人教版高中數學知識點總結

高中數學必修知識點

第一章集合與函數概念

[1.1.11集合的含義與表示

()集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

()常用數集與其記法

N表示自然數集，N*或N,表示正整數集，Z表示整數集?。表示

有理數集，R表示實數集.

()集合與元素間的關系

對象。與集合M的關系是々EM,或者白任”,兩者必居其一.

()集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號內表示集合.

③描述法：｛XX具有的性質｝，其中X為集合的代表元素.

④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.

()集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫

做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(0).

[1.1.2]集合間的基本父系

()子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質不意圖

子集A^B中的任一元素()e或

(或都屬于()0平

8")()若且BqC，則AqC

()若且BqA?則A=B

A^B，且中至()0uA(為非空子集)

真子U

少有一元素不()若AuB且BuC，則AuC

集(或n)

屬于

中的任一元素

集合都屬于?中的()項

A=B

相等任一元素都屬()q

于

()已知集合卷有九5之1)個元素,則它有2"個子集?它有2〃-1個真子

集，它有2”-1個非空子集，它有2"-2非空真子集.

[1.1.3J集合的基本運算

()交集、并集、補集

名記

意義性質示意圖

□

稱

()A(yA=A

交A,且

AM()ACf0=0

集xeB}

()GD

AQB^B

并A,或()A(JA=A

A\JB

集xeB}()AU0=AGD

()

An&A)=0AU(”)=U

補

{x\xeU,Rx^A}期(An8)=(uA)UG8)U

*4(A)

集旗AUB=(〃A)n(%B)

【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

()含絕對值的不等式的解法

不等式解集

Ix|<a(a>0){x\-a<x<a}

|x|>a(a>0)x|xv-〃或x>a]

把?+人看成一個整體，化成

\ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)\x\<a，|x|>〃(a>0)型不等式來求

解

()一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

△=/-4ac

二次函數\￥

y=ax2+bx+c(a>0)

0*2

的圖象

一元二次方程

ax2+bx+c=0(a>0)(其中X<占)無實根

的根

ax2+bx+c>0(a>0)或方>々｝{x|R

的解集

ax2+bx+c<0(a>0)

{x|X]<x<x2]00

的解集

n函數與其表示

［1.2.1］函數的概念

()函數的概念

①設A、5是兩個非空的數集,如果按照某種對應法則f，對于集

合A中任何一個數x在集合8中都有唯一確定的數代外和它對應?

那么這樣的對應(包括集合A，8以與A到8的對應法則/)叫做

集合A到8的一個函數，記作f:ArB?

②函數的三要素:定義域、值域和對應法則?

③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數?

()區(qū)間的概念與表示法

①設匕是兩個實數,且，滿足4""的實數X的集合叫做閉

區(qū)間?記做［凡歷；滿足的實數工的集合叫做開區(qū)間，記做

3。)；滿足8，或avx"的實數x的集合叫做半開半閉區(qū)間，

分別記做［a,h)，(a,勿；滿足％2々,%>0,工工。,不〈力的實數工的集合分

別記做［a,+8),(a,+a)),(-a,Z?l,(-oo,Z?),

注意：對于集合｛x|av%<。｝與區(qū)間(4,6)，前者a可以大于或等于8,

而后者必須

()求函數的定義域時，一般遵循以下原則：

①“X)是整式時，定義域是全體實數?

②/（x）是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數?

③/3）是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的

親口?

④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時?

底數須大于零且不等于-

⑤），=tanx中,,

⑥零（負）指數鬲的底數不能為零?

⑦若/"）是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，

則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集?

⑧對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：若已知/"）的定義

域為［。向，其復合函數/Ig（x）］的定義域應由不等式解出,

⑨對于含字母參數的函數，求其定義域,根據問題具體情況需對

字母參數進行分類討論-

⑩由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合

問題的實際意義?

（）求函數的值域或最值

求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的?事

實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是

函數的最?。ù螅┲?因此求函數的最值與值域，其實質是相同

的,只是提問的角度不同.求函數值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數?我們可以通過觀察直接得到值域或

最值?

