中考數(shù)學(xué)考前必刷題型突破方案(安徽專版)專題突破05二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題(針對(duì)第22、23題)特訓(xùn)(原卷版+解析)_第1頁
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專題突破05二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題(針對(duì)第22、23題)【安徽十年真題考點(diǎn)及分值細(xì)目表】類型一:利潤(rùn)問題(2018年22題,2017年22題,2013年22題)類型二:拋物線形問題(2022年23題,2012年23題)類型三:幾何圖形面積問題(2015年22題)類型一:利潤(rùn)問題求實(shí)際問題中二次函數(shù)的最值問題需注意:若頂點(diǎn)在已知給定的自變量取值范圍內(nèi),則二次函數(shù)在頂點(diǎn)處取最大值或最小值;若頂點(diǎn)不在已知給定的自變量取值范圍內(nèi),則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷所給自變量取值范圍的兩端點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大小,從而確定最值。一.解答題(共9小題)1.(2023?明光市一模)合肥市某公司投入40輛同型號(hào)汽車準(zhǔn)備成立汽車租賃分公司.市運(yùn)管所規(guī)定每輛汽車的日租金按10元的整數(shù)倍收取但不得超過250元.汽車租賃分公司試運(yùn)營(yíng)了一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)營(yíng)運(yùn)規(guī)律如下:當(dāng)每輛汽車的日租金不超過150元時(shí),40輛汽車可以全部租賃出去;當(dāng)每輛汽車的日租金超過150元時(shí),每增加10元,租賃出去的汽車數(shù)量將減少2輛.已知租賃出去的汽車每輛一天各項(xiàng)支出共需20元,沒有租賃出去的汽車每輛一天各項(xiàng)支出共需10元,另外公司每天還需支出的管理費(fèi)及其他各項(xiàng)經(jīng)費(fèi)共1800元.(1)汽車租賃分公司正式運(yùn)營(yíng)的第一周實(shí)行優(yōu)惠活動(dòng),在40輛汽車能全部租出的前提下,要求保證每天總租金不低于總支出,則每輛汽車的日租金至少為多少元?(2)每輛汽車的日租金定為多少元時(shí),可使汽車租賃分公司每天的總利潤(rùn)最大?這個(gè)最大利潤(rùn)是多少?(總利潤(rùn)=總租金﹣總支出)2.(2023?安慶一模)某公司生產(chǎn)的一種季節(jié)性產(chǎn)品,其單件成本與售價(jià)隨季節(jié)的變化而變化.據(jù)調(diào)查:①該種產(chǎn)品一月份的單件成本為6.6元/件,且單件成本每月遞增0.2元/件;②該種產(chǎn)品一月份的單件售價(jià)為5元/件,六月份的單件售價(jià)最高可達(dá)到10元/件,單件售價(jià)y(元/件)與時(shí)間x(月)的二次函數(shù)圖象如圖所示.(1)求該產(chǎn)品在六月份的單件生產(chǎn)成本;(2)該公司在哪個(gè)月生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品獲得的單件收益w最大?(3)結(jié)合圖象,求在全年生產(chǎn)與銷售中一共有幾個(gè)月產(chǎn)品的單件收益不虧損?(注:?jiǎn)渭找妫絾渭蹆r(jià)﹣單件成本)3.(2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模)某快餐店給顧客提供A,B兩種套餐.套餐A每份利潤(rùn)8元,每天能賣90份;套餐B每份利潤(rùn)10元,每天能賣70份.若每份套餐A價(jià)格提高1元,每天少賣出4份;每份套餐B價(jià)格提高1元,每天少賣出2份.(注:兩種套餐的成本不變)(1)若每份套餐價(jià)格提高了x元,求銷售套餐A,B每天的總利潤(rùn)wA元,wB元與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)物件部門規(guī)定這兩種套餐提高的價(jià)格之和為10元,問套餐A提高多少元時(shí),這兩種套餐每天利潤(rùn)之和最大?4.(2023?蚌山區(qū)校級(jí)二模)某水果店一種水果的日銷售量y(千克)與銷售價(jià)格x(元/千克)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如表.售價(jià)x(元/千克)6810日銷售量y(千克)201816(1)求這種水果日銷售量y與銷售價(jià)格x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)若將這種水果每千克的價(jià)格限定在6元~12元的范圍,求這種水果日銷售量的范圍;(3)已知這種水果購進(jìn)的價(jià)格為4元/千克,求這種水果在日銷售量不超過10千克的條件下可獲得的最大毛利潤(rùn).(假設(shè):毛利潤(rùn)=銷售額﹣購進(jìn)成本)5.(2023春?蕭縣月考)某景區(qū)商店銷售一種紀(jì)念品,每件的進(jìn)貨價(jià)為40元.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研,當(dāng)該紀(jì)念品每件的銷售價(jià)為50元時(shí),每天可銷售200件;當(dāng)每件的銷售價(jià)每增加1元,每天的銷售數(shù)量將減少10件.(1)當(dāng)每件的銷售價(jià)為52元時(shí),該紀(jì)念品每天的銷售數(shù)量為件;(2)物價(jià)部門規(guī)定,該紀(jì)念品每件的利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的35%,當(dāng)每件的銷售價(jià)x為多少時(shí),銷售該紀(jì)念品每天獲得的利潤(rùn)y最大?并求出最大利潤(rùn).6.(2023?懷寧縣一模)懷寧縣為了“創(chuàng)建文明城市,建設(shè)美麗家園”,某社區(qū)將轄區(qū)內(nèi)的一塊面積為1000m2的空地進(jìn)行綠化,一部分種草,剩余部分栽花.設(shè)種草部分的面積為x(m2),種草所需費(fèi)用y1(元)與x(m2)的函數(shù)解析式為y1=;栽花所需費(fèi)用y2(元)與x(m2)的函數(shù)關(guān)系式為y2=﹣0.01x2﹣32x+33400(0≤x≤1000).(1)設(shè)這塊1000m2空地的綠化總費(fèi)用為W(元),請(qǐng)利用W與x的函數(shù)關(guān)系式,幫社區(qū)求出W的最大值;(2)若種草部分的面積不少于700m2,栽花部分的面積不少于200m2,請(qǐng)求出W的最小值.7.(2013?安徽)某大學(xué)生利用暑假40天社會(huì)實(shí)踐參與了一家網(wǎng)店的經(jīng)營(yíng),了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如表所示.銷售量p(件)p=50﹣x銷售單價(jià)q(元/件)當(dāng)1≤x≤20時(shí),q=30+x當(dāng)21≤x≤40時(shí),q=20+(1)請(qǐng)計(jì)算第幾天該商品的銷售單價(jià)為35元/件?(2)求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤(rùn)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(3)這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤(rùn)最大?最大的利潤(rùn)是多少?8.(2023?懷遠(yuǎn)縣二模)某網(wǎng)店銷售一種兒童玩具,進(jìn)價(jià)為每件30元,物價(jià)部規(guī)定每件兒童玩具的銷售利潤(rùn)不高于進(jìn)價(jià)的50%.在銷售過程中發(fā)現(xiàn):當(dāng)銷售單價(jià)為35元時(shí),每天可售出350件,若銷售單價(jià)每提高5元,則每天銷售量減少50件.設(shè)銷售單價(jià)為x元(銷售單價(jià)不低于35元)(1)求這種兒童玩具每天獲得的利潤(rùn)w(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)表達(dá)式;(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少元?9.(2018?安徽)小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),第一期培植盆景與花卉各50盆.售后統(tǒng)計(jì),盆景的平均每盆利潤(rùn)是160元,花卉的平均每盆利潤(rùn)是19元.調(diào)研發(fā)現(xiàn):①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利潤(rùn)減少2元;每減少1盆,盆景的平均每盆利潤(rùn)增加2元;②花卉的平均每盆利潤(rùn)始終不變.小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共100盆,設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景與花卉售完后的利潤(rùn)分別為w1,w2(單位:元).(1)用含x的代數(shù)式分別表示w1,w2;(2)當(dāng)x取何值時(shí),第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤(rùn)w最大,最大總利潤(rùn)是多少?

