM/2DE=ZJWDC.

???四邊形2BCD是正方形，.?.乙4=^ADC=4DCB=90°,

???Z.EDM=乙EDC+乙MDC=Z.EDC+^ADE=Z.ADC=90°.

乙EDF=45°,/.MDF=乙EDF=45°.

又?.?NA=NDCM=NDCB=90。，:.點、B,F,C,M在一條直線上.

DF=DF,EDF=,EF=MF=CM+CF=+CF.

【探究】(1)在圖①中，若正方形力BCD的邊長為3,AE=1,其他條件不變，求EF的長.

解：?.?正方形4BCD的邊長為3,■.-AE=1,.-.BE=2,CM=1.

設(shè)EF=X,貝ijFM=EF=x,FC=FM-CM=x-1,BF=3-(%-1)=4-x.

在RtaBEF中，由22+(4—x)2=/,解得久=,即EF=.

(2)如圖②，在四邊形2BCD中，Z4=ZS=90°,AB=AD=6,BC=4,E是4B邊上的點，且NCDE=45。,

則CE=.

(3)如圖③，在△4BC中，ABAC=45°,力。為BC邊上的高.若BD=2,C￡>=3,貝心。的長為.

2.(2024?湖北隨州?一模)【操作與發(fā)現(xiàn)】

如圖①，在正方形ABCD中，點N,將△AMD繞點/順時針旋轉(zhuǎn)90。，點。與點5重合，從而可得：

DM+BN=MN.

圖①圖②

⑴【實踐探究】在圖①條件下，若CN=6,CM=8,則正方形4BCD的邊長是.

(2)如圖②，在正方形ABCD中，點M、N分別在邊DC、BC上，AMAN=45°,若tanNB4V=g,求證：“是

CD的中點.

⑶【拓展】如圖③，在矩形4BCD,AB=12,力。=16,點M、N分別在邊DC、BC上，連接2M、AN,BN=4,

則DM的長是.

題型五：四邊形對角互補模型

龍麓》大題典例

1.(2023?湖北襄陽?中考真題)【問題背景】

人教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第63頁"實驗與探究"問題1如下：如圖，正方形力BCD的對角線相交于點。，點

。又是正方形&8修1。的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形4/修1。繞點。怎樣轉(zhuǎn)動，

兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的!想一想，這是為什么？(此問題不需要作答)

九年級數(shù)學(xué)興趣小組對上面的問題又進行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形48CD的對角線相交于點。，點P落

在線段。。上，*=k(k為常數(shù)).

圖1圖2圖3

【特例證明】

ci）如圖1,將RtaPEF的直角頂點P與點。重合，兩直角邊分別與邊AB,BC相交于點M,N.

①填空：k=；

②求證：PM=PN.（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明△P2MWZXPBN；也可過

點P分別作ZB,BC的垂線構(gòu)造全等三角形證明.請選擇其中一種方法解答問題②.）

【類比探究】

（2）如圖2,將圖1中的aPEF沿。C方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并說明

理由.

【拓展運用】

（3）如圖3,點N在邊BC上，ABPN=45°,延長NP交邊CD于點E,若EN=kPN,求k的值.

2.（2022?湖北武漢,中考真題）已知是△4BC的角平分線，點E,尸分別在邊AC,BC上，AD^m,

BD=n,△力DE與△BDF的面積之和為S.

⑴填空：當(dāng)Z2CB=9。。，DEIAC,DF1BC時，

①如圖1,若Z_B=45°,m=5V2,則71=,S=

②如圖2,若NB=60。,m=4遍,則九=,S=

（2）如圖3,當(dāng)乙4cB=尸=90。時，探究S與加、〃的數(shù)量關(guān)系，并說明理由:

（3）如圖4,當(dāng)乙4cB=60。，ZEDF=12O°,m=6,九=4時，請直接寫出S的大小.

蘢皿一變其訓(xùn)綣

1.（2024?貴州黔南?一模）小紅在學(xué)習(xí)了三角形的相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進行了探究，如圖，在

RtaABC中，AB=BC,^ABC=90°,點、D,E分別在邊AB,ACk（不同時在點/）,連接DE.