②配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和?

然后根據變量的取值范圍確定函數的值域或最值?

③判別式法若函數尸“X)可以化成一個系數含有y的關于A-的二

次方程。(y)丁+伙y)x+c(y)=0,貝IJ在a(y)/0時,由于為實數,故

必須有△=/(y)—4a()，).c(y)N0?從而確定函數的值域或最值?

④不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值?

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代

換可將代數函數的最值問題轉化為三角函數的最值問題?

⑥反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確

定函數的值域或最值?

⑦數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值?

⑧函數的單調性法?

[1.2.2]函數的表示法

()函數的表示方法

表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種?

解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系?列表法：

就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系?圖象法：就是用圖

象表示兩個變量之間的對應關系?

()映射的概念

①設A、5是兩個集合?如果按照某種對應法則/?對于集合A中

任何一個元素，在集合8中都有唯一的元素和它對應,那么這樣的

對應(包括集合A，8以與A到3的對應法則/)叫做集合A到8的

映射，記作3?

②給定一個集合A到集合8的映射，且acA/tB，如果元素。和元

素〃對應，那么我們把元素人叫做元素〃的象，元素〃叫做元素人的

原象,

O函數的基本性質

[1.3.11單調性與最大(小)值

()函數的單調性

①定義與判定方法

函數的

定義圖象判定方法

性質

如果對于屬于定義()利用定義

域內某個區(qū)間上的()利用已知

任意兩個自變量的函數的單調性

值、，當f時，都有()利用函數

y=f（x）/

函數的()<()?那么就說()/悶圖象(在某個

單調性在這個區(qū)間上是承區(qū)間圖

x,x,X

電教?象上升為

增)

()利用復合

函數

()利用定義

如果對于屬于定義()利用已知

域內某個區(qū)間上的函數的單調性

任意兩個自變量的y、y=f（x）()利用函數

f（xj

值、，當5時,都圖象(在某個

有Q?Q,那么就說0

x、x:x區(qū)間圖

()在這個區(qū)間上是象下降為減)

博理數?()利用復合

函數

②在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和

是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增

函數為減函數-

③對于復合函數y=/［g(x)］，令〃=g(x)，若y=為增，〃=g(x)為

增，則丁=/Ig(x)］為增；若丫=/(〃)為減，〃=g(x)為減,則丁=/Ig(x)］

為增；若y=/(〃)為增，〃=g(x)為減,則y=/［g(x)］為減；若

y=/(〃)為減，“=g(x)為增，則y=/Ig(x)］為減,/(x)=x+-(a>0)

X

()打〃/'函數的圖象與性質

f(x)分別在、［6,+00)上為增函數'-------------

分別在［-6,0)'(0,6］上為減函數,

()最大(小)值定義/

①一般地，設函數y=/(x)的定義域為/，如果存在實數M滿足：

()對于任意的無￡/，都有/(x)VM；

()存在％E/，使得/(x0)=M?那么,我們稱M是函數/(%)

的最大值?記作以JxhM?

②一般地，設函數y=/(x)的定義域為/，如果存在實數，"滿足：()

對于任意的xw/,都有/(%)>m；()存在，使得/(%)=m?那

么,我們稱加是函數/(x)的最小值，記作篇x(x)=，〃*

[1.3.2]奇偶性

()函數的奇偶性

①定義與判定方法

函數的

定義圖象判定方法

性質

如果對于函數()定()利用定義

義域內任意一個，(要先判斷定

都有(:):Q,那么y義域是否關于

函數的(a.f(a))

函數0叫做可通___一.原點對稱)

oax

奇偶性

數?(-a.f(-a))()利用圖象

(圖象關于原

點對稱)

如果對于函數（）定（）利用定義

義域內任意一個，（要先判斷定

都有（：）（）,那么函

義域是否關于

數（）叫做偶函數?

???原點對稱）

（）利用圖象

（圖象關于軸

對稱）

②若函數/（X）為奇函數?且在x=0處有定義，則/（0）=（）?

