專題14 模型構(gòu)建專題：解直角三角形應(yīng)用中的基本模型壓軸題四種模型全攻略（原卷版）

專題14模型構(gòu)建專題：解直角三角形應(yīng)用中的基本模型壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一“獨(dú)立”型】 1【類型二“背靠背”型】 6【類型三“疊合”型】 13【類型四“斜截”型】 18【典型例題】【類型一“獨(dú)立”型】例題：（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，某校無人機(jī)興趣小組借助無人機(jī)測(cè)量教學(xué)樓的高度，無人機(jī)在離教學(xué)樓底部處米的處垂直上升米至處，測(cè)得教學(xué)樓頂處的俯角為，則教學(xué)樓的高度約為米．（結(jié)果精確到米）【參考數(shù)據(jù)：，，】

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽淮南·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓樓頂A處看乙樓樓頂B處仰角為30°，則甲樓高度為米；

2．（2019秋·廣東佛山·九年級(jí)佛山市禪城區(qū)瀾石中學(xué)?？计谥校┤鐖D，小明在公園放風(fēng)箏，拿風(fēng)箏線的手離地面高度為，風(fēng)箏飛到處時(shí)的線長(zhǎng)為，這時(shí)測(cè)得，求此時(shí)風(fēng)箏離地面的高度．（精確到，）

3．（2023春·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀理解】小寧學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，遇到一個(gè)這樣的問題：在中，，，求的值．【解題思路】小寧先畫出了幾何圖形（如圖1），他覺得雖然不是特殊角，但是的一半，于是他嘗試著在上截取，再連接，構(gòu)造出等腰（如圖2）．

【解題過程】在上截取，再連接，可證為等腰三角形，設(shè)，則．【嘗試應(yīng)用】（1）如圖3，求的值；【拓展應(yīng)用】（2）如圖4，某同學(xué)站在離紀(jì)念碑底距離5米的處，測(cè)得紀(jì)念碑頂點(diǎn)的仰角為，該同學(xué)的眼睛點(diǎn)離地面的距離為米，請(qǐng)幫助他求出紀(jì)念碑的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．

【類型二“背靠背”型】例題：（2023春·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）科技改變生活，手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西67°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東23°方向行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B，C兩地的距離（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇南通·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一艘船由A港沿北偏東方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏東方向，則A，C兩港之間的距離為．

2．（2023春·河北秦皇島·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在建筑物上，掛著米長(zhǎng)的宣傳條幅，從另一建筑物的頂端處看條幅頂端，仰角為，看條幅底端處，俯角為．求兩建筑物間的距離（參考數(shù)值：，）

3．（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某校舉辦以“測(cè)量”為主題的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，該校數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備借助無人機(jī)來測(cè)量小區(qū)內(nèi)的一座大樓高度．如圖所示，無人機(jī)從地面點(diǎn)A處沿著與地面垂直的方向上升，至點(diǎn)B處時(shí)，測(cè)得大樓底部C的俯角為30°，E測(cè)得大樓頂部D的仰角為45°．無人機(jī)保持航向不變繼續(xù)上升50米到達(dá)點(diǎn)E處，此時(shí)測(cè)得大樓頂部D的俯角為60°．已知A、C兩點(diǎn)在同一水平線上．

(1)填空：＝_________度，＝_________度；(2)求A、C兩點(diǎn)間的距離：（結(jié)果保留根號(hào)）(3)求這座大樓的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）4．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）如圖，某無人機(jī)興趣小組在操場(chǎng)上展開活動(dòng)，此時(shí)無人機(jī)在離地面30米的D處，無人機(jī)測(cè)得操控者A的俯角為，測(cè)得教學(xué)樓頂端點(diǎn)C處的俯角為，又經(jīng)過人工測(cè)量測(cè)得操控者A和教學(xué)樓之間的距離為57米．（點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面上，結(jié)果保留根號(hào)）