⑴問題解決：如圖1,當(dāng)點。，￡分別與點2,。重合時，將線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段FE,

連接4F,4尸與8C的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是.

（2）問題探究：如圖2,當(dāng)點。，E不與點8,C重合時，將線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段FE,連

接2F/F與BC的位置關(guān)系是怎樣的？請說明理由.

⑶拓展延伸：如圖3,當(dāng)點E不與點C重合，且。為4B的中點時，將線段0E繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到

線段FE,點G是點C關(guān)于直線48的對稱點，若點G,D,尸在一條直線上，求正的值.

2.（2023?吉林長春,二模）【問題呈現(xiàn)】如圖①，點E、F分別在正方形4BCD的邊BC、CD上，

NE4F=45。，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.小聰同學(xué)延長CD至點G,使DG=BE,連接力G,可證

AABE=AADG,進而得至U△4EF三△4GF,從而得出BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為.（不需要證

明）.

圖①圖②圖③

【類比引申】如圖②，四邊形4BCD中，^BAD^90°,AB=AD,NB+N。=180。，點E、尸分別在邊BC、

CD上，請回答當(dāng)4瓦4/與ABAD滿足什么關(guān)系時，仍有【問題呈現(xiàn)】中BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并給

出證明.

【探究應(yīng)用】如圖③，在四邊形4BCD中，AB^AD=60,NB=60。，^ADC=120°,/BAD=150。，點E、

F分別在線段BC、CD上，KAEIAD,DF=30g—30,直接寫出線段EF的長.

題型六：正方形對稱模型

蘢麓》大題典例

1.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在正方形4BCD中，G是對角線BD上的一點（與點不重合），

GE，CD,GF，BC,E,F分別為垂足.連接EF/G,并延長4G交EF于點H.

(1)求證：4DAG=KEGH.

(2)判斷2”與EF是否垂直，并說明理由.

為海》犀黃指導(dǎo).

口訣：正方形對角線，連接條件對稱現(xiàn).

為能》笠式訓(xùn)級

1.如圖，在正方形48co中，E是射線CD上一動點(E不與。重合)，連/￡交射線AD于尸點，過尸

作FGL4E交在射線BC于G.

⑴當(dāng)點￡在線段CD上時，求證：AF=FG.

(2)若2C=10,BG=4,求AF的長；

⑶連EG,當(dāng)￡在射線CD上移動時，探究線段3G、EG、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

題型七：與正方形有關(guān)的三垂直模型

蘢A2鶻粵例.

1.(2022?遼寧阜新?中考真題)已知，四邊形2BCD是正方形，△DEF繞點。旋轉(zhuǎn)(DE<AB),

NEDF=90°,DE=DF,連接力E,CF.

(1)如圖1,求證：△ADE三△CDF；

(2)直線ZE與CF相交于點G.

①如圖2,8"146于點“，BN1CF于點N,求證：四邊形BMGN是正方形；

②如圖3,連接BG,若48=4,DE=2,直接寫出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值.

2.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)已知，點E、F、G、”分別在正方形4BCD的邊力B、BC、CD、XD±.

(1)如圖1,當(dāng)四邊形EFGH是正方形時，求證：AE+AH=AB；

(2)如圖2,已知=CF=CG,當(dāng)4E、CF的大小有關(guān)系時，四邊形EFGH是矩形；

⑶如圖3,AE=DG,EG、FH相交于點。，OE:OF=4:5,已知正方形4BCD的邊長為16,長為20,當(dāng)

△OE”的面積取最大值時，判斷四邊形EFG”是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論.

奧蘢》基黃揖號.

己知(一線三垂直)圖示結(jié)論(性質(zhì))

如圖AB_LBC,AB=BC,1

△ABD^ABCE,DE=AD+EC

CE_LDE,AD±DE

EB2L

如圖AB_LBC,AB=BC,A

△ABD^ABCE,DE=AD-EC

CEJ_DE,AD±DE

.1一

C

龍A笠式訓(xùn)綣

(1)如圖①，在正方形48CD中，E為力B邊上一點，連結(jié)。E,過點E作EF1DE交BC于點F.易證：

△AEDMBFE.(不需要證明)

(2)如圖②，在矩形4BCD中，E為邊上一點，連結(jié)DE,過點E作EF1DE交8C于點F.