③奇函數在），軸兩側柜對稱的區(qū)間增減性相同,偶函數在y軸兩側

相對稱的區(qū)間增減性相反?

④在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是

偶函數（或奇函數），兩個偶函數（或奇函數）的積（或商）是偶

函數?一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數?

[[補充知識1函數的圖象

（）作圖

利用描點法作圖：

①確定函數的定義域；②化解函數解析

式；

③討論函數的性質（奇偶性、單調性）；④畫出函數的圖

象?

利用基本函數圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函

數、器函數、三角函數等各種基本初等函數的圖象?

①平移變換

②伸縮變換

③對稱變換

()識圖

對于給定函數的圖象,要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨

勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性，注

意圖象與函數解析式中參數的關系?

()用圖

函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了

〃形〃的直觀性，它是探求解題途徑,獲得問題結果的重要工具?要

重視數形結合解題的思想方法?

第二章基本初等函數(I)

U指數函數

[2.1.1]指數與指數鬲的運算

()根式的概念

①如果X”=a,aeR,xeR,n>1,且〃￡M*那么K叫做。的〃次方

根-當〃是奇數時，〃的〃次方根用符號折表示；當〃是偶數時*

正數。的正的〃次方根用符號后表示,負的〃次方根用符號-標表

示；的〃次方根是；負數。沒有〃次方根?

②式子標叫做根式?這里〃叫做根指數-。叫做被開方數?當〃

為奇數時，。為任意實數；當〃為偶數時，^>0?

③根式的性質：雨一；當〃為奇數時，Ja；當〃為偶數

時，萬■止?(/°)?

-a(a<0)

()分數指數鬲的概念

①正數的正分數指數鬲的意義是：涓=叱(》0,加”乂,且

?>1)-的正分數指數募等于?

②正數的負分數指數嘉的意義是：

nn，n

a=(―)=J(—)(a>0,/w,wGA^+,?>1)?的負分數指數鬲沒有意

aVa

義?注意口訣：底數取倒數，指數取相反數?

()分數指數器的運算性質

[2.1.2]指數函數與其性質

()指數函數

奇偶性非奇非偶

單調性在H上是增函數在R上是減函數

函數值的

變化情況

。變化對圖象在第一象限內，a越大圖象越高；在第二象限內，。越大

的影響圖象越低?

n對數函數

[2.2.1]對數與對數運算

⑴對數的定義

①若優(yōu)=N(a>0,且“1)，則x叫做以。為底N的對數，記作x=log〃N，

其中。叫做底數，N叫做真數?

②負數和零沒有對數?

③對數式與指數式的互化：x=log〃No/=N(a>0.awl,N>0)?

()幾個重要的對數恒等式

()常用對數與自然對數

常用對數：IgN?即log，；自然對數：InN'即log*(其中

e=2.71828…)?

()對數的運算性質如果〃>0,aHl,M>0,N>0，那么

①加法：陶”+陶心陶前恒②減法：log。MTogaN=loga”

N

N

③數乘：n\ogaM=log?M\neR)@^=N

⑤log⑥換底公式：

aA

log“N=氈&(b>0,且〃。1)

log"

【2.2.2】對數函數與其性質

()對數函數

函數

對數函數

名稱

定義函數y=log.>0且。工1)叫做對數函數

a>10<6Z<l

1X=1卜x=1

；y=1嗚%y=log”x

1

圖象

(1,0)

11/：(1,0)X1r

定義域(0,+oo)

值域R

過定點圖象過定點(1,0)，即當x=l時,y=0,

奇偶性非奇非偶

單調性在O+00)上是增函數在(0,+8)上是減函數

函數值的

變化情況

。變化對圖象在第一象限內?。越大圖象越靠低；在第四象限內，〃越

的影響大圖象越靠高?

()反函數的概念

設函數)，=/(幻的定義域為A，值域為C，從式子y=/(x)中解出,一

得式子x=8(y)?如果對于y在C中的任何一個值，通過式子工=奴))，

x在A中都有唯一確定的值和它對應,那么式子x=g(y)表示］是y的

函數，函數x=°(y)叫做函數y=/(x)的反函數，記作”=尸(丁)，習慣

上改寫成y=/T(x)?