類型二:拋物線形問題一.解答題(共10小題)1.(2023?安徽二模)某校為了豐富校園生活,提高學(xué)生身體素質(zhì)特舉行定點(diǎn)投籃比賽.某學(xué)生站在與籃框水平距離6米的A處進(jìn)行定點(diǎn)站立投籃比賽,學(xué)校利用激光跟蹤測(cè)高儀測(cè)量籃球運(yùn)動(dòng)中的高度.已知籃圈中心B到地面的距離為3.05米,籃球每一次投出時(shí)離地面的距離都為2.05米.圖中所示拋物線的一部分是某次投籃訓(xùn)練中籃球飛行的部分軌跡,當(dāng)籃球與籃框水平距離為3米時(shí)離地面最高,最大高度為3.55米.(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求拋物線的表達(dá)式;(2)判斷本次訓(xùn)練籃球能否直接投中籃圈中心B?若能,請(qǐng)說明理由;若不能,那么在保持投籃力度和方向(即籃球飛行的拋物線形狀不變)的情況下,求該球員只要向前或向后移動(dòng)多少米,就能使籃球直接投中籃圈中心B.2.(2012?安徽)如圖,排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球,將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出,把球看成點(diǎn),其運(yùn)行的高度y(m)與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x﹣6)2+h.已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m,高度為2.43m,球場(chǎng)的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m.(1)當(dāng)h=2.6時(shí),求y與x的關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)(2)當(dāng)h=2.6時(shí),球能否越過球網(wǎng)?球會(huì)不會(huì)出界?請(qǐng)說明理由;(3)若球一定能越過球網(wǎng),又不出邊界,求h的取值范圍.3.(2023?鳳陽縣二模)如圖是某隧道截面示意圖,它是由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成,已知OA=12米,OB=4米,拋物線頂點(diǎn)D到地面OA的垂直距離為10米,以O(shè)A所在直線為x軸,以O(shè)B所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.(1)求拋物線的解析式;(2)一輛特殊貨運(yùn)汽車載著一個(gè)長(zhǎng)方體集裝箱,集裝箱寬為4米,最高處與地面距離為6米,隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道,雙向行車道間隔距離為2米,交通部門規(guī)定,車載貨物頂部距離隧道壁的豎直距離不少于0.5米,才能安全通行,問這輛特殊貨車能否安全通過隧道?4.(2023?全椒縣模擬)如圖(1),一塊鋼板余料截面的兩邊為線段OA,OB,另一邊曲線ACB為拋物線的一部分,其中C點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn),CD⊥OA于D,以O(shè)A邊所在直線為x軸,OB邊所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,規(guī)定一個(gè)單位代表1米.已知OD=1米,DA=2米,CD=4米.(1)求曲線ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)若在該鋼板余料中截取一個(gè)一邊長(zhǎng)為3米的矩形,設(shè)該矩形的另一邊長(zhǎng)為h米,求h的取值范圍;(3)如圖(2),若在該鋼板余料中截取一個(gè)△PBD,其中點(diǎn)P在拋物線ACB上,記△PBD的面積為S,求S的最大值.5.(2022?安徽)如圖1,隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成,矩形的一邊BC為12米,另一邊AB為2米.以BC所在的直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1米.E(0,8)是拋物線的頂點(diǎn).(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;(2)在隧道截面內(nèi)(含邊界)修建“”型或“”型柵欄,如圖2、圖3中粗線段所示,點(diǎn)P1,P4在x軸上,MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等.柵欄總長(zhǎng)l為圖中粗線段P1P2,P2P3,P3P4,MN長(zhǎng)度之和,請(qǐng)解決以下問題:(?。┬藿ㄒ粋€(gè)“”型柵欄,如圖2,點(diǎn)P2,P3在拋物線AED上.設(shè)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為m(0<m≤6),求柵欄總長(zhǎng)l與m之間的函數(shù)表達(dá)式和l的最大值;(ⅱ)現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為18的柵欄,有如圖3所示的“”型和“”型兩種設(shè)計(jì)方案,請(qǐng)你從中選擇一種,求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值,及取最大值時(shí)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)的取值范圍(P1在P4右側(cè)).6.(2023?蕪湖模擬)某大型樂園包含多項(xiàng)主題演出與游樂項(xiàng)目,其中過山車“沖上云霄”是其經(jīng)典項(xiàng)目之一.如圖所示,A→B→C為過山車“沖上云霄”的一部分軌道(B為軌道最低點(diǎn)),它可以看成一段拋物線.其中米,米(軌道厚度忽略不計(jì)).(1)求拋物線A→B→C的函數(shù)關(guān)系式;(2)在軌道距離地面5米處有兩個(gè)位置P和C,當(dāng)過山車運(yùn)動(dòng)到C處時(shí),又進(jìn)入下坡段C→E(接口處軌道忽略不計(jì)).已知軌道拋物線C→E→F的大小形狀與拋物線A→B→C完全相同,求OE的長(zhǎng)度;(3)現(xiàn)需要對(duì)軌道下坡段A→B進(jìn)行安全加固,架設(shè)某種材料的水平支架和豎直支架GD、GM、HI、HN,且要求OM=MN.如何設(shè)計(jì)支架,可使得所需用料最少?最少需要材料多少米?7.(2023?亳州二模)如圖1,灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛,為綠化帶澆水.噴水口H離地豎直高度為hm,如圖2,可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象.把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG.下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的,上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m,高出噴水口0.5m.灌溉車到綠化帶的距離OD為dm.當(dāng)OH=1.5m,DE=3m,EF=0.5時(shí),解答下列問題.(1)①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式,并求噴出水的最大射程OC;②求出點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶,試求出d的取值范圍.8.(2023?廬陽區(qū)校級(jí)二模)某公園要在小廣場(chǎng)建造一個(gè)噴泉景觀.在小廣場(chǎng)中央O處垂直于地面安裝一個(gè)高為1.25米的花形柱子OA,安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水,水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下,且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖1所示,為使水流形狀較為美觀,設(shè)計(jì)成水流在距OA的水平距離為1米時(shí)達(dá)到最大高度,此時(shí)離地面2.25米.(1)以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系,水流到OA水平距離為x米,水流噴出的高度為y米,求出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式(不要求寫出自變量的取值范圍);(2)張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間,噴水管意外噴水,但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到,此時(shí)他離花形柱子OA的距離為d米,求d的取值范圍;(3)為了美觀,在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈,射燈射出的光線與地面成45°角,如圖3所示,光線交匯點(diǎn)P在花形柱子OA的正上方,其中光線BP所在的直線解析式為y=﹣x+4,求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離.9.(2023?滁州二模)如圖是某家具廠的拋物線型木板余料,其最大高度為9dm,最大寬度為12dm,現(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切割.(1)如圖1,根據(jù)已經(jīng)建立的平面直角坐標(biāo)系,求木板邊緣所對(duì)應(yīng)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)如圖2,若切割成矩形HGNM,求此矩形的最大周長(zhǎng);(3)若切割成寬為2dm的矩形木板若干塊,然后拼接成一個(gè)寬為2dm的矩形,如何切割才能使拼接后的矩形的長(zhǎng)邊最長(zhǎng)?請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫出切割方案,并求出拼接后的矩形的長(zhǎng)邊長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))10.(2023?黃山一模)如圖,國(guó)家會(huì)展中心大門的截面圖是由拋物線ADB和矩形OABC構(gòu)成.矩形OABC的邊米,OC=9米,以O(shè)C所在的直線為x軸,以O(shè)A所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;(2)近期需對(duì)大門進(jìn)行粉刷,工人師傅搭建一木板OM,點(diǎn)M正好在拋物線上,支撐MN⊥x軸,ON=7.5米,點(diǎn)E是OM上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)E作x軸的垂線,交OM于點(diǎn)F.①求EF的最大值.②某工人師傅站在木板OM上,他能刷到的最大垂直高度是米,求他不能刷到大門頂部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍.