(1)填空：______度，______度；(2)求此時(shí)無人機(jī)與教學(xué)樓之間的水平距離的距離；(3)求教學(xué)樓的高度．【類型三“疊合”型】例題：（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）文峰塔位于河南省安陽(yáng)市古城內(nèi)西北隅，因塔建于天寧寺內(nèi)，又名天寧寺塔；文峰塔建于五代后周廣順二年，已有一千余年歷史，風(fēng)格獨(dú)特，具有上大下小的特點(diǎn)．由下往上一層大于一層，逐漸寬敞，是傘狀形式，這種平臺(tái)、蓮座、遼式塔身、藏式塔剎的形制世所罕見．活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)社團(tuán)的學(xué)生計(jì)劃測(cè)量文峰塔的高度．如圖所示，先在點(diǎn)C處用高1.6m的測(cè)角儀測(cè)得塔尖A的仰角為37°，向塔的方向前進(jìn)12m到達(dá)F處，在F處測(cè)得塔尖A的仰角為45°，請(qǐng)你相關(guān)數(shù)據(jù)求出文峰塔的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，，．）

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖南株洲·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小軍和小明在同一個(gè)班，他們都是數(shù)學(xué)愛好者，并且住在同一個(gè)小區(qū)的A棟樓，學(xué)完解直角三角形后，他們決定用所學(xué)知識(shí)來求距離，如圖：A、B兩棟樓，他們站在自家陽(yáng)臺(tái)上測(cè)得對(duì)面B棟樓的樓頂P點(diǎn)的仰角分別為．已知小軍家與小明家陽(yáng)臺(tái)垂直距離為30米．（參考數(shù)據(jù)：）

(1)求A、B兩棟樓的樓間距為多少米？（結(jié)果精確到米）(2)已知小明家陽(yáng)臺(tái)與地面的垂直距離為6米，求對(duì)面B棟樓的高度．（結(jié)果精確到米）2．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，嘉淇在量角器的圓心處下掛一鉛錘，制作了一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)角儀．將此測(cè)角儀拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達(dá)樹的最高點(diǎn)．

(1)在圖1中，過點(diǎn)畫出水平線，并標(biāo)記觀測(cè)的仰角．若鉛垂線在量角器上的讀數(shù)為，求的值；(2)如圖2，已知嘉淇眼睛離地米，站在處觀測(cè)的仰角為（1）中的，向前走米到達(dá)處，此時(shí)觀測(cè)點(diǎn)的仰角為，求樹的高度．（注：，，）3．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，某中學(xué)數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組在“測(cè)量物體高度”的活動(dòng)中，欲測(cè)量一棵古樹的高度，他們?cè)谶@棵古樹的正前方一平房頂點(diǎn)處測(cè)得古樹頂端的仰角為，在這棵古樹的正前方處，測(cè)得古樹頂端的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，已知為米，且、、三點(diǎn)在同一條直線上．

(1)求平房的高度；(2)請(qǐng)求出古樹的高度．（根據(jù)以上條件求解時(shí)測(cè)角器的高度忽略不計(jì)）【類型四“斜截”型】例題：（2023春·遼寧阜新·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在南北方向的海岸線上，有A，B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號(hào)，已知A，B兩船相距海里，船C在船A的北偏東方向上，船C在船B的東南方向上，上有一觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得船C正好在觀測(cè)點(diǎn)D的南偏東方向上．

(1)求出A與C之間的距離．(2)已知距觀測(cè)點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線去營(yíng)救船C，在去營(yíng)救的途中有無觸暗礁危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：，）【變式訓(xùn)練】1．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測(cè)量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在處測(cè)得河流左岸處的俯角為，無人機(jī)沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測(cè)得河流右岸處的俯角為，線段米為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．2．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┤鐖D，是某景區(qū)一段坡度的上坡路段，為豎直（與水平面垂直）的監(jiān)控立桿，點(diǎn)D處安裝了攝像頭，點(diǎn)A、B分別為攝像頭的測(cè)速起點(diǎn)與終點(diǎn)．安裝調(diào)試攝像頭時(shí)，在攝像頭D處測(cè)得點(diǎn)A的俯角為，點(diǎn)B的俯角為．已知米，點(diǎn)O、A、B、C、D、E、在同一平面內(nèi)．

(1)求桿的高度；（精確到個(gè)位）(2)一輛小汽車從A點(diǎn)駛向B點(diǎn)，攝像頭兩次測(cè)速抓拍的時(shí)間間隔為秒．若，此路段的限速是40千米/小時(shí)，試判斷這輛小汽車是否超速違章，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，）3．（2023春·浙江金華·九年級(jí)校考期中）春節(jié)期間，小