()反函數的求法

①確定反函數的定義域，即原函數的值域；②從原函數式y(tǒng)=/(x)中

反解出工=尸()，)；

③將片尸(y)改寫成)，=尸(幻，并注明反函數的定義域?

()反函數的性質

①原函數y=f(x)與反函數y=f~'(x)的圖象欠于直線y=工對稱,

②函數y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數y=jL(x)的值域、定

義域?

③若P(a,b)在原函數y=f(x)的圖象上,則PSM)在反函數

y=廣U)的圖象上?

④一般地，函數y=/(x)要有反函數則它必須為單調函數?

O鬲函數

()鬲函數的定義

一般地,函數y=叫做鬲函數,其中工為自變量,a是常數?

()鬲函數的圖象

()募函數的性質

①圖象分布：鬲函數圖象分布在第一、二、三象限第四象限無圖象鬲

函數是偶函數時，圖象分布在第一、二象限（圖象關于y軸對稱）；是

奇函數時，圖象分布在第一、三象限（圖象哭于原點對稱）；是非奇非

偶函數時?圖象只分布在第一象限?

②過定點：所有的鬲函數在（0,+8）都有定義?并且圖象都通過點（1,1）?

③單調性：如果a>0，貝I」嘉函數的圖象過原點,并且在0一）上為增

函數?如果a<0，則募函數的圖象在（0,y）上為減函數?在第一象限

內，圖象無限接近X軸與），軸?

④奇偶性：當a為奇數時，鬲函數為奇函數，當a為偶數時，器函數

為偶函數?當（其中〃國互質，〃和gwZ），若〃為奇數鄉(xiāng)為奇數時,

則），=/是奇函數，若〃為奇數夕為偶數時，則y=/是偶函數，若〃為

偶數4為奇數時，則丁="是非奇非偶函數?

⑤圖象特征：鬲函數y=x”,x￡（0,+co），當a>l時,若0<x<l，其圖象

在直線y=x下方,若x>l，其圖象在直線y=x上方,當a<l時,若

0<%<1,其圖象在直線y=x上方,若，其圖象在直線y=x下方,

［補充知識］二次函數

（）二次函數解析式的三種形式

①一般式：/（x）=ar2+bx+c（aw0）②頂點式：f（x）=〃（.〃尸+2（a羊0）③

兩根式：”兀）=心-再）。-再）3工。）（）求二次函數解析式的方法

①已知三個點坐標時?宜用一般式?

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（?。┲涤?/p>

關時,常使用頂點式?

③若已知拋物線與工軸有兩個交點?且橫線坐標已知時，選用

兩根式求/(均更方便?

()二次函數圖象的性質

①一次函數/(x)=or2+〃x+c(a。0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為

頂點坐標是,

②當〃>oB寸，拋物線開口向上，函數在上遞減?在上遞增,當時，；

當〃<0時，拋物線開口向下,函數在上遞增?在上遞減，當時,?

③_次函數/")=公之十法+以〃工0)當△=/一4ac>0時,圖象與x軸有兩

個交點Ma，o),MG，o),|MMI=lxfl=￡?

\a\

()一元二次方程加+fex+c=0(aw0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這部分知識

在初中代數中雖有所涉與，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法

偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理(韋達定理)的

運用?下面結合二次函數圖象的性質，系統(tǒng)地來分析一元二次方

程實根的分布?

設一兀一次方程or2+bx+c=0(aw0)的兩實根為為,工2，且引"％,令

f(x)=ax2+bx+c?從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向：

。②對稱軸位置：③判別式：△④端點函數值符號?

⑤有且僅有一個根(或)滿足〈(或)<o()()<?并同

時考慮()或()這兩種情況是否也符合

此結論可直接由⑤推出?

()一次函數/。)="2+區(qū)+?々=0)在閉區(qū)間［p,q］上的最值

設/(幻在區(qū)間［〃國］上的最大值為M?最小值為“，令?

