4.2 利用導數(shù)求單調(diào)性（精講）（教師版）

4.2利用導數(shù)求單調(diào)性（精講）函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系一般地，設函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)有導數(shù)，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與其導函數(shù)f′(x)的正負之間具有如下關(guān)系：①在某個區(qū)間(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，區(qū)間(a，b)為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間；②在某個區(qū)間(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，區(qū)間(a，b)為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)減區(qū)間．③在某個區(qū)間(a，b)上，如果f′(x)＝0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上為常函數(shù)．易錯點：討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實質(zhì)是解不等式，求解時，要堅持“定義域優(yōu)先”原則.一．利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法法一：當導函數(shù)不等式可解時，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出單調(diào)區(qū)間；（無參函數(shù)）確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟①確定函數(shù)f(x)的定義域．②求f′(x)．③解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．法二：當導函數(shù)方程f′(x)＝0可解時，解出方程的實根，依照實根把函數(shù)的定義域劃分為幾個區(qū)間，確定各區(qū)間f′(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間；法三：若導函數(shù)對應的方程、不等式都不可解，根據(jù)f′(x)的結(jié)構(gòu)特征，利用圖象與性質(zhì)確定f′(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間．易錯點：若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”隔開．二．根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路法一：由函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(減)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區(qū)間[a，b]上恒成立，列出不等式；法二：利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題；法三：對等號單獨檢驗，檢驗參數(shù)的取值能否使f′(x)在整個區(qū)間恒等于0．若f′(x)恒等于0，則參數(shù)的這個值應舍去；若只有在個別點處有f′(x)＝0，則參數(shù)可取這個值．法四：當函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題；當已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)時，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于導函數(shù)的方程在該區(qū)間上有解問題．含參函數(shù)單調(diào)性的分類討論1.研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論．2.劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導數(shù)為零的點和函數(shù)的間斷點．3.討論點一般有三類：①自變量系數(shù)a分eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,a＝0，,a>0，))②判別式Δ分eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ<0，,Δ＝0，,Δ>0，))③兩根的大小分eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1<x2，,x1＝x2，,x1>x2.))四．單調(diào)性的應用1．比較大小：若自變量不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)的性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上，再進行比較．2．利用單調(diào)性比較大小或解不等式，關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造輔助函數(shù)，利用構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性比較大小或解不等式．3．與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當構(gòu)造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關(guān)系時，常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(商)的函數(shù)，與題設形成解題鏈條，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式．五．易錯點1．在某區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件．2．可導函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．注意：若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個時，用“，”或“和”連接，不能用“∪”連接．考法一利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（無參）【例1-1】（2023春·湖北）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B【例1-2】（2023春湖南）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．

C． D．【答案】B【解析】令，得，∴當時，單調(diào)遞增.故選：B【一隅三反】1．（2023春·河南）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】的定義域為，，由，可得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C．2．（2023春·吉林長春）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，令，解得或，故其單調(diào)增區(qū)間為，故選：A.3．（2023春·山東）若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）．A．， B．，C． D．【答案】C【解析】，函數(shù)定義域為，，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.考法二導函數(shù)圖像判斷原函數(shù)圖像【例2-1】（2023春·廣東）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法中錯誤的是（

）

A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．當時，>0D．當時，=0【答案】C【解析】由圖像可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故AB正確；由單調(diào)性可知，函數(shù)在處取得極值，所以，D正確；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，C錯誤.故選：C【例2-2】（2023·廣西）設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由導函數(shù)的圖象可得當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.只有C選項的圖象符合.故選：C.【一隅三反】1．（2023·山東）已知函數(shù)的導函數(shù)圖像如圖所示，則的圖像是圖四個圖像中的（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可知，當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，則在上增的越來越快，當時，單調(diào)遞減，則在上增的越來越慢，當時，單調(diào)遞減，則在上減的越來越快，當時，單調(diào)遞增，則在上減的越來越慢，只有A選項符合.故選：A.2．（2023·山西）函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．的符號不確定【答案】B【解析】如圖所示，在上單調(diào)遞減，所以故選：B3．（2023春·河南新鄉(xiāng)）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的導函數(shù)為，的圖象如圖所示，則（