類型三:幾何圖形面積問題一.解答題(共6小題)1.(2023?蜀山區(qū)校級(jí)模擬)春回大地,萬物復(fù)蘇,又是一年花季到.某花圃基地計(jì)劃將如圖所示的一塊長(zhǎng)40m,寬20m的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域.其中一塊正方形空地為育苗區(qū),另一塊空地為活動(dòng)區(qū),其余空地為種植區(qū),分別種植A,B,C三種花卉.活動(dòng)區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬,另一邊長(zhǎng)是10m.A,B,C三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元、4百元.(1)設(shè)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為xm,用含x的代數(shù)式表示下列各量:花卉A的種植面積是m2,花卉B的種植面積是m2,花卉C的種植面積是m2.(2)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為多少時(shí),A,B兩種花卉的總產(chǎn)值相等?(3)若花卉A與B的種植面積之和不超過560m2,求A,B,C三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值.2.(2022?安徽三模)小明將小球從斜坡O點(diǎn)處拋出,球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣+bx刻畫,斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫,如圖建立直角坐標(biāo)系,小球能達(dá)到的最高點(diǎn)的坐標(biāo)(3,n).(1)請(qǐng)求出b和n的值;(2)小球在斜坡上的落點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的坐標(biāo);(3)點(diǎn)P是小球從起點(diǎn)到落點(diǎn)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),連接PO,PM,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為何值時(shí)?△POM的面積最大,最大面積是多少?3.(2021?霍邱縣一模)一段長(zhǎng)為30m的墻MN前有一塊矩形ABCD空地,用100m長(zhǎng)的籬笆圍成如圖所示的圖形(靠墻的一邊不用籬笆,籬笆的厚度忽略不計(jì)),其中四邊形AEFH和四邊形CDHG是矩形,四邊形EBGF是邊長(zhǎng)為10m的正方形,設(shè)CD=xm.(1)若矩形CDHG面積為125m2,求CD長(zhǎng);(2)當(dāng)CD長(zhǎng)為多少m時(shí),矩形ABCD的面積最大,最大面積是多少?4.(2022?瑤海區(qū)三模)如圖1是一架菱形風(fēng)箏,它的骨架由如圖2的4條竹棒AC,BD,EF,GH組成,其中E,F(xiàn),G,H分別是菱形ABCD四邊的中點(diǎn),現(xiàn)有一根長(zhǎng)為80cm的竹棒,正好鋸成風(fēng)箏的四條骨架,設(shè)AC=xcm,菱形ABCD的面積為ycm2.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)為了使風(fēng)箏在空中有較好的穩(wěn)定性,要求25cm≤AC≤BD,那么當(dāng)骨架AC的長(zhǎng)為多少時(shí),這風(fēng)箏即菱形ABCD的面積最大?此時(shí)最大面積為多少?5.(2015?安徽)為了節(jié)省材料,某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤(岸堤足夠長(zhǎng))為一邊,用總長(zhǎng)為80m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域,而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等.設(shè)BC的長(zhǎng)度為xm,矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并注明自變量x的取值范圍;(2)x為何值時(shí),y有最大值?最大值是多少?6.(2021?安徽模擬)如圖,某小區(qū)有一塊靠墻(墻的長(zhǎng)度不限)的矩形ABCD,為美化環(huán)境,用總長(zhǎng)為90m的籬笆圍成四塊矩形,其中S1=S2=S3=S4(靠墻一側(cè)不用籬笆,籬笆的厚度不計(jì)).(1)若AE=a,用含有a的式子表示BE的長(zhǎng),并直接寫出a的取值范圍;(2)求矩形ABCD的面積y關(guān)于a的解析式,并求出面積的最大值.專題突破05二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題(針對(duì)第22、23題)【安徽十年真題考點(diǎn)及分值細(xì)目表】類型一:利潤(rùn)問題(2018年22題,2017年22題,2013年22題)類型二:拋物線形問題(2022年23題,2012年23題)類型三:幾何圖形面積問題(2015年22題)類型一:利潤(rùn)問題求實(shí)際問題中二次函數(shù)的最值問題需注意:若頂點(diǎn)在已知給定的自變量取值范圍內(nèi),則二次函數(shù)在頂點(diǎn)處取最大值或最小值;若頂點(diǎn)不在已知給定的自變量取值范圍內(nèi),則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷所給自變量取值范圍的兩端點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大小,從而確定最值。一.解答題(共9小題)1.(2023?明光市一模)合肥市某公司投入40輛同型號(hào)汽車準(zhǔn)備成立汽車租賃分公司.市運(yùn)管所規(guī)定每輛汽車的日租金按10元的整數(shù)倍收取但不得超過250元.汽車租賃分公司試運(yùn)營(yíng)了一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)營(yíng)運(yùn)規(guī)律如下:當(dāng)每輛汽車的日租金不超過150元時(shí),40輛汽車可以全部租賃出去;當(dāng)每輛汽車的日租金超過150元時(shí),每增加10元,租賃出去的汽車數(shù)量將減少2輛.已知租賃出去的汽車每輛一天各項(xiàng)支出共需20元,沒有租賃出去的汽車每輛一天各項(xiàng)支出共需10元,另外公司每天還需支出的管理費(fèi)及其他各項(xiàng)經(jīng)費(fèi)共1800元.(1)汽車租賃分公司正式運(yùn)營(yíng)的第一周實(shí)行優(yōu)惠活動(dòng),在40輛汽車能全部租出的前提下,要求保證每天總租金不低于總支出,則每輛汽車的日租金至少為多少元?(2)每輛汽車的日租金定為多少元時(shí),可使汽車租賃分公司每天的總利潤(rùn)最大?這個(gè)最大利潤(rùn)是多少?(總利潤(rùn)=總租金﹣總支出)【分析】(1)設(shè)每輛汽車的日租金為x元,根據(jù)“40輛汽車能全部租出,且每天總租金不低于總支出”,即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組,解之即可得出x的取值范圍,再結(jié)合x為10的整數(shù)倍即可得出結(jié)論;(2)設(shè)每輛汽車的日租金為m元,該汽車租賃公司一天總利潤(rùn)為w元,分m≤150及m>150兩種情況考慮,當(dāng)m≤150時(shí),利用總利潤(rùn)=總租金﹣總支出,即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可找出w的最大值;當(dāng)m>150時(shí),每天可租出輛,利用總利潤(rùn)=總租金﹣總支出,即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可找出w的最大值.再將兩個(gè)最大值比較后即可得出結(jié)論.【解答】解:(1)設(shè)每輛汽車的日租金為x元,依題意得:{x≤15040x≥20×40+1800,解得:65≤x≤150,又∵x為10的整數(shù)倍,∴x的最小值為70.答:每輛汽車的日租金至少為70元;(2)設(shè)每輛汽車的日租金為m元,該汽車租賃公司一天總利潤(rùn)為w元,當(dāng)m≤150時(shí),w=40m﹣20×40﹣1800=40m﹣2600,∵40>0,∴w隨m的增大而增大,∴當(dāng)m=150時(shí),w取得最大值,最大值=40×150﹣2600=3400(元);當(dāng)m>150時(shí),每天可租出輛,∴==,∵,∴當(dāng)m=180時(shí),w取得最大值,最大值為3580.又∵3400<3580,∴每輛汽車的日租金定為180元時(shí),可使汽車租賃分公司每天的總利潤(rùn)最大;這個(gè)最大利潤(rùn)是3580元.答:每輛汽車的日租金定為180元時(shí),可使汽車租賃分公司每天的總利潤(rùn)最大;這個(gè)最大利潤(rùn)是3580元.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系,正確列出一元一次不等式組;(2)分m≤150及m>150兩種情況,找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.2.(2023?安慶一模)某公司生產(chǎn)的一種季節(jié)性產(chǎn)品,其單件成本與售價(jià)隨季節(jié)的變化而變化.據(jù)調(diào)查:①該種產(chǎn)品一月份的單件成本為6.6元/件,且單件成本每月遞增0.2元/件;②該種產(chǎn)品一月份的單件售價(jià)為5元/件,六月份的單件售價(jià)最高可達(dá)到10元/件,單件售價(jià)y(元/件)與時(shí)間x(月)的二次函數(shù)圖象如圖所示.(1)求該產(chǎn)品在六月份的單件生產(chǎn)成本;(2)該公司在哪個(gè)月生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品獲得的單件收益w最大?(3)結(jié)合圖象,求在全年生產(chǎn)與銷售中一共有幾個(gè)月產(chǎn)品的單件收益不虧損?(注:?jiǎn)渭找妫絾渭蹆r(jià)﹣單件成本)【分析】(1)由題意,可列出式子求出六月份的單件生產(chǎn)成本;(2)先求出單件成本的函數(shù)(題意)和單件售價(jià)的函數(shù)(待定系數(shù)法),從而表示出單件收益W,進(jìn)而由二次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果;(3)由題意列出W>0解出x的范圍,進(jìn)而得出全年生產(chǎn)與銷售中一共有幾個(gè)月產(chǎn)品的單件收益不虧損.【解答】解析:(1)由題意知:該種產(chǎn)品的單件成本n與月份x之間的關(guān)系滿足:n=0.2x+b,當(dāng)x=1時(shí),n=6.6,可得b=6.4.∴六月份的單件生產(chǎn)成本為:0.2×6+6.4=7.6(元/件);答L該產(chǎn)品在六月份的單件生產(chǎn)成本為7.6元/件.(2)設(shè)單件售價(jià)y與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式為:y=a(x﹣6)2+10,∵x=1時(shí),y=5,∴a(1﹣6)2+10=5,解得:.