(I)當〃>0時(開口向上)

①若，則加=/(p)②若,則③若,則加=/(g)

①若.則M=/0)②,則M=/(p)

(□)當〃<0B寸(開口向下)］：—

①若，則〃=f(P)②若?則③立血301

①若，則相=/(4)②,則〃2=/(p)

第三章函應用

-、方程的根與函數的零點

、函數零點的概念：對于函數y=/(x)(x￡。)，把使/(x)=0成立

的實數X叫做函數丫=的零點。

、函數零點的意義：函數)，=“］)的零點就是方程八幻=0實數根，

亦即函數y=〃幻的圖象與x軸交點的橫坐標。即：

方程/(%)=0有實數根<=>函數y=/(x)的圖象與x軸有交點=函

數丁=/(X)有零點,

、函數零點的求法：

求函數)，=/a)的零點：

(代數法)求方程f(x)=。的實數根；

(幾何法)對于不能用求根公式的方程?可以將它與函數

y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數的性質找出零點?

、二次函數的零點：

一次函數y=&+"+<?(〃/0)?

1)△>0,方程ox?+bx+c=0有兩不等實根-一次函數的圖象

與X軸有兩個交點，二次函數有兩個零點?

2)△二0，方程奴?十加+0=0有兩相等實根(一重根)?一次

函數的圖象與X軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二

階零點?

3)△<0?方程公2+6+c=o無實根，二次函數的圖象與X軸

無交點?二次函數無零點?

高中數學必修知識點

第一章空間幾何體

柱、錐、臺、球的結構特征

空間幾何體的三視圖和直觀圖

三視圖：

正視圖：從前往后側視圖：從左往右俯

視圖：從上往下

畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

直觀圖：斜二測畫法

斜二測畫法的步驟：

().平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；

().平行于軸的線長度變半，平行于，軸的線長度不變；

().畫法要寫好。

用斜二測畫法畫出長方體的步驟：()畫軸()畫底面()畫側棱()

成圖

空間幾何體的表面積與體積

(—)空間幾何體的表面積

棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

圓柱的表面於2初+2"2圓錐的表面

積S=TU'l+亞2

圓臺的表面積S=〃/+*2+成/+成2球的表面積

S=4成2

(二)空間幾何體的體積

柱體的體積V=s^h錐體的體積

臺體的體積V=g(S上+國豆+S下)x"球體的體積

第二章直線與平面的位置關系

空間點'直線'平面之間的位置關系

2.1.1

平面含義：平面是無限延展的

平面的畫法與表示

()平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形,銳角畫

成-且橫邊畫成鄰邊的倍長(如圖)

()平面通常用希臘字母a、0、丫等表示，如平面a、平面0等，也可

以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫

字母來表示，如平面、平面等。

三個公理：

()公理：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此

平面內

符號表示為

a

ea

ea

公理作用：判斷直線是否在平面內

()公理：過不在一條直線上的三點，有且只有，/平面。./

符號表示為：、、三點不共線>有且只有一個平面a?

使、ea、ea。

公理作用：確定一個平面的依據。

()公理：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有

一條過該點的公共直線。八

符號表示為：Ganp>anp?且￡

公理作用：判定兩個平面是否相交的依據X

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系

空間的兩條直線有如下三種關系：

共面直｛相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；

平行直線：同一平面內，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點，

公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號表示為：設、、是三條直線

強調：公理實質上是說平行具有傳遞性,在平面、空間這個性質都適

用。

公理作用：判斷空間兩條直線平行的依據。

等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行?那么這兩個角

相等或互補

①'與'所成的角的大小只由、的相互位置來確定，與的選擇無關?為

簡便>點一般取在兩直線漏一條上；

②兩條異面直線所成的角')；

③當兩條異面直線所成的角是直角時?我們就說這兩條異面直線互

相垂直*記作，；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成

的角。

2.1.3—空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系

、直線與平面有三種位置關系：

()直線在平面內——有無數個公共點

()直線與平面相交——有且只有一個公共點

()直線在平面平行——沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線凝面外，可用a

來表示

af^aiia

.直線、平面平行的判定與其性質

2.2.1直線與平面平行的判定

、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直

線平行，則該直線與此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。

符號表示：

a*?