①求證：AAED-ABFE.

②若4B=10,AD=6,E為AB的中點，求BF的長.

(3)如圖③，在△力8C中，乙4cB=90。，AC=BC,AB=4,E為48邊上一點(點E不與點4、B重合)，

連結(jié)C&過點E作“EF=45咬BC于點F,當(dāng)△CEF為等腰三用形時，BE的長為多少？

2.【模型引入】

我們在全等學(xué)習(xí)中所總結(jié)的"一線三等角、K型全等"這一基本圖形，可以使得我們在觀察新問題的時候很迅

速地聯(lián)想，從而借助已有經(jīng)驗，迅速解決問題.

AD

DD

圖1ffi2

M

圖7圖8

【模型探究】

如圖，正方形/BCD中，E是對角線3。上一點，連接/E,過點￡作小L4E,交直線CB于點F.

(1)如圖1,若點尸在線段8C上，寫出以與EF的數(shù)量關(guān)系并加以證明;

(2)如圖2,若點尸在線段C2的延長線上，請直接寫出線段2C,和3尸的數(shù)量關(guān)系.

【模型應(yīng)用】

(3)如圖3,正方形N8CD中，48=4,￡為。）上一動點，連接NE交8。于R過尸作F7/1/E于R

過//作8G_LAD于G.則下列結(jié)論：①4F=FH；②乙HAE=45°；③BD=2FG；④△CE"的周長為8.正

確的結(jié)論有個.

(4)如圖4,點E是正方形/BCD對角線2。上一點，連接過點￡作E尸L4E,交線段2C于點R交

線段NC于點M,連接力尸交線段3。于點給出下列四個結(jié)論，①AE=EF；②)&DE=CF；③&4W

=SAMCF；④BE=DE+&BF；正確的結(jié)論有_個.

【模型變式】

(5)如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形O8CD是正方形，且。(0,2),點E是線段08延長線上一

點，M是線段08上一動點(不包括點。、B),作MN1DM,垂足為M,交NC8E的平分線與點N,求證:

MD=MN

(6)如圖6,在上一間的條件下，連接。N交8c于點尸，連接引W,貝此月河和NMW5之間有怎樣的數(shù)量

關(guān)系？請給出證明.

【拓展延伸】

(7)已知ZA/ON=90。，點N是射線ON上的一個定點，點8是射線上的一個動點，且滿足03>

04.點C在線段CM的延長線上，且/C=03.如圖7,在線段2。上截取使連接CE.若

乙OBA+乙OCE=0,當(dāng)點3在射線上運動時，”的大小是否會發(fā)生變化？如果不變，請求出這個定值；

如果變化，請說明理由.

(8)如圖8,正方形4BCD中，40=6,點E是對角線/C上一點，連接?！?過點E作EF1E。，交AB

于點尸，連接。尸，交/C于點G,將△￡網(wǎng)7沿斯翻折，得到△ERVf,連接DM,交所于點N,若點尸是

N8邊的中點，則的面積是.

題型八：四邊形翻折模型

龍龍》大題典例

1.(2023,江蘇泰州?中考真題)如圖，矩形28CD是一張44紙，其中力。=岳B,小天用該44紙玩折紙游

戲.

BF

圖②

游戲1折出對角線BD,將點8翻折到BD上的點E處，折痕4F交BD于點G.展開后得到圖①，發(fā)現(xiàn)點尸

恰為BC的中點.

游戲2在游戲1的基礎(chǔ)上，將點C翻折到BD上，折痕為BP；展開后將點2沿過點尸的直線翻折到BP上

的點〃處；再展開并連接GH后得到圖②，發(fā)現(xiàn)N2GH是一個特定的角.

⑴請你證明游戲1中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

⑵請你猜想游戲2中N4GH的度數(shù)，并說明理由.