所以單件收益,配方得:w=,∴當(dāng)x=5或6時(shí),w值最大,答:該企業(yè)在5月份或6月份生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品獲得的單件收益最大;(3)單件收益不虧損需滿足:,由,得(x﹣2)(x﹣9)=0,即x=2或x=9,結(jié)合圖象可知:當(dāng)x=2,3,4,5,6,7,8,9時(shí),w≥0,即全年一共有8個(gè)月單件收益不虧損.答:求在全年生產(chǎn)與銷售中一共有8個(gè)月產(chǎn)品的單件收益不虧損.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會(huì)構(gòu)建方程或函數(shù)解決問題,屬于中考??碱}型.3.(2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模)某快餐店給顧客提供A,B兩種套餐.套餐A每份利潤(rùn)8元,每天能賣90份;套餐B每份利潤(rùn)10元,每天能賣70份.若每份套餐A價(jià)格提高1元,每天少賣出4份;每份套餐B價(jià)格提高1元,每天少賣出2份.(注:兩種套餐的成本不變)(1)若每份套餐價(jià)格提高了x元,求銷售套餐A,B每天的總利潤(rùn)wA元,wB元與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)物件部門規(guī)定這兩種套餐提高的價(jià)格之和為10元,問套餐A提高多少元時(shí),這兩種套餐每天利潤(rùn)之和最大?【分析】(1)根據(jù)每份A或B的利潤(rùn)×銷售量=每天銷售的A套餐或B套餐的利潤(rùn)列出函數(shù)解析式即可;(2)根據(jù)每天的總利潤(rùn)=A,B套餐的利潤(rùn)之和列出函數(shù)解析式,由函數(shù)的性質(zhì)求最值.【解答】解:(1)根據(jù)題意得:wA=(8+x)×(90﹣4x)=﹣4x2+58x+720;wB=(10+x)(70﹣2x)=﹣2x2+50x+700;∴銷售套餐A總利潤(rùn)wA元與x之間的函數(shù)關(guān)系式為wA=﹣4x2+58x+720;銷售套餐B總利潤(rùn)wB元與x之間的函數(shù)關(guān)系式為wB=﹣2x2+50x+700;(2)設(shè)每份套餐A提高x元,每份套餐B提高(10﹣x)元,兩種套餐每天利潤(rùn)之和為w元,根據(jù)題意得:w=wA+wB=﹣4x2+58x+720﹣2(10﹣x)2+50(10﹣x)+700=﹣4x2+58x+720﹣200+40x﹣2x2+500﹣50x+700=﹣6x2+48x+1720=﹣6(x﹣4)2+1816,∵﹣6<0,∴當(dāng)x=4時(shí),w有最大值,最大值為1816,答:套餐A提高4元時(shí),這兩種套餐每天利潤(rùn)之和最大.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用,關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式.4.(2023?蚌山區(qū)校級(jí)二模)某水果店一種水果的日銷售量y(千克)與銷售價(jià)格x(元/千克)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如表.售價(jià)x(元/千克)6810日銷售量y(千克)201816(1)求這種水果日銷售量y與銷售價(jià)格x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)若將這種水果每千克的價(jià)格限定在6元~12元的范圍,求這種水果日銷售量的范圍;(3)已知這種水果購進(jìn)的價(jià)格為4元/千克,求這種水果在日銷售量不超過10千克的條件下可獲得的最大毛利潤(rùn).(假設(shè):毛利潤(rùn)=銷售額﹣購進(jìn)成本)【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;(2)根據(jù)(1)中函數(shù)解析式的性質(zhì)求出y的取值范圍;(3)設(shè)毛利潤(rùn)為w元,根據(jù)毛利潤(rùn)=銷售額﹣購進(jìn)成本列出函數(shù)解析式,利用函數(shù)的性質(zhì)求最值.【解答】解:(1)設(shè)這種水果日銷售量y與銷售價(jià)格x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),把x=6,y=20;x=8,y=18代入解析式,則,解得,∴這種水果日銷售量y與銷售價(jià)格x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x+26;(2)當(dāng)x=6時(shí),y=﹣6+26=20,當(dāng)x=12時(shí),y=﹣12+26=14,∵在y=﹣x+26中,﹣1<0,∴y隨x的增大而減小,∴14≤y≤20,∴這種水果每千克的價(jià)格限定在6元~12元的范圍時(shí),這種水果日銷售量的范圍為14千克~20千克;(3)設(shè)毛利潤(rùn)為w元,根據(jù)題意得:w=x(﹣x+26)﹣4(﹣x+26)=﹣x2+30x﹣104=﹣(x﹣15)2+121,∵這種水果在日銷售量不超過10千克,∴﹣x+26≤10,解得x≥16,∵﹣1<0,∴當(dāng)x>15時(shí),y隨x的增大而減小,∴當(dāng)x=16時(shí),y有最大值,最大值為120元,答:最大毛利潤(rùn)為120元.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式.5.(2023春?蕭縣月考)某景區(qū)商店銷售一種紀(jì)念品,每件的進(jìn)貨價(jià)為40元.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研,當(dāng)該紀(jì)念品每件的銷售價(jià)為50元時(shí),每天可銷售200件;當(dāng)每件的銷售價(jià)每增加1元,每天的銷售數(shù)量將減少10件.(1)當(dāng)每件的銷售價(jià)為52元時(shí),該紀(jì)念品每天的銷售數(shù)量為180件;(2)物價(jià)部門規(guī)定,該紀(jì)念品每件的利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的35%,當(dāng)每件的銷售價(jià)x為多少時(shí),銷售該紀(jì)念品每天獲得的利潤(rùn)y最大?并求出最大利潤(rùn).【分析】(1)根據(jù)“當(dāng)每件的銷售價(jià)每增加1元,每天的銷售數(shù)量將減少10件”即可解答;(2)根據(jù)等量關(guān)系“利潤(rùn)=(售價(jià)﹣進(jìn)價(jià))×銷量”列出函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)該紀(jì)念品每件的利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的35%求出x的取值范圍,由二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答.【解答】解:(1)由題意得:200﹣10×(52﹣50)=200﹣20=180(件),故答案為:180;(2)由題意得:y=(x﹣40)[200﹣10(x﹣50)]=﹣10x2+1100x﹣28000=﹣10(x﹣55)2+2250,∵﹣10<0,∴當(dāng)x<55時(shí),y隨x的增大而增大,∵該紀(jì)念品每件的利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的35%,∴≤35%,解得x≤54,∴當(dāng)x=54時(shí),y最大,最大值為2240,答:當(dāng)每件的銷售價(jià)x為54元時(shí),銷售該紀(jì)念品每天獲得的利潤(rùn)y最大,最大利潤(rùn)2240元.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)已知得出二次函數(shù)的最值是中考中考查重點(diǎn),同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握.6.(2023?懷寧縣一模)懷寧縣為了“創(chuàng)建文明城市,建設(shè)美麗家園”,某社區(qū)將轄區(qū)內(nèi)的一塊面積為1000m2的空地進(jìn)行綠化,一部分種草,剩余部分栽花.設(shè)種草部分的面積為x(m2),種草所需費(fèi)用y1(元)與x(m2)的函數(shù)解析式為y1=;栽花所需費(fèi)用y2(元)與x(m2)的函數(shù)關(guān)系式為y2=﹣0.01x2﹣32x+33400(0≤x≤1000).(1)設(shè)這塊1000m2空地的綠化總費(fèi)用為W(元),請(qǐng)利用W與x的函數(shù)關(guān)系式,幫社區(qū)求出W的最大值;(2)若種草部分的面積不少于700m2,栽花部分的面積不少于200m2,請(qǐng)求出W的最小值.【分析】(1)分0≤x<600和600≤x≤1000兩種情況,根據(jù)“綠化總費(fèi)用=種草所需總費(fèi)用+種花所需總費(fèi)用”列出函數(shù)解析式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案;(2)先根據(jù)種草部分的面積不少于700m2,栽花部分的面積不少于200m2,求出x的取值范圍,然后根據(jù)函數(shù)解析式以及函數(shù)的性質(zhì)求最值.【解答】解:(1)①當(dāng)0≤x<600時(shí),W=40x+(﹣0.01x2﹣32x+33400)=﹣0.01x2+8x+33400=﹣0.01(x﹣400)2+35000,∵﹣0.01<0,∴當(dāng)x=400時(shí),W最大值,最大值為35000;②當(dāng)600≤x≤1000時(shí),W=30x+3200+(﹣0.01x2﹣32x+33400)=﹣0.01x2﹣2x+36600=﹣0.01(x+100)2+36700,∵﹣0.01<0,∴當(dāng)600≤x≤1000時(shí),W隨x的增大而減小,∴當(dāng)x=600時(shí),W最大,最大值為31800,∵31800<35000,∴W的最大值為35000元;(2)由題意,得1000﹣x≥200,解得x≤800,又∵x≥700,∴700≤x≤800,此時(shí)W=﹣0.01x2﹣2x+36600,∴當(dāng)700≤x≤800時(shí),W隨x的增大而減小,∴當(dāng)x=800時(shí),W取得最小值,最小值為28600元.答:W的最小值28600元.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用,掌握分類討論依據(jù)相等關(guān)系列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.7.(2013?安徽)某大學(xué)生利用暑假40天社會(huì)實(shí)踐參與了一家網(wǎng)店的經(jīng)營(yíng),了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如表所示.銷售量p(件)p=50﹣x銷售單價(jià)q(元/件)當(dāng)1≤x≤20時(shí),q=30+x當(dāng)21≤x≤40時(shí),q=20+(1)請(qǐng)計(jì)算第幾天該商品的銷售單價(jià)為35元/件?(2)求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤(rùn)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(3)這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤(rùn)最大?最大的利潤(rùn)是多少?