Pc>Ila

2.2.2平面與平面平行的判定

、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面

平行，則這兩個平面平行。

符號表示：

Bca

npna

Ila

na

、判斷兩平面平行的方法有三種：

()用定義；

()判定定理；

()垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.3—直線與平面、平面與平面平行的性質

、定理：一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平

面的交線與該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。________________

符號表示：

Ila

甑

aAp

aAyll

MY

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

直線、平面垂直的判定與其性質

2.3.1直線與平面垂直的判定

、定義

如果直線與平面a內的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面

c（互相垂直，記作，a-直線叫做平面a的垂線，平面a叫做直線的垂

面。如圖，直線與平面垂直時，它們唯一公共點叫做垂足。

a

、判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直

線與此平面垂直。

注意點：）定理中的〃兩條相交直線〃這一條件不可忽視；

）定理體現了〃直線與平面垂直〃與〃直線與直線垂直〃

互相轉化的數學思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形

、二面角的記法：二面角aB或c（B

、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則

這兩個平面垂直。

2.3.3一直線與平面、平面與平面垂直的性質

、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一

個平面垂直。

本章知識結構框圖

平面（以4里、?、干坦、租S、公

空間"~

直線與平面的位置產平面與平面的位置

直線的傾斜角和斜率

傾斜角和斜率

、直線的傾斜角的概念：當直線與軸相交時，取軸作為基準，軸正向

與直線向上方向之間所成的角C（叫做直線的傾斜角.特別地，當直線與

軸平行或重合時，規(guī)定0（°,

、傾斜角a的取值范圍：當直線與軸垂直時，a°.

、直線的斜率：

一條直線的傾斜角a（a。。）的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常

用小寫字母表示,也就是a

⑴當直線與軸平行或重合時，a。，°;

⑵當直線與軸垂直時，a。，不存在.

由此可知，一條直線的傾斜角。一定存在，但是斜率不一定存在.

、直線的斜率公式:

給定兩點()(?,用兩點的坐標來表示直線的斜率：

斜率公式：

3.1.2兩條直線的平行與垂直

、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相

等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即

注意：上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立

的，缺少這個前提?結論并不成立?即如果，那么一定有II

、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒

數；反之，如果它們的斜率互為負倒數，那么它們互相垂直，即

3.2.1直線的點斜式方程

、直線的點斜式方程：直線/經過點q(x0,y。)，且斜率為

ky-yQ=k(x-x0)

、、直線的斜截式方程：已知直線/的斜率為攵?且與)，軸的交點為

(0,/?)y=kx+b

3.2.2直線的兩點式方程

、直線的兩點式方程：已知兩點P1(x[9x2\P2(x2,y2)其中

“尸%/尸劣)

、直線的截距式方程：已知直線/與x軸的交點為①,0)，與)，軸的交

點為(0,b)，其中4w0,Z?w0

3.2.3直線1的一般式方程

,11_L120kl=-=kik=-1,

、直線的一般匕2式方程：關于的二元一

次方程Ax+3y+C=0(,不同時為)

、各種直線方程之間的互化。

直線的交點坐標與距離公式

3.3.1兩直線的交點坐標

、給出例題：兩直線交點坐標

解：解方程組得，

所以與的交點坐標為(，)

3.3.2兩點間距離

兩點間二3-四+(』『的距離公式

3.3.3點到直線的距離公式

?點到直線距離公式：

點P(x0,y0)到直線/:Ax+By+C=O的距離為：

、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線4和4的一般式方程為乙:4+與+G=O,

12：Ar+B)，+G=O，則4與4的距離為

第四章圓與方程

4.1.1圓的標準方程

、圓的標準方程：(x-a)2^-(y-b)2=r2

圓心為(),半徑為的圓的方程

、點加(%,%)與圓(x-a)2+(y-b)2=/的關系的判斷方法：

222222

()(xQ-a)+(y0—b)>r,點在圓外()(xQ-a)-^(yQ-b)r*點在

圓上

222

()(x0-a)+(j0-Z?)<r1點在圓內

4.1.2圓的一般方程

、圓的一般方程：/+產+￡^+或+/=0

、圓的一般方程的特點：

()①和的系數相同，不等于?②沒有這樣的二次項?