）

A．在上單調(diào)遞增B．C．曲線在處的切線的斜率為0D．最多有3個零點【答案】D【解析】設，且．由圖可得，當時，，當時，．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．故最多有3個零點．排除ABC.故選：D4．（2023·海南）已知函數(shù)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由導函數(shù)圖象知，，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此在上，函數(shù)的變化率逐漸增大，即函數(shù)圖象逐漸由緩變陡，選項AD不滿足，在上，函數(shù)的變化率逐漸減小，即函數(shù)圖象逐漸由陡變緩，選項C不滿足，選項B符合題意.故選：B.考法三已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)【例3-1】（2023春·北京海淀）已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是___________；若在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，，，因為在，，則的取值范圍是：.若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則在上有解，即在上有解，，又，.則的取值范圍是：.故答案為：；.【例3-2】（2023·天津）若函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因為函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，所以，解得：.故選：A【例3-3】（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┤艉瘮?shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，且，令，得，因為在區(qū)間上不單調(diào)，所以，解得：故選：B.【一隅三反】1.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【解析】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．2．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，則，所以在上遞增，又，所以.所以的取值范圍是.故選：B3．（2023春·四川成都）若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則實數(shù)k的值為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】由，由已知遞減區(qū)間，則得：，故，1是的兩根，，，故選：A4．（2023春重慶）（多選）已知函數(shù)在上有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由題意可知函數(shù)在上有三個單調(diào)區(qū)間，等價在有兩個不同的根.，令，則，即在有唯不為1的一根，則有有唯一不為1的根，令，則，故當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，且即，故選：BD5．（2023·陜西）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，實數(shù)的范圍是____________.【答案】【解析】，，令，得.當或時，；當時，.所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值點為，極小值點為.由題意可得或，解得或.所以實數(shù)的范圍是.故答案為：.考法四單調(diào)性的應用--比較大小【例4-1】．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，可得函數(shù)為偶函數(shù)，當時，則，可得，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得，即在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又因為，且，所以，即.故選：D.【例4-2】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜b＜c【答案】D【解析】設，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，則，即，則.故選：D.【例4-3】（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學校考模擬預測）已知則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，則，當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞減，故，所以，當時取等號.所以，令，則，當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞減，故，所以，當時取等號.所以，即.故選：C.【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，，，所以構(gòu)造函數(shù)，因為，由有：，由有：，所以在上單調(diào)遞減，因為，，,因為，所以，故A，B，D錯誤.故選：C.2．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知，，，令，則，，所以在上單調(diào)遞減，又因為，所以，即．故選：D.3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設函數(shù)，則，當時，，當時，，故在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，因為，故，即，故選：B考法五單調(diào)性的應用--解不等式【例5-1】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考二模）已知函數(shù)，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】均為偶函數(shù)，故函數(shù)為偶函數(shù)，令則，，即在R上單調(diào)遞減，又在恒成立，故函數(shù)在上遞減，在遞增..故選：C.【例5-2】（2023春·四川涼山·）已知函數(shù)滿足，且的導函數(shù)，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，因為，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，即，所以，即的解集為.故選：D【一隅三反】1．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，則不等式的解集是______.【答案】【解析】因為函數(shù)，所以，即函數(shù)為奇函數(shù)，且，則函數(shù)為增函數(shù)，則不等式等價于，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：2．（2023春·江蘇鹽城）已知函數(shù)的定義域為R，為的導函數(shù)，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，即，所以，即，解得.故選：D.3．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，，若，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】由，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，又，令且，則，故在上遞增，所以，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上遞增，則上遞減，，則，，即，即，在上單調(diào)遞增，，即，解得．故答案為：．考法六含參函數(shù)單調(diào)性的分類討論【例6-1】（2023·河北·模擬預測）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】答案見解析.【解析】函數(shù)，，則，當，即時，恒成立，即在上單調(diào)遞增；當，即時，令，解得，+0↗極大值↘綜上所述，當是，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【例6-2】．2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】的定義域為，，當時，，在上為增函數(shù)；當時，由，得，由，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).綜上所述：當時，在上為增函數(shù)；當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).【例6-3】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎瘮?shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】，令，則兩根分別為.1.當時，在恒成立，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；2.當時，令得或，令得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；3.當時，令得或時，令得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【例6-4】（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】因為，該函數(shù)的定義域為，.因為，由得：或.①當，即時，對任意的恒成立，且不恒為零，此時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；②當，即時，由得或；由得.此時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；③當，即時，由得或；由得.此時函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述：當時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.【例6-5】（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】的定義域為R，，，對于，則，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，由得，當和時，，當時，，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當時，在上單增，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；.【一隅三反】1．（2023·陜西咸陽）已知，討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】由題知，.當時，當時，；當時，，在區(qū)間上是?