【分析】(1)在每個(gè)x的取值范圍內(nèi),令q=35,分別解出x的值即可;(2)利用利潤(rùn)=售價(jià)﹣成本,分別求出在1≤x≤20和21≤x≤40時(shí),y與x的函數(shù)關(guān)系式;(3)當(dāng)1≤x≤20時(shí),y=﹣x2+15x+500=﹣(x﹣15)2+612.5,求出一個(gè)最大值y1,當(dāng)21≤x≤40時(shí),求出一個(gè)最大值y2,然后比較兩者的大?。窘獯稹拷猓海?)當(dāng)1≤x≤20時(shí),令30+x=35,得x=10,當(dāng)21≤x≤40時(shí),令20+=35,得x=35,經(jīng)檢驗(yàn)得x=35是原方程的解且符合題意即第10天或者第35天該商品的銷售單價(jià)為35元/件.(2)當(dāng)1≤x≤20時(shí),y=(30+x﹣20)(50﹣x)=﹣x2+15x+500,當(dāng)21≤x≤40時(shí),y=(20+﹣20)(50﹣x)=﹣525,即y=,(3)當(dāng)1≤x≤20時(shí),y=﹣x2+15x+500=﹣(x﹣15)2+612.5,∵﹣<0,∴當(dāng)x=15時(shí),y有最大值y1,且y1=612.5,當(dāng)21≤x≤40時(shí),∵26250>0,∴隨x的增大而減小,當(dāng)x=21時(shí),最大,于是,x=21時(shí),y=﹣525有最大值y2,且y2=﹣525=725,∵y1<y2,∴這40天中第21天時(shí)該網(wǎng)店獲得利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為725元.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn),解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)以及最值得求法,此題難度不大.8.(2023?懷遠(yuǎn)縣二模)某網(wǎng)店銷售一種兒童玩具,進(jìn)價(jià)為每件30元,物價(jià)部規(guī)定每件兒童玩具的銷售利潤(rùn)不高于進(jìn)價(jià)的50%.在銷售過程中發(fā)現(xiàn):當(dāng)銷售單價(jià)為35元時(shí),每天可售出350件,若銷售單價(jià)每提高5元,則每天銷售量減少50件.設(shè)銷售單價(jià)為x元(銷售單價(jià)不低于35元)(1)求這種兒童玩具每天獲得的利潤(rùn)w(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)表達(dá)式;(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少元?【分析】(1)根據(jù)兒童玩具進(jìn)價(jià)為每件30元,每件兒童玩具的銷售利潤(rùn)不高于進(jìn)價(jià)的50%,求出x的取值范圍;根據(jù)總利潤(rùn)=每件利潤(rùn)×銷售量列出函數(shù)解析式;(2)根據(jù)(1)中解析式,由函數(shù)的性質(zhì)和x的取值范圍求出最大值.【解答】解:(1)∵x≤30×(1+50%)=45,∴x≤45,當(dāng)x=45時(shí),每天的銷售量為350﹣50×=250(件),∴當(dāng)這種兒童玩具以每件最高價(jià)出售時(shí),每天的銷售量為250件;根據(jù)題意得,w=(350﹣×50)(x﹣30)=(﹣10x+700)(x﹣30)=﹣10x2+1000x﹣21000,∴這種兒童玩具每天獲得的利潤(rùn)w(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)表達(dá)式為w=﹣10x2+1000x﹣21000;(2)∵w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10(x﹣50)2+4000,∵a=﹣10<0,對(duì)稱軸x=50,∵x≤45,∴當(dāng)x=45時(shí),w最大=﹣10×(45﹣50)2+4000=3750,答:當(dāng)銷售單價(jià)為45元時(shí),該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是3750元.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件.9.(2018?安徽)小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),第一期培植盆景與花卉各50盆.售后統(tǒng)計(jì),盆景的平均每盆利潤(rùn)是160元,花卉的平均每盆利潤(rùn)是19元.調(diào)研發(fā)現(xiàn):①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利潤(rùn)減少2元;每減少1盆,盆景的平均每盆利潤(rùn)增加2元;②花卉的平均每盆利潤(rùn)始終不變.小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共100盆,設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景與花卉售完后的利潤(rùn)分別為w1,w2(單位:元).(1)用含x的代數(shù)式分別表示w1,w2;(2)當(dāng)x取何值時(shí),第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤(rùn)w最大,最大總利潤(rùn)是多少?【分析】(1)設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆,則第二期盆景有(50+x)盆,花卉有(50﹣x)盆,根據(jù)“總利潤(rùn)=盆數(shù)×每盆的利潤(rùn)”可得函數(shù)解析式;(2)將盆景的利潤(rùn)加上花卉的利潤(rùn)可得總利潤(rùn)關(guān)于x的函數(shù)解析式,配方成頂點(diǎn)式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得.【解答】解:(1)設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆,則第二期盆景有(50+x)盆,花卉有(50﹣x)盆,所以w1=(50+x)(160﹣2x)=﹣2x2+60x+8000,w2=19(50﹣x)=﹣19x+950;(2)根據(jù)題意,得:w=w1+w2=﹣2x2+60x+8000﹣19x+950=﹣2x2+41x+8950=﹣2(x﹣)2+,∵﹣2<0,且x為整數(shù),∴當(dāng)x=10時(shí),w最大值為9160,當(dāng)x=11時(shí),w最大值為9159,9159<9160,∴當(dāng)x=10時(shí),w取得最大值,最大值為9160,答:當(dāng)x=10時(shí),第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤(rùn)w最大,最大總利潤(rùn)是9160元.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是理解題意,找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系,據(jù)此列出函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì).類型二:拋物線形問題一.解答題(共10小題)1.(2023?安徽二模)某校為了豐富校園生活,提高學(xué)生身體素質(zhì)特舉行定點(diǎn)投籃比賽.某學(xué)生站在與籃框水平距離6米的A處進(jìn)行定點(diǎn)站立投籃比賽,學(xué)校利用激光跟蹤測(cè)高儀測(cè)量籃球運(yùn)動(dòng)中的高度.已知籃圈中心B到地面的距離為3.05米,籃球每一次投出時(shí)離地面的距離都為2.05米.圖中所示拋物線的一部分是某次投籃訓(xùn)練中籃球飛行的部分軌跡,當(dāng)籃球與籃框水平距離為3米時(shí)離地面最高,最大高度為3.55米.(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求拋物線的表達(dá)式;(2)判斷本次訓(xùn)練籃球能否直接投中籃圈中心B?若能,請(qǐng)說明理由;若不能,那么在保持投籃力度和方向(即籃球飛行的拋物線形狀不變)的情況下,求該球員只要向前或向后移動(dòng)多少米,就能使籃球直接投中籃圈中心B.【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可;(2)先根據(jù)對(duì)稱軸求出原拋物線與y軸的交點(diǎn),即可判斷出本次訓(xùn)練不能投中籃圈中心;設(shè)移動(dòng)后的拋物線的表達(dá)式為,把B(0,3.05)代入求出h的值即可得到答案.【解答】解:(1)由題意得,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣3,3.55),設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+3)2+3.55,∵點(diǎn)(﹣6,2.05)在拋物線上,∴a(﹣6+3)2+3.55=2.05,解得,∴拋物線的表達(dá)式為;(2)由(1)可知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣3,∵點(diǎn)(﹣6,2.05)在拋物線上,∴拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,2.05),∵籃圈中心B坐標(biāo)為(0,3.05),∴本次訓(xùn)練不能投中,設(shè)移動(dòng)后的拋物線的表達(dá)式為,∵籃球要直接投中籃圈中心B(0,3.05),∴,解得,(舍去),∵.∴,∴該球員只要向前移動(dòng)米.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,正確求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.2.(2012?安徽)如圖,排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球,將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出,把球看成點(diǎn),其運(yùn)行的高度y(m)與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x﹣6)2+h.已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m,高度為2.43m,球場(chǎng)的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m.(1)當(dāng)h=2.6時(shí),求y與x的關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)(2)當(dāng)h=2.6時(shí),球能否越過球網(wǎng)?球會(huì)不會(huì)出界?請(qǐng)說明理由;(3)若球一定能越過球網(wǎng),又不出邊界,求h的取值范圍.【分析】(1)利用h=2.6將點(diǎn)(0,2),代入解析式求出即可;(2)利用當(dāng)x=9時(shí),y=﹣(x﹣6)2+2.6=2.45,當(dāng)y=0時(shí),,分別得出即可;(3)根據(jù)當(dāng)球正好過點(diǎn)(18,0)時(shí),拋物線y=a(x﹣6)2+h還過點(diǎn)(0,2),以及當(dāng)球剛能過網(wǎng),此時(shí)函數(shù)解析式過(9,2.43),拋物線y=a(x﹣6)2+h還過點(diǎn)(0,2)時(shí)分別得出h的取值范圍,或根據(jù)不等式即可得出答案.