()圓的一般方程中有三個特定的系數、、，因之只要求出這三

個系數?圓的方程就確定了-

()、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，

代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，

幾何特征較明顯。

4.2.1圓與圓的位置關系

、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系?

22

設直線/：ax+by+c=O圓C:x+y+Dx+Ey+F=0?圓的半徑為一

圓心(_&一馬到直線的距離為4，則判別直線與圓的位置關系的依據

22

有以下幾點：

()當時，直線/與圓。相禺；()當4=7?時，直線/與圓C相切；

()當de時?直線/與圓C相交；

4.2.2圓與圓的位置關系

兩圓的位置關系?

設兩圓的連心線長為/，則判別圓與圓的位置關系的依據有以下幾

點：

()當/＞八+/2時，圓G與圓。2相離；()當/=勺+/2時，圓G與圓

外切；

()當|八-GK+Q時，圓G與圓相交；

()當/=ILGI時，圓G與圓。2內切；()當，＜1八-時，圓G與圓

內含；

4.2.3直線與圓的方程的應用

、利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；

、過程與方法

用坐標法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當的平面直角坐標系,用坐標和方程表示問題中

的幾何元素?將平面幾何問題轉化為代數問題；

第二步：通過代數運算?解決代數問題；A

第三步：將代數運算垢果〃翻譯〃成幾何結論?21

4.3.1空間直角坐標系7'

、點對應著唯一確定的有序實數組(x,y,z)，x、y、Z分別彳

是、、在x、y、z軸上的坐標

、有序實數組(x,y,z)，對應著空間直角坐標系中的一點

、空間中任意點的坐標都可以用有序實數組6y,z)來表示，該數組叫

做點在此空間直角坐標系中的坐標，記(x,y,z)，x叫做點的橫坐標?y

叫做點的縱坐標，z叫做點的豎坐標。

tZ

43.2空間兩點間的距離公式八

、空間中任意一點4(X1,y,Z])到點鳥(12，丁2*2)之間的p

距離公式

高中數學必修知識點

第一章算法初步

1.1.1算法的概念

、算法概念：

在數學上，現代意義上的〃算法〃通常是指可以用計算機來解決的某

一類問題是程序或步驟?這些程序或步驟必須是明確和有效的?而且

能夠在有限步之內完成.

.算法的特點：

()有限性：一個算法的步驟序列是有限的,必須在有限操作之后停止，

不能是無限的.

()確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確

定的結果，而不應當是模棱兩可.

()順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟?每

一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提,只有

執(zhí)行完前一步才能進行下一步?并且每一步都準確無誤，才能完成問

題.

()不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題

可以有不同的算法.

()普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、

計算器計算都要經過有限、事先設計好的步驟加以解決.

1.1.2程序框圖

、程序框圖基本概念：

(-)程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、

指向線與文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。

一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流

程線；程序框外必要文字說明。

（二）構成程序框的圖形符號與其作用

程序框名稱功能

廠、

表示一個算法的起始和結束，是

起止框

任何流程圖不可少的。

二表示一個算法輸入和輸出的信

輸入、輸出框息，可用在算法中任何需要輸

入、輸出的位置。

賦值、計算，算法中處理數據需

處理框要的算式、公式等分別寫在不同

o的用以處理數據的處理框內。

判斷某一條件是否成立，成立時

判斷框在出口處標明〃是〃或〃〃;不

成立時標明〃否〃或。

學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用與使用規(guī)則，

畫程序框圖的規(guī)則如下:

、使用標準的圖形符號八框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。、

除判斷框外，大多數流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷

框具有超過一個退出點的唯一符號。、判