2.（2023?四川達州?中考真題）（1）如圖①，在矩形4BCD的4B邊上取一點E,將△4DE沿OE翻折，使點

4落在BC上4處，若4B=6,BC=10,求霽的值;

CD

D

圖①圖②圖③

（2）如圖②，在矩形48CD的BC邊上取一點E,將四邊形ABED沿DE翻折，使點B落在。C的延長線上方處,

若BC-CE=24,4B=6,求BE的值;

(3)如圖③，在△4BC中，^BAC=45°,AO1BC,垂足為點=10/E=6,過點E作EF1AD交AC于

點尸，連接DF,且滿足ADFE=2NZMC,直接寫出8D+（EF的值.

蘢龍》鼻黃揖號

模型解讀圖形已知結(jié)論

Af

\￡c

沿著矩形的對角D已知矩形ABCD中，以DAABD^AA'BD

線所在直線進行對角線BD為折痕，折疊2）折痕BD垂直平分AA'

翻折ABD,點A的對應(yīng)點為A'3）ABDE為等腰直角三角形

.

DEc

DABCE^ABC'E

2）折痕BE垂直平分CC'

AB

D__________c

沿著矩形的一個DAABE^AA'BE

E已知矩形ABCD中，以

頂點和一邊上的2）折痕BE垂直平分AA'

BE為折痕，點A的對應(yīng)

點的線段所在直

A點為A'

線進行翻折B

Df

D⑷

rC1）四邊形AFED三四邊形

A'FED'

2）折痕BE垂直平分AA'

AFB

D_EC

VFDAEFC^AEFC'

Cf2）折痕EF垂直平分CC'

AB

Df

C

已知矩形ABCD中，以1）四邊形AEFD0四邊形

沿著矩形邊上的

點E,F為折痕，點A的對A'EFD'

任意兩點所在直\14r

應(yīng)點為A',點C的對應(yīng)2）折痕EF垂直平分AA'

線進行翻折

點為C'

AEi

DE

11）四邊形BFEC/四邊形

B'FEC

2）折痕EF垂直平分CC'

AB3）AGB'F為直角三角形

蘢能》變式訓(xùn)練

1.（2023?貴州貴陽?模擬預(yù)測）如圖，在邊長為小的正方形ABCD中，點E,F分別為CD,4B邊上的點，將

正方形4BCD沿EF翻折，點B的對應(yīng)點為從點C恰好落在力D邊的點G處.

圖①圖②備用圖

（1）【問題解決】

如圖①，連接CG,貝/G與折痕EF的位置關(guān)系是，CG與EF的數(shù)量關(guān)系是.

⑵【問題探究】

如圖②，連接C”，在翻折過程中，GC平分NDG”，試探究△CGH的面積是否為定值，若為定值，請求出

△CGH的面積；若不是定值，請說明理由;

（3）【拓展延伸】若爪=3,求出CH+CG的最小值.

2.（2023?吉林松原?模擬預(yù)測）【感知】如圖①，RtZiABC中，NC=90°/C=3B,貝此B的度數(shù)為

【探究】如圖②，四邊形4BCD是一張邊長為4的正方形紙片，E,尸分別為AB,CD的中點，沿過點。的折

痕將紙片翻折，使點4落在EF上的點4處，折痕交4E于點G,試求乙4DG的度數(shù)和4G的長;

【拓展】若矩形紙片2BCD按圖③所示的方式折疊，B,。兩點恰好重合于對角線47的中點。（如圖④），則

四邊形力ECF為..；當(dāng)4B=9a時，則四邊形AECF的面積為..（用含a的代數(shù)式表示）

圖④

題型九：與四邊形有關(guān)的新定義問題

龍麓》大題典例

1.（2023,江蘇?中考真題）綜合與實踐

定義：將寬與長的比值為之尹5為正整數(shù)）的矩形稱為"階奇妙矩形.

（1）概念理解:

當(dāng)n=l時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（力D）與長（CD）

的比值是.

（2）操作驗證：

用正方形紙片4BCD進行如下操作（如圖（2））：

第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為E