【解答】解:(1)∵h(yuǎn)=2.6,球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出,∴拋物線y=a(x﹣6)2+h過點(diǎn)(0,2),∴2=a(0﹣6)2+2.6,解得:a=﹣,故y與x的關(guān)系式為:y=﹣(x﹣6)2+2.6,(2)當(dāng)x=9時(shí),y=﹣(x﹣6)2+2.6=2.45>2.43,所以球能過球網(wǎng);當(dāng)y=0時(shí),,解得:x1=6+2>18,x2=6﹣2(舍去)故會(huì)出界;(3)當(dāng)球正好過點(diǎn)(18,0)時(shí),拋物線y=a(x﹣6)2+h還過點(diǎn)(0,2),代入解析式得:,解得:,此時(shí)二次函數(shù)解析式為:y=﹣(x﹣6)2+,此時(shí)球若不出邊界h≥,當(dāng)球剛能過網(wǎng),此時(shí)函數(shù)解析式過(9,2.43),拋物線y=a(x﹣6)2+h還過點(diǎn)(0,2),代入解析式得:,解得:,此時(shí)球要過網(wǎng)h≥,故若球一定能越過球網(wǎng),又不出邊界,h的取值范圍是:h≥.解法二:y=a(x﹣6)2+h過點(diǎn)(0,2)點(diǎn),代入解析式得:2=36a+h,若球越過球網(wǎng),則當(dāng)x=9時(shí),y>2.43,即9a+h>2.43,解得h>球若不出邊界,則當(dāng)x=18時(shí),y≤0,解得h≥.故若球一定能越過球網(wǎng),又不出邊界,h的取值范圍是:h≥.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用題,求范圍的問題,可以利用臨界點(diǎn)法求出自變量的值,再根據(jù)題意確定范圍.3.(2023?鳳陽縣二模)如圖是某隧道截面示意圖,它是由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成,已知OA=12米,OB=4米,拋物線頂點(diǎn)D到地面OA的垂直距離為10米,以O(shè)A所在直線為x軸,以O(shè)B所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.(1)求拋物線的解析式;(2)一輛特殊貨運(yùn)汽車載著一個(gè)長(zhǎng)方體集裝箱,集裝箱寬為4米,最高處與地面距離為6米,隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道,雙向行車道間隔距離為2米,交通部門規(guī)定,車載貨物頂部距離隧道壁的豎直距離不少于0.5米,才能安全通行,問這輛特殊貨車能否安全通過隧道?【分析】(1)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(6,10),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣6)2+10,把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可,(2)由圖象結(jié)合題意可知,集裝箱與隧道最接近的位置在此坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)為x=6.25+4,代入(1)所得解析式,判斷是夠大于6.5即可.【解答】解:(1)根據(jù)題意,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,10),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣6)2+10,把點(diǎn)B(0,4)代入得:36a+10=4,解得:a=﹣,即所求拋物線的解析式為:y=﹣(x﹣6)2+10;(2)根據(jù)題意,當(dāng)x=7+4=11時(shí),y=﹣(11﹣6)2+10=<6.5,∴能安全通過隧道,答:這輛特殊貨車能安全通過隧道.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是分析題意并結(jié)合圖象列式求解,難度較大,綜合程度較高.4.(2023?全椒縣模擬)如圖(1),一塊鋼板余料截面的兩邊為線段OA,OB,另一邊曲線ACB為拋物線的一部分,其中C點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn),CD⊥OA于D,以O(shè)A邊所在直線為x軸,OB邊所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,規(guī)定一個(gè)單位代表1米.已知OD=1米,DA=2米,CD=4米.(1)求曲線ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)若在該鋼板余料中截取一個(gè)一邊長(zhǎng)為3米的矩形,設(shè)該矩形的另一邊長(zhǎng)為h米,求h的取值范圍;(3)如圖(2),若在該鋼板余料中截取一個(gè)△PBD,其中點(diǎn)P在拋物線ACB上,記△PBD的面積為S,求S的最大值.【分析】(1)由OD=1米,CD=4米,設(shè)曲線ACB所在拋物線的函數(shù)表示式為y=a(x﹣1)2﹣4,將A(3,0),代入可得答案;(2)在y=(x﹣1)2﹣4中,得B(0,﹣3),若在該鋼板余料中截取其中一個(gè)邊長(zhǎng)為3米的矩形,則OB必為此矩形的一邊,點(diǎn)B關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)B'一定在拋物線y=(x﹣1)2﹣4上,根據(jù)拋物線y=(x﹣1)2﹣4的對(duì)稱軸為直線x=1,即可得該矩形的另一邊長(zhǎng)h的取值范圍為0<h≤2;(3)設(shè)P(m,m2﹣2m﹣3),設(shè)直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y=kx﹣3,將P(m,m2﹣2m﹣3)代入得直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y=(m﹣2)x﹣3,設(shè)對(duì)稱軸x=1與直線BP的交點(diǎn)為E,可得E(1,m﹣5),DE=5﹣m,故S=m(5﹣m)=﹣(m﹣)2+,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案.【解答】解:(1)∵C點(diǎn)為拋物線ACB的頂點(diǎn),CD⊥OA于D,∴CD所在直線為拋物線ACB的對(duì)稱軸,由OD=1米,CD=4米,設(shè)曲線ACB所在拋物線的函數(shù)表示式為y=a(x﹣1)2﹣4,∵DA=2米,∴OA=3米,A(3,0),∴a(3﹣1)2﹣4=0,解得a=1,∴曲線ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3;(2)在y=(x﹣1)2﹣4中,令x=0,得y=(0﹣1)2﹣4=﹣3,∴B(0,﹣3),∴OA=OB=3米,若在該鋼板余料中截取其中一個(gè)邊長(zhǎng)為3米的矩形,則OB必為此矩形的一邊,點(diǎn)B關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)B'一定在拋物線y=(x﹣1)2﹣4上,∵拋物線y=(x﹣1)2﹣4的對(duì)稱軸為直線x=1,∴BB'=2,∴該矩形的另一邊長(zhǎng)h的取值范圍為0<h≤2;(3∵拋物線y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3,∴B(0,﹣3).設(shè)P(m,m2﹣2m﹣3),設(shè)直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y=kx﹣3,將P(m,m2﹣2m﹣3)代入得:km﹣3=m2﹣2m﹣3,解得k=m﹣2,∴直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y=(m﹣2)x﹣3,設(shè)對(duì)稱軸x=1與直線BP的交點(diǎn)為E,在y=(m﹣2)x﹣3中,令x=1得y=m﹣5,∴E(1,m﹣5),∴DE=5﹣m,∴S=m(5﹣m)=﹣(m﹣)2+,∵﹣<0,∴當(dāng)m=時(shí),S取最大值,最大值為.∴S的最大值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是讀懂題意,求出二次函數(shù)的解析式.5.(2022?安徽)如圖1,隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成,矩形的一邊BC為12米,另一邊AB為2米.以BC所在的直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1米.E(0,8)是拋物線的頂點(diǎn).(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;(2)在隧道截面內(nèi)(含邊界)修建“”型或“”型柵欄,如圖2、圖3中粗線段所示,點(diǎn)P1,P4在x軸上,MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等.柵欄總長(zhǎng)l為圖中粗線段P1P2,P2P3,P3P4,MN長(zhǎng)度之和,請(qǐng)解決以下問題:(?。┬藿ㄒ粋€(gè)“”型柵欄,如圖2,點(diǎn)P2,P3在拋物線AED上.設(shè)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為m(0<m≤6),求柵欄總長(zhǎng)l與m之間的函數(shù)表達(dá)式和l的最大值;(ⅱ)現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為18的柵欄,有如圖3所示的“”型和“”型兩種設(shè)計(jì)方案,請(qǐng)你從中選擇一種,求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值,及取最大值時(shí)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)的取值范圍(P1在P4右側(cè)).【分析】(1)通過分析A點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;(2)(ⅰ)結(jié)合矩形性質(zhì)分析得出P2的坐標(biāo)為(m,﹣m2+8),然后列出函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值;(ⅱ)設(shè)P2P1=n,分別表示出方案一和方案二的矩形面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值,從而利用數(shù)形結(jié)合思想確定取值范圍.【解答】解:(1)由題意可得:A(﹣6,2),D(6,2),又∵E(0,8)是拋物線的頂點(diǎn),設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+8,將A(﹣6,2)代入,(﹣6)2a+8=2,解得:a=﹣,∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+8;(2)(?。唿c(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為m(0<m≤6),且四邊形P1P2P3P4為矩形,點(diǎn)P2,P3在拋物線AED上,∴P2的坐標(biāo)為(m,﹣m2+8),∴P1P2=P3P4=MN=﹣m2+8,P2P3=2m,∴l(xiāng)=3(﹣m2+8)+2m=﹣m2+2m+24=﹣(m﹣2)2+26,∵﹣<0,∴當(dāng)m=2時(shí),l有最大值為26,即柵欄總長(zhǎng)l與m之間的函數(shù)表達(dá)式為l=﹣m2+2m+24,l的最大值為26;(ⅱ)方案一:設(shè)P2P1=n,則P2P3=18﹣3n,∴矩形P1P2P3P4面積為(18﹣3n)n=﹣3n2+18n=﹣3(n﹣3)2+27,∵﹣3<0,∴當(dāng)n=3時(shí),矩形面積有最大值為27,此時(shí)P2P1=3,P2P3=9,令﹣x2+8=3,解得:x=±,∴此時(shí)P1的橫坐標(biāo)的取值范圍為﹣+9≤x≤,方案二:設(shè)P2P1=n,則P2P3==9﹣n,∴矩形P1P2P3P4面積為(9﹣n)n=﹣n2+9n=﹣(n﹣)2+,∵﹣1<0,∴當(dāng)n=時(shí),矩形面積有最大值為,此時(shí)P2P1=,P2P3=,令﹣x2+8=,解得:x=±,∴此時(shí)P1的橫坐標(biāo)的取值范圍為﹣+≤x≤.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用,掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,準(zhǔn)確識(shí)圖,確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo),利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.6.(2023?蕪湖模擬)某大型樂園包含多項(xiàng)主題演出與游樂項(xiàng)目,其中過山車“沖上云霄”是其經(jīng)典項(xiàng)目之一.如圖所示,A→B→C為過山車“沖上云霄”的一部分軌道(B為軌道最低點(diǎn)),它可以看成一段拋物線.其中米,米(軌道厚度忽略不計(jì)).(1)求拋物線A→B→C的函數(shù)關(guān)系式;(2)在軌道距離地面5米處有兩個(gè)位置P和C,當(dāng)過山車運(yùn)動(dòng)到C處時(shí),又進(jìn)入下坡段C→E(接口處軌道忽略不計(jì)).已知軌道拋物線C→E→F的大小形狀與拋物線A→B→C完全相同,求OE的長(zhǎng)度;(3)現(xiàn)需要對(duì)軌道下坡段A→B進(jìn)行安全加固,架設(shè)某種材料的水平支架和豎直支架GD、GM、HI、HN,且要求OM=MN.如何設(shè)計(jì)支架,可使得所需用料最少?最少需要材料多少米?【分析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;(2)先求出P,C坐標(biāo),再求出PC長(zhǎng)度,通過拋物線C→E→F的形狀與拋物線A→B→C完全相同,平移長(zhǎng)度為PC,可得拋物線C→E→F解析式,可得結(jié)論;(3)先設(shè)出M,N橫坐標(biāo),再代入解析式,分別求出G,H的縱坐標(biāo),然后求出GD、GM、HI、HN之和的最小值,從而求出最少所需材料.【解答】解:(1)由圖象可設(shè)拋物線解析式為:y=a(x﹣)2,把A(0,)代入,得:=a(0﹣)2,解得:a=,∴拋物線A→B→C的函數(shù)關(guān)系式為y=(x﹣)2;(2)當(dāng)y=5時(shí),5=(x﹣)2,解得:x1=,x2=,∴P(,5),C(,5),∴PC==10,∵拋物線C→E→F的形狀與拋物線A→B→C完全相同,∴拋物線C→E→F由拋物線A→B→C右平移PC個(gè)單位,∴拋物線C→E→F為:y=,當(dāng)y=0時(shí),x=,∴OE=;(3)設(shè)OM=MN=m,M(m,0),N(2m,0),yG=,yH=,∴l(xiāng)=GD+GM+HI+HN=m+=m2﹣12m+=(m﹣6)2+,∵a=1>0,∴開口向上,∴當(dāng)m=6時(shí),l最短,最短為米,即當(dāng)OM=MN=6時(shí)用料最少,最少需要材料米.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及平移的性質(zhì),關(guān)鍵用拋物線的性質(zhì)解決實(shí)際問題.7.(2023?亳州二模)如圖1,灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛,為綠化帶澆水.噴水口H離地豎直高度為hm,如圖2,可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象.把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG.下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的,上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m,高出噴水口0.5m.灌溉車到綠化帶的距離OD為dm.當(dāng)OH=1.5m,DE=3m,EF=0.5時(shí),解答下列問題.(1)①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式,并求噴出水的最大射程OC;②求出點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶,試求出d的取值范圍.【分析】(1)①由頂點(diǎn)A(2,2)得,設(shè)y=a(x﹣2)2+2,再根據(jù)拋物線過點(diǎn)(0,1.5),可得a的值,從而解決問題;②由對(duì)稱軸知點(diǎn)(0,1.5)的對(duì)稱點(diǎn)為(4,1.5),則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4cm得到的,可得點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)根據(jù)EF=0.5,求出點(diǎn)F的坐標(biāo),利用增減性可得d的最大值為最小值,從而得出答案.【解答】解:(1)①如圖1,由題意得A(2,2)是上邊緣拋物線的頂點(diǎn),設(shè)y=a(x﹣2)2+2,又∵拋物線過點(diǎn)(0,1.5),∴1.5=4a+2,∴a=﹣,∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y=﹣(x﹣2)2+2,當(dāng)y=0時(shí),0=﹣(x﹣2)2+2,解得x1=6,x2=﹣2(舍去),∴噴出水的最大射程OC為6m;②∵對(duì)稱軸為直線x=2,∴點(diǎn)(0,1.5)的對(duì)稱點(diǎn)為(4,1.5),∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0);(2)∵EF=0.5,∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為0.5,∴0.5=﹣(x﹣2)2+2,解得x=2±2,∵x>0,∴x=2+2,當(dāng)x>2時(shí),y隨x的增大而減小,∴當(dāng)2≤x≤6時(shí),要使y≥0.5,則x≤2+2,∵當(dāng)0≤x≤2時(shí),y隨x的增大而增大,且x=0時(shí),y=1.5>0.5,∴當(dāng)0≤x≤6時(shí),要使y≥0.5,則0≤x≤2+2,∵DE=3,灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶,∴d的最大值為2+2﹣3=2﹣1,再看下邊緣拋物線,噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是d≥OB,∴d的最小值為2,綜上所述,d的取值范圍是2≤d≤2﹣1.【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識(shí),讀懂題意,建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵.8.(2023?廬陽區(qū)校級(jí)二模)某公園要在小廣場(chǎng)建造一個(gè)噴泉景觀.在小廣場(chǎng)中央O處垂直于地面安裝一個(gè)高為1.25米的花形柱子OA,安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水,水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下,且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖1所示,為使水流形狀較為美觀,設(shè)計(jì)成水流在距OA的水平距離為1米時(shí)達(dá)到最大高度,此時(shí)離地面2.25米.(1)以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系,水流到OA水平距離為x米,水流噴出的高度為y米,求出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式(不要求寫出自變量的取值范圍);(2)張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間,噴水管意外噴水,但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到,此時(shí)他離花形柱子OA的距離為d米,求d的取值范圍;(3)為了美觀,在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈,射燈射出的光線與地面成45°角,如圖3所示,光線交匯點(diǎn)P在花形柱子OA的正上方,其中光線BP所在的直線解析式為y=﹣x+4,求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離.【分析】(1)根據(jù)題意得到第一象限內(nèi)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),將拋物線設(shè)成頂點(diǎn)式,再將點(diǎn)A坐標(biāo)代入即可求出第一象限內(nèi)的拋物線解析式;(2)直接令y=1.76,解方程求出x的值,再根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出y>1.76時(shí)x的取值范圍即可;(3)先作輔助線,作出直線BP的平行線l,使它與拋物線相切于點(diǎn)D,然后設(shè)出直線l的解析式,聯(lián)立直線與拋物線解析式,利用相切,方程只有一個(gè)解,解出直線l的解析式,從而得到直線與x軸交點(diǎn),最后利用銳角三角函數(shù)求出直線l與直線BP之間的距離.【解答】解:(1)根據(jù)題意第一象限內(nèi)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2.25),A(0,1.25),設(shè)第一象限內(nèi)的拋物線解析式為y=a(x﹣1)2+2.25,將點(diǎn)A(0,1.25)代入物線解析式,1.25=a(0﹣1)2+2.25,解得α=﹣1,∴第一象限內(nèi)的拋物線解析式為y=﹣(x﹣1)2+2.25;(2)根據(jù)題意,令y=1.76,即﹣(x﹣1)2+2.25=1.76,解得x1=0.3,x2=1.7,∵﹣1<0,拋物線開口向下,∴當(dāng)0.3<x<1.4時(shí),y>1.76,∴d的取值范圍為0.3<x<1.7;(3)作直線BP的平行線l,使它與拋物線相切于點(diǎn)D,分別交x軸,y軸于點(diǎn)E,F(xiàn),過點(diǎn)E,作EG⊥PB,垂足為G,如圖所示,∵l∥PB,設(shè)直線l的解析式為y=﹣x+m,聯(lián)立直線與拋物線解析式,,整理得x2﹣3x+m﹣1.25=0,∵直線l與拋物線相切,∴方程只有一個(gè)根,∴Δ=32﹣4×1×(m﹣1.25)=0,解得m=3.5,∴直線l的解析式為y=﹣x+3.5,令y=0,則x=3.5,∴E(3.5,0),∴BE=4﹣3.5=0.5,即EB=,∵射燈射出的光線與地面成45°角,∴∠EBG45°,∵∠EGB=90°,sin∠EBG==,∴EG=×=,∴光線與拋物線水流之間的最小垂直距離為米.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用,直線的平移,直線和拋物線相切等知識(shí),關(guān)鍵是求拋物線解析式.9.(2023?滁州二模)如圖是某家具廠的拋物線型木板余料,其最大高度為9dm,最大寬度為12dm,現(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切割.(1)如圖1,根據(jù)已經(jīng)建立的平面直角坐標(biāo)系,求木板邊緣所對(duì)應(yīng)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)如圖2,若切割成矩形HGNM,求此矩形的最大周長(zhǎng);(3)若切割成寬為2dm的矩形木板若干塊,然后拼接成一個(gè)寬為2dm的矩形,如何切割才能使拼接后的矩形的長(zhǎng)邊最長(zhǎng)?請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫出切割方案,并求出拼接后的矩形的長(zhǎng)邊長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))【分析】(1)根據(jù)已知可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,9),A(﹣6,0),B(6,0),再設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+9,把B(6,0)代入,可求出a,即可得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)在矩形HGNM中,設(shè),由拋物線的對(duì)稱性可知,所以矩形HGNM的周長(zhǎng)為,由于,且0<m<6,當(dāng)m=4時(shí),矩形HGNM的周長(zhǎng)有最大值,最大值為26;(3)如圖是畫出的切割方案,分別令y=2,y=4,y=6,y=8,即可求出,,,再加起來即為拼接后的矩形的長(zhǎng)邊長(zhǎng).【解答】解:(1)根據(jù)已知可得,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,9),A(﹣6,0),B(6,0),設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+9,把B(6,0)代入,得0=36a+9,解得,∴木板邊緣所對(duì)應(yīng)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.(2)在矩形HGNM中,設(shè),由拋物線的對(duì)稱性可知,∴矩形HGNM的周長(zhǎng)為.∵,且0<m<6,∴當(dāng)m=4時(shí),矩形HGNM的周長(zhǎng)有最大值,最大值為26,即矩形HGNM的最大周長(zhǎng)為26dm.(3)如圖是畫出的切割方案:在中,令y=2,解得,∴;在中,令y=4,解得,∴;在中,令y=6,解得,∴;在中,令y=8,解得x=±2,∴KI=4,∴拼接后的矩形的長(zhǎng)邊長(zhǎng)為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求二次函數(shù)的表達(dá)式和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.10.(2023?黃山一模)如圖,國(guó)家會(huì)展中心大門的截面圖是由拋物線ADB和矩形OABC構(gòu)成.矩形OABC的邊米,OC=9米,以O(shè)C所在的直線為x軸,以O(shè)A所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;(2)近期需對(duì)大門進(jìn)行粉刷,工人師傅搭建一木板OM,點(diǎn)M正好在拋物線上,支撐MN⊥x軸,ON=7.5米,點(diǎn)E是OM上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)E作x軸的垂線,交OM于點(diǎn)F.①求EF的最大值.②某工人師傅站在木板OM上,他能刷到的最大垂直高度是米,求他不能刷到大門頂部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍.【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)表達(dá)式;(2)①先求出點(diǎn)M坐標(biāo)為,再求出直線OM的解析式為,進(jìn)而求出EF==,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求出當(dāng)時(shí),EF有最大值;②根據(jù)師傅能刷到的最大垂直高度是米,得到當(dāng)時(shí),他就不能刷到大門頂部,令,得到,解得,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得到他不能刷到大門頂部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的范圍是.【解答】解:(1)由題意知,拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為,設(shè)拋物線的表達(dá)式為,將點(diǎn)代入拋物線解析式得,解得,∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式為;(2)①將x=7.5代入中,得y=3,∴點(diǎn),∴設(shè)直線OM的解析式為y=kx(k≠0),將點(diǎn)代入得,∴,∴直線OM的解析式為,∴==,∵,∴當(dāng)時(shí),EF有最大值,為;②∵師傅能刷到的最大垂直高度是米,∴當(dāng)時(shí),他就不能刷到大門頂部,令,即,解得,又∵EF是關(guān)于m的二次函數(shù),且圖象開口向下,∴他不能刷到大門頂部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的范圍是.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,同時(shí)考查了待定系數(shù)法求解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)、應(yīng)用等知識(shí),熟知二次函數(shù)的性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.類型三:幾何圖形面積問題一.解答題(共6小題)1.(2023?蜀山區(qū)校級(jí)模擬)春回大地,萬物復(fù)蘇,又是一年花季到.某花圃基地計(jì)劃將如圖所示的一塊長(zhǎng)40m,寬20m的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域.其中一塊正方形空地為育苗區(qū),另一塊空地為活動(dòng)區(qū),其余空地為種植區(qū),分別種植A,B,C三種花卉.活動(dòng)區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬,另一邊長(zhǎng)是10m.A,B,C三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元、4百元.(1)設(shè)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為xm,用含x的代數(shù)式表示下列各量:花卉A的種植面積是(x2﹣60x+800)m2,花卉B的種植面積是(﹣x2+30x)m2,花卉C的種植面積是(﹣x2+20x)m2.(2)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為多少時(shí),A,B兩種花卉的總產(chǎn)值相等?(3)若花卉A與B的種植面積之和不超過560m2,求A,B,C三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值.【分析】(1)根據(jù)正方形和長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式可直接得到答案;(2)根據(jù)A,B兩種花卉的總產(chǎn)值相等建立一元二次方程,解方程即可得到答案;(3)先根據(jù)花卉A與B的種植面積之和不超過560m2建立不等式,得到x≥8,再設(shè)A,B,C三種花卉的總產(chǎn)值之和y百元,得到y(tǒng)關(guān)于x的二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的圖形性質(zhì)即可得到答案.【解答】解:(1)∵育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為xm,活動(dòng)區(qū)的邊長(zhǎng)為10m,∴花卉A的面積為:(40﹣x)(20﹣x)=(x2﹣60x+800)m2,花卉B的面積為:x(40﹣x﹣10)=(﹣x2+30x)m2,花卉C的面積為:x(20﹣x)=(﹣x2+20x)m2,故答案為:(x2﹣60x+800);(﹣x2+30x);(﹣x2+20x);(2)∵A,B花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元,∴A,B兩種花卉的總產(chǎn)值分別為2×(x2﹣60x+800)百元和3×(﹣x2+30x)百元,∵A,B兩種花卉的總產(chǎn)值相等,∴200×(x2﹣60x+800)=300×(﹣x2+30x),∴x2﹣42x+320=0,解方程得x=32(舍去)或x=10,∴當(dāng)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為10m時(shí),A,B兩種花卉的總產(chǎn)值相等;(3)∵花卉A與B的種植面積之和為:x2﹣60x+800+(﹣x2+30x)=(﹣30x+800)m2,∴﹣30x+800≤560,∴x≥8,∵設(shè)A,B,C三種花卉的總產(chǎn)值之和y百元,∴y=2(x2﹣60x+800)+3(﹣x2+30x)+4(﹣x2+20x),∴y=﹣5x2+50x+1600,∴y=﹣5(x﹣5)2+1725,∴當(dāng)x≥8時(shí),y隨x的增加而減小,∴當(dāng)x=8時(shí),y最大,且y=﹣5(8﹣5)2+1725=1680(百元),故A,B,C三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值168000元.【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立正確的方程和函數(shù)表達(dá)式.2.(2022?安徽三模)小明將小球從斜坡O點(diǎn)處拋出,球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣+bx刻畫,斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫,如圖建立直角坐標(biāo)系,小球能達(dá)到的最高點(diǎn)的坐標(biāo)(3,n).(1)請(qǐng)求出b和n的值;(2)小球在斜坡上的落點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的坐標(biāo);(3)點(diǎn)P是小球從起點(diǎn)到落點(diǎn)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),連接PO,PM,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為何值時(shí)?△POM的面積

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